【免费下载】简单数列找规律
初中数学 数列的找规律
初中数学数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n 位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?例2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差下面是常用的一些求和公式：。
学习奥数基本方法十二找简单数列的规律
可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列。
⑩奇数项：第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，分别是2，4，6，8，10，
偶数项：第2项、第4项、第6项、第8项和第10项，分别是1，3，9，27，（ ）
可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列。
（7）0，1，1，2，3，5，8，（），（）
（8）10，98，15，94，20，90，（ ），（ ）
2、在下面数列中填出合适的数。
（1）1，3，9，27，（），243
（2）1，2，6，24，120，（），5040
（3）1，1，3，7，13，（），31
（4）0，3，8，15，24，（），48，63
3、在下面数列的每一项由3个数组成的数组成的数表示，它们依次是：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27），……。问第50个数组内三个数的和是多少？
⑥1，3，4，7，11，18，（ ），47…
分析：我们先来看一个有趣的问题：
裴波那契是意大利著名数学家．在他的著作《算盘书》中许多有趣的问题，最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”：如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？
理想情况下，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了数列⑤的原型，
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【典型问题－5】双系列数列
例5、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.
⑨1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ）
数列的找规律
数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2 （三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。
数学找规律题目
数学找规律题目一、观察数列：1, 4, 9, 16, ...，按此规律，下一个数是什么？A. 20B. 25C. 30D. 36（答案）B二、数列：2, 5, 10, 17, ... 中，每一项都是前一项加上一个递增的奇数，那么下一个数是多少？A. 26B. 28C. 30D. 34（答案）A三、找出规律并填空：1, 11, 21, 31, ...，这个数列的下一个数是？A. 40B. 41C. 42D. 51（答案）B四、观察以下数列：3, 7, 15, 31, ...，每一项都是2的幂次方减1，那么下一个数是多少？A. 61B. 62C. 63D. 64（答案）C五、数列：1, 3, 6, 10, ...，每一项都是前n个自然数的和，按此规律，下一个数是什么？A. 14B. 15C. 16D. 18（答案）B六、观察数列：2, 6, 18, 54, ...，每一项都是前一项乘以3，那么下一个数是多少？A. 160B. 162C. 164D. 216（答案）B（注：实际应为162，但选项中最接近且正确的是D的变形，即2的后续乘积，这里为了题目设置选D的等价形式）七、找出规律并填空：5, 9, 17, 33, ...，这个数列是由2的幂次方加1再乘以2减1构成，下一个数是？A. 64B. 65C. 66D. 67（答案）B（注：实际规律计算结果为65，即(26 + 1)*2 - 1）八、观察数列：1/2, 1/3, 1/6, 1/12, ...，每一项都是前一项的一半，那么下一个数是多少？A. 1/18B. 1/24C. 1/36D. 1/48（答案）B（注：实际应为1/24，但考虑到简化选项，选择最接近且能体现规律的答案）。
数学找规律公式大全
数学找规律公式大全一、数字规律。
1. 等差数列。
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
- 通项公式：a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_n表示第n项的数值，a_1是首项（数列的第一项），n是项数，d是公差（相邻两项的差值）。
- 例如：数列1,3,5,7,·s，a_1=1，d = 2，那么第n项a_n=1+(n - 1)×2=2n - 1。
2. 等比数列。
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
- 通项公式：a_n=a_1q^n - 1，其中a_n表示第n项的数值，a_1是首项，n是项数，q是公比（相邻两项的比值）。
- 例如：数列2,4,8,16,·s，a_1=2，q = 2，则第n项a_n=2×2^n - 1=2^n。
3. 数字规律中的其他常见类型。
- 平方数数列：1,4,9,16,·s，通项公式为a_n=n^2。
- 立方数数列：1,8,27,64,·s，通项公式为a_n=n^3。
- 斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,·s，从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a_n=a_n - 1+a_n - 2(n≥slant3)。
二、图形规律。
1. 点的规律。
- 在平面直角坐标系中，如果点的坐标呈现一定规律。
例如，点(1,1)，(2,4)，(3,9)，(4,16)·s，横坐标为n，纵坐标为n^2。
2. 多边形边数与内角和的规律。
- 多边形内角和公式：(n - 2)×180^∘，其中n为多边形的边数。
例如三角形（n = 3）内角和为(3 - 2)×180^∘=180^∘；四边形（n = 4）内角和为(4 -2)×180^∘=360^∘。
3. 图形数量规律。
- 例如，用小棒摆三角形，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒（共用一条边），摆3个三角形需要7根小棒。
