图论毕业论文
最短路径问题网络分析毕业论文（可编辑）
最短路径问题网络分析毕业论文摘要第一章绪论二十世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的研究得到广泛重视,最短路径问题是图论中的一个典范问题,它已经被应用于众多领域.最短路径问题最直接的应用当数在地理信息领域,如:GIS 网络分析、城市规划、电子导航等.在交通咨询方面,寻找交通路网中两个城市间最短的行车路线就是最短路径问题的一个典型的例子.在网络通信领域,信息包传递的路径选择问题也与最短路径问题息息相关.举个例子,OPSF开放路由选择协议,每个OPSF路由器都维护一个描述自治系统拓扑结构的数据库,通过这个数据库构建最短路径树来计算路由表,从而跟踪自治系统范围内到每个目标的最短路径.在图象分割问题中,最短路径也有直接的应用:在语音识别中,一个主要的问题就是区别同音词,例如,to、two、too.为解决这个问题,我们需要建一个图,顶点代表可能的单词,边连接相邻的单词,边上的权代表相邻的可能行大小.这样图中的最短路径,就是对句子的最好解释.由于最短路径问题的广泛应用,很多学者都对此进行了深入的研究,也产生了一些经典的算法.近些年来,对最短路径研究的热度依然不减,并且时间复杂度降得越来越低.所以在本课题中我们将提出不仅是以前我们学习过的一些经典的算法,我们还将提出一些以前没有学习过的更有应用空间的算法.以及各算法之间的比较.最后还将把这些算法在现实中的应用最一些简单的介绍.第二章网络的最短路问题的基础知识2.1 图的基本概念(1)图定义:一个(无向)图G 是一个有序二元组(V,E),其中是顶点集,是边集,且是一个无序二元组,它表示该边连接顶点与.图1就是一个图说明:在保持图的点边关系不变的情况下,图形的位置、大小、形状都是无关紧要的.若,则称连接与;点和称为的顶点,称或与关联,与是邻接的顶点;如果两条边有一个公共顶点,则称这两条边是邻接的;(2)环定义:两个顶点重合为一点的边称为环如图图1中.图1(3)重边定义:如果有两条边的顶点是同一对顶点,则称这两条边为重边(如图1中与中有两条边相连).(4)孤立点定义:不与任何边关联的点称为孤立点(如图1中);(5)无环图定义:没有环的图称为无环图;(6)简单图:定义:既没有环也没有重边的图称为简单图.设G(V,E)是一个简单图,则显然有.(7)完全图定义:若上式中等号成立,则说明该图中每对顶点间恰有一条边相连,称此图为完全图.(8)补图定义:一个简单图的补图是与有相同顶点的简单图,且中两个点相邻当且仅当它们在中不相邻.(9)二分图定义:一个图G(V,E),若存在V 的一个分划(,),使得每条边有一个顶点在中,另一个在中,则称为二分图.(10)子图、支撑子图定义:设有两个图,,如果,,则称为的支撑子图.(11)点导出子图定义:设有图G(V,E),是的非空子集,若以为点集,以两点均在中的所有边为边集的子图称为由导出的的子图,记为,简称点导出子图.(12)边导出子图定义:若是的一个非空子集,则以为边集以中边的所有顶点作为点集的子图,称为由导出的的子图,记为,简称边导出子图.(13)度:定义:图中顶点的度为与关联的边的数目(与关联的每个环算作两条边),记为.结论:设G(V,E)是一个图,则,即度数为奇数的顶点有偶数个.2.2有向图(1)有向图定义:一个有向图是一个有序二元组,其中是顶点集,称为的弧集,为一个有序二元组.称为连向的弧,为的出弧,的入弧;称为得尾,称为的头;称为的前继,称为的后继.图2就是一个有向图.图2(2)环定义:头和尾重合的弧称为环.(3)重弧定义:若两条弧有相同的头和尾,则称这两条弧为重弧.(4)简单有向图定义:没有环和重弧的有向图称为简单有向图‘(5)基图定义:把有向图中每条弧用边来代替,得到一个无向图,称为得基图.(6)完全有向图定义:设G(V,E)是一个简单有向图,则,若等号成立,则称这样的图为完全有向图.(7)出度、入度定义:有向图中顶点的出弧的数目称为的出度,记为;顶点入弧的数目称为的入度,记为.结论:设G(V,E)是一有向图,则类似地可以定义有向图的子图,支撑子图,点,边导出之子图的概念.(8)网络定义:设是一个图,若对的每一条边都赋以一个实数,称为边的权,则连同边上的权称为一个网络,记为.同样可以定义有向网络.在此主要讨论网络上的各种优化问题.无向网络可以转化为有向网络,具体做法为:把无向网络中每条边代之以一对弧()和(),且两条弧的权都等于边的权.2.3连通性途径、迹、路定义:设有图 G(V,E),如果它的某些顶点与边可以排成一个非空的有限交错序列,这里该途径中边互不相同,则称为迹;如果顶点互不相同,则称它为路.显然路必为迹,但反之未必.闭路径定义:如果某途径至少含一条边,且起点与终点重合,则称它为一条闭途径.类似可定义闭迹和回路(又称圈).注意:若为简单图,则两个顶点间边若存在必是唯一的,故由到的一条途径可以用顶点序列表示.连通图:定义:图中若存在一条从顶点到的途径,则称与是连通的.如果图中任何两个顶点都是连通的,则称是连通图.例如,完全图是连通的.二分图,,则只要,中有一个大于1,则一定不是连通图.连通子图定义:如果是的子图,且是连通的,则称为的连通子图.极大连通子图定义:如果为的连通子图,且不存在连通子图,使是的子图.图的极大连通子图又称为的连通分支.有向途径定义:设有一个有向图,中某些顶点与弧组成的非空有限序列这里,,且,则称它为从到的有向途径.类似可定义有向迹,有向路,有向闭途径,有向闭迹,有向回路(有向圈).当是简单有向图时,从到的一条有向途径可简记为().强连通定义:中若既存在一条从顶点到的有向途径,又存在从到的有向途径,则称和是强连通的.如果中任意两顶点都是强连通的,则称是强连通的.强连通分支定义:的极大强连通子图称为强连通分支.注:若强连通,则恰有一个强连通分支.结论:若为有个连通分支的简单无向图,则的邻接矩阵为准对角矩阵若为有个强连通分支的简单有向图,则的邻接矩阵为准上三角矩阵2.4割集割边定义:设有图,是的一条边,如果从中删去,使它的连通分支数量增加1,则称是的割边.显然,的一条边是割边当且仅当该边不包含在的任何闭迹中.边割定义:设是的一个非空子集,,记,如果,且从中删去这些边后,的连通分支至少增加1,则称是的一个边割.割集定义:若是一个边割,且的任何真子集都不是边割,则称它为极小边割,的极小边割又称为割集.结论:任给图,设是图的圈,是图的割集,用表示的边集.如果,那么.弧割定义:设是一个有向图,记,如果,则从中删去这些弧以后,的强连通分支数至少增加1,称它为的一个弧割.的极小弧割称为有向割集.2.5最短路问题定义:所谓最短路径是指如果从图中某一顶点称为源点到达另一顶点称为终点的路径可能不止一条,如何找到一条有向路径使得沿此路径上各弧的权值总和达到最小.