专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题(解析版)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题

一、基础知识点综述

动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.

实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.

要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.

存在性问题

主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.

解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.

解题核心知识点：

折叠性质；

①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；

勾股定理；

相似图形的性质、三角函数等.

★等腰三角形存在性问题

解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；

★直角三角形存在性问题

解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.

二、精品例题解析

题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题

例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB

上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.

【分析】分三种情况讨论：

①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，

设∠ONM =x °，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x =30°，进而利用三角函数求得ON 的长； ②当M ’N =ON 时，作出图形，得到∠ONM ’度数，利用三角函数求解；

③当M ’O =ON =OM

M 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

【答案】1或3.

【解析】解：由△ONM ’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：

①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，如图所示，

设∠ONM ’=x °，则∠OM ’M =∠OMM ’ =2x °,

∵∠AOB =90°，

∴x +2x =90，解得：x =30，

在Rt △NOM 中，ON =°=3tan 30

OM ； ②当M ’N =ON 时，如下图所示，

A

N

H

由①知：∠NOM ’=30°，

过M ’作M ’H ⊥OA 于H ，

∴HM

’=1OM'=22

, 在Rt △HNM ’中，NM ’=

°'=1cos30HM ， 即ON =1；

③当M ’O =ON =OM

此时M 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

故答案为：1或3.

例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点，设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，则∠B = .

【分析】由题意知，△CDF 是等腰三角形，则CD =CF ，

△BDE 是等腰三角形时，分三种情况讨论：

①当DE =BD 时，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =45；

②当BD =BE 时，作出图形，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =30；

N

H

N

③当BE=DE时，得∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

【答案】45°或30°.

【解析】解：

由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，

∴∠FDB=135°，

△BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：

①当DE=BD时，见下图，

设∠B=x°，

则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，

由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，

∴180－2x+90－x =135，解得：x=45，

即∠B=45°；

②当BD=BE时，如下图所示，

设∠B=x°，

则∠EDB=

°

180

2

x

-

，

由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，

∴180

2

x

-

+90－x =135，解得：x=30，

A

A

即∠B=30°；

③当BE=DE时，得∠B=∠EDB，

∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

故答案为：45°或30°.

题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题

例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．

【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E、F均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果.

【答案】3或6.

【解析】解：∵AD＝8，AB＝6，四边形ABCD为矩形，

∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，

根据勾股定理得：AC＝10．

由分析知，△EFC为直角三角形分下面两种情况：

①当∠EFC＝90°时，如下图所示，

由折叠性质知：∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，AF=AB=6,

∴A、F、C三点共线，

又AE平分∠BAC，

∴CF=AC－AF=4，

设BE=x，则EF=x，EC=8－x，

在Rt△EFC中，由勾股定理得：

()2

22

+=-，

x x

48

解得：x=3，即BE=3；

②当∠FEC＝90°时，如下图所示．

由题意知：∠FEC＝90°，∠FEB＝90°，

∴∠AEF＝∠BEA＝45°，

∴四边形ABEF为正方形，

∴BE＝AB＝6．

综上所述：BE的长为3或6．

故答案为：3或6．

例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△CEF为直角三角形时，AP的长为.

【分析】当△CEF为直角三角形时，通过分析知：∠FCE<90°，不可能为直角顶点，故分两种情况讨论：∠EFC=90°或∠FEC=90°，作出图形求解；

【答案】9

4

或1.

【解析】解：分以下两种情况讨论：（1）∠EFC=90°，如下图所示，

由折叠性质知：∠A=∠PFE=90°，AP=PF

所以点P 、F 、C 在一条直线上，

∵EF =ED =3，

∴Rt △CEF ≌Rt △CED ，

由勾股定理得：CE =5，

∴CD =CF =4，

设AP =x ，则PF =x ，PC =x +4，BP =4－x ，

在Rt △BCP 中，由勾股定理得：

()()222446x x +=-+，

解得：x =9

4，即AP =9

4；

（2）∠FEC =90°，如下图所示，

过F 作FH ⊥AD 于H ，过P 作PG ⊥FH 于G ，

易知∠EFH =∠ECD ， ∴FH DE

EF CE =, ∴3

35FH

=,

即FH =9

5, ∴EH =125,AH =PG =3

5，

由∠FPG =∠HFE ，

∴cos ∠FPG = cos ∠HFE ， 即PG

FH

PF EF =,

39

55

3PF =,

解得：PF =1；

故答案为：9

4

或1.