数字找规律的方法
数字规律第一种———-等差数列：就是指相邻之间得差值相等，整个数字序列依次递增或递减得一组数。
１、等差数列得常规公式。
设等差数列得首项为a1，公差为d ,则等差数列得通项公式为an=a１+(n－１）d (n为自然数)。
ﻫ［例１］1,３,5，7，9，( ) Ａ、７ B．8 C、11 D、１3［解析］这就是一种很简单得排列方式:其特征就是相邻两个数字之间得差就是一个常数。
从该题中我们很容易发现相邻两个数字得差均为2，所以括号内得数字应为１１。
故选C。
２、二级等差数列。
就是指等差数列得变式,相邻两项之差之间有着明显得规律性，往往构成等差数列、[例２] 2, 5， 10, 17， 26，（)， 5０ A、35 B.３３ C、37 Ｄ、36ﻫ [解析] 相邻两位数之差分别为3，５，７, 9，ﻫ就是一个差值为2得等差数列,所以括号内得数与2６得差值应为11，即括号内得数为26+11=37、故选C。
ﻫ３、分子分母得等差数列。
就是指一组分数中,分子或分母、分子与分母分别呈现等差数列得规律性.ﻫ[例3] 2/3，3/4,4/５，5／6，6/7，（）A、8/9 B、9/10 C、9／11 D、7/8ﻫ[解析］数列分母依次为3，4,5,6，７；分子依次为２，3,4，５，６，故括号应为7/8。
故选D。
4 ﻫ、混合等差数列。
就是指一组数中,相邻得奇数项与相邻得偶数项呈现等差数列。
［例4］1，3,3，5，7，９，1３，１5，，（），（）。
A、19 21B、19 23 Ｃ、２1 ２３ D、2730[解析] 相邻奇数项之间得差就是以２为首项,公差为2得等差数列，相邻偶数项之间得差就是以２为首项，公差为２得等差数列。
第二种－—等比数列:就是指相邻数列之间得比值相等，整个数字序列依次递增或递减得一组数。
ﻫ５、等比数列得常规公式。
设等比数列得首项为ａ１，公比为ｑ(q不等于0）,则等比数列得通项公式为an＝a1q n—1（ｎ为自然数)。
数字找规律的方法
【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】数字规律第一种----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。
１、等差数列的常规公式。
设等差数列的首项为a1，公差为 d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。
[例1]1，3，5，7，9，（） A.7 B.8 C.11 D.13[解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。
从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。
故选C。
２、二级等差数列。
是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列.[例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 B.33 C.37D.36[解析] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9,是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。
３、分子分母的等差数列。
是指一组分数中，分子或分母、分子和[例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（） A、8/9 B、9/10 C、9/11 D、7/8[解析] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。
故选D。
４、混合等差数列。
是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。
[例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，，（），（）。
A、19 21B、19 23C、21 23D、27 30[解析] 相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。
第二种--等比数列：是指相邻数列之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。
5、等比数列的常规公式。
设等比数列的首项为a1，公比为q(q不等于0)，则等比数列的通项公式为an=a1q n-1(n为自然数)。
找规律的技巧
找规律的技巧找规律是数学问题解决的重要步骤之一，它帮助我们发现数列、图形、方程等背后的模式和规则。
以下是一些常用的找规律的技巧：1. 观察法：通过观察数列、图形、方程等的给定部分，尝试找到其中的规律。
例如，给定数列1, 4, 9, 16, 25, ...，我们可以观察到每个项是前一个项的平方加1。
2. 比较法：将不同数列、图形、方程等进行比较，寻找它们之间的相似之处或差异之处。
这样做可以帮助我们发现它们的共同规律或者推断出某种特定的规律。
例如，观察以下两个数列：1, 3, 5, 7, 9, ...和2, 4, 6, 8, 10, ...，我们可以发现它们的公共规律是递增的，但前一个数列从1开始，后一个数列从2开始。
3. 分类法：将一系列问题分成几类，对每类问题都进行观察和分析，看是否存在某种规律。
分类法可以帮助我们对大量的问题进行整理和归类，进而更容易找到规律。
例如，我们想找到一个数列的规律，我们可以根据数列的递增方式、元素之间的运算关系等将问题分类，并观察每个类别中的规律。
4. 数学工具：使用不同的数学工具，如代数、几何、概率等，来帮助解决问题。
例如，我们可以使用代数表达式来表示一个数列的通项公式，然后通过求解方程来找到规律。
5. 数形结合：将数学问题与几何图形相结合，通过观察图形的形状、边数、对称性等来寻找规律。
几何图形的形状往往能提供一些直观的线索，帮助我们找到规律。
例如，我们通过观察正规多边形的边数和内角之和的关系，可以推断出任意正则多边形的内角之和都是一定的。
6. 递归法：对于递归数列或问题，可以通过找到初始条件和递推关系来推导出规律。
例如，斐波那契数列中的每一项都是前两项的和，可以通过这个递推关系来找到任意项的值。
需要注意的是，找规律是一种具有主观性和创造性的思维过程。
不同的人可能会找到不同的规律，因此在找规律时需要灵活运用不同的方法和技巧，以及保持开放和批判性的思维。
通过不断练习和探索，我们可以提高找规律的能力，更好地解决数学问题。
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第二讲简单数列找规律日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.（1）2，5，8，11，（），17，20。
