动点问题、存在性问题小结
(教学反思)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题
《二次函数综合（动点）问题——平行四边形存在性问题》
教学反思
本节课是在学习二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质及平行四边形性质的基础上来探究二次函数中动点问题与平行四边形模型的一节复习课；通过教学，让熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质；熟练掌握平行四边形的性质；并会对平行四边形模型进行探究，分类讨论不同的情况；在整个教学中，我首先在学生掌握二次函数
y=ax2+bx+c的图像和性质的基础上，先脱离二次函数，再回到二次函数的情景中研究；先从简单入手探究平面直角坐标系中动点情况下平行四边形的存在问题，然后回到二次函数前提下的平行四边形存在问题。
利用几何画板，充分运用数形结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。
在整个教学过程中培养了学生的处理图像综合运用的能力；让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。
菱形动点及存在性问题
菱形动点及存在性问题
背景
动点是指在几何形状中移动的点。
菱形是一种四边形，其中所有边长度相等且对角线相互垂直。
研究菱形动点的存在性和性质对于几何学来说是一个有趣且重要的问题。
菱形动点的定义
假设我们有一个固定的菱形，其顶点坐标分别为$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$, $(x_4, y_4)$。
菱形动点是指一个点$(x, y)$，其满足以下条件：
1. 点$(x, y)$在菱形内部；
2. 点$(x, y)$的运动轨迹是连续的。
存在性问题
对于给定的菱形，是否存在一个点满足动点的定义？这就是存
在性问题。
结论
对于任意菱形，存在一个满足动点定义的点。
证明概要
我们可以通过构造一个具体的动点来证明存在性。
考虑一个菱形的中心点$(x_c, y_c)$，即 $(x_c, y_c) =
\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4},
\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}\right)$。
由菱形的性质可知，这个中心
点一定在菱形内部。
因此，我们可以将中心点作为动点，这样就满足了动点的定义。
总结
菱形动点的存在性问题得到了肯定的回答。
对于任意给定的菱形，都存在满足定义的动点。
这个结论对于几何学研究和实际问题的解决具有重要意义。
动点问题知识点总结
动点问题知识点总结动点问题是数学中的一个重要概念，也被应用于物理学等其他领域。
在解决动点问题时，我们需要考虑物体在不同时间点的位置和速度，并通过数学方法来描述和预测物体的运动。
本文将介绍动点问题的一些基本知识点和解决方法。
1.位置和速度在动点问题中，物体的位置和速度是两个基本概念。
位置表示物体所处的空间位置，通常用一个坐标来表示，例如二维平面上的(x, y)坐标，或者三维空间中的(x, y, z)坐标。
速度则表示物体在单位时间内移动的距离，也可以用一个向量来表示，其中向量的方向表示物体的移动方向，而向量的大小表示物体的移动速度。
2.位移和速度的关系物体的位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的变化量。
位移可以通过物体的初始位置和最终位置之间的差计算得到。
而速度则是物体在单位时间内的位移变化量，也可以通过物体在单位时间内的位移除以时间得到。
因此，我们可以通过速度和时间来计算物体的位移，或者通过已知的位移和时间来计算物体的速度。
3.加速度加速度是描述物体在单位时间内速度变化的物理量。
加速度可以用一个向量来表示，其中向量的方向表示速度变化的方向，而向量的大小表示速度变化的大小。
加速度的单位通常是米每平方秒（m/s²）。
在动点问题中，加速度可以是常数，也可以是随时间变化的函数。
对于常数加速度的情况，我们可以通过加速度和时间来计算速度变化和位移变化。
4.运动方程运动方程是描述物体运动的数学方程。
对于匀速直线运动，物体的位移可以通过位移公式来计算：位移等于速度乘以时间。
对于匀加速直线运动，物体的位移可以通过运动方程来计算：位移等于初始速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
通过运动方程，我们可以根据已知的物体的初始条件和运动情况，来预测物体在未来某个时间点的位置和速度。
5.自由落体自由落体是指没有空气阻力的物体在重力作用下的运动。
在自由落体中，物体的加速度恒定为重力加速度，大小约为9.8米每平方秒。
初中数学动点问题总结
初中数学动点问题总结第一篇：初中数学动点问题总结初二动点问题1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6 即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于 E 则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm ∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE 即3t-（24-t）=4 解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答: 解：（1）∵AQ=3-t ∴CN=4-（3-t）=1+t 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42 ∴AC=5 在Rt△MNC中，cos∠NCM= =，CM=（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t 解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t）+1+t=（3+4+5）解得：t=（5分）而MN= NC=（1+t）．∴S△MNC=（1+t）2=（1+t）2×4×3 当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC 即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t 解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC=（1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 ∴[（1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2 解得：t1= ∴当t=，t=，t2=-1（舍去），t=时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=-1，x2=--1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=-1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t≤（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况）．