例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16, AD=10，sinA=3

5

, 点M为AB边上

一动点，过点M作MN⊥AB交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处. 当△CDE为直角三角形时，AM的长为.

【分析】分两种情况讨论：当∠CDE＝90°，根据折叠的性质及勾股定理求解；当∠DEC＝90°，过D 作DH⊥AB于H，根据相似三角形的性质：得到DH＝6，AH＝8，设EH＝x，根据勾股定理得到x＝8﹣

，x＝（舍去），得AE＝AH+HE＝16﹣，于是得到AM＝8．

【答案】4或8.

【解析】解：当△CDE为直角三角形时，

①当∠CDE＝90°，如下图所示，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴DE⊥AB，

由折叠知：MN⊥AB，AM＝EM，

∴MN∥DE，

∴AN＝DN＝1

2

AD＝5，

由sinA＝MN

AN

＝

3

5

，

∴MN＝3，AM＝4；

②当∠DEC＝90°，如下图所示，过D作DH⊥AB于H，

由题意知：∠HDC＝90°，

∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠HDE＝∠DCE，

∴△DHE∽△CED，

∴DE CD EH DE

，

∵sinA＝3

5

，AD＝10，∴DH＝6，AH＝8，

设EH＝x，

∴DE＝

由勾股定理得：DH2+HE2＝DE2，62+x2＝16x，

解得：x＝8﹣，x＝（不合题意舍去），

∴AE＝AH+HE＝16﹣，

∴AM＝8，

故答案为：4或8．

例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC＝．

【答案】15 16

.

【解析】解：当∠AEP＝90°时，

设PC＝x，在Rt△PDC中，sinC＝3

5

，cosC＝

4

5

，

所以PD ＝

35x ，CD ＝45

x ． 由折叠知：DE ＝CD ＝45

x ． ∴BE ＝BC ﹣CE ＝125x ． 在△ABE 和△EDP 中，∠B ＝∠PDE ，

∠BAE +∠AEB ＝90°，∠PED +∠AEB ＝90°，

∴∠BAE ＝∠PED ．

∴△ABE ∽△EPD ． ∴BE DP AB DE =，即123534

x =，解得x ＝1516． 故答案为:1516

． 例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，点D 为斜边AB 上一点，DE ⊥AB

交AC 于点E ，将△AED 沿DE 翻折，点A 的对应点为点F ．如果△EFC 是直角三角形，那么AD 的长为 ．

【分析】根据勾股定理得到AB ＝10，分三种情况讨论：∠CFE ＝90°，∠ECF ＝90°，∠CEF ＝90°时，得到结论． 【答案】75

或5. 【解析】解：在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，

由勾股定理得：AB ＝10，

（1）若∠CFE ＝90°，

在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，

∴∠1+∠2＝∠B+∠A＝90°，

由折叠知：∠A＝∠2，AE＝EF，

∴∠1＝∠B，

即CF＝BC＝6，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝EF2+CF2，CE2＝（8﹣CE）2+62，

∴CE＝25

4

，

∴AE＝7

4

，

由△ADE△△ACB，得：AE AD AB AC

∴AD＝7

5

；

（2）当∠ECF＝90°时，点F与B重合，AD＝5；（3）当∠CEF＝90°时，则EF∥BC，∠AFE＝∠B，∵∠A＝∠AFE，

∴∠A＝∠B，

∴AC＝BC（与题设矛盾），

∴这种情况不存在，

故答案为：7

5

或5．

例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF 的长为

【答案】2020 79

或.

【解析】解：（1）当∠AFG=90°时，如下图所示，

设CF＝y

可得：△AFG∽△ABC

∴AF GF AB BC

=

即5

34

y y -

=

解得：x＝20

7

；

（2）当∠AGF=90°时，如下图，

设CF＝x

在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5由折叠知：GF＝FC．

∵∠AGF＝∠ABC＝90°

∴GF∥EC

∴△AGF∽△ABC

∴AF GF AC BC

=

即5

54

x x -

=

解得：x＝20

9

；

故答案为：2020 79

或.