第十章动载荷资料重点
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第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
第十章-动载荷
2 动载荷问题分类
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
动载荷
2. 求解冲击问题的能量法
冲击问题极其复杂,难以精确求解.工程中常采用一种 冲击问题极其复杂,难以精确求解. 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法, --能量法 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法,来近似估算构件 内的冲击载荷和冲击应力. 内的冲击载荷和冲击应力. 在冲击应力估算中作如下基本假定: 在冲击应力估算中作如下基本假定: ①不计冲击物的变形: 不计冲击物的变形: ②冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; 冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; ③构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计,冲击应 构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计, 力瞬时传遍整个构件 ④材料服从虎克定律; 材料服从虎克定律; ⑤冲击过程中,声,热等能量损耗很小,可略去不计. 冲击过程中, 热等能量损耗很小,可略去不计.
1. 工程中的冲击问题
锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题,其特点是冲击 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题, 物在极短瞬间速度剧变为零, 物在极短瞬间速度剧变为零,被冲击物在此瞬间经受很大 的应力变化. 的应力变化.
Fd sd Dd = = P s st D st
可得: 可得:
Dd
2
2T D st - 2D stD d = 0 P
解得: 解得:
骣 1 + 1 + 2T ÷ ÷ D d = D st ÷ PD st ÷ 桫
引入冲击动荷系数K 引入冲击动荷系数Kd
Dd 2T Kd = = 1+ 1+ D st PD st
要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速,增大横截面 要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速, 积并不能提高圆环的强度. 积并不能提高圆环的强度.
《材料力学》第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
第十章 动载荷
解：⑴计算惯性力矩
Mf
0
2 n
60
2 100
60
10
3
rad
/
s
A
a
t
0
0
10
3
rad
/ s2
t
10
3
Md
Ix
a
0.5
3
0.5 kNm
3
a
Md B
0
(Dynamic Loading)
⑵计算轴内的最大扭转动应力(切应力)
Mx
0M f
Md
0.5 kNm
3
Mf
Td
Md
0.5 kNm
的轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材 料的单位体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.
解： ⑴求qd 因圆环很薄,可认为圆环上各点的
向心加速度相同,等于圆环中线上 各点的向心加速度.
an
D 2
2
因为环是等截面的,所以相
同长度的任一段质量相等.
O r
(Dynamic Loading)
已知：一重量为P 的重物由高度为h的位置自由下落,与一块和直杆 AB 相连的平板发生冲击. 杆的横截面面积为A,求杆的冲击应力.
重物是冲击物,杆AB（包括圆盘）是被冲击物.
冲击物减少的势能
A
A
V DV P(h Dd )
P
动能无变化 T DT 0
AB 增加的应变能
1
Vd 2 Fd Dd
Fd
或短时间内，荷载值急剧
FP (t )
增大或急剧减小。如： FP
t
⑶惯性力
tr
核爆炸冲击波荷载曲线
FP (t )
第10章动载荷
a A a A 1 g g
2
M max
l 1 l 1 a l R b 1 A 1 b l 2 2 2 2 g 4
相应的应力(一般称为动应力)为
M A d W 2W a l 1 b l g 4
4Q B. d 2
4Q 1 1 2 d E
8Q 1 1 2 d E
Q
l
4Q C. d 2
4Q D. d 2
h
设重物Q静止作用于梁上截面C处时，截面C和D处 的静位移分别为(st)C和(st)D ，如图示。现考虑重 物Q由高度h处自由下落，则下列结论中哪些是正 确的? 答： 。
l QHl D. h 2 Ebh
10.5 冲击韧性(impact toughness)
工程上衡量材料抗冲击能力的标准，是冲断试 样所需能量的多少。
W k A
k称为冲击韧性，
其单位为焦耳/毫 米2 (J/mm2)。
试样 试样
50 FATT
100
0
0
60
120
J
R
R
qs A qd Aa g
M max
当加速度a等于零时，由上式求得杆件在静载 (static load)下的应力为
A st 2W l b l 4
故动应力可以表为
a d st 1 K d st g
Kd 1 a g
1 A. l
g
2 B. l
g
O
A
l 2
B
1 2 g C. l
第10章 动载荷
7
§10-2 用动静法求应力和变形
