三年级知识点找简单数列的规律
三年级 数列规律 (附带完整答案)
第九讲 数列规律在 今天这节课中，我们将来研究数列问题．教师通过示例引导学生正确认识数列，并且帮助学生掌握研究数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力. 知识点 1、掌握一些常见的数列的规律.2、掌握一些特殊数列的规律，并能熟练应用规律解决问题.3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.分析：小王接着无法报了，因为观察小王和小李报出的所有数：172，84，40，118，7，可以发现，报数的规律是按前一数的一半减2后往下报的，但是7再往下报的话就不是整数了，所以小王接着无法再往下报了.日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： （1）自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)（2）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（3）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n 个数就称为第n 项．如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项是45．根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列．教学目标专题精讲想挑 战 吗？小王和小李玩数字游戏，小王说：“我先报数，你得按规律往下报，不许瞎报.”于是小王先报：“172.”小李说：“没看到规律，我报不出，你再报两个.”小王又报：“84，40.”小李说：“行了，我报18，7.” 你知道小王下一个该报几吗？（一）找数列中的规律【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)100，95，90，85，80，（），70(2)1，3，6，10，（），21，28，36，（）(3)1，3，9，27，（），243(4)1，8，27，64，125，（），343(5)2，1，3，4，7，（），18，29，47(6)1，2，6，24，120，（），5040分析：（1）100，95，90，85，80，（），70通过观察不难发现，从第2项开始，每一项都比它前面一项少5，也就是说每相邻两项所得的差都等于5.因此，括号中应填的数是75，即：80-5=75．像（1）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．（2）1，3，6，10，（），21，28，36，（）(方法1)先计算相邻两数的差，有：3-1=2, 6-3=3,10-6=4,……,28-21=7,36-28=8,……由此可以推知这些差一次为2、3、4、5、6……，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差按2、3、4、5、6……增加，括号里应填15，45，即10+5=15，36+9=45(方法2)继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确．(方法3)通过观察，这一列数还有如下的规律：第1项：1=1第2项：3=1＋2第3项：6=1+2+3第4项：10=1+2+3+4第5项：（）第6项：21=1+2+3+4+5+6……可以得到这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第5项为15，即：15=1+2+3+4+5；第9项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9．（3）1，3，9，27，（），243此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填 81，即81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3．像（3）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．通过观察可以发现： 1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3， 64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7 我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，所以，括号里应填6×6×6的积216．（5）2，1，3，4，7，（），18，29，47这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项地和，即：3=1+2，4=1+3，7=3+4，……，47=18+29，所以括号中的数应该是：4+7=11．（6）1，2，6，24，120，（），5040（方法一）这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6．（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1第2项2=1×2第3项6=1×2×3第4项24=1×2×3×4……所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720【例2】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)3，4，8，8，13，（），18，32，（），64(2)18，3，15，3，12，3，（），（）(3)1，1，1，3，5，9，17，（），（）(4)1，2，6，16，44，（），328分析：（1）3，4，8，8，13，（），18，32，（），64通过观察发现，前面的方法都不适用于这个数列，但是如果隔着看这个数列中的一些数是非常有规律的，如：3，8，13，18，而他们恰好是第一项、第三项、第五项、第七项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：奇数项：3，8，13，18，（）偶数项：4，8，（），32，64可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，第9项应为23（18+5＝23），第6项为16（8×2＝16）．如果隔着看，如果第一个数18减3就得到第二个数15，15减3就得到第五个数12，而第二、第四……个数始终是3，根据这一规律，括号中应填9和3像（1）（2）这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列．