第三章网络的最短路问题的算法研究3.1最短路问题的提出某旅客要从杭州乘飞机前往奥地利的萨尔斯堡,因为他害怕乘飞机,所以要选择一条航线,使得在空中飞行的时间尽可能的少.问题是如何选择航线以达到要求.为此构造一个无向网络总可以化成有向网络,故下面只讨论有向网络的最短路问题.设是一有向网络,为中一条有向路,称为路的权或路长.现寻找网络中自某一指定顶点到另一指定顶点的最短有向路.3.2 Bellman最短路方程设有一个有向网络,.若用表示自顶点到顶点的最短有向路长,用表示弧()的长度,若,则定义,则对一切有且当且仅当弧在自顶点到顶点的最短有向路上.因为所有均表示自到的最短路长,因此这些最短路必有最后一条弧(),且该有向路上自到的一段也是最短路,故有Bellman最短路方程:即自点到各点最短路长度必满足Bellman最短路方程.反过来,Bellman最短路方程的解是自点到其余各点最短路的长度.3.3无负回路网络的最短有向路的Ford算法3.3.1 Ford算法的基本思想Ford算法的思想是逐次逼近,每次逼近求出网络从到其余各顶点的带某种约束的最短路,这里的约束是路中弧数.第一次逼近是从到其他任意顶点由一条弧组成的所有路中找一条最短路,记其长度为;第二次逼近是从到由不多于两条弧组成的所有路中找一条最短路,记其长度为.一般地,第次逼近是从到由不多于条弧组成的路中找一条最短的,记其长度为.因为中自到的最短路至多含个顶点, 条弧,所以最多次逼近即可. 即为中自到的最短路长.3.3.2 Ford算法的步骤为方便起见,定义.第一步置,,.第二步令.第三步若,停止;否则令,返回第二步.3.3.3实例求如下图所示网络中从顶点到其余各点的最短路.解求解过程如下:因此从到的最短路径分别为,,,,,路长分别为1,2,-3,0,2.3.4求正权网络中有向最短路的Dijkstra算法3.4.1Dijkstra算法的基本思想对网络中每个顶点赋以一个标号,用来记录从顶点到该顶点的最短路的长度(此时称为永久标号)或最短路长度的上界(此时称为暂时标号).算法开始时,只有顶点被赋予永久标号,其它顶点被赋予暂时标号.一般地,算法在被暂时标号的顶点中寻找一个顶点,其暂时标号最小,然后将赋予永久标号,且对其余暂时标号的顶点按方式修正其标号.算法在所有顶点均被赋予永久标号终止.3.4.2Dijkstra算法的理论依据对于中任一顶点,其永久标号是从顶点到该顶点的最短路的长度.对于中任一顶点,其暂时标号是从顶点出发,只经过中顶点到达该顶点的最短路的长度.3.4.3 Dijkstra算法的算法步骤最短路径问题是指在一个赋权图的两个指定节点和之间找出一条具有最小权的路.Dijkstra 算法是一个解最短路径问题的算法,这个算法不仅可以找到最短的,路径而且可以给出从到图中所有节点的最短路径.其基本步骤如下:1 设,对所有的节点来说,设,并将标号为0, ,为和w之间的权值距离.2按照每个未标号的节点w计算, ,表示点t 到点w 之间的权值距离 .若被修改了说明在当前得到的到w 的最优路径上t 和w 相邻用记录下来在所有中选择一个最小的即,未标号.将s 标号为, 表示节点到s的最优路径的长度为且与s 相邻.3 若终点v 已标号,则停止.得到一条从到v 的最优路径,否则,转向2再计算.3.4.4 Dijkstra算法的应用举例以具体实例说明Dijkstra 算法的具体应用.例 1. 利用Dijkstra 算法求图1 中节点A 到其它各节点的最优路径 202.9 3.218 4.4 3.5 3.2 4.516 Y 4.1 2.2 14 4.22 3.4 4.512 5.62.9 3 4.22.2 10 3.4 3.5 4 2.23 8 0 24 6 X 8 图1 101214相应的权值为:根据Dijkstra 算法的实现步骤其计算过程可归纳为表1 所示.从表1 中可以看出从到的最短路径为且到的距离为18.3 在求到最短路径的过程中到其余各点的最短路径也相应求出.若以计算一次为计算单位,则利用Dijkstra算法计算到最短路径时所需的计算次数15+14+13+ +2 119次表1采用Dijkstra 算法求解A到其他各节点最优路径的过程序号 A B C D E F G H I J K L M N O P1 - 4.2 3.42 - 4.2 3.4/A9.0 6.93 - 4.2/A - 8.6 8.3 6.94 - - - 8.6 8.3 6.9/C 11.9 10.95 - - - 8.5 8.3/B -10.3 11.2 10.96 - - - 8.6/B - - 11.5 10.3 11.2 10.97 - - - - - - 11.5 10.3/D 11.2 10.9 13.513.78 - - - - - - 11.5 - 11.2 10.9/F 13.5 13.713.19 - - - - - - 11.5 - -11.2/E - 13.5 13.713.110 - - - - - - 11.5/D - - - 13.5 13.713.111 - - - - - - - - - - 13.5 13.713.1/J16.112 - - - - - - - - - - 13.5/H 13.7 -18.0 16.113 - - - - - - - - - - - 13.7/H - 15.916.114 - - - - - - - - - - - - - 15.9/L16.1 18.715 - - - - - - - - - - - - - - 16.1/M18.33.4.5 Dijkstra算法的不足在现行电子地图中,网络模型的规模常常较大,节点数多达上千或上万,并且对网络模型的查询也要求实时性,因此Dijkstra 算法虽然在理论上是可行的,但在实际应用中不尽人意,当网络模型中节点数和边数较多的情况下,算法的计算量较大时间花费较多效率非常低.3.4.6 改进Dijkstra 算法的基本思想及实现表1 中的数值大多数是,都是无用运算,如果节点数量很大,将极其浪费运算时间.由于,节点是否在上次已经被计算出最短路径未知,当前节点是否与节点是否相连也未知,也就是未知,这时是已知的,故本次计算的到底是不是,取决于上一步数值和的数值,从表达式可以看出,只要这两个数值不都是,本次计算的就不会是,所以在上面Dijkstra 算法的实现步骤第2 步时,先判断一下,只要原来的, 的数值中至少有一个不是,才进行下面的计算,这样就保证了当预见是时,不对它进行计算,避免了大量无效的计算,提高了搜索效率.下面仍以一个具体实例来说明改进的Dijkstra算法的具体应用.