初中数学三角形全等的判定定理
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
初中12.2三角形全等的判定(SAS)
有三边对应相等的两个三角形全等. 可以简写成 “边边边” 或“ SSS ”
用 数学语言表述： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF
A
B D
C
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
E F
探究新知⑴
这是一个 三角形全等的判定方法： 公理。 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么 这两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）．
课堂小结
今天你学到了什么? 1、今天我们学习了哪种方法判定两个三角形全等？
答：SAS(边角边)
（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）
通过证明三角形全等可以证明两条线段相等 等、两个角相等。
2、 “边边角”能不能判定两个三角形全等？
答：不能
几何语言：
在△ABC与△DEF中 ∵ AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴△究新知⑵
M D
C
A B
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等.
例题讲解
例 1 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分 ∠BAC，求证：△ABD≌△ACD． A 证明: ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD＝∠CAD 在△ABD与△ACD中 ∵ AB＝AC B C D ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∴△ABD≌△ACD（SAS） 由△ABD≌△ACD ，还能证得∠B＝∠C， 即证得等腰三角形的两个底角相等这条定 理．
例题推广
2 、 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分 BD=CD ⊥BC ． ∠BAC，求证： AD A 证明: ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD＝∠CAD 在△ABD与△ACD中 ∵ AB＝AC
三角形全等的判定(AAS定理)
(一)、自学导读：1、判定两个三角形全等我们学过了什么方法？它有几个条件，它们之间有什么限制。
2、如下图，试填空：3、前面我们学习了两个判定定理来判定三角形全等，我们是否还有其他方法呢？ 判断下列推理是否正确：（二）、阅读教材P78页4、角角边定理的内容 。
类比边角边定理 。
类比角边角定理 。
得出角角边定理： 。
（1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵ ＝ ∠D ＝∠A ＝∴△ABC ≌△DEF （SAS ） （2）、在△ABC 与△DEF 中 ∵∠ACB ＝∠DFE＝ ∠ABC ＝∠DEF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）（2）、在△ABC 与△DEF 中，若已知，∠BAC ＝∠EDF ，∠ABC ＝∠DEF ， CB ＝FE ，则△ABC ≌△DEF 证明∵∠BAC ＝∠EDF ，∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝1800－ ∠BAC － ∠ABC ∠DFE ＝1800－ ∠DEF － ∠EDF ∴∠ACB ＝∠DFE （等式的性质）CB ＝FE ∠ABC ＝∠DEF ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）BCEFADB C E FA D定理的理解：如下图定理有三个条件，其中有 组边的关系，有 组角关系，边一定是一组相等角的对边。
加深对AAS 的理解。
记住边的相等关系一定要是对应角（相等的角）的对边。
（三）定理的运用：5、如下图，已知BE ∥DF ，∠B ＝∠D ，AE ＝CF ，（1）试证明：△ADF ≌△CBE ；（1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵∠A ＝∠D ∠C ＝∠FAB ＝（ ）∴△ABC ≌△DEF （AAS ） （2）、在△ABC 与△DEF 中 ∵∠B ＝∠E（ ）＝（ ） AB ＝DE∴△ABC ≌△DEF （ASA ）下列证明过程对吗？如果不对，请予以改正 （1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵∠A ＝∠D ∠C ＝∠F AB ＝EF∴△ABC ≌△DEF （AAS ） （2）、在△ABC 与△DEF 中∵∠B ＝∠E ∠C ＝∠FAC ＝DF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）分析：（1）已知有一组角相等，并有线段相等，我们观察能否得到边相等，（三种方法都必需有边的相等关系） 给出了平行，我们能联想到角的关系。
(完整)全等三角形的判定专题
全等三角形的判定证明专题一、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等.②全等三角形的对应角相等。
二、全等三角形的判定定理①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。
②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。
④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。
三、一般思考方法1、已知两边对应相等—1。
第三边；2。
夹角；3。
直角2、一角及邻边对应相等—1。
角的另一边;2.边的另一角；3。
边的对角3、一角及对边对应相等—1.另一角4、两角相等-1。
夹边；2。
一已知角的对边第一部分简单证明例题分析例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。
例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。
求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。
求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。
自我检测1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。
求证：∠ABE=∠ACD.2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。
三角形的全等性质
三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。
其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。
本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。
一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。
全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。
二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。
2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。
3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。
4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。
通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。
三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。
例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。
2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。
通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。
3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。
4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。
我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。
三角形全等的判定ASA
边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且 这两边所夹的角也相等，则这两个三 角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明 线段相等、角相等、垂直关系等 ，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形 全等关系可以用来制作精确的图 形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明 两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明 两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出 来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直 等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三 角形ABC与三角形DEF全等，那 么三角形DEF也与三角形ABC全 等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等 ，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所夹的边也相等，则这两 个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三 角形有两边长度相等且这两边所夹的 角相等，则这两个三角形全等。这个 定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三 角形有两个角相等且这两个角所夹的 边也相等，则这两个三角形全等。这 个定理是三角形全等判定的重要依据 之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用
数学人教版八年级上册12.2三角形全等的判定定理2(SAS).2 三角形全等的判定
A
A
B 图一 在图一中， ∠A 是AB和AC的夹角， 符合图一的条件，它可称为 “两边夹角”。
C
B
图二
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”
探索边角边
已知△ABC，画一个△A′B′C′使A B =A′B′,A C =A′ C ′, ∠A =∠A′。
画法: 1.画 ∠DA′ E= ∠A； ′ 2.在射线A D上截取A′ B′ =AB,在射线A′ E上截 取A ′C ′=AC; C C′ 3. 连接B ′C′.
