含有阻尼项的弦振动方程及其仿真
阻尼振动的Mathematica模拟
阻尼振动的Mathematica模拟谢文海;吉莉;滕艳萍;杨硕【摘要】阻尼振动在物理学中是一类重要的振动类型，形式复杂多样。
以弹簧振子为例，运用Mathematica软件计算模拟阻尼振动，并且对阻尼振动进行傅立叶分析，用图像直观展现阻尼振动的特性，帮助人们理解阻尼振动的原理和探究阻尼振动的基本规律。
研究为相关的教学研究和工程分析提供了有益借鉴。
%In physics,damped virbaration is an important class of virbaration with diversified complex forms. In this paper,taking the spring oscillator as an example, we employ Mathemaitca to caluclate and simulate the damped virbaration. We further analyze the virbation by fourier analysis method and vividly present the features in figures. This is helpful to understand and explore the principles and discipline of damped force. Additionally,our studies provide a useful reference for relevant education research and engineering anlysis.【期刊名称】《大学物理实验》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】4页(P80-83)【关键词】阻尼振动;Mathematica【作者】谢文海;吉莉;滕艳萍;杨硕【作者单位】大连大学，辽宁大连 116622;大连科技学院，辽宁大连 116035;大连大学，辽宁大连 116622;大连大学，辽宁大连 116622【正文语种】中文【中图分类】O4-34阻尼振动是自然界普遍存在的一种振动形式，是振动系统本身的性质与外界共同作用的结果。
阻尼振动实验报告
阻尼振动实验报告篇一：阻尼振动与受迫振动实验报告阻尼振动与受迫振动实验报告一、实验目的（一）观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。
（二）研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼的情况下的共振曲线（即幅频特性曲线）。
（三）描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。
（四）观测不同阻尼对受迫振动的影响。
二、实验仪器扭摆（波尔摆）一套，秒表，数据采集器，转动传感器。
三、实验任务1、调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。
2、测量最小阻尼时的阻尼比ζ和固有角频率ω0。
3、测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，并求ζ、τ、Q和它们的不确定度。
4、测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。
四、实验步骤1、打开电源开关，关断电机和闪光灯开关，阻尼开关置于“0”档，光电门H、I可以手动微调，避免和摆轮或者相位差盘接触。
手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘F上的0位标志线指示0度，亦即通过连杆E和摇杆M使摆轮处于平衡位置。
然后拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度，松开手后，检查摆轮的自由摆动情况。
正常情况下，震动衰减应该很慢。
2、开关置于“摆轮”，拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度后摆动，由大到小依次读取显示窗中的振幅值θj；周期选择置于“10”位置，按复位钮启动周期测量，停止时读取数据10Td。
并立即再次启动周期测量，记录每次过程中的10Td的值。
（1）逐差法计算阻尼比ζ；（2）用阻尼比和振动周期Td计算固有角频率ω0。
3、依照上法测量阻尼（2、3、4）三种阻尼状态的振幅。
求出ζ、τ、Q和它们的不确定度。
4、开启电机开关，置于“强迫力”，周期选择置于“1”，调节强迫激励周期旋钮以改变电机运动角频率ω，选择2个或3个不同阻尼比（和步骤3中一致），测定幅频和相频特性曲线，注意阻尼比较小（“0”和“1”档）时，共振点附近不要测量，以免振幅过大损伤弹簧；每次调节电机状态后，摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定，这时再记录数据。
声学阻尼仿真实验报告(一)