（3）1，1，1，3，5，9，17，（），（）可以发现， 3=1+1+1，5=1+1+3，9=1+3+5，从第四个数起，每一个数都等于前三个数的和，可知需填补的数字为： 5+9+17=31 ， 9+17+31=57本题考虑的是相邻四个数地直接关系，这一类题都是考虑后面一个数字与前面几个数字地共同关系，由于前面几个数字可以进行的运算方式有很多，所以这种题型的变化方式也很多．（4）1，2，6，16，44，（），328观察发现，6=2×（2+1），16=2×（2+6），44=2×（16+6），328＝2×（120+44），所以，应填120=2×（44+16）．【例3】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……(2)（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）(3)1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）分析：（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14，20，……．对于数列4，5，6，7，……，由观察得知，第2项等于第1项加上1，第3项等于第1项加上2，第4项等于第1项加上3，……，所以第5项等于第1项加上4，即4＋4＝8．同理，数列：2，8，14，20，……，第2项等于第1项加上1×6，第3项等于第1项加上2×6，第4项等于第1项加上3×6，……，所以第5项等于第1项加上4×6，即2＋4×6＝26．所以，括号里应填8+26．（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）观察这个数列中每一组中对应位置上的数字，可以得到如下规律：每组第一个是1、2、3、4、......这是一个自然数列，第二个是2、4、8、16......，这是一个等比数列第三个100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；所以，第5组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）．（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于前一个数列，是由1、2两个数字循环组成的，所以第八项应为2；对于第二个数列，是由3、2、1循环组成的，所以第八项的第二个数字应为2．所以，括号里应填2×2．【例4】建筑工人将一堆木头堆成如下图的形状，你知道如果按这样的方法堆木头，一共堆15层的话，第15层有多少根？分析：通过观察这堆木头可以发现，最上面的一层有1根木头，第二层有2根，第三层有3根，第四层有4根，……我们可以将这道题转化一下,有一组数：1，2，3，4，5，6，……问第十五层有多少根，也就是求这组数中第十五个数是什么，通过我们刚刚学过的我们知道，这是一个等差数列，第十五项为15，也就是第十五层有15根木头．[拓展]阿尔法喜欢收集小木棒，并将它们按右图的形状摆放在书桌上，最底下一层阿尔法摆放了27根小木棍，接着摆放了26根，以此类推，到最后阿尔法发现最上面一层只放了3根小木棒后就没有了，你知道阿尔法一共收集了多少根小木棒吗？分析：通过读题我们知道，阿尔法的这堆小木棒摆放有一定的规律：第一层：3，第二层：4，第三层：5，第四层：6，……，最后一层：27，通过观察可以得出，这一列数构成等差数列，问阿尔法一共有多少小木棒，也就是将每层小木棒的数目加起来的和，即：3+4+5+6+7+8+9+10+11+…+25+26+27＝（27+3）+（26+4）+……+（16+14）+15＝30×12+15＝375，所以，阿尔法一共收集了375根小木棒．【例5】有一列数：1，1989，1988，1，1987，…．从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差．那么第1989个数是多少？分析：为了找到规律，我们把这列数再往下写出一些：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，1，1982，…，这样我们就可以很容易的看出规律了，即每三个一组，第一个为1，后两个是从1989依次减1排下去；1989/3=663，共有663组，去掉每一组中的1，剩下663×2=1326个，从1989顺序递减，到最后一个应该是1989-1326+1=664．所以，第1989个数是664．（二）特殊数列中的规律：【例6】仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．（1）62493758412816（2）282113589914分析：（1）观察数表中的数，发现每一列中：37-16=21，49-28=21，62-41=21，即第二行的数字比第一行对应位的数字都大21 ，所以空缺处应填79（58+21=79）．（2）观察后两行发现，5+9=14，8+13=21，即第一列的数字是同行中后两列的数之和，所以空缺处应填19（28-9=19）．【例7】 下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（1）3637830375956？（2）2020101816825( )( )分析：（1）通过观察前两个图形中的数，可以发现：30=（5+7+3）×2，36=（8+3+7）×2，所以空缺的数字应为：（5+6+9）×2=40．（2）观察前两个圆圈，可以发现如下关系：20-10＝10，10×2＝20；18-10＝8，8×2＝16． 所以第三个圆圈中最下面的括号中应填15（25-10＝15），右边的括号应填30（15×2＝30）．[拓展]图中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数a 和b ．分析：图中5个圆、10个数字，其中5个数字是只属于某一个圆本身的，5个数字是每两个圆相重叠的公共区域的，观察发现：10+20＝15×2，20+40＝30×2，也就是说两圆重叠部分的公共区域的数字2倍，正好等于两圆独有数字之和，所以，a=2×17-10=24，b=（16+40）÷2=28．最后验算一下：20×2-16=24，符合．[趣味数学]先仔细看看右图的方阵，你会发现方阵中每一个方格有4个数字，可是中间的方格少了一个数字，你能找出规律，并在“？”处填上适当的数吗？分析：方格中上2个数是1个三位数，下2个数是1个两位数，以右上方的方格为例，上面是357，下面是51，两数相除的商为7，各格上下两数相除的商都是7，这就是我们要找的规律，根据这一规律，“？”处应填4.【例8】 先观察下面各算式，再按规律填数．