例2 利用改进的Dijkstra 算法求图1中节点A到其他各节点的最优路径,此例的计算过程和Dijkstra 算法基本一致,只是表 1 中所有标记的部分在改进Dijkstra 算法中被省去了,利用改进的Dijkstra 算法计算到最短路径时所需计算次数为次,由此可见,改进的Dijkstra 算法确实减小了计算量在程序设计中,判断语句所花费的时间可以忽略,并不增大计算量.3.4.7 实验对比为了更好地说明改进的Dijkstra 算法的有效性,利用C语言自行编制了最短路径搜索程序并进行了仿真实验,采用自绘制的地图,共5 张,第一张图16个节点,共24条弧;第二张图32个节点,共55条弧;第三张图43个节点,共75条弧;第四张图62个节点,共111条弧;第五张图78个节点,共139条弧,计算结果如表2 所示.从表 2 可以看出,两种算法的计算量有很大的区别,改进的Dijkstra 算法较之经典Dijkstra 算法在计算量方面有很大幅度的减少,而且这种减少的程度在节点数目增加地图更大,更复杂时,会变得越来越明显.对于实际系统,由于地图都会很大,使用改进Dijkstra 算法的改进效果将非常显著.表2 改进Dijkstra 算法和经典Dijkstra 算法计算次数比较节点数经典Dijkstra 算法改进的Dijkstra 算法16 119 4739.5%32 465 13428.8%43 861 23427.2%62 1830 44124.1%78 2926 54018.5%注:表中的百分数表示改进算法计算量与经典算法计算量的百分比3.5 算法的问题和改进3.5.1算法的基本思想算法在人工智能中是一种典型的启发式搜索算法.通过选择合适的估价函数,指导搜索朝着最有希望的方向前进,以求得最优解. 算法中关键是求估价函数:其中, 是从起点到当前节点已付出的代价, 是从当前节点到目标节点的代价估计函数,必须保证其中是从当前点到目标点的实际最小代价.3.5.2算法的步骤算法的搜索步骤如下:1给起始节点标记,对它的没有标记过的子节点进行扩展;2对每一个子节点计算评价函数值,按评价值的大小进行排列,找出评价值最小的节点,并给它作标记,如果当前节点就是目标节点,则停止搜索;3 否则,对最新被标记的节点进行第2 步处理并记录最短路径.3.5.3算法分析算法是利用对问题的了解和对问题求解过程和解的了解,寻求某种有利于问题求解的启发信息,从而利用这些启发信息去搜索最优路径.它不用遍历整个地图,而是每一步搜索都根据启发函数朝着某个方向搜索.当地图很大很复杂时,它的计算复杂度大大优于Dijkstra 算法,是一种搜索速度非常快、效率非常高的算法.但是,相应的算法也有它的缺点.启发性信息是人为加入的,有很大的主观性,直接取决于操作者的经验,对于不同的情形要用不同的启发信息和启发函数,且他们的选取难度比较大,很大程度上找不到最优路径.下面通过一个具体加以实例说明.例3 利用算法求图1 中从点出发到点的最优路径.解:在本例中将评价函数中的取为当前节点到起始节点的最短距离,而取为当前节点到目标节点的欧氏距离,在应用算法时除采用上面Dijkstra 算法所用过的拓扑结构外,还应该再给定所有节点的坐标如各点坐标为0,13, 3,16, 3,11,….根据算法的具体实现步骤可求得从到的最短路径其距离是16.6.查看表1可知,用Dijkstra 算法搜索的最优路径是, 路径长度15.9 ,很明显算法没有找到最优路径,而且通过比较两条路径可以发现:当采用算法搜索路径时,从第二个节点就把最优路径舍弃了.3.5.4 算法改进思想及实现为了克服最优路径可能被轻易舍弃的缺点,本文提出采用多次搜索的方法,用增大计算量为代价来换取尽量多的最优路径备选结果.具体的方法如下:将经典算法搜索出原始最优路径中的节点依次进行封堵后,再按照经典算法搜索在每一次封堵情况下的最优路径.最后将这些新的最优路径与原始最优路径进行对比以便确定最后的最优路径.现举例说明改进算法的具体应用.例4.利用改进的算法求图1中从点出发到点的最优路径.1 按算法寻找路径得到: ,路径长度16.6;2 封闭此路径中节点后得到的最优路径为:, 路径长度15.9;3 封闭此路径中节点后得到的最优路径为: , 路径长度17.1;4 封闭此路径中节点后得到的最优路径为: ,路径长度17.2;5 封闭此路径中节点后得到的最优路径为: ,路径长度18.7;对前面求得的5 种路径长度进行对比,得到最优路径,其长度为15.9 ,从而将此路径定为改进算法求得的最优路径.查看表1可知此路径正是采用Dijkstra算法时求得的最优路径.3.5.5 实验对比为了进一步验证改进算法的有效性利,用C 语言自行编制了最短路径搜索程序并进行了仿真实验.以78个节点含1个起始节点,77个待规划节点的地图作为对象得到的仿真结果.采用经典算法对77个节点分别进行路径规划,有45个找到了最优路径而采用改进的算法对77个节点进行路径规划时,有68个找到了最优路径,有8个节点虽未找到最优路径但得到了比经典算法更短的路径,只有1个节点和经典算法结果一致.这充分说明改进的算法较之经典的算法在搜索最优路径的成功率方面具有明显的优势.3.6 结论本文对经典Dijkstra 算法和算法进行了改进,改进后的算法具有以下特点.1改进的Dijkstra 算法能在很大程度上节省计算量,提高路径规划的速度.2改进的算法虽在一定程度上增大了计算量但远远小于Dijkstra 算法的计算量, 却大大增大了搜索到最优路径的成功率.3.7 混合步长网络漫游最短路算法3.7.1引言网络最短路问题一直是网络理论与实践的重要研究课题之一,是在工农业生产及各项经济活动中非常具有实用价值的一门计算技术,是系统工程和运筹学研究的一个重要分枝.随着图与网络理论的不断发展与完善和计算技术、计算手段的不断进步,为新的网络最短路算法的研究提供了前提和条件.经过深入的研究探索和实践,本文提出一种任意路权网络最短路的新算法??混合步长网络漫游法.3.7.2 网络漫游法原理在一个给定的任意路权网络图中,为该网络的点集合,为该网络的弧集合,为网络各弧的权数集合.确定一个点作为漫游网络的起点,并记该点的漫游路长为零 ,其余各点的漫游路长 ,以此作为初始状态.之后,每一步都以当前漫游点的路长来修正其余相关连点的路长,并选择一个新的漫游点,如此往复,直至不再有可以漫游的点为止.若从起始点到任意点的直接路长为 (为网络的顶点数,若两点和之间没有直接的弧连接,则),则以修改各点的初始漫游路长, 作为第一步各点的漫游路长,并选择所对应的点作为第一步的漫游点,称之为当前漫游点.一般而言,经过步漫游到达第点,则第点为当前漫游点,该点的当前漫游路长为 .为寻找下一步的漫游点,要计算 ,并以作为点第步的漫游路长,选择点作为第步的漫游点,如此循环,直至各能够到达的点均已漫游过且各点已不存在更短的漫游路长时,漫游终止.