声学阻尼仿真实验报告(一)声学阻尼仿真实验报告引言•简要介绍声学阻尼仿真的研究背景和意义•阐述本次实验的目的和意义实验设计1.实验设备–列举所使用的实验设备，例如测量仪器、发生器等–说明每个设备的作用和特点2.实验步骤–详细描述实验步骤，包括搭建实验装置、设置参数等–解释每个步骤的目的和操作要点实验结果与分析1.数据记录–提供实验中所采集的数据，并以表格形式展示–对每个数据进行标注和解读2.结果分析–对实验数据进行分析，比较不同测试条件下的结果差异–解释结果与理论或预期相符或不符的原因实验讨论1.结论–总结本次实验的主要发现和结果–强调实验所得结论的可靠性和实用性2.实验误差分析–分析导致实验误差的可能原因，例如仪器精度、环境因素等–提出改进实验的建议，以减小误差3.局限性与展望–指出本次实验的局限性，可能存在的不完备之处–展望未来进一步研究的方向，并提出进一步改进实验的建议结语•总结全文的核心内容和主要观点•强调本次实验对于声学阻尼仿真领域的贡献和意义（注：以上为一篇示例文章，部分内容仅供参考，实际内容应根据实验情况进行具体编写）引言•声学阻尼是声学领域的重要研究方向之一，它在音频处理、噪音控制和音响设计等领域具有广泛应用。
•本次实验旨在通过声学阻尼仿真实验，深入理解声学阻尼的原理和影响因素，为相关领域的技术改进和优化提供参考。
实验设计1.实验设备–音频信号发生器：用于产生各种频率和振幅的声音信号。
–音频功放器：用于放大发生器产生的信号，以便驱动扬声器。
–扬声器：用于转换电信号为声音信号，并通过声音传递给实验装置。
–模拟回声室：用于模拟真实环境下的声学阻尼效果。
2.实验步骤–搭建实验装置：将音频信号发生器、音频功放器和扬声器依次连接。
–设置参数：调整音频信号发生器的频率和振幅，调节音频功放器的音量。
–进行测量：在模拟回声室中逐步变化声学阻尼条件，并记录数据。
实验结果与分析1.数据记录 | 阻尼条件 | 频率 (Hz) | 振幅 (dB) ||||| | 无阻尼 | 100 | 60 | | 轻微阻尼 | 100 | 45 | | 中度阻尼 | 100 | 30 | | 强烈阻尼 | 100 | 20 |2.结果分析–随着阻尼条件的增加，声音的振幅逐渐降低。
弦振动方程积分法建模
弦振动方程积分法建模弦振动是一种常见的振动现象，广泛应用于乐器、工程结构和科学研究领域。
本文将深入探讨弦振动方程的积分法建模，包括基本方程、积分法的原理和步骤，以及在实际工程中的应用。
通过对弦振动的积分法建模的综述，读者将更好地理解和应用这一振动现象。
一、引言弦振动是一种机械波的传播形式，广泛存在于各个领域。
从乐器的弦乐器到工程结构的振动分析，弦振动方程的建模对于理解和优化系统具有重要意义。
本文将围绕弦振动方程的积分法建模展开综述，为读者提供深入了解和应用的视角。
二、弦振动方程的基本形式弦振动的数学描述通常采用弦振动方程，其基本形式为：其中，是弦的横向位移，x 是弦上的位置，t 是时间，c 是波速。
三、积分法建模的原理和步骤积分法是一种常用的数值建模方法，通过将微分方程转化为积分形式进行求解。
弦振动方程的积分法建模主要分为以下几个步骤：离散化：将弦的长度和时间区间进行离散化，将连续的变量转化为离散的网格点。
差分近似：利用差分方法对微分方程进行离散近似，将弦振动方程转化为差分方程。
积分求解：将差分方程转化为离散的积分形式，通过迭代等方法求解得到弦的位移随时间和位置的变化。
边界条件：添加适当的边界条件，如弦的固定端或自由端条件，以模拟实际情况。
验证与调整：验证模型的准确性，并根据实际情况对模型进行调整，以提高模型的精度。
四、弦振动方程积分法建模的应用乐器设计：在乐器设计中，通过弦振动方程的积分法建模可以预测不同材料和张力下的弦振动特性，为乐器的声学性能优化提供依据。
结构振动分析：在工程结构振动分析中，通过积分法建模可以模拟建筑、桥梁等结构在外力作用下的振动响应，有助于评估结构的稳定性和安全性。
声波传播：弦振动方程的积分法建模也可应用于声波传播领域，例如预测海底电缆中声波的传播特性，有助于通信系统的设计和优化。
医学成像：在医学领域，通过弦振动方程的积分法建模，可以模拟超声波在人体组织中的传播和反射，为医学成像技术提供理论基础。
1.4有阻尼的受迫振动解析
F0 it c k x x x e m m m
其中， 0
k m
系统的无阻尼固有频率；
系统的阻尼比；
c 2 km
i (t ) x ( t ) Ae 设非齐次方程的特解，即稳态响应：
2 A 2 e i (t ) i 2 0 Ae i (t ) 0 Aei (t )
2. s＝1处，即 不同
区间单调上升的曲线；
1 0 2 时，共振，
的曲线共交于一点。
3. 小阻尼 0
s 1
0
时，激励力与位移同相； 时，激励力与位移反相；
s 1
,
l 例题：已知等效质量m且可简化于杆长 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3 F (t ) F0 sin t ，水平位置平衡，试求： 1. 动力学微分方程；
第四节 有阻尼的受迫振动
一．
定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激 励作用下所产生的振动。 激励：外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应：激励所引起的系统的振动状态。
非自治系统：显含时间变量的系统。
二．
有阻尼受迫振动
受激励力存在使得动力学方程成为非齐次方程：
cx kx F0 eit m x
9 F0 4c 9k sin t m m ml
(2)
0
9k k =3 m m
2c m
3F0 B k
2c 0 3 mk
9F 4c 9k 0 sin t m m ml
当 n时 振幅（最大摆角)