（1） 1×9+2=11 （2） 21×9=18912×9+3=111 321×9=2889 123×9+4=1111 4321×9=38889 12345×9+6=_________ 54321×9=（ ） 1234567×9+____=___________ 654321×9=（ ）44 16 319 62 830 8 4 ？35 75 111 21 6分析：（1）在这一组算式中，得数都是由若干个“1”组成的．1的个数恰好是后面的加数．如1×9+2，后面的加数是2，结果中也就有2个1．根据这一规律，12345×9+6的结果是由6个1组成，即111111．最后一个算式应当是1234567×9+8=11111111．（2）通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前面是21、321、4321，乘号后面都是9，相乘的答案的最高位分别是1、2、3，而位数分别是三位数、四位数、五位数．由此可得：54321×9的最高位是4，位数是5+1＝6，个位上都是9，其余各位都是8；654321×9的最高位是5，个位是9，其余各位都是8，位数是6+1＝7．所以，54321×9=488889， 654321×9=5888889．（三） 数阵中数列的规律【例9】 用数字摆成右面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：(1) 这个三角阵的排列有何规律？(2) 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行． (3) 推断第10行的各数之和是多少？ 分析：（1）首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3．（2）根据由（1）得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1．（3）要求第10行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数． 第一行 1＝1第二行 1+1＝21第三行 1+2+1＝22第四行 1+3+3+1＝23第五行 1+4+6+4+1＝24第六行 1+5+10+10+5+1＝25其中，n2表示ｎ个2相乘，即n 2222⨯⨯⨯个 ，ｎ为自然数通过观察可以看出，每一行中n2中的ｎ都等于行数减去1，至此，我们可以推断，第10行各数之和为29=512.[小知识]本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用.杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和. 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页. 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图.[巩固]右图是按一定的规律排列的数学三角形，请问第10行第三个数是多少？分析：仔细观察左起第一个数的变化规律：第一行第一个数：1，第二行第一个数：1+1，第三行第一个数：1+1+2，第四行第一个数：1+1+2+3，……，所以第十行左起第一个数是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝46，这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），所以，第10行第三个数是48．【例10】自然数如右表的规律排列(1)求上起第10行，左起第7个数．(2)87在上起第几行，左起第几列？分析：（1）注意观察这个数表第一列数的排列规律，这些数是：1，4，9，16，25，…，这些数有一个共同特点，它们是每一行序数自己与自己相乘的积，所以，第10行左起第一个数是：10×10＝100，而且从第三行开始，每一行的前几个数字都依次递减，所以第10行左起第7个数是：100-6＝94.（2）注意数阵中几个数的变化规律是按从上到下拐弯向左的方向依次增加1，因为87＝9×9+6，，所以，87在第6行左起第1个数后面9个，也就是第6行左起第10个．[拓展一]按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？分析：（方法1）把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数.有：（1500-9）÷8＝186……3，所以，1500位于第188组的第3个数，即1500位于第④列．（方法2）考虑除以8所得的余数.第①列除以8余1，第②列除以8余2或是8的倍数，第③列除以8余3或7，第④列除以8余4或6，第⑤列除以8余5；而1500÷8=187……4，则1500位于第④列.当数到2007时，它在哪一列呢？（方法1）（2007—9）÷8＝249……6，2007位于第251组的第6个数，2007位于第③列.（方法2）2007÷8=250……7，则2007位于第③列，[拓展二]毕达哥拉斯是个大数学家，有一次他正要出门拜访朋友，发现一个仆人不干活，躲在门外玩，于是，毕达哥拉斯命令这个仆人：“你看对面神庙共有七根柱子，现在你从左到右开始数，然后返回来接着数，我回来的时候你要告诉我第5000根柱子是哪一根！”这个仆人很聪明，他用不到一分钟的时间就得到了答案，你能做到吗？分析：转化为数学模型如下：A B C D E F G12345671312111098141516171819 (20)考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，除去1，每组12个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、F、G、F、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察5000是第几组中的第几个数就可以了，因为5000是除去1后的第4999个数，4999÷13＝384…7，即5000是第385组中的第7个数，所以，第5000根柱子位于F位置，是从左到右的第6根．[小结]学找数阵中的规律，应当像寻找数列中的规律一样，应注意几点1.仔细观察数阵中的所有数．2.注意观察相邻两个数之间的变化规律和同上一行地数的共同点．3.有些数阵不容易一下子找到或找对规律，要仔细观察，再做思考．4.找到规律后，多次举例进行验证．专题展望在本讲学习中，我们学习了数列的规律以及数阵中数列的规律问题，在以后的学习中我们将继续学习此类问题．练习三1.