同时得到了从起始点到各点的最短路.3.7.3网络漫游法的特点3.7.3.1 混合步长每次从当前漫游点寻找下一漫游点时,采用了算式,所以,下一漫游点的路长不只是第步中的最短路,而且是在第步、第步、…、第1步、第0步中的最短路,是当前步长内所有步数能够到达该点的最短路.3.7.3.2路长递减性由于采用了算式作为第点的第步的路长,它小于等于步之内任一步长的路长,具有递减性.3.7.3.3条件记忆性由第k步的当前漫游点寻找下一漫游点时,是在除当前点之外的其它点中寻找.其余的点分为两类,一类是还没有漫游过的点,它自然属于寻找的范围;另一类是已经漫游过的点,这类点分为两种情况,其一是该点记录的步步长之内的最短路值是该点作为漫游点时的路长,则该点不在寻找之列,即该点已漫游过这件事是在记忆之中的,其二是该点虽然已漫游过,但在其后的漫游中更新了该点漫游时的路长值,则该点在寻找范围之列,即对该点已漫游过这一事实失去记忆,如同没有漫游过的点一样.也就是说,若该点作为漫游点时的路长值一直保持为该点的最短漫游路长,则对该点保持记忆;若该点作为漫游点时的路长值已发生变化,则对该点的漫游失去记忆.3.7.4 网络漫游法的算法对于给定的任意路权网络,按照如下步骤进行网络漫游,只要网络中不含负回路,最终总可以求得从起始点到其所能到达的所有点的最短路.当然,也可以从终点反向漫游,以求得从网络的任意一点到终点的最短路.3.7.4.1 确定漫游起始状态若求从某点到其它各点的最短路,则以作为漫游的起始点(当前漫游点),并记该点的起始漫游路长为零,其余各点的漫游路长为无穷大(注:若求其它各点到终点的最短路,则以作为漫游起点,进行反向漫游即可).3.7.4.2 从当前漫游点向外探索计算从当前漫游点走到其它各点所产生的路长3.7.4.3确定各点新的漫游路长将各点的与其当前的最短路长进行比较,选取较小者作为该点新的漫游路长,即.3.7.4.4 作漫游标记当从本漫游点向外探索之后则对其作一标记,表示此点已漫游过.在以后的漫游中保持此标记,直到该点有更短的漫游路长出现时,则除去该点的漫游标志.3.7.4.5 确定新的漫游点在当前没有作漫游标记的点中,选取所对应的点作为新的漫游点.返回3.2继续漫游.。
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也可以研究动力系统的性质和行为，如混沌现象、吸引子理论等，探索动力系统的演化规律和稳定性等问题。
四、统计学与数据分析统计学是研究数据收集、分析和解释的科学，它在各个领域都有广泛的应用。
可以选择研究统计学的理论和方法，如参数估计、假设检验等，探讨它们的性质和应用。
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图论的基本概念外文翻译
图论的基本概念-外文翻译毕业设计论文外文资料翻译题目: 图论的基本概念院系名称: 理学院专业班级:信息与计算科学F0801 学生姓名: 学号: 200848490110指导教师:教师职称:副教授起止日期: 2012-3-5~3-16 地点:附件: 1.外文资料翻译译文;2.外文原文。
指导教师评语:签名: 年月日附件1:外文资料翻译译文1.6 路和联通G的一条途径(或通道)是指一个有限非空序列W v0 e1 v1 e2 v2…ek vk ,它的项交替地为顶点和边,使得对1≤i≤k,ei的端点是vi-1 和vi 。
称W是从v0 到vk 的一条途径,或一条(v0 ,vk)途径顶点。
v0 和vk分别成为W 的起点和终点,而v1 ,v2 ,…,vk-1 称为它的内部顶点。
整数k称为W的长。
若W v0 e1 v1 …ek vk 和W’ vk ek+1 vk+1 …el vl都是途径,则W 逆转后所得的途径vk ekvk-1 …e1 v0 记为W-1,将W和W’在vk 处衔接在一起所得的途径v0 e1 v1 …el vl记为W W’。
途径W v0 e1 v1 …ek vk的节是指W中由相继项构成的子序列vi ei+1 vi+1 …ej vj ,它也是一条途径;这一子序列又可称为W的(vi ,vj )节。
在简单图中,途径v0 e1 v1 …ek vk 由它的顶点序列v0 v1 … vk 所确定;所以简单图的途径可简单地由其顶点序列来表示。
不仅如此,即使在非简单图中,我们有时也把相继项均相邻的顶点序列看作为“途径”。
在这种场合应该理解为:所作的论述对于具有这种顶点序列的每条途径都是正确的。
若途径W 的边e 1,e2 ,… ,ek 互不相同,则W称为迹;这时W的长恰好是ε(W)。
又若途径W的顶点v0 ,v1 ,… ,vk 也互不相同,则W称为路。
图1.8 指出了一个图的途径,一条迹和一条路。
“路”一次也可用来表示其顶点和边是一条路的各项的图或子图。
数学毕业论文题目汇总
数学毕业论文题目汇总1、数学中的研究性学习2、数字危机3、中学数学中的化归方法4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用8、浅谈中学数学中的反证法9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策15、中学数学教学中的创造性思维的培养16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型18、中学数学教学设计前期分析的研究19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享--从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论对原函数存在条件的试探分块矩阵的若干初等运算函数图像中的对称性问题泰勒公式及其应用微分中值定理的证明和应用一元六次方程的矩阵解法'数学分析’对中学数学的指导作用“1”的妙用“数形结合”在解题中的应用“数学化”及其在数学教学中的实施“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例Cauchy中值定理的证明及应用Dijkstra最短路径算法的一点优化和改进Hamilton图的一个充分条件HOLDER不等式的推广与应用n阶矩阵m次方幂的计算及其应用R积分和L积分的联系与区别Schwarz积分不等式的证明与应用Taylor公式的几种证明及若干应用Taylor公式的若干应用Taylor公式的应用Taylor公式的证明及其应用Vandermonde行列式的应用及推广艾滋病传播的微分方程模型把数学和生活融合起来伴随矩阵的秩和特殊值保持函数凸性的几种变