达朗伯原理： 处于不平衡状态的物体, 存在惯性力, 惯性力的方向 与加速度方向相反, 惯性力的数值等于加速度与质量的 乘积。只要在物体上虚加上惯性力, 就可以把动力学问 题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法。 惯性力大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积, 方向与 加速度a 的方向相反, 即 F= -ma
二 . 动载作用下，材料与胡克定律的关系
6
实验表明:在静载荷作用下服从胡克定律的材料，只要动应 力不超过比例极限，在动载荷作用下胡克定律仍然有效, 且弹 性模量与静载荷下的数值相同。即：
E静 = E动
三. 动荷系数
动响应 动荷系数K d 静响应
四. 动荷载的分类 1.惯性力 2.冲击荷载 3.振动问题 4.交变应力
Pd K d P
d K d st
24
例题9 图示钢杆的下端有一固定圆盘, 盘上放置弹簧。 弹簧在 1KN 的静载荷作用下缩短 0.625mm 。钢杆直径 d=40mm , l =4m , 许用应力 []=120MPa , E=200GPa 。 有重为 15KN 的重物自由落下， d 求: 其许可高度 h 。 解: 15 0.625 10 3 Pl 9.62 10 3 m st EA h
绳索中的动应力为
G
G
G a g
Static 静态的 FNd FNst d Kd K d st A A Dynamic 动态的 st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为
d K d st [ ]
10
N st
Nd
△d 表示动变形
△s t 表示静变形
m
m x
§10-2 用动静法求应力和变形
达朗伯原理： 处于不平衡状态的物体, 存在惯性力, 惯性力的方向 与加速度方向相反, 惯性力的数值等于加速度与质量的 乘积。只要在物体上虚加上惯性力, 就可以把动力学问 题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法。 惯性力大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积, 方向与 加速度a 的方向相反, 即 F= -ma
二 . 动载作用下，材料与胡克定律的关系
6
实验表明:在静载荷作用下服从胡克定律的材料，只要动应 力不超过比例极限，在动载荷作用下胡克定律仍然有效, 且弹 性模量与静载荷下的数值相同。即：
E静 = E动
三. 动荷系数
动响应 动荷系数K d 静响应
四. 动荷载的分类 1.惯性力 2.冲击荷载 3.振动问题 4.交变应力
Pd K d P
d K d st
24
例题9 图示钢杆的下端有一固定圆盘, 盘上放置弹簧。 弹簧在 1KN 的静载荷作用下缩短 0.625mm 。钢杆直径 d=40mm , l =4m , 许用应力 []=120MPa , E=200GPa 。 有重为 15KN 的重物自由落下， d 求: 其许可高度 h 。 解: 15 0.625 10 3 Pl 9.62 10 3 m st EA h
绳索中的动应力为
G
G
G a g
Static 静态的 FNd FNst d Kd K d st A A Dynamic 动态的 st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为
d K d st [ ]
10
N st
Nd
△d 表示动变形
△s t 表示静变形
m
m x
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材料力学
第十章 动 载荷
南京航空航天大学 陶秋帆等
1
第十章 动载荷
本章内容: 1 概述
2 动静法的应用 3 强迫振动的应力计算 4 杆件受冲击时的应力和变形 5 冲击韧性
2
§ 10. 1 概述
1 动载荷 · 静载荷 载荷从零开始缓慢地增加到最终值。
可认为构件始终处于平衡状态。 随 · 动载荷 时间明显变化的载荷，即具有较大
为 △d 忽略能量损失， 由机
械能守恒定律有:
T V Ud
18
· 能量法
设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。
被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失， 由机 械能守恒定律， 有:
T V Ud
以最大变形时重物的位置为零势位置。
则初位置的势能为: V Qd 设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为: Pd19
2 求解冲击问题的基本假设
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳，
二者合为一个运动系统；
③ 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,
冲击应力瞬间传遍整个构件；
④ 材料服从虎克定律；
⑤ 冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。
3 求解冲击问题的能量法
· 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
· 角加速度 · 惯性力矩
md Ix
nπ 10π rad/s
30 3
1 0 π rad/s2
t
3
0.5π kN m 3
· 由动静法
mx 0
mf md
13
· 由动静法
mx 0
mf md
· 轴内扭矩
T
md
0.5π 3
kN m
· 最大剪应力
max
T Wt
2.67 106 Pa 2.67MPa
Nd
Nd
