扭转
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扭转
n W = Me ⋅ 2π ⋅ 60
P k
P k
8
2.扭矩 2.扭矩
截面法
T = Me
9
扭矩
截面法
T = Me
10
扭矩
截面法
11
扭矩
截面法
12
扭矩
扭矩正负规定
截面法
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) (+),反之为
13
扭矩图
扭矩图
(+)
(−)
14
例题1 一传动轴如图所示， 主动轮A输 例题 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮 输 入的功率为P 若不计轴承摩擦所耗的功率， 入的功率为 1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 若不计轴承摩擦所耗的功率 动轮输出的功率分别为P 动轮输出的功率分别为 2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW。试做扭矩图。 。试做扭矩图。 Me1 Me2 Me3 n Me4
6
§3-2、扭转时的内力 1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 电机每秒输入功： 外力偶作功完成： 外力偶作功完成：
W = P ×1000(N.m) k
(3) 扭矩图
22
23
二.切应力互等定理
24
25
三.剪切胡克定律
τ = Gγ
其中， 称为切变模量。常用单位GPa 其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
P k
P k
8
2.扭矩 2.扭矩
截面法
T = Me
9
扭矩
截面法
T = Me
10
扭矩
截面法
11
扭矩
截面法
12
扭矩
扭矩正负规定
截面法
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) (+),反之为
13
扭矩图
扭矩图
(+)
(−)
14
例题1 一传动轴如图所示， 主动轮A输 例题 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮 输 入的功率为P 若不计轴承摩擦所耗的功率， 入的功率为 1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 若不计轴承摩擦所耗的功率 动轮输出的功率分别为P 动轮输出的功率分别为 2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW。试做扭矩图。 。试做扭矩图。 Me1 Me2 Me3 n Me4
6
§3-2、扭转时的内力 1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 电机每秒输入功： 外力偶作功完成： 外力偶作功完成：
W = P ×1000(N.m) k
(3) 扭矩图
22
23
二.切应力互等定理
24
25
三.剪切胡克定律
τ = Gγ
其中， 称为切变模量。常用单位GPa 其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
工程力学C-第9章 扭转
T 1000 0.04 3 Wp (1 0.54 )
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
第四章：扭转
T Ip
——切应力公式
扭转
4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力
max 发生在横截面周边上各点处
max
T max TR T Ip Ip Ip R
max
取 I p /R = Wt —抗扭截面系数 最大切应力： max
max
O
T
T Wt
注意： 以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。
R γ l
剪切胡克定律：
当切应力不超过材料的剪切比例极 限，切应力与切应变成正比，即：
Gγ
G ——剪变模量
对各向同性材料，E, , G 之间关系： G
E 2(1 )
扭转
四、圆轴扭转时的应力 1、实验现象：
圆周线——形状、大小、
间距不变，各圆周线绕轴 线相对转动了一个角度。
横截面上的最大切应力
max
T 1000 6 Pa 41.7 10 Pa 41.7 MPa 6 Wt 24 10
扭转
例4-4 如图所示，圆轴 AB的 AC 段为空心，CB段为实 心。已知 D 3cm、 d 2cm ；圆轴传递的功率 P 7.5kW，转速 n 360 r/ min。试求 AC及CB段的 Me Me 最大与最小切应力。 解：（1）计算扭矩
许用切应力
u
n
max
u s u b
T
max
塑性材料 脆性材料
对等截面圆轴
Wt
圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：
（1）强度校核；（2）截面设计；（3）确定许用载荷。
扭转
例4-5 如图阶梯轴， d1 80mm、d 2 50mm；外力偶矩 M 2 3.2 kN m 、M 3 1.8kN m； M 1 5 kN m 、 材料的许用切应力[ ] 60 MPa 。试校核该轴强度。
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
第三章 扭 转