换变量代换在数学中的应用不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索不等式证明的若干方法不等式证明中导数有关应用不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想，探求，论证彩票中的数学常微分方程的新的可解类型常微分方程在一类函数项级数求和中的应用抽奖活动的概率问题抽屉原理及其应用抽屉原理及其应用抽屉原理思维方式的若干应用初等变换在数论中的应用初等数学命题推广的几种方式传染病模型及其应用从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系存贮模型的若干讨论带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应用导数的另外两个定义及其应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进第二积分中值定理“中间点”的性态对均值不等式的探讨对数学教学中开放题的探讨对数学教学中开放题使用的几点思考对现行较普遍的彩票发行方案的讨论对一定理证明过程的感想对一类递推数列收敛性的讨论多扇图和多轮图的生成树计数多维背包问题的扰动修复多项式不可约的判别方法及应用多元函数的极值多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用多元函数的极值问题多元函数极值问题二次曲线方程的化简二元函数的单调性及其应用二元函数的极值存在的判别方法二元函数极限不存在性之研究反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系反循环矩阵和分块对称反循环矩阵范德蒙行列式的一些应用方差思想在中学数学中的应用及探讨方阵A的伴随矩阵放缩法及其应用分块矩阵的应用分块矩阵行列式计算的若干方法分析近年三角各种题型，提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试辅助函数的应用辅助函数在数学分析中的应用辅助元法在中学数学中的应用复合函数的可测性概率的趣味应用概率方法在其他数学问题中的应用概率论的发展简介及其在生活中的若干应用概率论在彩票中的应用概率统计在彩票中的应用概率统计在实际生活中的应用概率在点名机制中的应用概率在中学数学中的应用高等几何知识对初等几何的指导作用高等数学在不等式证明中的应用高观点下的中学数学高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用高中数学教学中的类比推理高中数学开放题及其编制问题高中数学实践“问题解决”的几点思考高中数学研究性学习的课题选择高中数学研究性学习教学及其设计给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用构建数学建模意识培养创新思维构造的艺术关联矩阵的一些性质及其应用关于2004年全国高教杯大学生数学建模竞赛题的探究与拓展关于2循环矩阵的特征值关于Gauss整数环及其推广关于g-循环矩阵的逆矩阵关于不等式在中学的选修的处理关于不等式证明的高等数学方法关于传染病模型的建立与分析关于二重极限的若干计算方法关于反函数问题的讨论关于非线性方程问题的求解关于函数一致连续性的几点注记关于矩阵的秩的讨论_关于两个特殊不等式的推广及应用关于幂指函数的极限求法关于扫雪问题的数学模型关于实数完备性及其应用关于数列通项公式问题探讨关于椭圆性质及其应用地探究、推广关于线性方程组的迭代法求解关于一类非开非闭的商映射的构造关于一类生态数学模型的几点思考关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探关于置信区间与假设检验的研究关于中学数学中的图解方法关于周期函数的探讨哈密尔顿图初探函数的一致连续性及其应用函数定义的发展函数级数在复分析中与在实分析中的关系函数极值的求法函数幂级数的展开和应用函数项级数的收敛判别法的推广和应用函数项级数一致收敛的判别函数最值问题解法的探讨蝴蝶定理的推广及应用化归中的矛盾分析法研究环上矩阵广义逆的若干性质积分中值定理的再讨论积分中值定理正反问题'中间点’的渐近性基于高中新教材的概率学习基于集合论的中学数学基于最优生成树的海底油气集输管网策略分析级数求和的常用方法与几个特殊级数和级数求和问题的几个转化级数在求极限中的应用极限的求法与技巧极值的分析和运用极值思想在图论中的应用集合论悖论几个广义正定矩阵的内在联系及其区别几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用几个学科的孙子定理几个重要不等式的证明及应用几个重要不等式在数学竞赛中的应用几何CAI课堂教学软件的设计几何画板与圆锥曲线几何画板在高中数学教学中的应用几类数学期望的求法几类特殊线性非齐次微分方程的特殊解法几种特殊矩阵的逆矩阵求法假设检验与统计推断简单平面三角剖分图交错级数收敛性判别法及应用交通问题中的数学模型解题教学换元思想能力的培养解析几何中的参数观点经济学中蛛网模型的数学分析居民抵押贷款购房决策模型矩阵变换在求多项式最大公因式中的应用矩阵的单侧逆矩阵方幂的正反问题及其应用矩阵分解矩阵可交换成立的条件与性质矩阵秩的一些性质与某些数学分支的联系矩阵中特征值、特征向量的几个问题的思考具有不同传染率的SI流行病模型的研究均值不等式在初高等数学中的应用均值极限及stolz定理开放性问题编制的原则柯西不等式的推广及其应用柯西不等式的应用与推广柯西不等式的证明及妙用柯西不等式的证明及应用空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法空间旋转曲面面积的计算拉格朗日中值定理n元上推广立体几何的平面化思考利用导数解题的综合分析与探讨利用级数求极限连锁经营企业效益模型邻接矩阵在判断Hamilton性质中的一些应用留数定理及应用论辅助函数的运用论概率论的产生及概率对实际问题解释和应用论数学分析课程对中学数学的功能及应用论数学史及其应用罗尔定理的几种类型及其应用幂级数与欧拉公式幂零矩阵的性质和应用幂零矩阵的性质及其应用幂零矩阵的性质及其应用模糊集合与经典集合的简单比较模糊数学在学校教学评估中应用平面和空间中的Pick定理齐次马尔柯夫链在教学评估中的应用浅谈导数在中学数学教学中的应用浅谈分类讲座及其解题应用浅谈极值问题及其解法浅谈在解题中构造“抽屉浅谈中学生数学解题能力的培养求极限的若干方法求极值的若干方法全概率公式的推广与应用全概率公式的优化及应用人口性别比例的统计和概率分析若干问题的概率解法若干