Amax B 3F0 3 mk 9F0 2 2kl 2c 4cl
2.
s＝1（接近共振），且
含有阻尼项的弦振动方程及其仿真
含有阻尼项的弦振动方程及其仿真内容提要：本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。
最后依据弦振动方程的结果，列举了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。
关键词数学物理方程，Matlab，驻波。
引言：在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴弦上形成驻波。
比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会被滤掉。
但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。
而且某些泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。
在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧上的指导。
而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。
另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。
综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛音的理论研究尚处于一个盲区。
然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提供了理论依据，给研究带来了可行性。
一、模型建立：如图所示：琴弦的初始状态：1其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。
弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0其中t表示振动时间。
列出方程：其中：错误!未找到引用源。
，而T表示琴弦松弛时的张力，错误!未找到引用源。
表示琴弦线密度。
边值条件：初值条件：二、问题的求解从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。
如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。
相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式：带入到原方程会得到：分离变量：等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。
阻尼振动系统的解析解与分析
阻尼振动系统的解析解与分析阻尼振动是指在振动系统中存在阻尼力的情况下的振动现象。
阻尼振动系统是一种常见的物理现象，在工程学、物理学和数学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍阻尼振动系统的解析解与分析方法。
1. 阻尼振动系统的基本模型阻尼振动系统由质点、弹簧和阻尼器组成。
质点的质量记为m，位置记为x；弹簧的劲度系数记为k，伸长或压缩量记为y；阻尼器的阻尼系数记为c，阻尼力记为F。
根据牛顿第二定律，可以得到阻尼振动系统的基本方程：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，d^2x/dt^2表示加速度，dx/dt表示速度。
这是一个二阶线性常微分方程，可以通过解析解或数值解的方法求解。
2. 阻尼振动系统的解析解对于阻尼振动系统的解析解，可以通过假设解的形式，代入方程中，得到解的表达式。
常见的假设解形式有指数函数、正弦函数和余弦函数等。
假设解的形式为x = A * e^(λt)，其中A为振动的幅度，λ为待确定的常数。
将假设解代入方程中，可以得到特征方程：m * λ^2 + c * λ + k = 0解特征方程可以得到两个特征根λ1和λ2。
根据特征根的不同情况，可以分为三种情况：过阻尼、临界阻尼和欠阻尼。
3. 过阻尼情况当特征根为实数且大于零时，即λ1和λ2为两个不相等的实数，称为过阻尼情况。
过阻尼情况下，阻尼力的影响比弹簧力和质量的影响都大，振动系统的振动会逐渐减弱并趋于平衡位置。
过阻尼情况下的解析解为：x = A1 * e^(λ1t) + A2 * e^(λ2t)其中A1和A2为待确定的常数。
4. 临界阻尼情况当特征根为实数且相等时，即λ1和λ2为两个相等的实数，称为临界阻尼情况。
临界阻尼情况下，振动系统的振动会逐渐减弱并趋于平衡位置，但速度的减小速度比过阻尼情况下慢一些。
临界阻尼情况下的解析解为：x = (A1 + A2t) * e^(λt)其中A1和A2为待确定的常数。
弹簧阻尼系统动力学模型adams仿真
震源车系统动力学模型分析报告一、项目要求1）独立完成1个应用Adams软件进行机械系统静力、运动、动力学分析问题，并完成一份分析报告。
分析报告中要对所计算的问题和建模过程做简要分析，以图表形式分析计算结果。
2）上交分析报告和Adams的命令文件，命令文件要求清楚、简洁。
二、建立模型1）启动admas，新建模型，设置工作环境。
对于这个模型，网格间距需要设置成更高的精度以满足要求。
