三角形全等
判定全等三角形的五种方法
判定全等三角形的五种方法判定全等三角形的五种方法全等三角形是指两个三角形的所有对应边和对应角均相等。
在几何学中，判定两个三角形是否全等是非常重要的一项任务。
下面将介绍五种方法来判定全等三角形。
方法一：SSS法SSS法是指如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
这种方法可以通过测量每条边的长度来确定是否相等。
如果两个三角形的边长完全相同，则它们是全等的。
方法二：SAS法SAS法是指如果两个三角形有两条边和它们之间夹角分别相等，则这两个三角形全等。
这种方法可以通过测量其中两条边和它们之间的夹角来确定是否相等。
如果两个三角形有同样大小的夹角并且有一个共同的边，则它们是全等的。
方法三：ASA法ASA法是指如果两个三角形有一个夹在它们之间且大小相同的夹角，并且其余两个对应边也分别相等，则这两个三角形全等。
这种方法可以通过测量其中一个夹在它们之间并且大小相同的夹角以及另外两条对应边来确定是否相等。
如果两个三角形有同样大小的夹角和对应边，则它们是全等的。
方法四：AAS法AAS法是指如果两个三角形有两个角和一个对应边分别相等，则这两个三角形全等。
这种方法可以通过测量其中两个角和它们之间的对应边来确定是否相等。
如果两个三角形有两个相同的角和一个共同的对应边，则它们是全等的。
方法五：HL法HL法是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
这种方法可以通过测量其中一个直角边和斜边来确定是否相等。
如果两个直角三角形有同样大小的斜边并且有一个共同的直角边，则它们是全等的。
以上五种方法都可以用来判定全等三角形。
在实际问题中，我们可以根据给定条件选择合适的方法来判定是否存在全等三角形。
同时，需要注意测量精度，避免误差影响结论。
(完整版)全等三角形证明方法(最新整理)
全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ；（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ；（5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等；（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
①积极发现隐含条件：公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角:图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线:当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
全等三角形
全等三角形【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法根据对应顶点找：如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
根据已知的对应元素寻找：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
A、翻折如图，∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；B、旋转如图，∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；C、平移如图，∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5.判定三角形全等的方法：SSS、ASA、SAS、AAS6.注意问题：在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；不能证明两个三角形全等的是：a、三个角对应相等，即AAA；b、有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用1.证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.2.证明线段（直线）平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF ≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD. 3.证明线段（角度）的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段（或者两个角度）相等例3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD 中位线这个条件。
全等三角形证明定理
全等三角形证明定理有以下几个：
1.SSS定理：边边边定理，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三
角形全等。
2.SAS定理：边角边定理，即如果两个三角形的两个边和夹角分别相等，则这
两个三角形全等。
3.AAS定理：角角边定理，即如果两个三角形中的两个角和其中一个角的对边
对应相等，则这两个三角形全等。
4.ASA定理：角边角定理，即如果两个角和这两个角的公共边对应相等，则这
两个三角形全等。
5.HL定理：斜边、直角边定理，即如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对
应相等，则这两个三角形全等。
三角形全等的判定