问题的概率论解法的探索三对角行列式及其应用三角函数的解题应用三角函数最值问题的研究三种积分概念的极限式定义和确界式定义的比较山核桃造林及管理的数学模型上、下极限的定义、性质及其应用实变方法在经典微积分中的应用实分析计算中的几种方法实际问题解决中数学语言能力的培养实数完备性定理的等价性证明及其应用试论四分块矩阵试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养输电阻塞模型的灵敏度分析及算法的改进树在数据结构中的简单应用数理统计在教育管理中的应用数理统计在生产质量管理中的两个应用数列求和问题的探讨数学变式教学的认识和实践数学猜想及其培养途径数学的对称美及其在中学数学解题中的应用数学分析中的化归思想数学分析思想在中学数学解题中的应用数学分析在初等数学中的应用数学分析中求极限的方法数学高考内容分布及命题趋向数学归纳法的初探数学归纳法的七种变式及其应用数学归纳法的原理推广及应用数学归纳法及其一些非常见形式和归纳途径数学建模在生物领域的应用（没做）数学建模中的排队论模型数学竞赛的解题策略数学竞赛中的抽屉原理数学竞赛中的图论问题数学开放题的设计与教学建议数学开放性问题的编拟与解决数学课程改革和教师观念的转变数学模型方法在教学中的应用及其价值数学模型在人口问题中的应用数学认知结构与数学教学数学史对数学教育的启示数学史上对方程求根公式的探索及其现代意义数学史在中学数学教学中的运用数学文化在中学数学教学中的渗透数学问题提出与CPFS结构关系的研究数学游戏及其价值数学中的游戏因素及其对于数学的影响四面体中不等式的探究泰勒公式的应用泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用泰勒公式在若干数学分支中的应用泰勒展开的应用探讨导数在函数单调性中的应用探讨平面三角的实际应用探讨线性规划最优整数解的解法特殊欧拉图的判定同余理论在数学竞赛中的应用头脑风暴法及其在数学课堂教学的运用凸函数的若干性质凸函数的拓展凸函数的性质及其应用凸函数的性质与应用凸函数及其在不等式证明中的应用凸函数以及一类内积表达的函数的凸性凸函数在不等式中的一个特殊应用图的余树是树的条件研究图和矩阵的运算图解法在资源分配中的应用浅析图论在高中数学中的若干应用图论在数学模型中的应用图论在中学数学竞赛中的应用椭圆的几个特征及其在天体、物理中的应用网络可靠度计算新法微分方程平衡点的稳定性及在力学中的应用微分中值定理的背景及证明微分中值定理的逆问题及其渐近性微分中值定理的探讨及应用微分中值定理的推广及其应用微分中值定理的证明及其应用微积分的某些实际应用微积分理论在中等数学中的影响及其应用微积分在行列式计算中的应用、数学中的研究性学习2、数字危机3、中学数学中的化归方法4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用8、浅谈中学数学中的反证法9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策15、中学数学教学中的创造性思维的培养16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型18、中学数学教学设计前期分析的研究19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享--从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值2、一道排列组合题的解法探讨及延伸3、整除与竞赛4、足彩优化5、向量的几件法宝在几何中的应用6、递推关系的应用7、坐标方法在中学数学中的应用8、小议问题情境的创设9、数学概念探索启发式教学10、柯西不等式的推广与应用11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用12、一道高考题的反思13、数学中的研究性学习15、数字危机16、数学中的化归方法17、高斯分布的启示18、的变形推广及应用19、网络优化20、泰勒公式及其应用21、浅谈中学数学中的反证法22、数学选择题的利和弊23、浅谈计算机辅助数学教学24、数学研究性学习25、谈发展数学思维的学习方法26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法27、数学教学中课堂提问的误区与对策28、中学数学教学中的创造性思维的培养29、浅谈数学教学中的“问题情境”30、市场经济中的蛛网模型31、中学数学教学设计前期分析的研究32、数学课堂差异教学33、浅谈线性变换的对角化问题34、圆锥曲线的性质及推广应用35、经济问题中的概率统计模型及应用36、通过逻辑趣题学推理37、直觉思维的训练和培养38、用高等数学知识解初等数学题39、浅谈数学中的变形技巧40、浅谈平均值不等式的应用41、浅谈高中立体几何的入门学习42、数形结合思想43、关于连通性的两个习题44、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学45、情感在数学教学中的作用46、因材施教与因性施教47、关于抽象函数的若干问题48、创新教育背景下的数学教学49、实数基本理论的一些探讨50、论数学教学中的心理环境51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则52、不等式证明的若干方法53、试论数学中的美54、数学教育与美育55、数学问题情境的创设56、略谈创新思维57、随机变量列的收敛性及其相互关系58、数字新闻中的数学应用59、微积分学的发展史60、利用几何知识求函数最值61、数学评价应用举例62、数学思维批判性63、让阅读走进数学课堂64、开放式数学教学65、浅谈中学数列中的探索性问题66、论数学史的教育价值67、思维与智慧的共享--从建构主义到讨论法教学68、方程组中的若干问题69、由“唯分是举”浅谈考试改革70、随机变量与可测函数71、二阶变系数齐次微分方程的求解问题72、一种函数方程的解法73、微分中值定理的再讨论74、学生数学学习的障碍研究；75、中学数学教育中的素质教育的内涵；76、数学中的美；77、数学的和谐和统一----谈论数学中的美；78、推测和猜想在数学中的应用；79、款买房问题的决策；80、线性回归在经济中的应用；81、数学规划在管理中的应用；82、初等数学解题策略；83、浅谈数学CAI中的不足与对策；84、数学创新教育的课堂设计；85、中学数学教学与学生应用意识培养；86、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究；87、运用多媒体培养学生88、高等数学课件的开发89、广告效益预测模型；90、最短路网络；91、计算机自动逻辑推理能力在数学教学中的应用；92、在中学数学教学中的应用93、最优增长模型94、学生数学素养的培养初探95、浅析先行中学数学教育的弊端96、城市道路交通发展规划数学模型；97、函数逼近98、数的进制问题99、无穷维矩阵与序列Bannch空间的关系100、多媒体课件教学设计----若干中小学数学教学案例101、一维，二维空间到欧氏空间102、初中数学新课程数与代数学习策略研究103、初中数学新课程统计与概率学习策略研104、对中学数学研究性学习开展过程及其途径的思考105、数列运算的顺序交换及条件106、歇定理的推广和应用107、解析函数的各种等价条件及其应用108、特征函数在概率论中的应用109、数学史与中学教育110、让生活走进数学，数学方法的应用将数学应用于生活--谈xx 