人教A版高中数学选修统计案例学案
2021年高中数学第1章统计案例 学案新人教A版选修1-2
第一章统计案例哲学知识告诉我们事物之间是有联系的、联系是普遍的，任何事物都是运动的、任何两个事物之间都存在着普遍联系．具体到现实问题中，我们会发现有些问题是从变化的角度来分析是存在两个都在变化的量，关系非常密切，一个现象发生一定量的变化，另一个现象一般也会发生相应的变化，但又不能用函数概念去定义，也无法用函数的模型来代换．如商场销售收入每增加一万元时，因所卖商品不同，销售利润一般会增加不同的数值；施肥量增加一斤，一般地产量也会增加，但数值有时不固定．5月31日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手．这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？若从数学角度分析，这里的疾病和吸烟就是彼此相关的两个变量．如何用数学的方法来刻画这种变量之间的关系呢？本章要学习的统计案例就是通过对一对变量使用线性回归的方法来研究变量之间的对应关系．通过本章的学习，我们将知道如何研究变量之间的相关关系，如何模拟变量之间的函数关系，如何检验两个变量之间的独立性．1.1回归分析的基本思想及其初步应用自主预习·探新知情景引入人们常说“名师出高徒”．的确，我们看到很多优秀的老师，他们的学生也非常优秀．但是，名师一定出高徒吗？我们也看到，有些名师的弟子并不高明，甚至比较平庸．由此可见，名师和高徒之间不是确定性的关系，也不可否认它们之间有着密切的关系，或者说它们之间是密切相关的，但相关性怎样呢？新知导学1．回归分析(1)概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析一种常用方法． (2)步骤：画__散点图__→求__回归方程__→用回归方程进行__预报__． 2．线性回归模型(1)在线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝__∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2__＝ ∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x2__，a ^＝__y －b ^x ，其中x ＝__1n ∑i ＝1n x i __，y ＝__1n ∑i ＝1ny i __，(x ，y )称为变量__样本中心点__，回归直线过样本点的中心．(2)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 称为__随机误差__，自变量x 称为__解释__变量，因变量y 称为__预报__变量．3．刻画回归效果的方式 残差 把随机误差的估计值e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差残差图作图时纵坐标为__残差__，横坐标可以选为__样本编号__，或__身高数据__，或__体重估计值__等，这样作出的图形称为残差图残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度__越窄__，说明模型拟合精度越高残差平方和残差平方和为__∑ni＝1(y i－y^i)2__，残差平方和__越小__，模型拟合效果越好相关指数R2R2＝1－__∑i＝1n(y i－y^i)2∑i＝1n(y i－y)2__，R2表示__解释__变量对__预报__变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好预习自测1．下列结论正确的是(C)①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④[解析]函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．故选C．2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归直线方程可能是(A)A．y＝0.4x＋2.3B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4[解析]∵变量x与y正相关，∴C、D排除；又∵线性回归直线方程过点(x，y)，排除B；故选A．3．下图是根据变量x、y的观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x、y具有相关关系的图是(D)A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④[解析] 根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x ，y 具有相关的关系． 4．已知x ，Y 的取值如下表：x 2 3 4 5 Y2.23.85.56.5从散点图分析，Y 与x 线性相关，且回归直线方程为y ^＝1.42x ＋a ，则a 的取值为__－0.47__．[解析] x ＝2＋3＋4＋54＝3.5， y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5又∵回归直线过点(x ，y )， ∴4.5＝1.42×3.5＋a ，∴a ＝－0.47．5．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系如表：x 3 4 5 6 7 8 9 y66697381899091(1)求x ，y ；(2)已知纯利y 与每天销售件数x 线性相关，试求出其回归方程． [解析] (1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597．(2)因为y 与x 有线性相关关系，所以b ^＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x2＝3 487－7×6×5597280－7×36＝4.75，a ^＝5597－6×4.75＝71914≈51.36．故回归方程为y ^＝4.75x ＋51.36．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶概念的理解和判断典例1 有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^可以估计观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[思路分析] 由题目可获取以下信息：①线性回归分析；②散点图；③相关性检验等的相关概念及意义．解答本题可先逐一核对相关概念及其性质，然后再逐一作出判断，最后得出结论． [解析] ①反映的正是最小二乘法思想，故正确． ②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系． 『规律方法』 解答概念辨析题，应紧扣线性回归分析中每个概念的定义进行，要准确把握概念的内涵．┃┃跟踪练习1__■下面变量关系是相关关系的是( A ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A ．①②B ．①③C．②③D．②④[解析]①②是相关关系，③④是非相关关系．命题方向❷线性回归模型典例2一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷的零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺陷的零件数Y(件)1198 5(1)画出散点图；(2)如果Y与x有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，则机器的运转速度应控制在什么范围内？