弦振动偏微分方程的求解
二阶偏微分方程的常规解与特殊解
株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。
如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。
本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。
该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。
具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。
将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。
由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。
这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。
2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。
该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。
具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。
进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。
该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。
3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。
由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。
弦振动方程的导出与定解条件
弦的一端的运动规律已知， 以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界 条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买） 时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解解决实际物理问题的关键在于对有关方程的可解性，而有关非齐次定解条件的方程解，是很多物理问题研究中不可缺少的重要内容。
本文就以弦振动方程为例，从定义开始，考察非齐次定解条件的解方式，总结出一系列可行的解决办法，以期能够对同学们对理论计算与实际解决物理问题中相关内容的了解产生一定的裨益。
2.振动方程的定义弦振动方程，即线性微分方程，是由描述弦振动现象的一种数学模型。
一般的弦振动方程的形式为:$$frac{d^2y}{dx^2}+P(x) frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)$$ 式中P(x)，Q(x)和f(x)为弦振动方程的非齐次定解条件，可以通过求解这个弦振动方程来实现对弦振动的研究.3.齐次定解条件的求解非齐次定解条件的解法可以采用几种不同的方式进行求解，其中包括积分法、特解法、递推法以及解析法等。
3.1分法积分法是基于对弦振动方程进行积分求解的方法，即从未知函数的参数到函数的构建的过程，其具体实现需要解决相应的积分等价问题，但求解的复杂度很高。
3.2解法特解法是基于特解求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的特解，它可以通过积分系数的方式发现特解的解析解，而无需计算就可以求出特定的解。
3.3推法递推法是基于递推法求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的解析解，它可以通过将相关系数纳入递推式而求出解析解。
3.4析法解析法是基于解析法求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的解析解，它可以通过分解解析解的参数和系数而求出解析解。
4.语本文以弦振动方程的解为例，探讨了关于非齐次定解条件的不同解法及其实现方式。
从定义、几种不同解法到实现方式，本文对弦振动方程的解有了比较详细的介绍，以期能够对同学们在解决物理问题中的用到的非齐次定解条件有更深入的了解，为实际的应用提供前期的理论基础。
1方程导出01-弦振动方程
ρ
， f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m)；方向：f0 > 0向上，f0＜0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①．受力分析： 如图：小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法：
设 刻 ， 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) ， 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3．分析、假设
①．波动原因： 对 速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton 第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。 ②．术语及假设： 柔软── 抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数，可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x