111、数学竟赛中的数论问题112、新旧教材的对比与研究113、近世代数在中学数学中的应用114、随机变量分布规律的求法115、简述概率论与数理统计的思想方法及其应用116、无穷大量存在的意义117、中学数学竞赛中参数问题118、例谈培养数学思维的深刻性119、圆周率与中学数学史120、从坐标系到向量空间的基121 谈谈反证法122、一致连续性的判断定理及性质123、课堂提问和思维能力的培养124、数学高考试题的演变看中学数学教育改革125、函数及其在证明不等式中的应用126、极值的讨论及其应用127、正难则反,从反面来考虑问题128、实数的构造,完备性及它们的应用129、数学创新思维的训练130、简述期望的性质及其作用131、简述概率论与数理统计的思想和方法132、穷乘积133、递推式求数列的通项及和134、划归思想在数学中的应用135、凸函数的定义性质及应用136、行列式的计算方法137、可行解的表式定理的证明138、直觉思维在中学数学中的应用139、高等数学在中学数学中的应用140、充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能141、数学思想方法的一支奇葩-----数学猜想初探142、关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明143、于黎曼积分的定义144、微分方程的历史发展145、概率论发展史及其简单应用146、中学数学教学中创新思维的培养策略147、数学教学中使用多媒体的几点思考148、矩阵特征值的计算方法初探149、数形结合思想及其应用150、关于上、下确界,上、下极限的定义,性质及应用151、复均方可积随机变量空间的讨论152、浅谈中学数学的等价转换153、车灯线光源的优化设计模型154、中学数学中的变式教学设计155、欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响156、中学数学问题解决的学习策略研究分法157、抽屉原理的应用及推广158、浅议函数迭代及其表达式159、加强数形结合,提高解题能力160、函数性质的应用161、初等函数的值域162、中学数学应用意识的研究163、中数学新课程空间与图形学习策略与研究164、谈分类讨论及解题应用165、排序方法及其应用166、数学应用意识的培养看数学基础教育改革167、函数的凸性及其在不等式中的应用168、建构主义理论指导下的数学教学案例169、中学课程数学教学思想方法教学初探170、大学生数学素质教育思考171、数学归纳法教学探究172、师范学生高等数学课程内容设置的探讨。
数学毕业论文题目汇总
数学毕业论文题目汇总一、引言数学作为一门基础学科，在现代社会中具有重要的地位和作用。
数学毕业论文作为学生毕业的重要要求之一，要求学生在特定的领域或问题上进行深入研究，探索数学的新理论、新方法和新应用。
本文汇总了一些适合作为数学毕业论文的题目，旨在为即将毕业的学生提供一些启示和参考。
二、概率与统计1. 随机过程在金融衍生品定价中的应用研究主要研究基于随机过程的金融衍生品的定价模型，以及在金融市场中的应用。
2. 高维数据分析方法与应用探索高维数据分析的新方法，研究高维数据的降维、特征选择及模式识别等问题。
3. 贝叶斯统计在医学试验中的应用研究着重研究贝叶斯统计在医学试验设计和数据分析中的应用，探索其优势和局限性。
三、微分方程与动力系统1. 非线性偏微分方程的解析与数值方法研究综述非线性偏微分方程的解析解和数值解法，并进行其应用的案例研究。
2. 哈密顿系统的周期解及稳定性分析研究哈密顿系统的周期解的存在性和稳定性，并对其在动力学中的应用进行讨论。
3. 离散动力系统的混沌行为研究探索离散动力系统中的混沌现象，研究其混沌边界、混沌吸引子等特征。
四、代数与几何1. 使用代数几何方法研究曲面的分类问题基于代数几何的理论，对曲面的分类问题进行研究，归纳整理曲面的分类结果。
2. 拓扑流形的同调与同伦不变量研究探讨拓扑流形的同调群和同伦群等不变量的计算方法及其应用。
3. 代数编码理论在通信中的应用研究研究代数编码理论的基本原理和方法，并将其应用于通信系统中的纠错编码和加密通信等方面。
五、数论与密码学1. 模运算在分布式密码算法中的应用分析模运算在分布式密码算法中的应用，研究其安全性和效率。
2. 整数分解算法的改进和应用研究整数分解算法的改进策略，提高其分解大整数的效率，并探索其在加密算法中的应用。
3. 素数分布规律的研究探究素数的分布规律，研究和验证数学家们提出的各种猜想和定理。
六、应用数学1. 图论在物流网络优化中的应用以图论为基础，研究物流网络中的路径规划、资源分配及效率优化等问题。
论字的组词
论字的组词
论的组词、含义
■论组词
论坛、论文、论语、申论、毕业论文、相对论、议论文、资本论、邓小平理论、悖论、评论、辩论、进化论、理论、概率论、不刊之论、矛盾论、方法论、广义相对论、论道、舆论、图论、数论、遑论、讨论、绪论、论据、齐物论、无神论、二元论、不易之论、半部论语治天下、相提并论、社论、信息论、不可知论、宿命论、控制论、排队论，含论的成语
■拼音、笔画、部首
论（論），论拼音：lùn，笔画数：6画，部首：讠。
动画：论的笔顺。
中国一级汉字，编号556。
■基本含义
•论（論）lùn ㄌㄨㄣˋ
• 分析判断事物的道理：论断。
论点。
论辩。
论据。
论者。
议论。
讨论。
辩论。
• 分析阐明事物道理的文章、理论和言论：理论。
舆论。
专论。
社论。
• 学说，有系统的主张：系统论。
• 看待：一概而论。
• 衡量，评定：论罪。
论功行赏。
• 按照：论件。
论资排辈。
• 姓。
■其它含义
•论（論）lún ㄌㄨㄣˊ
• 古同“伦”，条理。