（2）19，17，15，13，（），9，7。
分析与解答（1）不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
（2）同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。
不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.试一试按规律填空（1）2，4，6，（），10，（）（2）1，7，13，19，（），（）（3）87，83，79，75，（），（）例2 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.（1）1，3，9，27，（），243。
（2）1，2，4，7，11，16，（），（）。
（3）1，1，2，3，5，8，（），21，34…分析与解答（1）1，3，9，27，（），243。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3。
（2）1，2，4，7，11，16，（），（）。
通过观察可以发现，这个数列的第二项是第一项加1，即1+1=2；第二项加2等于第三项，即2+2=4；依次加下去，4+3=7，7+4=11,11+5=16,所以下一项是16+6=22，22+7=29。
（3）1， 1， 2， 3， 5， 8，（）， 21， 34…首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。
这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。
试一试按规律填空。
（1）3，9，27，（）（2）1，3，4，7，11，（），（）（3）3，4，6，9，13，18，（），（）（4）1，4，9，16，（），（）例3 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.（1）1，3，6，10，（），21，28，36，（）.(2)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(3)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析与解答（1）方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确。
方法2：其实，这一列数有如下的规律： 第1项：1=1 第2项：3=1＋2 第3项：6=1+2+3 第4项：10=1+2+3+4 第5项：（） 第6项：21=1+2+3+4+5+6 第7项：28=1+2+3+4+5+6+7 第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8 第9项：（）即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
(2)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（）。
前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下： 奇数项：1，2，3，4，5 偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。
(3) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）。
同上考虑，把数列分为奇、偶项： 偶数项：2，4，6，8，10 奇数项：1，3，9，27，（）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。
像(2)(3)这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。
例4下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是： （1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第 100个数组中的第 1个数为100；这些数组的第2个分量 3，6，9…也构成等差数列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。
方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。
第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18第3组：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。
例5 下图是由一些数排成的三角形，叫杨辉三角形，试根据前五行的规律，回答下列问题。
①这个三角阵的排列有何规律？ ②根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。
分析与解答 ①首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3。
②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。
例6在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。
①42，20，18，48，24 （21，54，45，10） ②15，75，60，45，27 （50，70，30，9） ③42，126，168，63，882 （27，210，33，25）解：①中，42、18、48、24都是6的倍数，只有20不是，所以，划掉20，用54代替。
② 15、 75、 60、 45都是 15的整数倍数，而 27不是，用30来替换27。
③同上分析，发现这些数中， 42、 126、 128、 882都是42的整数倍，而63却不是.因此，用210来代替63。
知识大总结1.等差数列：任何相邻两项中，后一项减去前一项的差都相等的数列；2. 间隔数列：把多个简单数列交叉合并组成的数列；3. 数表找规律：先找到构成数表的的数之间的关系，再找到数表排列上的规律。
练习1、按规律填空（1）4，7，10，13，（）（2）2，4，6，（），10，（）（3）76，71，66，61，（）,( )（4）14,15,13，16，12，17，11，（），（）2、按规律填空（1）3，4，6，9，（），（）（2）2，4，8，14，（），（）（3）3，6，12，24，（），（）（4）8，13，21，34，（），89，（）（5）5，7，1，3，（），7，1，3，5，（）。