[解析](1)画出散点图，如图所示：(2)由题意得x＝12.5，y＝8.25，∑i＝14x i y i＝438，∑i＝14x2i＝660，∴b^＝∑i＝14x i y i－4x y∑i＝14x2i－4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a^＝y－b^x＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5.故回归直线方程为y^＝0.728 6x－0.857 5．(3)令0.728 6x－0.857 5≤10，得x≤108 5757 286≈14.9，故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．┃┃跟踪练习2__■下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据：x 345 6y2.5 t4 4.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( A )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5[解析] 样本中心点是(x －，y －)，即(4.5，11＋t 4)．因为回归直线过该点，所以11＋t 4＝0.7×4.5＋0.35，解得t ＝3．命题方向❸线性回归分析典例3 某运动员训练次数与训练成绩之间的数据关系如下： 次数(x ) 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩(y )3034373942464851(1)(2)求出回归方程； (3)作出残差图；(4)计算R 2，并说明运动员的训练次数对成绩的影响占百分之几．[解析] (1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )的散点图，如图所示．由散点图可知，它们之间具有相关关系．(2)x ＝39.25，y＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18x i y i ＝13 180，所以b ^＝∑i ＝18(x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x )2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2≈1.041 5，a ^＝y －b ^x ＝－0.003 875，∴回归直线方程为y ^＝1.041 5x －0.003 875．(3)残差分析：下面的表格列出了运动员训练次数和成绩的原始数据以及相应的残差数据.x y b ^＝y －y ^ 30 30 －1.241 1 33 34 －0.365 6 35 37 0.551 4 37 39 0.468 4 39 42 1.385 4 44 46 0.177 9 46 48 0.094 9 5051－1.071 1由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，说明选择的模型比较合适． (4)计算相关指数R 2≈0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．『规律方法』 1.解答本类题目应先通过散点图来分析两个变量间的关系是否线性相关，再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或R 2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．2．“R 2、残差图”在回归分析中的作用：(1)R 2是用来刻画回归效果的，由R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2可知R 2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．┃┃跟踪练习3__■一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：零件数x(个)102030405060708090100 加工时间y(min)626875818995102108115122(1)计算总偏差平方和、残差平方和及相关指数；(2)作出残差图；(3)进行残差分析．[解析](1)由x、y的数据得散点图如图．由散点图可以认为样本点大致分布在某条直线的附近，因此可以用线性回归模型来拟合．设线性回归方程为y^＝a^＋b^x，列出下表：i 1234 5x i(个)1020304050y i(min)6268758189x i y i620 1 360 2 250 3 240 4 450i 678910x i(个)60708090100y i(min)95102108115122x i y i 5 7007 1408 64010 35012 200 所以x＝55，y≈91.7，b^＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a^＝y－b^x≈91.7－0.668×55≈54.96.因此，线性回归方程为y^＝0.668x＋54.96．将数据代入相应公式可得如下数据表：零件数x(个)1020304050加工时间 y (min) 62 68 75 81 89 (y i －y )2 882.09 561.69 278.89 114.49 7.29 y ^＝0.668x ＋54.96 61.64 68.32 75.0 81.68 88.36 残差 0.36 －0.32 0 －0.68 0.64 零件数 x (个) 60708090100加工时间 y (min) 95 102 108 115 122 (y i －y )2 10.89 106.09 265.69 542.89 918.09 y ^＝0.668x ＋54.96 95.04 101.72 108.4 115.08 121.76 残差－0.040.28－0.4－0.080.24所以总偏差平方和为3 688.1，残差平方和为1.408，相关指数R 2＝1－1.4083 688.1≈0.999 6．(2)作出残差图如图，横坐标为零件数的数据，纵坐标为残差．(3)由题中数据可得样本相关系数r 的值为0.999 8，再结合散点图可以说明x 与y 有很强的线性相关关系．由R 2的值可以看出回归效果很好，也说明用线性回归模型拟合数据效果很好．由残差图也可以观察到，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集在这两个样本点的过程中是否有人为的错误．易混易错警示准确理解概念和参数的含义典例4 关于x 与y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070为了对x 、y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型y ^＝6.5x ＋17.5，乙模型y ^＝7x ＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．[错解] ∵R 2甲＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )25i ＝1(y i －y －)2＝1－1551 000＝0.845， R 2乙＝1－∑i ＝15(y i －y －i )2∑i ＝15(y i －y －)2＝1－1801 000＝0.82，∴R 2甲>R 2乙．