• 〔论语〕中国古书名，内容主要是记载孔子及其门人的言行。
• 古同“抡”，挑选。
科大组合与图论专业三十五年
科大组合与图论专业三十五年------为科大校庆五十周年而写李乔、李炯生、徐俊明中国科学技术大学组合与图论专业从李乔发表的第一篇论文算起，经历了整整35年。
在这35年里，逐渐形成了自己的研究特色：组合矩阵论和组合网络理论。
发表学术论文300余篇，专著和教材16部。
获得1993年国家教委科技进步一等奖（合作）和2003年安徽省自然科学二等奖。
培养硕士研究生57名，博士研究生26名，进站博士后5名，接收国内高校青年进修和访问学者9名。
回忆这段历史，科大组合学与图论专业的创立和发展大体上分为三个阶段。
一、创立阶段（1973-1985）中国科学技术大学数学系的组合学与图论研究始于上世纪七十年代初。
北京大学段学复教授向曾肯成建议：国内可由科大牵头研究组合与图论。
李乔和冯克勤凭借代数方面的深厚功底开始涉及组合与图论，在国内率先开展代数图论研究。
1973年，李乔在《中国科学技术大学学报》上发表的“关于偶图的极大对口”是本专业第一篇学术论文。
随后，李乔和冯克勤合作完成了 “关于树和其他图的联系矩阵”、“图的谱性质的若干结果”和“论图的最大特征根” 3篇论文，分别发表在《中国科学技术大学学报》（1976，1979）和《应用数学学报》（1979）上。
这些论文是国内代数图论研究最早的学术论文，现成为此研究领域的经典论文之一。
在此期间，李乔和冯克勤还从数学角度介入当时国内兴起的“量子化学的图论研究”，成为国内最早开展此项研究的学者。
1977年8月在上海举行的全国第一次量子化学学术会议上，李乔介绍了他与冯克勤在这方面的研究成果。
组合学是经典的数学分支，被人熟知。
图论是组合学的一个活跃分支，但当时数学界对它还不大了解。
1977年底，李乔对数学系师生做了题为《图论》的介绍性报告。
他以图论语言简洁证明“在任意六人中必存在三人, 要么都相识,要么都不相识”为开场，来介绍图论，生动有趣。
正是这个报告引起了不少人对图论的兴趣。
在此以前，国内出版的图论教材只有李修睦于1962年译自法国图论专家C.Berge的《图的理论及其应用》。
图论 本科毕业论文
图论本科毕业论文近年来，随着社会的发展和科技的进步，图论在各个领域中得到了广泛应用，尤其是网络科学、计算机科学和数学领域。
图论的基础理论和应用研究，也受到越来越多的关注。
本文主要介绍了图论的基础理论和应用研究，以及本人在此领域中的研究工作。
一、图论的基础理论图论是一门基础数学学科，它主要研究图的结构、性质和算法等方面的问题。
在图论中，图是由节点和边组成的集合，它可以用来描述各种实际问题，例如社交网络、电子电路、物流运输等。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图是由有向边连接节点而成的图，可以描述各种节点之间的方向关系。
而无向图则是由无向边连接节点而成的图，不考虑节点之间的方向关系，可以表示各种关系网络。
图论中的一些基本概念包括节点、边、路径、回路和连通性等。
节点是图中的基本元素，边是节点之间的连接线，路径指的是由一系列连续的边连接的节点序列，回路是一个首尾相接的路径。
而连通性则是描述图中各个节点之间的相互可达性的层次结构。
图论的另外一个重要的概念是图的度数。
节点的度数指与此节点相邻的边的数目，而图的度数则是所有节点度数之和。
在研究图的性质和结构时，度数是一个非常重要的指标，它可以用来刻画图的稠密或稀疏程度。
二、图论的应用研究图论在实际中的应用非常广泛。
例如，图论可以用于描述社交网络中各个节点之间的关系网络。
在这个网络中，节点代表人或组织，边则代表人和组织之间的关系。
通过研究这个网络的结构和性质，可以分析社交网络中的信息传播和节点的影响力等问题。
图论也广泛应用于计算机科学领域中。
例如，在计算机网络中，图论可以用来描述网络拓扑结构，并通过研究图的各种性质和算法，来优化网络的性能和安全性。
图论还可以用于描述物流和运输网络中的各种问题。
例如，在交通运输中，可以通过赋予各个节点和边合适的权重来刻画交通拥堵程度，从而优化交通运输的效率。
三、本人在图论领域的研究工作在本人的毕业论文中，我主要研究了图论中的连通性问题。
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图论毕业论文
图论是数学的一个分支，主要研究图的性质和结构。
它对于解决各种实际问题具有重要的意义，如交通网络优化、电子芯片设计等。
本文将就图论的概念、基本性质以及其在实际问题中的应用等方面进行论述。
首先，图论是研究图的性质和结构的数学学科。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来描述各种实际问题，如交通网络、社交关系等。
图由节点和边构成，节点表示图中的元素或对象，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中的边有方向性，无向图中的边没有方向性。
图的回路是指从一个节点出发，沿着边走过一系列节点之后再回到起始节点的路径。
图的连通性是指图中的任意两个节点之间存在一条路径。
其次，图论具有一些基本性质。
首先是图的度数。
图的度数是指图中一个节点与其相邻节点的边的个数。
度数为奇数的节点称为奇节点，度数为偶数的节点称为偶节点。
其次是图的邻接矩阵和关联矩阵。
邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的节点数，矩阵元素a_ij表示节点i与节点j之间是否存在边。
关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的节点数，m是图
的边数，矩阵元素b_ij表示节点i是否与边j相关联。
最后是
图的连通性。
图的连通性决定了图中是否存在从一个节点到达另一个节点的路径。
如果图中的任意两个节点之间都存在路径，则图是连通的；否则，图是非连通的。
最后，图论在实际问题中有广泛的应用。
首先是交通网络优化。
图论可以用来优化交通网络中的路径规划和交通流量分析等问
题，从而提高交通的效率和安全性。
其次是电子芯片设计。
图论可以用来分析电子芯片中各个元件之间的连接关系，从而提高芯片的性能和可靠性。
此外，图论还可以用来解决诸如社交网络分析、物流规划等实际问题。
综上所述，图论是数学的一个分支，主要研究图的性质和结构。
它对于解决各种实际问题具有重要的意义。
未来，随着科学技术的不断发展，图论在实际问题中的应用将会越来越广泛。
因此，对图论的进一步研究和应用具有重要的意义。