：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得合题意，舍去）．综上所述，当形．或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角，t2=16（不点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．7.直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t （秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=-35t2+245t．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，-35t2+245t= 485 ∴t=4 ∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8-325= 85 ∴P（85，245）M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．第二篇：初中数学几何动点问题初中数学几何动点问题动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，从你初二的动点问题就不是很好这点来看，我认为你对动点问题缺乏技巧。
第二讲动点存在性问题
第一讲动点存在性问题一．考情分析二．知识回顾1、题型分类在中考中，存在性问题一般分为四类：1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）；3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等；4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。
2、方法归纳在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。
而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。
对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。
而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。
对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。
对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。
类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形） （A ）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）。
当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（C ）【典型例题2】如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图3），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图4），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（B ）【典型例题3】如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
二次函数中动点的存在性问题
专题复习：二次函数中动点的存在性问题通过探究、讨论、展示等学习活动，培养学生自信心，逐步消除学生对数学科的畏难情绪。
并在教学中培养学生同他人合作完成任务，以及及时反思、总结的良好学习习惯。
目标要求是：学生熟练掌握二次函数的概念、函数解析式、图象和性质。
以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，学生再次经历“建立函数模型表示变量之间的对应关系，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，掌握研究函数知识的一般方法，体会到蕴涵其中的数形结合、建模等数学思想方法。
教学策略选择与设计1、教师启发引导，学生实践操作；2、自主探究，合作交流学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围；3、问题串设计策略：运用有序的问题串有层次的灵活呈现问题，组织教学内容，提出有启发性的隐身问题，激发学生的学习兴趣，积极的参与到探究“分类策略”当中；4、鼓励、激励策略：积极肯定学生的学习成果，及时评价学生的课堂表现。
教学资源多媒体教学平台，几何画板，视频软件教学问题诊断分析1、函数的学习需要学生用运动变化的眼光，把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来认识、分析并解决问题，抽象性较强，这对学生而言有一定的难度。
教师引导学生在动点运动变化的过程中，抓住那些不变量、不变关系或特殊关系，恰恰就是解题的关键，分类的前提是抓住动态过程中的不变量和不变关系画出相应的图形。
2、通过“课前训练”以及探究、讨论、合作等学习活动，引导学生归纳出动点形成三角形和四边形的分类策略；重难点分析重点：综合运用函数知识解决实际问题，特别是二次函数中动点的存在性问题；难点：探究二次函数中动点形成三角形、四边形；教学环节与活动环节问题与设计设计意图课前演练1、如图，A、B、C 是格点，画出格点D，E 使得三角形ABD 是等腰三角形、四边形ABCE 是平行四边形.2、如图，点B 的坐标为（4，4），作BA⊥x 轴，BC⊥y 轴，垂足分别为A，C，点 D 为线段OA 的中点，点P 从点A 出发，在线段AB 、BC 上沿A→B→C 运动，当OP=CD 时，点P 的坐标为.学习活动：①学生先独立思考完成，再小组交流答案；②教师引导学生归纳出分类策略：动点形成的等腰三角形，可以按照顶角的不同进行分类，即三角形有三个角，每个角都有可能是顶角.动点形成的平行四边形的分类可以按照“线段地位的不确定性”来分，即不动的线段既可以做平行四边形的边，也可以做平行四边形的对角线.此部分考点：坐标与图形性质；分类讨论；题目的难度不是很大，但是学生往往因为审题不细致容易漏解或错解。
动点问题知识点总结
动点问题知识点总结一、动点问题概念动点问题是指在力学中考虑质点的运动情况。
质点是一个物理点，具有质量，但没有空间体积，所以可以看作质点沿某条轨迹运动。