（例1）根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：(1)3，6，9，12，( )，18，21(2)2，3，5，8，13，（），34，……(3)60，63，68，75，( )，95(4)6，1，8，3，10，5，12，7，( )，( )(5)0，1，1，2，3，5，8，( )，21(6)2，6，12，20，（），42，……分析：（1）数列中后一项比前一项大3，为等差数列，括号中填15（2）从第三项开始每一项都等于前面两项的和，8+13=21（3）数列中相邻两项的差依次增加2，所以括号里应填84（75+9＝84）（4）观察可以发现这个数列是双重数列，奇数项为：6、8、10、12、…偶数项为：1、3、5、7…都是等差数列，所以括号中应分别填14（12+2＝14）和9（7+2＝9）（5）从第三项开始，每一项都等于前面两项的和，所以括号里应填13（5+8＝13）（6）观察数列可以得到：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，42=6×7，所以括号中的数为：5×6=302. （例2）下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项： (1) 1，5，11，19，29，________，55； (2) 1，2，6，16，44，________，328．分析：（1）观察发现，后项减前项的差为：4、6、8、10、......所以，应填41（=29+12），41+14=55符合．（2）观察发现，6=2×（2+1），16=2×（2+6），44=2×（16+6），所以，应填120=2×（44+16），2×（120+44）=328符合．3. （例5）1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？分析：观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，即1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；……每一组的第一个数为从1开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数，每组的第一个数都是这个组的组数；因为101÷3=33......2，说明第101个是第33+1=34组中的第二个数，那么应该是34+1=35；从101到110共有110-101+1=10个数，那么这10个数分别是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．4. （例7）下图所示的图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：？6432874215532分析：通过观察前两个图形中的数，可以发现：15=（3×5×2）÷2，28=（2×4×7）÷2，也就是中间的数等于三个角上的数乘积的一半，所以，“？”中应填的数为：（3×4×6）÷2=36．5. （例10）下图所示的图表中的数字都有自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：分析：观察表格中的数，第一行的数字已经全部给出，而剩下的几行都是求最后一个数字，就要考虑每一行中最后一个数字与前面数字的关系，由第一行数字规律可知，15=1+2+3+4+5 ，由此可得第二、三、四、五行最后一个数；同样方法观察竖行．所以横行依次为60，65，70，75，325，竖行依次为40， 65， 90， 115， 325成长故事狼怕圆圈小狐狸和小狼王分兔子时，由于小狐狸耍小聪明占了便宜，因此小狼王一直跟在后面追小狐狸.小狐狸飞快地往东跑，由于天黑看不清楚，只听得“咚”的一声，和一个从对面跑来的动物撞到了一起.“噔噔噔”，小狐狸一连倒退了3步，一屁股坐在了地上.小狐狸刚要发火，定睛一看，啊，是小狼王!小狐狸发现小狼王双眼通红，还发出逼人的凶光，不禁全身哆嗦了一下.它立刻用手一抹脸，现出了满脸的笑容，往前走了一小步问：“狼大哥，吃了几只兔子呀?这里的兔子肉还香吧?”小狼王大吼了一声说：“东边明明没有兔子，你却骗我说有65只兔子!看我不打死你!”小狐狸向后退了一步，双手乱摆说：“没有的事!我算得一点错也没有!”“叫你嘴硬!”小狼王说完就扑了上去，小狐狸扭头就跑.它突然看到路边有9个圆圈.小狼王看见圆圈也立刻停住了脚，它吃惊地说：“啊，9个绳套!”小狼王低头仔细一看，怎么回事，其中7个绳套里还有数字?这时耳边响起了一种浑厚有力的声音：“谁能把空圆圈中的数字填对，你想要干什么就会有什么!”小狼王说：“我来填左边的圈.1、3、7下一个该是几呢?是9.这些都是单数呀!”小狼王在圈里填上一个9，跳进圈里高兴地叫道：“我想吃兔子!”话音刚落，圆圈立刻变成了绳套，一下子套住了小狼王的脚，绳套往上一提，就把小狼王倒挂在树上了.小狐狸笑嘻嘻地说：“傻狼!这几个数的规律是：3=1×2+1，7=3×2+1，15=7×2+1，31=15 ×2+1，63=31×2+1，127=63×2+1.右边这个圈里填上127才没错!”小狐狸填上了127，又跳进圈里说：“我想吃山鸡!”“唿”的一声，一条绳子把小狐狸也倒挂在树上.原来这9个绳套是猴子、小熊、老山羊用来教训它们两个坏蛋的.https:///?userid=1787958560 1。
小学三年级奥数-找规律-知识点与习题
第5讲找规律(一)这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如，(1) 1，2，3，4，5，6，…(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，…(4) 1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。
如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。
一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。
许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。
数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。
数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a 3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a 6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
例如数列(1)(2)。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。