三角形全等的判定1.三角形全等的条件： 对应相等的两个三角形全等，简写为边边边或 ；2.三角形具有稳定性；3.尺规作图：（1）只用 直尺和 作图的方法称为尺规作图； （2）用直尺和圆规作一个角等于已知角：学法指导：例题 如图，在四边形ABDC 中，AB =DB ，AC =DC ，请问∠A 和∠D 相等吗？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．分析：要看∠A 和∠D 是否相等，可看△ABC 和△DBC 是否全等，又已知两边对应相等，可考虑是否第三边对应相等．当堂训练1.如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．2.如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？达标训练：1．如图，若D 为BC 中点，那么用“SSS ”判定△ABD ≌△ACD 需添加的一个条件是 ___________． 2．如图，已知OA = OB ，AC = BC ，∠1=30°，则∠ACB 的度数是________．ABCD12OABC第 1 题第 2 题3．如图，AB = AD ，DC = BC ，∠B 与∠D 相等吗？为什么？4．已知如图，小明根据条件“AB = DC ，AC = DB ，AC 、BD 交于点O ”，探索图形中的三角形全等关系时，他发现△ABC ≌△DCB ，而且△AOB ≌△DOC ．你同意小明的发现吗？请写出探索过程，并说明理由．课后作业(夯实基础)1.如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =， 则由“SSS ”可以判定（ ） Ａ．ABD ACD △≌△ Ｂ．ABE ACE △≌△ Ｃ．BDE CDE △≌△Ｄ．以上答案都不对2.如图，ABC △是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将ABC △分成两个全等三角形，则这样的点共有（ ）Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．6个 Ｄ．9个3．下列结论错误的是（ ）Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角Ｃ．全等三角形是一种特殊三角形 Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等4.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB CD =，AD CB =，下列判断不正确的是（ ）．．FDCBEAACDOACDBA EC。
三角形全等的五种方法
三角形全等的五种方法在数学中，三角形的全等是一种重要的概念。
如果两个三角形的三边和三角度量分别相等，那么它们就是全等三角形。
全等三角形的性质在计算几何和其他数学领域中都有重要的应用，因此研究如何判断三角形是否全等，以及如何构造全等三角形具有重要的意义。
本文将介绍五种方法来判断三角形是否全等。
这些方法包括：1. SSS准则2. SAS准则3. ASA准则4. AAS准则5. RHS准则SSS准则SSS准则是指如果两个三角形的三边分别相等，那么它们是全等的。
这意味着如果两个三角形的三边长度分别相等，那么它们的三角度量也应该相等。
SSS准则常常用于计算几何中，例如在计算三角形的面积和周长时。
SAS准则SAS准则是指如果两个三角形的两边和夹角分别相等，那么它们是全等的。
这意味着如果两个三角形的两边长度和夹角大小分别相等，那么它们的第三边长度和另外两个角度量也应该相等。
SAS准则在计算几何中也有重要的应用，例如在计算三角形的高度和斜边长度时。
ASA准则ASA准则是指如果两个三角形的两角和一边分别相等，那么它们是全等的。
这意味着如果两个三角形的两个角度量和一条边长度分别相等，那么它们的另外两个角度量和另一条边长度也应该相等。
ASA准则在计算几何中也有重要的应用，例如在计算三角形的中线和角平分线时。
AAS准则AAS准则是指如果两个三角形的两个角和一条边的夹角分别相等，那么它们是全等的。
这意味着如果两个三角形的两个角度量和一条边的夹角大小分别相等，那么它们的第三个角度量和另一条边的长度也应该相等。
AAS准则在计算几何中也有重要的应用，例如在计算三角形的外心和内心时。
RHS准则RHS准则是指如果两个直角三角形的两个直角边分别相等，那么它们是全等的。
这意味着如果两个直角三角形的两个直角边长度分别相等，那么它们的斜边长度也应该相等。
RHS准则在计算几何中也有重要的应用，例如在计算三角形的斜边长度和角度量时。
综上所述，判断三角形是否全等的方法有很多种，包括SSS准则、SAS准则、ASA准则、AAS准则和RHS准则。
全等三角形公式
全等三角形公式
全等三角形公式是指在两个三角形完全相等的情况下，它们对应的边长和角度完全相等的公式。
常见的全等三角形公式有：
1. SSS（Side-Side-Side）定理：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS（Side-Angle-Side）定理：如果两个三角形的两边和它们夹角大小分别相等，则这两个三角形全等。
3. ASA（Angle-Side-Angle）定理：如果两个三角形的两角和它们夹边大小分别相等，则这两个三角形全等。
4. AAS（Angle-Angle-Side）定理：如果两个三角形的两角和它们对应边的大小分别相等，则这两个三角形全等。
全等三角形公式在解决几何问题中非常有用，可以帮助我们求出未知的三角形边长和角度大小。
- 1 -。
三角形全等的五种方法
三角形全等的五种方法
三角形全等是一种几何学中的概念。