动点问题是力学中的一个重要问题，研究质点在力的作用下的运动规律，可以帮助我们更好地理解物体的运动状态和动力学定律。
二、动点问题的基本概念1. 位移、速度和加速度：质点在运动过程中的位置变化称为位移，位移的大小和方向决定了物体的运动状态。
速度是描述质点运动状态的基本物理量，是位移对时间的比值。
而加速度是速度对时间的比值，它描述了速度的变化情况。
2. 牛顿运动定律：牛顿运动定律包括三个基本定律，分别是惯性定律、动量定律和作用与反作用定律。
这些定律描述了质点在受力作用下的运动规律，是研究动点问题的重要基础。
3. 弹性碰撞和非弹性碰撞：碰撞是研究质点运动的重要问题之一，弹性碰撞要求碰撞前后能量守恒且动量守恒，而非弹性碰撞不满足这两个条件。
三、动点问题的研究方法1. 采用牛顿第二定律：牛顿第二定律是研究质点在力作用下的运动规律的基本方法，根据牛顿第二定律可以得到质点在力作用下的运动方程。
2. 采用能量守恒定律：能量守恒定律是描述质点在力场中运动时，系统总能量守恒的原理，通过能量守恒定律可以求解质点的运动轨迹和速度。
3. 采用动量守恒定律：动量守恒定律是描述碰撞问题时常用的方法，通过动量守恒定律可以求解碰撞后质点的速度和运动方向。
四、动点问题的应用1. 机械运动：在机械运动中，常常需要研究质点在受力作用下的运动规律，如机械臂的运动、机械传动系统等。
2. 弹道学问题：在弹道学中，需要研究弹丸在飞行过程中的运动规律，如炮弹的射击、导弹的飞行等。
3. 天体运动：在天体物理学中，需要研究星球、卫星、流星等天体在引力作用下的运动规律。
五、动点问题的解决过程1. 建立运动方程：首先要根据物体所受的力或者速度等信息，建立质点的运动方程，包括位置、速度和加速度。
2. 求解运动方程：根据质点的运动方程，可以求解质点在不同时间的位置和速度，进而分析质点的运动状态。
动点问题解题总结
解题关键是动中求静
一．建立动点问题的函数解析式（特点：动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?）
1.应用勾股定理建立函数解析式
2.应用比例式子建立函数解析式
3.应用求图形面积的方法建立函数关系式
二.动态几何型压轴题（特点：问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性，如特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
）此类题型一般考察点动问题、线动问题、面动问题。
解题方法：1、特殊探路，一般推证。
2、动手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三.双动点问题。
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。
主要分一下四种。
1.以双动点为载体，探求函数图像问题
2.以双动点为载体，探求结论开放性问题
3.以双动点为载体，探求存在性问题
4.以双动点为载体，探求函数最值问题
四.函数中因动点产生的相似三角形问题
五. 以圆为载体的动点问题。
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动点问题和存在性问题小结训练
一、基础训练
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为X=﹣．下列结论中，
正确的是（）
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：
① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3.
其中正确的是( )
(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
3.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．
4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．
5.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
6.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
7.如图，在平面直c
bx
ax
y+
+
=2角坐标系中，抛物线c
bx
ax
y+
+
=2经过
A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值．
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、温故提升
1.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。
2.如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2
），求S 与t 的函数关系式；
（3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
3.如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于
C 点.
（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，
请说明理由.
4．如图, 已知抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；
(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的
面积最大时，求点D 的坐标；
(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐
标，若不存在，说明理由.
5.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C （1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标。
6.在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、
OB分别是关于x的方程x2-7x+12=0的两个根（OA＜OB）
（1）求直线AB的解析式；
（2）线段AB上一点C使得S△ACO：S△BCO=1：2，请求出点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点D，使得以点A、C、O、D为顶点的四
边形是梯形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由
7.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0
）、C（0，3）三点，对称轴与
抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．。