∴乙模型拟合的效果更好．[辨析] 明确R 2的大小与拟合效果的关系用相关指数R 2来比较模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，并不是R 2越小模型的拟合效果越好．[正解] ∵R 2甲＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )25i ＝1(y i －y －)2＝1－1551 000＝0.845，R 2乙＝1－∑i ＝15(y i －y －i )2∑i ＝15(y i －y －)2＝1－1801 000＝0.82，∴R 2甲>R 2乙．∴甲模型拟合的效果更好． ┃┃跟踪练习4__■甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两个变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2如表：甲 乙 丙 丁散点图残差平方和115106124103A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[解析] 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持殊差平方和越小，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些，故选D ．学科核心素养 可线性化的回归分析当回归方程不是形如y ＝bx ＋a (a 、b ∈R )时，称之为非线性回归方程 ，非线性回归方程也可以线性化，依据样本点的分布态式选择合适的曲线方程来拟合数据，其具体步骤如下：(1)作散点图确定曲线模型因为曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，估计使用哪个函数拟合．(2)非线性转化为线性先通过适当变换化非线性关系为线性关系：①指数型：y ＝ca x (a >0且a ≠1，c >0，a ，c 为常数)． 两边取自然对数ln y ＝ln(ca x )， 即ln y ＝ln c ＋x ln a ，令⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝ln yx ′＝x ，原方程变为y ′＝ln c ＋x ′ ln a ， 然后按线性回归模型求出ln a ，ln c ． ②对数型：y ＝a ＋b ln x (a ，b 为常数，x >0)．令⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＝y ，x ′＝ln x ，原方程变为y ′＝a ＋bx ′， 然后按线性回归模型求出a ，b ．③幂函数：y ＝ax n (a ，n 为常数，a ，x 均取正值)． 两边取常用对数lg y ＝lg(ax n )，令⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝lg y ，x ′＝lg x ，原方程变为y ′＝nx ′＋lg a ， 然后按线性回归模型求出n ，lg a ． ④y ＝bx 2＋a 型(a ，b 为常数)．令⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝y ，x ′＝x 2，原方程变为y ′＝bx ′＋a ， 然后按线性回归模型求出a ，b ．⑤y ＝a ＋bx 型(a ，b 为常数，x ≠0)．令⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝y x ′＝1x ，原方程变为y ′＝a ＋bx ′， 然后按线性回归模型求出a ，b ． (3)分析模型的拟合效果对于同一问题可以有几种不同的拟合模型，对于给定的样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以通过以下几种方式确定选用哪种模型更合适．①可以根据转换后的对应数据作散点图来确定线性回归的拟合情况，判断使用哪一种曲线模型较为合适．②可以通过原始数据及y 和x 之间的非线性回归方程列出残差对比分析表，一般通过残差平方和比较两种模型的拟合效果，其中残差平方和较小的拟合效果较好．③还可以用R 2来比较模型的拟合效果，R 2越大(越接近1)，拟合效果越好．典例5 对某种书籍的成本费Y (元)与印刷册数x (千册)的数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑i ＝16(x i －x )2i ＝16w 2i －6w 2∑i ＝16x i y i －6xy∑i ＝16w i y i －6wy 4.834.22 0.377 5 60.17 0.60 －39.384.8表中w i ＝1x i ，w ＝16∑i ＝16w i ．为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：y ＝a ＋bx ，y ＝c ＋dx ．(1)根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？(只选出模型即可)(2)根据所给数据和(1)中选择的模型，求Y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝∑i ＝1nu i v i －n uv∑i ＝1nu2i －n u2，α^＝v －β^u ．[思路分析] (1)根据散点图可得到选择模型y ＝c ＋dx 更可靠的结论．(2)建立Y 关于w 的线性回归方程y ^＝d ^w ＋c ^，求得Y 关于w 的线性回归方程为y ^＝1.2＋8w ，再求出Y 关于x 的回归方程，令x ＝20，求出y ^的值，得到印刷20千册时每册的成本费．[解析] (1)由散点图可以判断，模型y ＝c ＋dx更可靠．(2)建立Y 关于w 的线性回归方程y ^＝d ^w ＋c ^，则d ^＝∑i ＝16w i y i －6w y∑i ＝16w 2i －6w 2＝4.80.60＝8， ∴c ^＝y －d ^w ＝4.22－0.377 5×8＝1.2，∴Y 关于w 的线性回归方程为y ^＝1.2＋8w ，因此，Y 关于x 的回归方程为y ^＝1.2＋8x.当x ＝20时，预测该书每册的成本费为y ^＝1.2＋820＝1.6(元)．1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用自主预习·探新知情景引入饮用水的质量是人类普遍关心的问题．据统计，饮用优质水的518人中，身体状况优秀的有466人，饮用一般水的312人中，身体状况优秀的有218人，人的身体健康状况与饮用水的质量之间有关系吗？新知导学1．分类变量和列联表(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的__不同类别__，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表：①定义：列出的两个分类变量的__频数表__称为列联表．②2×2列联表．一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d2.等高条形图(1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否__相互影响__，常用等高条形图表示列联表数据的__频率特征__．(2)观察等高条形图发现__aa＋b__和__cc＋d__相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．3．