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
10
由以前的结论，有:
2Nd qd D
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
· 强度条件
d
v 2
g
[]
· 可看出：要保证圆环的强度，只能限制圆环的
转速，增大截面积A并不能提高圆环的强度。
11
例 3 (书例12.1) 已知: n=100r/min， 转动惯量 Ix＝0.5 kN·m·s2。轴直径 d=100mm。刹车 时在10秒内均匀 减速停止转动。
求：轴内最大动应力。
解：· 角速度 nπ 10π rad/s
30 3
· 角加速度 1 0 π rad/s2
t
3
12
· 角速度
为线性弹簧。
16
3 求解冲击问题的能量法 · 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧的弹性
系数 k EA
l
17
l Pl EA
等价弹簧的弹性系数
· 能量法 设冲击物重为Q, 冲击
开始时的初动能为T。
P
EA l
l
k EA
l
被冲击物的最大变形
。 加速度为a时：
qd
qst
(1
a g
)
记： 若忽略自重，则
Kd
1 a
a g
Kd g
动荷系数
6
。 加速度为a时：
a
qd
qst (1
) g
记：
Kd
1 a
a g
动荷系数
若忽略自重，则 Kd g
· 对线性系统
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。 7
加载速率的载荷。
· 实验表明： 在动载荷作用下，只要应力不超 过比例极限， 胡克定律仍成立，且弹性模量 与静载时相同。
2 动载荷问题分类
3
2 动载荷问题分类 1) 构件有加) 交变载荷。
4
§ 10. 2 动静法的应用
1 动静法 即为理论力学中介绍的达朗 伯原理。
1
2T 1
Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ, d Kd
st
22
引入记号:
Kd
d st
1
1 2T Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ,
· 几种d 常见情况下的冲击动荷系数 (1) 垂直冲击(自由落体) 这时，公 式中的T为:
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如：
按静载求出某点的应力为 st 则动载下该点的应力为 d Kdst
按静载求出某点的挠度为 vst 则动载下该点的挠度为 vd Kdvst
· 强度条件 d Kdst []
8
· 强度条件
d Kdst []
3 匀角速度转动构件中的动应力分析
设圆环以均角速度转动， ω
qd
厚度 t 远小于直径D， 截
面积为A，比重为。 加上
惯性力系。
an
R 2
D2
2
qd
A
g
an
AD 2
2g
9
an
R2
D2
2
ω
qd
qd
A
g
an
AD
2g
2
· 取半圆，求内力 由以前的结论，有:
2Nd qd D
2 匀加速平动构件中的动应力分析
· 例子 设杆以匀加速度a 作平动， 截面积为A，比
bR
aR
重为。 加上惯性力系。
分布载荷中，包括自重
qd
l
和惯性力。
则：
qd A
A
g
a
A(1
a ) g5
分布载荷中，包括自重 和惯性力。
bR
aR
则：
qd
A
A a
g
A(1
a) g
qd
l
。 加速度为零时： qst A
14
§ 10. 4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题 撞击，打桩，铆接，突然 刹车等。 特点：冲击物在极短瞬间速度发生 剧变，被冲
击物在此瞬间受到很大冲击力的作用。 例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。 是重力的335倍。
2 求解冲击问题的基本假设 ① 不计冲击物的变形； ② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳1，5
在线弹性范围内，有:
Pd d d
Q st st
Pd
d st
Q
Ud
1 2
d2 st
Q
代入机械能守恒定律，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
21
代入机械能守恒定理，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
d st 1
1
2T Qst
引入记号:
Kd
d st
则初位置的势能为:
V Qd 设达到
最大变形时， 弹簧所
受的动载荷为: Pd 则变
形能为:
Ud
1 2
Pd d
由: T V Ud 。 为求出d , 将Pd用Q表示
在线弹性范围内，有:
T Qd
1 2
Pd
d
Pd d d
Q st
st
20
1 T Qd 2 Pd d
。 为求出d , 将Pd用Q表示
第十章 动 载荷
南京航空航天大学 陶秋帆等
1
第十章 动载荷
本章内容: 1 概述
2 动静法的应用 3 强迫振动的应力计算 4 杆件受冲击时的应力和变形 5 冲击韧性
2
§ 10. 1 概述
1 动载荷 · 静载荷 载荷从零开始缓慢地增加到最终值。
可认为构件始终处于平衡状态。 随 · 动载荷 时间明显变化的载荷，即具有较大
为 △d 忽略能量损失， 由机
械能守恒定律有:
T V Ud
18
· 能量法
设冲击物重为Q，冲击 开始时的初动能为T。
被冲击物的最大变形 为 △d 忽略能量损失， 由机 械能守恒定律， 有:
T V Ud
以最大变形时重物的位置为零势位置。
则初位置的势能为: V Qd 设达到最大变形时，弹簧所受的动载荷为: Pd19
2 求解冲击问题的基本假设
① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳，
二者合为一个运动系统；
③ 构件的质量与冲击物相比很小，可略去不计,
冲击应力瞬间传遍整个构件；
④ 材料服从虎克定律；
⑤ 冲击过程中，能量损耗很小，可略去不计。
3 求解冲击问题的能量法
· 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
· 角加速度 · 惯性力矩
md Ix
nπ 10π rad/s
30 3
1 0 π rad/s2
t
3
0.5π kN m 3
· 由动静法
mx 0
mf md
13
· 由动静法
mx 0
mf md
· 轴内扭矩
T
md
0.5π 3
kN m
· 最大剪应力
max
T Wt
2.67 106 Pa 2.67MPa
Nd
Nd
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
10
由以前的结论，有:
2Nd qd D
Nd
qd D 2
AD
4g
2
2
· 动应力
d
Nd A
D 2
4g
2
v 2
g
· 强度条件
d
v 2
g
[]
· 可看出：要保证圆环的强度，只能限制圆环的
转速，增大截面积A并不能提高圆环的强度。
11
例 3 (书例12.1) 已知: n=100r/min， 转动惯量 Ix＝0.5 kN·m·s2。轴直径 d=100mm。刹车 时在10秒内均匀 减速停止转动。
求：轴内最大动应力。
解：· 角速度 nπ 10π rad/s
30 3
· 角加速度 1 0 π rad/s2
t
3
12
· 角速度
为线性弹簧。
16
3 求解冲击问题的能量法 · 线弹性系统 任一线弹性杆件或结构都可简化
为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧的弹性
系数 k EA
l
17
l Pl EA
等价弹簧的弹性系数
· 能量法 设冲击物重为Q, 冲击
开始时的初动能为T。
P
EA l
l
k EA
l
被冲击物的最大变形
。 加速度为a时：
qd
qst
(1
a g
)
记： 若忽略自重，则
Kd
1 a
a g
Kd g
动荷系数
6
。 加速度为a时：
a
qd
qst (1
) g
记：
Kd
1 a
a g
动荷系数
若忽略自重，则 Kd g
· 对线性系统
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。 7
加载速率的载荷。
· 实验表明： 在动载荷作用下，只要应力不超 过比例极限， 胡克定律仍成立，且弹性模量 与静载时相同。
2 动载荷问题分类
3
2 动载荷问题分类 1) 构件有加) 交变载荷。
4
§ 10. 2 动静法的应用
1 动静法 即为理论力学中介绍的达朗 伯原理。
1
2T 1
Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ, d Kd
st
22
引入记号:
Kd
d st
1
1 2T Qst
冲击动 荷系数
则: d Kd st , Pd KdQ,
· 几种d 常见情况下的冲击动荷系数 (1) 垂直冲击(自由落体) 这时，公 式中的T为:
· 动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
例如：
按静载求出某点的应力为 st 则动载下该点的应力为 d Kdst
按静载求出某点的挠度为 vst 则动载下该点的挠度为 vd Kdvst
· 强度条件 d Kdst []
8
· 强度条件
d Kdst []
3 匀角速度转动构件中的动应力分析
设圆环以均角速度转动， ω
qd
厚度 t 远小于直径D， 截
面积为A，比重为。 加上
惯性力系。
an
R 2
D2
2
qd
A
g
an
AD 2
2g
9
an
R2
D2
2
ω
qd
qd
A
g
an
AD
2g
2
· 取半圆，求内力 由以前的结论，有:
2Nd qd D
2 匀加速平动构件中的动应力分析
· 例子 设杆以匀加速度a 作平动， 截面积为A，比
bR
aR
重为。 加上惯性力系。
分布载荷中，包括自重
qd
l
和惯性力。
则：
qd A
A
g
a
A(1
a ) g5
分布载荷中，包括自重 和惯性力。
bR
aR
则：
qd
A
A a
g
A(1
a) g
qd
l
。 加速度为零时： qst A
14
§ 10. 4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题 撞击，打桩，铆接，突然 刹车等。 特点：冲击物在极短瞬间速度发生 剧变，被冲
击物在此瞬间受到很大冲击力的作用。 例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。 是重力的335倍。
2 求解冲击问题的基本假设 ① 不计冲击物的变形； ② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳1，5
在线弹性范围内，有:
Pd d d
Q st st
Pd
d st
Q
Ud
1 2
d2 st
Q
代入机械能守恒定律，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
21
代入机械能守恒定理，化简得:
2 d
2st d
2Tst Q
0
解此一元二次方程得:
d st 1
1
2T Qst
引入记号:
Kd
d st
则初位置的势能为:
V Qd 设达到
最大变形时， 弹簧所
受的动载荷为: Pd 则变
形能为:
Ud
1 2
Pd d
由: T V Ud 。 为求出d , 将Pd用Q表示
在线弹性范围内，有:
T Qd
1 2
Pd
d
Pd d d
Q st
st
20
1 T Qd 2 Pd d
。 为求出d , 将Pd用Q表示