弦振动方程的导出与定解条件
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
在考察弦振动问题时的基本假设为：
1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度
相比可以忽略，弦的线密度 是常数。
2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲， 弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一 致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克
（Hooke）定律。（即指在弹性限度内， 物体的形变跟引起形变的外力成正比）
分量的代数和为
T0 sin 2 T0 sin 1 T0 (sin 2 sin 1).
由于小振动：
u u T0[ x |x2 x |x1 ]
sin 2
tan2
u x
|x2 ,
sin 1
tan1
u x
| x1 ,
12
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
应用微分中值定理：
T0
[
u x
|x2
接下来, 我们只须说明张力与位置 x 无关
9
u
M2
T2
1
M1
T1
O x1 x2
2
lx
我们分别把在点 M1, M2 处的张力记作 T1, T2, 由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点
M1, M2 处的切线方向。
由假定，弦只作横向振动，因此张力在
弦振动频率计算公式推导
弦振动频率计算公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：弦振动频率是指弦在振动时产生的频率，它是弦的长度、材质、张力等因素共同作用的结果。
在物理学中，弦振动频率的计算是一个重要的问题，它可以帮助我们了解弦的振动特性以及音乐乐器的原理。
为了计算弦的振动频率，我们需要首先推导出弦振动频率的计算公式。
在这里，我们将通过弦的基本原理和波动方程来推导这个公式。
我们假设一根长度为L、质量为m的弦被拉紧，并在两端固定。
弦上的振动可以被描述为横波传播，其波速v可以用张力T和线密度μ来表示：v = √(T/μ)弦的振动频率f可以用波速v和波长λ来表示：f = v/λ我们知道波长λ与弦的长度L有关系：其中n为弦的振动模态数。
当n=1时，弦的整数倍分之一波长的振动称为基频振动，也称为第一次共振；当n=2时，弦的整数倍分之二波长的振动称为第二次共振，如此类推。
将λ带入频率计算公式中，得到：将波速v的公式代入，得到：f = (1/2L)√(T/μ) * n这就是弦振动频率的计算公式。
从这个公式可以看出，弦振动频率与弦的长度L、张力T、线密度μ以及振动模态数n有关。
当我们改变这些参数时，弦的振动频率也会相应改变。
通过这个公式，我们可以更好地理解弦的振动特性，并且可以应用于乐器的设计和制作中。
通过调节张力和长度，可以改变乐器的音调，使得音乐更加美妙动听。
弦振动频率的计算公式是一个重要的物理公式，它可以帮助我们理解弦的振动原理和音乐乐器的工作原理。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解弦振动频率的计算方法，并且能够应用于实际问题中。
【这是我对于弦振动频率计算公式的一些理解，希望能够对您有所帮助。
】第二篇示例：弦振动是物理学中常见的一种现象，例如吉他、小提琴等乐器中的琴弦就是一种典型的弦振动系统。
在弦振动中，弦线上的每一个微小的部分都在进行横向振动，形成一系列波动。
而弦振动的频率则是指每秒钟弦线振动的次数，是描述弦振动特性的重要参数之一。
2.3.2弦振动方程的一般解
2.3.2弦振动⽅程的⼀般解（ 2-3-14 ）这⾥，是仅包含位置变量的函数；是仅包含时间变量的函数。
将（ 2-3-15 ）上式等号的左边仅与有关，右边仅与有关，⽽和都是独⽴变量，因⽽如果 (2-1-15) 式对任何的 x 与 t 都成⽴，则其等号两边应恒等于⼀个与，都⽆关的常数。
如果令这⼀常数为，并且，那么 (2-1-15) 式可写成（ 2-3-16 ）于是可以分别得到两个独⽴的⽅程（ 2-3-17 ）（ 2-3-18 ）经过上⾯分离变量后，就把⼀个偏微分⽅程分解成两个具有单⼀独⽴变量的常微分⽅程。
⽽这种形式的微分⽅程我们在第 1章中⼰遇到过，因此我们可以仿照⽅程 (1-2-4) 的求解结果，直接写出 (2-1-17) 与 (2-l-18) ⽅程的解为（ 2-3-19 ）（ 2-3-20 ）式中都是待定常数。
将上⾯⼆式代⼈（ 2-3-14 ）可得（ 2-3-21 ）其中仍是待定常数。
如果弦的两端固定，可以利⽤对任意时间都满⾜的边界条件（ 2-3-8 ）式。
将代⼈ (2-1-21) 式可以定得常数，再将代⼈ (2 － 1-21) 式可得如下关系（ 2-3-22 ）这时不能为零，否则和都为零，则整个弦不振动，这显然是没有意义的。
因此要得到⾮零解就必须令（ 2-3-23 ）要正弦函数等于零。
显然应该使其宗量满⾜如下关系（ 2-3-24 ）⽤⼀新的符号来代替，于是（ 2-3-24 ）式可写成（ 2-3-25 ）或（ 2-3-26 ）从 (2-1-21) 式可知弦的位移对时间是⼀简谐函数，因⽽应该代表振动的圆频率，⽽代表弦的振动频率。
从 (2-1-26) 式知，对于两端固定的弦，振动频率具有⼀系列持定的数值，即，并且仅同弦本⾝的固有⼒学参量有关，因⽽称为弦的固有频率。
但是它与第 1 章讨论的质点振动之间有⼀明显区别，⼀个单振⼦系统仅有⼀个固有频率，旧弦的固有频率不⽌⼀个，⽽有个，亦即⽆限多个。