独立性检验定义利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝__a＋b＋c＋d__具体步骤①确定α，根据实际问题的需要，确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定__临界值K0__．②计算K2，利用公式计算随机变量K2的__观测值k__．③下结论，如果__k≥K0__，就推断“X与Y有关系”，这种推断__犯错误的概率__不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中__没有发现足够证据__支持结论“X与Y有关系”预习自测1．如下是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为(B)A．10,38B．17,45C．10,45D．17,38[解析]由题意，根据2×2列联表可知：a＋35＝45，解得a＝10，则m＝a＋7＝10＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，则n＝7＋38＝45，故选B．2．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X与Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就推断“X和Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过(C)A．0.25B．0.75C．0.025 D．0.975[解析]通过查表确定临界值k.当k＞k0＝5.024时，推断“X与Y”有关系这种推断犯错误的概率不超过0.025．3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开．某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下表格：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)．参照附表，得到的正确结论是__③__.(只填正确的序号)①在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”；②在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”；③有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”；④有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”．[解析] 由2×2列联表得到a ＝43，b ＝9，c ＝32，d ＝16，则a ＋b ＝52，c ＋d ＝48，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝688，bc ＝288，n ＝100.代入K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2＝100×(688－288)252×48×75×25≈3.419．因为2.706＜3.419＜3.841．所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．4．(2019·全国卷Ⅰ文，17)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828[解析] (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)K 2的观测值k ＝100×(40×20－30×10)250×50×70×30≈4.762．由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶等高条形图的应用典例1 从发生交通事故的司机中抽取2 000名司机作随机样本，根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责任将数据整理如下：有责任 无责任 总计 有酒精 650 150 800 无酒精 700 500 1 200 总计 1 3506502 000试分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系．[解析] 作等高条形图如下，图中阴影部分表示有酒精负责任与无酒精负责任的比例，从图中可以看出，两者差距较大，由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精与对事故负有责任”有关系．『规律方法』 通过等高条形图可以粗略地直观判断两个分类变量是否有关系，一般地，在等高条形图中，a a ＋b 与cc ＋d相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．┃┃跟踪练习1__■某学校对高三学生做了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系．[解析] 作列联表如下：性格内向 性格外向 总计 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张94 381 475 总计4265941 020相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．命题方向❷独立性检验的应用典例2某中学对高二甲、乙两个同类班级，进行“加强‘语文阅读理解’训练，对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：60分以下61－70分71－80分81－90分91－100分甲班(人数)31161218乙班(人数)78101015现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，根据以上数据，能否有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 [思路分析](1)由表格统计出甲、乙两个班的总人数和优秀人数，求出优秀率；(2)依统计数据填写列联表，代入公式计算K 2的估计值，查表下结论． [解析] (1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人， 甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%． (2)因为K 2＝100×(25×30－25×20)255×45×50×50≈1.010＜3.841，所以由参考数据知，没有95%的把握认为有帮助． 『规律方法』 1.独立性检验的步骤：第一步，确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．第二步，根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k 0．第三步，利用公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算随机变量K 2的观测值K 0．第四步，作出判断．如果k ≥k 0，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y 有关系”．2．由于独立性检验计算量大，要细致，避免计算失误． ┃┃跟踪练习2__■目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响，我校随机抽取100名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如下表所示：合计100已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到的是善于使用学案的学生的概率是0.6． (1)请将上表补充完整(不用写计算过程)；(2)试运用独立性检验的思想方法分析：有多大的把握认为学生的学习成绩与对学案的使用程度有关．