在ADAMS/View菜单栏中，选择设置（Setting）下拉菜单中的工作网格（WorkingGrid）命令。
系统弹出设置工作网格对话框，将网格的尺寸(Size)中的X和Y分别设置成750mm和500mm，间距（Spacing）中的X和Y都设置成50mm。
然后点击“OK”确定。
如图2-1所表示。
图2-1设置工作网格对话框2）在ADAMS/View零件库中选择矩形图标，参数选择为“onGround”，长度（Length）选择40cm高度Height为1.0cm，宽度Depth为30.0cm，建立系统的平台，如图2-2所示。
以同样的方法，选择参数“NewPart”建立part-2、part-3、part-4，得到图形如2-3所示，图2-2图2-3创建模型平台3）施加弹簧拉力阻尼器，选择图标，根据需要输入弹簧的刚度系数K和粘滞阻尼系数C，选择弹簧作用的两个构件即可，施加后的结果如图2-4图2-4创建弹簧阻尼器4）添加约束，选择棱柱副图标，根据需要选择要添加约束的构件，添加约束后的模型如2-5所示。
图2-5添加约束至此模型创建完成三、模型仿真1)、在无阻尼状态下，系统仅受重力作用自由振动，将最下层弹簧的刚度系数K设置为10，上层两个弹簧刚度系数均设置为3，小物块的支撑弹簧的刚度系数为4，阻尼均为0，进行仿真，点击图标，设置EndTime为5.0，StepSize为0.01，Steps为50，点击图标，开始仿真对所得数据进行分析。
选择物块的位移、速度、加速度与时间的图像如图3-1、3-2、3-3所示，经过傅里叶变换之后我们可以清楚地看到系统的各阶固有频率。
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含有阻尼项的弦振动方程及其仿真
内容提要：
本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双
曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。
最后依据弦振动方程的结果，列举
了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。
关键词
数学物理方程，Matlab，驻波。
引言：
在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴
弦上形成驻波。
比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会
被滤掉。
但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。
而且某些
泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。
在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器
的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧
上的指导。
而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。
另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按
的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。
综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛
音的理论研究尚处于一个盲区。
然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提
供了理论依据，给研究带来了可行性。
一、模型建立：
如图所示：琴弦的初始状态：
1
其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。
弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0
其中t表示振动时间。
列出方程：
其中：错误!未找到引用源。
，而T表示琴弦松弛时的张力，错误!未找到引用源。
表示琴弦线密度。
边值条件：
初值条件：
二、问题的求解
从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。
如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。
相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式：
带入到原方程会得到：
分离变量：
等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。
设此常数为错误!未找到引用源。
则得到两个常微分方程。
得到以下通解：
因为阻尼系数很小，所以
2
接下来带入初边值条件
得：
得：
在代入：
显然错误!未找到引用源。
所以错误!未找到引用源。
再代入：
用正弦级数来求：
从解的表达式来看，和式的结果应当有界，而外面的指数函数可以使得波的振幅逐渐减小，与含有阻尼的弹簧震动相类似。
其中每一个单音的波长和与之对应的频率，分
3
别为l/k,1/2错误!未找到引用源。
三、仿真模拟
由于求和结果不是基本初等函数，我们将用MATLAB采取级数的部分和来模拟.