并且固有频率的数值不是任意的，其变化也不是连续的，⽽是以等次序离散变化的。
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弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。
关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute ofAeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。
如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。
对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。
对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。
选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。
理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。
一、无界弦的自由振动问题无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1]：⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=)(),(),0(),(),0(),0,(2x x x u x x u t x u a u t xx tt φϕ 对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。
做变量代换at x -=ξ，at x +=η，代入偏微分方程，整理可得：02=∂∂∂ηξu，得方程的通解为：)()()()(at x g at x f g f u ++-=+=ηξ 再代入初始条件，有：⎩⎨⎧='+'-==+=)2()()()(),0()1()()()(),0(x x g a x f a x u x x g x f x u t φϕ 对(2)式积分:)3()(1)()(0c d ax g x f x+=+-⎰λλφ将（1）式和（3）式联立，解之则得：2)(212)()(0cd a x x f x --=⎰λλφϕ2)(212)()(0cd a x x g x ++=⎰λλφϕ 于是我们便得到了：⎰+-+++-=++-=atx atx d a at x at x at x g at x f x t u λλφϕϕ)(212)()()()(),( 这便是一维无界弦的自由振动解的表达式， 称作达朗贝尔公式。
由于对u 没有任何限制，只要一维波动方程有解，解必由达朗贝尔公式给出，且解是唯一的。
二、有界弦的自由振动问题。
描述两端固定的有界弦的自由振动的混合问题：⎪⎩⎪⎨⎧====>+∞<<-∞=（初始条件）边界条件），),(),0(),(),0((0),()0,()0,(2x x u x x u l t u t u t x u a u t xx tt φϕ 对于该问题，适合用分离变量方法进行求解。
第一步，分离变量，分析求一族满足泛定方程和边界条件的分离变量形式的非零特解，可以先不估计初始条件。
令：)()(),(t T x X x t u =，把它代入方程，得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''两边除以)()(2t T x X a ，得)()()()(2x X x X t T a t T ''='' 此式左端仅是t 的函数，右端仅是x 的函数，而x 与t 是两个相互独立的变量，所以只有两边都是常数时，等式才能成立，令这个常数为λ-，就得到一个常微分方程：02=+''T a T λ及其边值问题（因,0)()0()0,(==t T X t u 所以0)0(=X ;同理,0)()(),(==t T l X l t u 所以0)(=l X ） 故第二个常微分方程是：⎩⎨⎧==<<=+''0)(0)0(0))(l X X l x x X x X ）（（λ第二步，解固有值问题怎么找到满足条件的固有值λ，使常微分方程的边值问题有非零解。
分三种情况讨论。
（1）0=λ,这时方程为：, 0=''X ,通解为：B Ax X +=,由边界条件0)()0(==l X X ，得A=0;B=0，0)(≡x X ，不满足要求。
（2）0<λ，不妨设2k -=λ，这时方程0))(2=-''x X k x X （的通解为：kx kx Be Ae X -+=由边界条件0)()0(==l X X ，得⎩⎨⎧=+=+-0klkl Be Ae B A 不难求出A=B=0，同样不满足要求。
（3）0>λ，不妨设2k =λ（0>k ），这时方程0))(2=+''x X k x X （的通解为：kx B kx A X sin cos +=由条件X(0)=0，知，A=0，再由条件0)(=l X ，得0sin =kl B ，由于B 不能再为零，则必有),2,1( ==n ln k π或者：),2,1(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n l n πλ我们把),2,1(2=⎪⎭⎫⎝⎛=n l n n πλ叫做固有值，与固有值对应的非零解为：lx n B x X n n πsin)(=，n B 是任意常数。
求固有值和固有函数的边值问题称为固有值问题。
把固有值2⎪⎭⎫⎝⎛=l n n πλ代入确定T 的常微分方程：latn D l at n C t T n n n ππsincos)(+=，n C ,n D 为任意常数。