[解析] (1)补全的列联表如下：善于使用学案不善于使用学案合计 学习成绩优秀 40 10 50 学习成绩一般20 30 50 合计 6040100(2)K 2＝100×(40×30－10×20)250×50×60×40≈16.667＞6.635，故有99%的把握认为学生的学习成绩与对学案的使用程度有关．易混易错警示准确掌握公式中的参数含义典例3 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表优秀 不优秀 总计 甲班 10 35 45 乙班 7 38 45 总计177390试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？ [错解]由公式得：K 2＝90×(10×7－35×38)217×73×45×45＝56.86，56.86＞6.635所以有99%的把握认为“成绩与班级有关系”．[辨析] 由于对2×2列联表中a ，b ，c ，d 的位置不清楚，在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误．[正解]K2＝90×(10×38－7×35)217×73×45×45＝0.653，0.653＜2.706，所以没有充分证据认为成绩与班级有关．学科核心素养独立性检验的基本思想1．独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想是要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过P(k≥6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，计算出k>6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关这一结论成立的可信度为99%，不合理的程度可查下表得出：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 8反证法假设检验要证明结论A 备选假设H1在A不成立的前提下进行推理在H1不成立，即H0成立的条件下进行推理推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H1成立的小概率事件发生，意味着H1成立的可能性没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设独立性检验的思想来自统计中的假设检验思想，它与反证法类似．假设检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立．但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发生，而假设检验中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下，推出有利于结论成立的小概率事件发生．我们知道小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，若在实际中这个事件发生了，说明保证这个事件为小概率事件的条件有问题，即结论在很大的程度。
【数学】新课标人教A版选修1-2第一章统计案例教案
4
选修 1—2 第一章统计案例
若Ｈ0成立 , 则Ｋ2应该很小 . 把表中数据代入公式
2
K2 = 9965 7775 49-42 2099
56.632
7817 2148 9874 91
在Ｈ0成立的情况下 . 统计学家估算出如下概率
P K2 6.635 0.01
即在Ｈ0成立的情况下 ,K 2的值大于 6.635 的概率非常小． 如果Ｋ2 6.635, 就断定Ｈ 0不成立 , 出错的可能性有多大？ 出现Ｋ2=56.632 6.635 的概率不超过 1% .
周围 .
令 z=lny , a=lnc1 , b=c2 则 z=bx+a
此时可用线性回归来拟合 z=0.272x-3.843
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 Y=e0.272x-3.843
1、1 回归分析的基本思想及其初步应用（习题课） (第五课时 )
目标 ：通过习题巩固所学知识
过程 ：1、复习有关知识
教学重点： 独立性检验的步骤。 例 2。 教学难点： 对临界值的理解。 教学过程 ：1、复习独立性检验的步骤。
2、可信程度。 3、举例。 例 2。略。 补充例题： 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清 障手术的病人进行 3 年跟踪研究， 调查他们是否又发作过心脏病， 调查结果如下 表所示：
尿汞含量 x
2
消光系数 y
64
4
6
8
10
138
205
285
360
连山高级中学高二数学备课组
3
选修 1—2 第一章统计案例
（1）求回归方程。（ 2）求相关指数 R2。
解：略 。
3. 练习：选择、填空用小黑板给出。 （题来源于数学天地报） 。 4. 小结。 5. 作业。
2018-2019学年高中数学 第三章 统计案例学案 新人教A版选修2-3
三 统计案例1．最小二乘法对于一组数据(x i ，y i )，i ＝1，2，…，n ，如果它们线性相关，则线性回归方程为y ^＝b ^ x ＋a ^， 其中b ^=2．2×2列联表 2×2列联表如表所示：B B 总计A aba ＋bAcdc ＋d总计a ＋cb ＋d n3．K 2检验常用随机变量K 2＝n （a d －b c ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）来检验两个变量是否有关系．1．回归分析的两个关注点(1)回归分析是建立在两个具有相关性的变量之间的一种模拟分析，因此先判断其是否具有相关性．(2)并非只有线性相关关系，还可能存在非线性相关关系． 2．独立性检验的两个注意点(1)通过独立性检验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测． (2)2×2列联表中，当数据a ，b ，c ，d 都不小于5时，才可以用K 2检验．主题1 回归分析某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．c ^＝y ―－d ^w ―＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程． (3)回归分析．画残差图或计算R 2，进行残差分析． (4)实际应用．依据求得的回归方程解决问题．在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：x (元) 14 16 18 20 22 y (件)1210753且知x 与y 解：x ―＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ―＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，所以a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为y i－y^i0 0.3 －0.4 －0.1 0.2y i－y― 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4主题2 独立性检验某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数大于等于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表．