在这一部分，我们统一设弦长l=0.64m,拨弦位置b=0.55m，弦的张力T=24.5N，弦的线
密度0.005kg/m3.
首先模拟基音：既k=1,2,3,4,5
Fig_5_1
（注：Fig_5_1 中左图，[0,0.64] 轴代表弦长，[0,0.03]轴代表时间，而纵轴在弦上一点，随时间的前进的位移. 由图中选取的是距离左端点0.55处，即拨弦处的样本，而琴真
正的发音是通过共鸣箱传出来的声音，所以右图不是声音真正的波形，但在表示频率方
面具有代表性。
）
以下我们将结合方程的解来研究泛音的性质。
2分点泛音就是滤掉在l/2处没有波节的音：即k=2,4,6,8,10 其不动点为0.32m处，
即吉他中的第12品位置，可以看出在诸多的泛音中，中点处的泛音是最稳定的，在实
践中也会发现12品处的泛音效果最为明显最为动听。
Fig_5_2
3分点泛音：k=3,6,9,12,15
其不动点位置有两个，x=0.2133m，x= 0.4267m 即吉他第七品与第八品之间的位置。
和18 与19品之间。
既然二者效果相同，对于古典吉他的初学者来说可以用7品代替19品处的泛音，即可达到需要的效果。
4
Fig_5_2
4分点泛音：k=4 8 12 16 20 333.33Hz
其不动点位置也有两个x=0.16m，x=0.48m 恰好在第4品处，而另一个地方则由于吉他指板的限制而没有品。
Fig_5_3
5分点泛音：k=5 10 15 20 25
其不动点位置也有x= 0.1280，0.2560,0.384，0.512，但是有品的只有4品，9品，15品。
并且泛音效果十分不明显，在实践中也发现其杂音较重。
Fig_5_4
四、对右手的建议：
以下我们将结合以上内容，给出一些不合适的右手弹拨位置，希望演奏者加以回避。
1．三分点，在弹拨三分点的时候左手放在在了l/3 处，右手如果放在2l/3处时，将会导
致如下结果：
5
Fig_6_1
弦振动的振幅达到了10-19人耳听不到。
所以需要回避这一点。
2.四分点泛音：左手虚按l/4处，如果右手弹拨1/2处，结果是振幅也是过小而且波形紊乱。
振幅小于10-19，人耳依然听不到，所以要回避。
Fig_6_2
如果右手弹拨3l/4处，结果也是相类似的，需要回避。
Fig_6_3
Fig_6_3
对以上结果进行总结，在演奏泛音时，尽量避免弹拨弦的 l/3,l/4…等这一类的点，即可减
少泛音演奏的失败。
参考文献：
1.韩佩琪，《弦乐器泛音的分析及应用》
2.周伟，《古典吉他演奏教程》
3.邱桂明，苏建新，邱树业，《阻尼震动下的弦振动研究》
4.谷超豪，《数学物理方程》
5.丁同仁，《常微分方程》
Utilizing PDE to give several suggestions about overtone
performance with right hand
Abstract:
6
Based on the PDE of the classical guitar strings vibrations, we will get a hyperbolic equation with damping term in the initial boundary value problem. Then using separation of variables method for solving, and then to the Matlab simulation, to verify the correctness of the solution. Finally, according to the results of string vibration equation lists several of harmonic position in such a case, and combined with the equation, we will give some advice on right hand.
Key words：
PDE, Matlab, overtone.
7。