第三章 扭 转 1 扭转的力学模型①构件特征——构件为圆截面直杆。
②受力特征——外力偶矩的作用面与杆件轴线相垂直。
③变形特征——杆件各横截面绕杆轴作相对转动。
2圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩——扭矩 ①传动轴的速度、传递的功率与外力偶矩之间的关系为{}{}{}minr n KW P M mN e 9950=∙ ②扭矩——构件受扭时，横截面上的内力偶矩，以T 表示。
③扭矩的正负号规定——用右手螺旋法则，扭矩矢量的方向指向截面的为负，背离截面的为正。
④扭矩图——表示圆杆各截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。
3圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (1)横截面上的切应力①分布规律——一点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其方向与该点的半径相垂直。
②计算公式 ρτP I T =PP max W TR I T ==τ (2)极惯性矩与扭转截面系数， ①实心圆截面 432D I P π= ， 316D W P π=②空心圆截面 ()()444413232αππ-=-=D dDI P ，()44116απ-=D WP式中， Dd =α (3)圆轴扭转的强度条件 []ττ≤=Pmax W T(4)强度计算的三类问题①强度校核 []ττ≤=Pmax W T②截面设计 []τTW P ≥，由P W 计算D⑧许可荷载计算 []P e W M τ≤，由T 计算e M 4．圆轴扭转时的变形，刚度条件 (1)圆轴扭转时的变形小变形时，圆轴的二任意横截面之间仅产生相对的角位移，称为相对扭转角。
① 相对扭转角 ()rad GI TLP=ϕ ②单位长度扭转角 ()m rad GI Tdx d P'==ϕϕ 计算相对扭转角ϕ的公式，应在长度L 范围内，T ,G 和P I 均为常数，若其中任意参数T 或G 或P I 不为常数，则应分段计算ϕ，然后叠加。
2)圆轴扭转时的刚度条件 []()()m GI max T max 'P '0180ϕπϕ≤⨯=5．矩形截面杆扭转的主要结果 (1)横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力发生在矩形截面的长边中点处；即 3b Tmax βτ=式中，β为与比值h 有关的系数，可查文献1中表3—1获得。
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2zx =0
由 zx ( x, y)
x zy ( x, y ) y 0
2zy =0
zx ( x, y) ( zy ( x, y)) x y
根据多元函数全微分的定理，上式为一个函数（x，y）全微 分 存在的条件： 这是 zy dx zx dy 为全微分的条件，设： zy dx zx dy d ( x, y ) dx dy x y 于是得：
则应力函数在扭杆侧边应该为常数 :s =C1 由剪应力分量为的一阶偏导数，知当增加或减少一个常量 时对剪应力分量无影响。为简便起见，令应力函数的边界值取 为零，即沿截面周边的 对于单连域（实心杆）：可取 s = 0 对于复连域（空心杆）：可取一条边界线上 s为零，而其它 边界s为非零常数：s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3
第六章 柱体的自由扭转问题
除圆截面杆以外，柱体扭转变形时横截面将不再是保持 为平面，截面将发生翘曲，其对扭转变形与应力的影响不 可忽略，必须用弹力方法来得到满意的结果。 柱体扭转变形时截面发生翘曲，如果端面约束限制这种翘 曲，或者相邻截面翘曲不一致，引起对翘曲的约束，截面 之间就会产生轴向应力。不过大多数实际应用中这种约束 效应是不大的，为使问题简化可以忽略约束效应。
代入侧面边界条件 边界条件可写成: 方向导数
ds:
MT o -dx
dy ds
y
y
n
x
x
x Y为正 相应的： dx 为“负”
dy 为“正”
d dx dy ly mx dn x dn y dn
在横截面的周边上,扭转函数需满足的边界条件
2)端面约束条件： （次要边界）
在扭杆端面（如z = 0)法线的方向余弦 ： （l,m,n)=(0,0, -1) 杆端截面法线方向面力：
且在基本方程中不出现k。k的确定当然也应通过边界 条件来确定。 5、边界条件
1）考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界） 侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) 面力
MT o dx
X Y Z 0
-dy
y
X i n j ij X 0 l x m xy n zx 0
自由扭转：截面可以自由翘曲的扭转问题。
约束扭转：考虑对翘曲的约束效应的扭转问题。
经典弹性理论中的反平面问题：其平行平面的变形可以通过一个平面的
变形来表征，但不是面内变形而是离面变形（区别与平面问题）。
如柱体自由扭转，其垂直于柱体轴线的平面（横截面），发生 相同的翘曲，同时伴随着截面间绕轴线的相对的刚体转动。
kG ( x 2 y 2 x
x)m ds 0 y
y x )dA M z
结论 ：
由
——扭矩MT与k和(x,y)的关系。
用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数(x,y)和单位扭转角k。
2
= 0