主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(3)【解】(1)30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．(2)2×2列联表如表所示：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下 4 8 1250岁以上16 2 18总计2010 30(3)随机变量K 2的观测值k ＝30×（4×2－8×16）212×18×20×10＝10>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．独立性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．(2)K 2统计量法：通过公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）先计算观测值k ，再与临界值表作比较，最后得出结论．在考查黄烟是否经过药物处理与发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．解：由已知，得2×2列联表如下：经过药物处理未经过药物处理总计 青花病 25 185 210 无青花病 60 200 260 总计85385470提出假设H 0根据列联表中的数据，可以求得随机变量K 2的观测值为 k ＝470×（25×200－185×60）2210×260×85×385≈9.788.因为当H 0成立时，K 2≥7.879的概率约为0.005，而此时K 2的观测值k ≈9.788>7.879， 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．, [A 基础达标]1．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析：选C.R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C. 2．下列说法中正确的有：( ) ①若r ＞0，则x 增大时，y 也相应增大； ②若r ＜0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③解析：选C.若r ＞0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故①正确，r ＜0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故②错误．|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．3．若两个变量的残差平方和是325， i ＝1n（y i －y ―）2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( ) A ．64.8% B ．60% C ．35.2%D ．40%解析：选C.由题意可知随机误差对预报变量的贡献率约为325923≈0.352.4．有下列数据A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2解析：选A .分别把x ＝1，2，3，代入求值，求最接近y 的值，即为模拟效果最好，故选A . 5．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由K 2＝n （（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算得K 2＝250×50×30×70≈4.762.参照附表，得到的正确结论为( )A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”解析：选A .因为K 2≈4.762>3.841，P (K 2>3.841)＝0.05.所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A .6．某种活性细胞的存活率y (%)与存放温度x (℃)之间有如下几组样本数据：经测算， 6 ℃时，该种细胞的存活率的预报值为________%.解析：设回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋a ^，因为x ―＝1，y ―＝50，则a ^＝y ―＋3.2x ―＝53.2.当x ＝6时，y ^＝－3.2×6＋53.2＝34. 答案：347．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝3e 2x ＋1的图象附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________． 解析：由y ＝3e 2x ＋1， 得ln y ＝ln (3e2x ＋1)，即ln y ＝ln 3＋2x ＋1，令u ＝ln y ，v ＝x ，则线性回归方程为u ＝1＋ln 3＋2v . 答案：u ＝1＋ln 3＋2x (其中u ＝ln y )8．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：过________的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关． 附：K 2＝n （ad （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解析：K 2的观测值k ＝100×（20×55－20×5）240×60×25×75≈22.2＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关． 答案：22.2 0.0019．某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 c m 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K 2的观测值精确到0.001)? 解：(1)填写列联表如下：(2)k ＝100×（40×15－35×10）275×25×50×50≈1.333＜3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系． 10．某城市理论预测2011年到2015年人口总数与年份的关系如表所示：年份2011＋x (年) 0 1 2 3 4 人口数y (十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)据此估计2018年该城市人口总数． 解：(1)散点图如图：(2)因为x ―＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ―＝5＋7＋8＋11＋195＝10，a ^＝y －b ^x ＝3.6；所以线性回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝7，则y ^＝3.2×7＋3.6＝26. 即估计2018年该城市人口总数为26十万．[B 能力提升]11．(2018·河南洛阳3月模拟)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损.