补充题：
例1 如图AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD，说明 △AOB≌△COD的理由。 A B
O
D C C D
例2 如图，AC=BD， ∠CAB= ∠DBA，你能判断 BC=AD吗？说明理由。
A B 归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通 过从它们所在的两个三角形全等而得到。
课堂小结:
A B A′ B′ D
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？ 思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？ 结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“ SAS ” )
用符号语言表达为：
A D
B
1
那么量出ED的长，就是A、B的 距离.为什么？【要求学生写出 理由即证明过程】
C
2
E
D
例2：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF
求证（1）△AFD≌△CEB
A 分析：证三角形全等的三个条件 边 AD = CB （已知） 角 ∠A=∠ 边 C AF = CE E F C D
全等三角形的判定口诀
全等三角形的判定口诀全等三角形的判定口诀：三角形是初中数学学习的重点内容之一，全等三角形作为三角形中最重要的几何关系之一，被广泛应用于实际生活和数学研究中，如在建筑工程、建筑设计、机械制造、信号处理、地质勘测等领域。
各等角、等边角对应，所对应的线段相等，这些是全等三角形的特征。
下面我们介绍一下全等三角形判定口诀以及例题。
判定口诀：全等三角形需要满足以下条件：S-S-S：三边分别相等。
此时，若存在两个三角形的三边分别相等，则称这两个三角形为全等三角形。
A-S-A：两角和一致，且夹边相等。
当两个三角形中，存在两个角和一致，且夹边相等时，则这两个三角形为全等三角形。
S-A-S：两边和夹角一致，其中夹角所对的边也相等。
当两个三角形中，存在两边和夹角一致，其中夹角所对的边也相等时，则这两个三角形为全等三角形。
R-H-S：一个角、一个对边和一个邻边一致，其中邻边与该角相等，而对边则等于另一个三角形的对边。
当两个三角形中，存在一个角、一个对边和一个邻边一致，其中邻边与该角相等，而对边则等于另一个三角形的对边时，则这两个三角形为全等三角形。
例题解析：A、在三角形ABC中，CC'垂直于AB，DD'垂直于AC，证明：△ADD'≅△CBB'解题思路：首先，我们要明确全等三角形的定义以及判定方法。
观察题目，我们发现关键点在于两个三角形的夹边相等。
根据已知条件，可以得到△ADD'≅△CDD'，再根据垂线定理，得到 CD=AD、BD=DD'。
所以，我们可以推出 CB=AD、BB'=DD'。
因此，我们可以得出△ADD'≅△CBB'。
B、在△ABC中，AB=AC，D是BC边中点，证明：△ADB≅△ADC。
解题思路：观察图形，我们容易看出△ADB和△ADC的共同点就是角BAD和角CAC，也就是两个三角形的对应角。
根据题目，我们已知 AB=AC，同时 D是BC边的中点，所以BD=DC。
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初中数学三角形全等的判定定理
经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。
三角形全等的判定定理
1、三边对应相等的三角形是全等三角形。
SSS(边边边)
2、两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
SAS(边角边)
3、两角及其夹边对应相等的三角形全等。
ASA(角边角)
4、两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
AAS(角角边)
5、在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
RHS(直角、斜边、边)
三角形全等顺口溜：全等三角形，性质要搞清。
对应边相等，对应角也同。
角边角，边角边，边边边，角角边，四个定理要记全。
不能验证全等三角形的判定
AAA（角、角、角），指两个三角形的任何三个角都对应地相同。
但这不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。
在几何学上，当两条线叠在一起时，便会形一个点和一个角。
而且，若该线无限地廷长，或无限地放大，该角度都不会改变。
同理，在左图中，该两个三角形是相似三角形，这两个三角形的关系是放大缩小，因此角度不会改变。
这样，便能得知若边无限地根据比例加长，角度都保持不变。
因此，AAA并不能判定全等三角形。
但在球面几何上，AAA可以判定全等三角形（运用三角形与其极对称三角形的边角关系证明），而AAS不能判定全等三角形（球面三角形内角和大于180°）。