例1找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)4，7，10，13，( )，…(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，…(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，…(6)2，6，12，20，( )，( )，…解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项+3=后项。
所以应填16。
(2)的规律是：前项-12=后项。
简单的数列和规律
简单的数列和规律在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
数列的规律往往可以用递推公式表示，并且数列中的每个数字都是根据前面的数字计算得出的。
本文将介绍数列的基本概念、常见类型以及一些常见的数列规律。
一、数列的概念数列是指由一系列按照特定规律排列的数字所构成的序列。
数列中的每个数字称为数列的项，通常用字母a、b、c等表示。
数列的第一项记作a₁，第二项记作a₂，依此类推。
数列中的项按顺序排列，可以是无限个，也可以只有有限个。
二、数列的分类根据数列的性质和规律的不同，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等几种常见类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
差值常被称为公差，用字母d表示。
例如，一个等差数列的第一项是a₁，公差是d，则这个数列的递推公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d，其中n表示数列中的第n项。
等差数列的求和公式是一个常用的数学公式，可以用来快速计算等差数列的和。
对于首项为a₁，末项为aₙ，项数为n的等差数列，它的和可以表示为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。
2. 等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比都相等的数列。
相邻项之间的比常被称为公比，用字母q表示。
例如，一个等比数列的第一项是a₁，公比是q，则这个数列的递推公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n - 1)，其中n表示数列中的第n项。
等比数列的求和公式也是一个常用的数学公式，可以用来求解等比数列的和。
对于首项为a₁，公比为q，末项为aₙ，前n项的和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项都是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
也就是说，斐波那契数列的递推公式可以表示为：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的生长规律、兔子繁殖等。
小学数列找规律总结
数列找规律总结
1、顺等差数列，前一个数减去后一个数的差相等。
例如：1,3,5,7,9,…
逆等差数列，后一个数减去前一个数的差相等。
例如：10,8,6,4, 2…;
2、顺等比数列，即前一个数除以后一个数的商相等。
例如：2,4,8,16,32…;
逆等比数列，即后一个数除以前一个数的商相等。
例如：1024,512,256,128,…;
3、兔子数列，即单数序号的数字与双数序号的数分别形成规律。
例如8，15，10，13，12，11,(14),(9)这里8,10,12,14成规律，15,13,12,11,9成规律；
4、质数数列规律
例如：2,3,5,7,11,(13),(17)....这些数学都为质数；
5、“平方数列”、“立方数列”等，
例如：平方数列：1、4、9、16、27、64、125、…
立方数列：
例如：1、8、27、64、81、256、625、…
6、相邻数字差呈现规律。
数字之间差呈现等差数列，
例如：1、3、7、13、21、31、43、…
数字之间差呈现等比数列，
例如：1、3、7、15、31、63、…
7、多个数字间呈现规律，（本题考查较少）
裴波那契数列，即任意连续两个数字之和等于第三个数字，
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…
任意连续三个数字之和等于第四个数字，
例如：1、1、1、3、5、9、17、31、57、105、…。
认识简单的数列和等差数列了解数列中的规律和特征
认识简单的数列和等差数列了解数列中的规律和特征数列是数学中非常重要的概念，它在各个方面都有着广泛的应用。
其中，简单的数列和等差数列是我们在学习数列时首先要认识和了解的内容。
本文将详细介绍什么是数列，简单的数列和等差数列的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、数列的概念和表示方式数列是按照一定规则排列的一系列数的集合。
数列中的每个数叫做该数列的项，通常用字母a₁, a₂, a₃, ... 表示。
例如，下面是一个数列的例子：3, 5, 7, 9, 11, ...在这个数列中，每个项都比前一个项大2。
数列的表示方式可以使用列表或者通项公式。
列表表示法将数列的每个项依次列出，通项公式则给出了数列的每一项的表达式。
二、简单的数列简单的数列是数列中最基本也是最常见的形式。
它们的规律往往比较简单明了，易于理解。
简单的数列可以分为等差数列和等比数列两种形式。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
等差数列的通项公式可以写为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ代表第n个项，a₁代表第一个项，d代表公差，n代表项的序号。
比如，数列2, 5, 8, 11, 14, ... 就是一个等差数列，其中的公差为3。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
等比数列的通项公式可以写为：aₙ = a₁ * r^(n - 1)其中，aₙ代表第n个项，a₁代表第一个项，r代表公比，n代表项的序号。
比如，数列2, 6, 18, 54, ... 就是一个等比数列，其中的公比为3。
三、等差数列的规律和特征等差数列在数学中有着重要的地位，它们具有以下的规律和特征：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值为常数，称为公差。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以根据首项和公差求得。
3. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来计算：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)4. 性质：等差数列的性质包括数列中每一项是前一项加上公差得到的，以及数列中共有n项。
三年级数列规律
数列规律知识框架一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
二、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！例题精讲一、 简单数列规律【例 1】 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.① 2，5，8，11，（），17，20 ② 19，17，15，13，（），9，7 ③ 1，3，9，27，（），243 ④ 64，32，16，8，（），2【考点】简单数列规律【难度】2星【题型】填空【解析】①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
理解简单的数列及数列的规律
理解简单的数列及数列的规律数列在数学中是一种常见的数学概念，它是按照一定的规律排列的一组数的集合。
理解简单的数列及数列的规律对于学习数学和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将介绍数列的概念、分类以及数列的规律，并通过一些例子来帮助读者更好地理解。
一、数列的概念和分类数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项。
数列的项可以用通项公式表示。
数列常用的表示方法有：1. 通项公式：用公式表示数列的通项。
2. 递推公式：用每一项与前一项之间的关系来表示数列。
3. 列表形式：按照一定的顺序将数列的每一项列出来。
根据数列的性质和规律，数列可以分为以下几种：1. 等差数列：数列中每一项与前一项之差为常数。
2. 等比数列：数列中每一项与前一项之比为常数。
3. 斐波那契数列：数列中的每一项（从第三项开始）都等于前两项的和。
4. 平方数列：数列中的每一项都是某个整数的平方。
5. 阶乘数列：数列中的每一项都是某个整数的阶乘。
二、等差数列的规律和应用等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之差都是常数。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n−1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
等差数列的性质和规律有：1. 公差：等差数列中每个相邻项之间的差值称为公差。
公差可以为正数、负数或零。
2. 数列求和公式：等差数列的前n项和为Sn = n/2(a1 + an)。
3. 应用场景：等差数列的规律常常出现在日常生活和工程实践中，如金字塔的层数、等差数列的求和等问题。
三、等比数列的规律和应用等比数列是数列中相邻项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n−1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
等比数列的性质和规律有：1. 公比：等比数列中每个相邻项之间的比值称为公比。
公比可以为正数、负数或零。
2. 数列求和公式：等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1−r^n))/(1−r)。
小学规律知识点总结
小学规律知识点总结一、数学规律1. 数列规律数列是按照一定的规则排列在一起的一组数。
常见的数列规律包括等差数列和等比数列。
等差数列：指数列中相邻的两项之间差相同，这个差称为公差。
等比数列：指数列中相邻的两项之间比相同，这个比称为公比。
2. 奇偶规律奇数是指能够被2整除余1的整数，偶数是指能够被2整除的整数。
奇数和偶数交替出现，可以发现规律：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。
3. 乘法表规律乘法表是一种按照固定规则排列的数字表格，其中的数字遵循着乘法规律。
比如，2的乘法表：2x1=2,2x2=4,2x3=6……可以看出，每一行的数都是2的倍数。
4. 时钟规律时钟有12个小时，每小时有60分钟，每分钟有60秒。
时钟上相邻的两个数字之间相差5分钟。
5. 数字递增规律在数轴上，从左到右递增的数列是按照一定的规律逐渐增大的。
比如，1、2、3、4……；10、20、30、40……二、语言规律1. 字母表规律26个英文字母按照从A到Z的顺序排列，每个字母都有它所对应的顺序号。
2. 单词拼写规律英语单词的拼写包括元音字母和辅音字母的组合，常见的规律有辅音字母后接元音字母、辅音字母的双写规律等。
3. 词语组合规律一些词语可以组成固定的词组、短语或习惯搭配，一起使用时有固定的语法规律。
4. 句子结构规律句子是由主谓宾等成分组成的，一般来说遵循着一定的语法规则。
5. 诗歌节律规律韵律是诗歌的重要特征之一，不同的诗歌有不同的韵律规律，比如四行诗的韵律通常是AABB。
小学规律知识点总结到这里，希望这些知识能够帮助你更好地理解和掌握规律。
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三年级知识点：找简单数列的规律找简单数列的规律日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
例1 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（），17，20。
②19，17，15，13，（），9，7。
③1，3，9，27，（），243。
④64，32，16，8，（），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34...⑥1，3，4，7，11，18，（），47 (1)3，6，10，（），21，28，36，（）. ⑧1，2，6，24，120，（），5040。
⑨1，1，3，7，13，（），31。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）. (14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析与解答①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。
