行列式练习题1

第二章 行列式练习题（1）

一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分） 1．排列217986354必定经过奇数次对换变为123456789．

2．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 3．排列

121n n j j j j -与排列1

21n n j j j j -的奇偶性相反 （ ）

4．

1122

1

2

12334434

34

a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+

++ （×）

5．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 6．若矩阵

A 经过初等变换化为矩阵

B ，则A B

=． （×）

7．把三级行列式的第一行减去第二行的2倍，同时把第一行的3倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：11112

12

12

222212121

3

33

3

3

3

222333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---=+++ （ ）

8．设

A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A

=-； （×）

9．设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （√ ）

10．设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解； （×）

11． 设D= 11

12121

2221

2

n

n n n nn

a a a a a a a a a ,D 1=121

21

2

111222n

n

n

k k k k k k nk nk nk a a a a a a a a a ,其中12n k k

k 是1、2、3、……、n 的一个排列，

则 ()

()

12

1

1n k k k D D τ=- （ ）

二、填空题（每小题2分，共20分） 1．排列(1)

321n n -的逆序数为

(1)

2

n n -，当n 是 时为奇排列；当n 是 时为偶排列． 2．12345i i i i i 的逆序数为6，则54321i i i 的逆序数是 。

3．排列135…（2n-1）246…(2n)的逆序数为 ，排列 (2k)1(2k-1)2…(k+1)k 的逆序数为 ； 4．排列12435作三个对换 、 、 变为排列25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数τ（12435）具有相同的奇偶性。

5．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为 负 ．

6．① 3000003000______;003000007311194

=②0

00

_______;000

a e

b

f g c h d

=③123

123123a a a b b b c c c ++++++=+++ ；④2

22

1

11ωωωωωω

= ；

7．计算行列式12341

123

21123214

3

2

00_________;00

a a a a a

b b b a b

c c a b c

d a b c d

---=-------

8．D=0205

011341023857

----利用拉普拉斯定理按前两行展开D= ； 求1112

1314________;A A A A +++=

9．多项式

x

x x x x x g 432143214324

32)(=

中3x 的系数是 ； 10．如果线性方程组123

12312

30

00ax x x x ax x

x x ax

++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，那么a = ； 11．方程（1）1234

1234

12341234x x x x ++=++ 与方程 （2）22

23

12

27120

538653815x x -=- 的全部根分别为

和 （重根按重数计算）；

12．（1）11112345_______;49162582764125=（2）2222

3333

1111

586258625862= ；（3）23000

1

4

000________;

18079

12087

43034968508102

-= 三．选择题

1．多项式

111

1234()131143x x p x x x x

=

-中，x 4，x 3的系数项和常数项分别为 （ ） （A ）-6，2，-6；（B ）-6，-2，6；（C ）-6，2，6；（D ）-6，-2，-6

2．一个n 阶方阵A 的行列式，其值不为零，A 经若干次初等变换后，其行列式值 （ ） （Ａ）保持不变； （Ｂ）保持不为零； （Ｃ）可变为任何值； （Ｄ）保持相同符号。 3．设D 是一个n 阶行列式，那么 （ ） （A ）列式与它的转置行列式相等； （Ｂ） D 中两行互换，则行列式不变符号； （Ｃ）若0=D

，则D 中必有一行全是零； （Ｄ） 若0=D ，则D 中必有两行成比例。

4．行列式 1

1

22334

4

000

0000

a b a b b a b a 的值为 （ ）

A ． 12341234a a a a b b b b -；

B ．12341234a a a a b b b b +；

C ．12123434()()a a bb a a b b --；

D ．14142323()()a a bb a a b b --