这样得到： ),2,1(sinsin cos )()(),( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n l x n l at n D l at n C t T x X x t u n n n n n πππ 把n B 归入常数n C ,n D第三步，写出级数形式解由于方程和边界条件都是线性齐次的，故由叠加原理，级数:∑∑+∞=+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11sinsin cos ),(),(n n n n n l x n l at n D l at n C x t u x t u πππ 仍满足方程和边界条件。
第四步，确定级数解中的系数n C 和nD由初始条件：∑+∞===1sin),0()(n nlxn Cx u x πϕ及 ∑+∞===1sin ),0()(n n t l xn D l a n x u x ππφ,由正弦展开的系数公式，得： ⎰=l n dx l xn x l C 0sin )(2πϕ⎰=l n dx lx n x a n D 0sin )(2πφπ 这样我们得到该问题的定解为：∑⎰⎰+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=100sin sin sin )(2cos sin )(2),(n l ll x n l at n d l n a n l at n d l n lx t u ππξπξξφππξπξξϕ三、无界弦的受迫振动问题 该问题的偏微分方程为：⎩⎨⎧==>+∞<<-∞+=（初始条件）),(),0(),(),0()0,(),(2x x u x x u t x t x f u a u t xx tt φϕ 对该问题，用拉普拉斯变换计算比较方便[2]。
对泛定方程施行拉普拉斯变换dt e t x u x p u pt ⎰+∞-=0),(),(得：0),(2002=----==p x f u a u u p u p xx t tt代入初始条件得：0),(22=----p x f u a p u p xx φϕ该非齐次常微分方程的通解是d p p f pe e a d p pf pe e a BeAep x u x apx a px x a px a px apx apx )](),()([21)](),()([21),()()(ξϕξξφξξϕξξφ+++++-+=⎰⎰---考虑到+∞→x 和-∞→x 时u 不应为无穷大，所以A=0，B=0，另为保证积分收敛，第一个积分下限取∞+，第二个积分下限取∞-。
所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++++=+++++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞---∞+--∞---∞+--∞---∞+--∞---∞+--∞---∞--ξξϕξξϕξξξξξξφξξφξξϕξξφξξϕξξφξξϕξξφξξϕξξφξξξξξξξξξξd p p e a d p p e a d p f p e a d p f p e a d p e a d p e a d p p f p e a d p p f p e a d p p f p e a d p p f pe a p x u x x p x a x p x ax p x a x p x a x p x a x p x x p x a x p x x p x ax p )(21)(21),(21),(21)(21)(21)](),()([21)](),()([21)](),()([21)](),()([21),()()()()()()()()()()(对于第一个中括号，运用延迟定理，),(1t H P⇔则⎩⎨⎧+>+<=--⇔--)(0)(1)()(at x at x a x t H p e a x p ξξξξ所以ξξφξξφξd a d p e a atx x x a x p )(21)(21)(⎰⎰+∞+--⇔ 同理ξξφξφξd ad pe a x at x x a x p )(21)(21)(⎰⎰-∞---⇔ 对第三个中括号，)(ξϕ代替了）（ξφ且多了一个因子p ，则对第一个中括号中原函数中）（ξφ替换行为)(ξϕ并对t 求导即得第三个中括号里的原函数分别为： ξξϕξd p pe a x x p )(21)(⎰∞+--)(21at x a +⇔ϕ ξξϕξd p p e a x x p )(21)(⎰∞---)(21at x a-⇔ϕ对第二个中括号，运用卷积定理⎰-⇔td t f f p f p f 02121)()()()(ττττξτξτξξττξξξτξd d f a d d axt H f a d p f p e a t t a x xt x x a x p ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞+--=---=0)(0)(),(21)(),(21),(21同理：τξτξξξτξd d f ad p f pe a t x t a x x a x p ⎰⎰⎰--∞---=0))()(),(21),(21 于是得到该问题解的表达式为：⎰⎰⎰+--+--++-++=at x at x t t a x t a x d d f ad a at x at x t x u τξτξξξφϕϕττ0)()(),(21)(21)]()([21),( 四、半无界弦的自由振动问题该问题即求下面问题的解[3]：⎪⎩⎪⎨⎧===>+∞<≤=∞→（初始条件）边界条件）有限，,),0(,0),0((,0)0,()0,0(2b x u x u u t u t x u a u t x xx tt 对t 做拉普拉斯变换。