在几何学中，全等指的是两
个或多个形状、物体或模型的大小、形状、位置等特征完全相同。
三
角形的全等有五种方法，分别是以下几点：
（1）SSS全等法。
SSS全等法是指当三角形三边的边长相等时，
可以通过做出三个完全相同的三角形来证明它们全等。
（2）SAS全等法。
在SAS全等法中，两个三角形的一个角和两个
边分别相等。
因此，通过构建两个能够匹配的三角形来证明它们全等。
（3）ASA全等法。
ASA全等法是当两个三角形的两个角以及它们
之间的一个边相等时，可以通过构建两个能够匹配的三角形来证明它
们全等。
（4）AAS全等法。
通过AAS全等法，我们可以确认两个三角形有
两个角和它们之间的一个边相等，可以运用这一法则来证明它们全等。
（5）HL全等法。
在HL全等法中，两个三角形的一条腰和一条相
邻边分别相等，同时另一条腰和它所对应的角也分别相等。
因此，可
以通过构建两个相应匹配的三角形来证明他们全等。
总之，无论哪种方法都可以用来证明两个三角形全等，都需要在
构建的时候保证构建出的三角形完全重合。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
证明:有3种
1.三组对应边分别相等(简称SSS)
2.有一个角和这个角的两条夹边对应相等的两个三角形全等(SAS)
3.有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)并且由这些可证明：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.角平分线上的点到角两边的距离相等还有一种判定方法直角三角形独有：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
3 判定公理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
4 性质
三角形全等的性质：
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
5 推论
三角形全等的判定公理及推论有：
(1)“边角边”简称“SAS”各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等
(2)“角边角”简称“ASA”各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
(3)“边边边”简称“SSS”各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
(4)“角角边”简称“AAS”各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
R.H.S. / H.L. (Right Angle-Hypotenuse-Side)(直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及
另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。
以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
A.A.A. (Angle-Angle-Angle)(角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
A.S.S. (Angle-Side-Side)(角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定
1.如果已知两个三角形的一边一角对应相等，且边为角的对边，若再能找出一组角对应相等，则用AAS来判定这两个三角形全等；
2.如果已知两个三角形的一边一角对应相等，且边为角的邻边，若能判断出这条边的对角相等，则也用AAS来判定这两个三角形全等；
3.如果已知两个三角形的两组角对应相等，若再能找出任意一边对应相等，则也用AAS来判定这两个三角形全等；
4.如果已知两个三角形的一边一角对应相等，且边为角的邻边，若能找出夹边的另一角对应相等，则用ASA来判定这两个三角形全等；
5.如果已知两个三角形的两组角对应相等，若能这两组角的夹边对应相等，则也用ASA来判定这两个三角形全等.
1.2 怎样判定三角形全等
用“SAS”判定三角形全等
1.组织学生画图：要求画一个三角形使两边长分别为2cm、3cm其夹角为60°，同桌之间将两个三角形放在一起看是否全等
2.归纳结论：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
1.3尺规作图
已知：线段a 求作：线段AB，使AB＝a
作法：1、作射线AC 2、在射线AC上截取AB＝a 则线段AB就是所要求作的线段
已知：∠AOB, 求作：∠CDE,使：∠CDE=∠AOB,
作法：1、作任一射线DE, 2、以点O为圆心，适当长为半径作弧交OA、OB于点M、N，3、以点D为圆心，同样的长为半径作弧交DE于点P, 4、以点P为圆心，以MN为半径作弧交前弧于点C, 5、过点C作射线DC. ∠CDE即为所求
线段中垂线的话，可以这样做：用圆规分别以线段的两个端点为圆心在线段的两侧画弧，这样，在线段两侧会有两个交点，连接这两个交点，就是这条线段的中垂线了。
角平分线：用圆规以顶点为圆心，任意长为半径做两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两端弧，找到两段弧的交点，连结角的定点和弧的交点并延长，所得的射线就是这个角的角平分线
垂线：过此点用圆规画弧，与直线形成两个交点，分别过两点再以相同长度画弧，交点与原点相连就是已知直线的垂线。