不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.③1，3，9，27，（），243。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括号中应填81，即81= 27×3，代入后，243也符合规律，即243＝81×3。
④64，32，16，8，（），2 与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：因此，括号中填4，代入后符合规律。
综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。
⑤ 1，1，2，3，5，8，（），21，34…首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。
这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。
⑥1，3，4，7，11，18，（），47…在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即29=11＋18。
数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。
⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。
方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第9项为45，即45＝36＋9.代入验算，正确。
方法2：其实，这一列数有如下的规律：第1项：1=1 第2项：3=1＋2 第3项：6=1+2+3 第4项：10=1+2+3+4 第5项：（）第6项：21=1+2+3+4+5+6 第7项：28=1+2+3+4+5+6+7 第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8 第9项：（）即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1，2，6，24，120，（），5040。
方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即720=120×6。
方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：第1项1=1 第2项2=1×2第3项6=1×2×3第4项24=1×2×3×4第5项120=1×2×3×4×5第6项（）第7项5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720⑨1，1，3，7，13，（），31 与⑦类似：可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+2×（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
因此，括号中的数应填为63。
小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：①寻找各项与项数间的关系；②考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。
事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。
在⑩题中，1=2-1 3=22-1 7=23-1 15=24-1 31=25-1 127=27-1 255=28-1 所以，括号中为26-1即63。
（11）1，4，9，16，25，（），49，64. 1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。
本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
仔细观察，发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11)，因此，本数列的规律是项=项数×项数-1.所以，括号中填35，即35= 6×6-1。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。
前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：奇数项：1，2，3，4，5 偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。
(14) 2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。
同上考虑，把数列分为奇、偶项：偶数项：2，4，6，8，10 奇数项：1，3，9，27，（）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。
像(13)(14)这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。
例2 下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第100个数组中的第1个数为100；这些数组的第2个分量3，6，9…也构成等差数列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。
方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。
第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18 第3组：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。
例3 按下图分割三角形，即：①把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C））…继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40…请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数. 分析与解答：第4次分割后的图形如左图：因此，数列的第5项为121。
这个数列的规律如下：第1项1 第2项4=1+3 第3项13=4+3×3第4项40=13+3×3×3第5项121=40+3×3×3×3或者写为：第1项1=1 第2项4=1+31 第3项13=1＋3＋32 第4项40=1＋3＋32＋33 第5项121=1＋3＋32+33＋34 因此，第10项也即第9次分割后得到的不重叠的三角形的个数是29524。