在V上
在杆侧边上
l( y ) m( x) 0 x y
v cos xz
1、故可设位移分量：
u= -kyz , v= kxz ,
其中
K ；
w= k(x,y)
为待求未知量
(x,y)
2、求（工程）应变分量：
u= -kyz , v= kxz ,
xy
zx
u v 0 y x
w= k(x,y)
u x 0 x
或：
l( y ) m( x) 0 x y
边界条件用(x,y)的偏微分表示
dx dy 由于 l cos( n , x ) dn ds dy dx m cos(n , y ) dn ds 则: d dx dy l m dn x dn y dn x y
x( y ) x( x) dxdy A zx dA kG y y x x 利用格林公式
上式= kG x ( s
A
x
y )l (
y
而第三个方程为：
C 2Gk
2
边界条件
将应力函数代入杆侧边的边界条件
lzx+mzy = 0
dy dx dy dx m 而 l dn ds dn ds zy zx 代入边界条件，得 x y
dy dx 0 y ds x ds
zx
A
zy
dA 0
Hale Waihona Puke (Ay zy x)dA M z
可以证明当扭曲函数(x,y)在主要边界上力边界条件满足时，
A
zx
dA 0
和
A
zy
dA 0
自然满足
证明：
2 dA kG ( y ) dA kG ( y x )dA A zx A x x kG x( y ) x) dxdy x( y y x x
A
zx
dA XdA 0
1 ij ,ij 0 1
2
由于设x=y=z=0， = 0 则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个控制方程
2zx =0
和
2zy =0
按应力法求解基本方程为三个：
zx ( x, y) zy ( x, y ) 0 x y
2zx =0
2zy =0
d 0 ds
S2
再将(x,y)代入端面上的边界条件： 方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力： Z z 0 满足
S0 S1 y x
在x,y方向面力应用圣维南原理 , 应满足
A zx dA A y dxdy ( y dy)dx ( A B )dx 0
A
zx
dA XdA 0
A
A
zy
dA Y dA 0
A
o
MT
A
(Y x Xy )dA
(
A
zx
y zy x)dA M z
x
2 按应力函数(x,y)求解
按应力法求解基本方程为三个：
zx ( x, y ) zy ( x, y ) 0 x y
zy
( x, y ) x
zx
( x, y ) y
函数（x，y）称为扭转应力函数或普朗特（Prandtl）应力函数
由应力分量与应力函数的关系为
zx
( x, y ) y
zy
( x, y ) x
则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自然满足。 将上式代入应力法的其它两个基本方程，得
同圆杆扭转类似，设x=y=z=xy=0，仅存在zx(x,y)=xz
和zy(x,y)=yz两个应力分量，将应力分量代入应力法的基本方程
九个（三个平衡和六个相容方程）
三个平衡方程：
zx 0 z
zy z
0
和
zx zy 0 x y
前两个自然满足
无体力相容方程为：
( 2 ) 0 y y
2
2 ( ) ( 2 ) 0 x x
2 = C
泊松方程
基本方程用应力函数表示
确定常数C是什么？
由应力函数法和位移法可知
x = y = z = x y =0 ，
zx
zx
zy
( x, y ) Gk ( y) y x
n
Y 0 l xy m y n zy 0
满足
x
Z 0 l zx m zy n z l zx m zy
即:
lGk (
l zx m zy 0
y ) mGk ( x) 0 x y
在柱体的侧面边界上,τxz和τyz的法向投影之和等于 零⇒在截面的边界上,任一点处的总剪应力均应与边 界相切. (代入应力表达式)
应满足的边界条件： 1）侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)，
面力：
X Y Z 0
lzx+mzy = 0
z
MT
前两个方程满足，第三个力边界条件：
2）在端面： 方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力：
Z z 0
满足
在,x,y方向面力应用圣维南原理
2
Gk ( y) x
y x)
zx zy z 0 x y z
2
Gk (
2 y
2
)0
或：
= 0
基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由基本方程可见 (x,y)为一个调合函数。
扭曲函数(x,y)除了满足
2
= 0外还需要满足边界条件，
Gk ( x) y
zx
Gk ( y) x
所有物理量均由k和(x,y) 表示。
4、代入基本方程 按位移法求解，基本方程为：
平衡微分方程（三个），代入应力分后 前两个自然满足 而第三个方程为：
x=y=z=xy=0，
zx
zy Gk (
2 x
第一节 位移法求解 任意实体截面杆端部受扭矩作用 根据其变形特点可假设：
z
MT
1）截面发生转动但不发生 面内（xoy面）变形。 2）截面在与其垂直方向允许 自由翘曲。 为方便，可设z=0截面转动为零， 其余截面的转角与Z成正比。
任取一截面绕z轴转动，其上的 点产生的位移： u sin y v cos x 若引入杆单位长度的扭转角k 则 z