东部 西部 9 8 83 3 72 1 09 · 9(1)数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：年龄x20 30 40 50 周均学习成语知识时间y2.5344.5根据表中数据，试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间．解：(1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99，得a <8，所以有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数， 所求概率为810＝45.a ^＝y －b ^x ＝3.5－7100×35＝2120.所以y ^＝7100x ＋2120.当x ＝60时，y ^＝5.25.即预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间为5.25小时．12．(选做题)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？(2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ，解：(1)由茎叶图可得K 2＝n （ad －bc （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝40×（16×8－4×12）220×20×28×12≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系． (2)由样本数据可知，男性正常的概率为45，女性正常的概率为35.此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为0，1，2，3，4，P (X ＝0)＝(1－45)2(1－35)2＝4625， P (X ＝1)＝C 1245(1－45)(1－35)2＋(1－45)2C 1235(1－35)＝44625， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝169625， P (X ＝3)＝C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝264625，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫352 ＝144625， 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝2.8， 即此项血液指标为正常的人数X 的数学期望为2.8.。
高中数学第一章统计案例学案新人教A版选修
回归分析的基本思想及其初步应用（一）学习目标1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用；2. 了解线性回归模型与函数模型的差异，了解衡量两个变量之间线性相关关系得方法---相关系数.学习过程一、课前准备（预习教材P2~ P4，找出疑惑之处）问题1：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？复习1：函数关系是一种关系，而相关关系是一种关系.复习2：回归分析是对具有关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：→→→ .二、新课导学※学习探究实例编号 1 2 3 4 5 6 7 8身高165 165 157 170 175 165 155 170体重48 57 50 54 64 61 43 59为172cm的女大学生的体重.解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选自变量x，为因变量.(1)做散点图:从散点图可以看出和有比较好的相关关系.(2) x= y=81i iix y ==∑821iix==∑所以81822188i iiiix y x y bx x==-==-∑∑a y bx=-≈于是得到回归直线的方程为(3)身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为y=问题：身高为172cm的女大学生,体重一定是上述预报值吗?思考：线性回归模型与一次函数有何不同?新知：用相关系数r可衡量两个变量之间关系.计算公式为r =r>0, 相关, r<0 相关;相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系，它们的散点图越接近；r>，两个变量有关系.※典型例题例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表:(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程;(3)该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩;变式：该班某学生数学成绩为55,试预测其物理成绩;小结：求线性回归方程的步骤：※动手试试练.(07广东文科卷）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?⨯+⨯+⨯+⨯=)(参考数值3 2.543546 4.566.5三、总结提升※学习小结1. 求线性回归方程的步骤：2. 线性回归模型与一次函数有何不同※知识拓展※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列两个变量具有相关关系的是（）A. 正方体的体积与边长B. 人的身高与视力C.人的身高与体重D.匀速直线运动中的位移与时间2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（）A. 预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上B. 解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D. 可选择两个变量中任意一个变量在y 轴上3. 回归直线y bx a=+必过（）A. (0,0)B. (,0)x yx C. (0,)y D. (,)4.r越接近于1，两个变量的线性相关关系 .5. 已知回归直线方程0.50.81=-,则25y xx=时,y的估计值为 .一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有下表为抽样试验的结果：（1）画散点图；（2）求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用;2. 了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.3. 会用相关指数，残差图评价回归效果.一、课前准备（预习教材P4~ P7，找出疑惑之处）复习1：用相关系数r可衡量两个变量之间关系.r>0, 相关, r<0 相关;r越接近于1，两个变量的线性相关关系，它们的散点图越接近；r>，两个变量有关系.复习2：评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和；残差平方和；回归平方和.二、新课导学※学习探究探究任务：如何评价回归效果？新知：1、评价回归效果的三个统计量(1)总偏差平方和：(2)残差平方和：(3)回归平方和：2、相关指数：2R表示对的贡献，公式为：2R=2R的值越大，说明残差平方和，说明模型拟合效果 .3、残差分析：通过来判断拟合效果.通常借助图实现.残差图：横坐标表示，纵坐标表示 .残差点比较均匀地落在的区的区域中，说明选用的模型，带状区域的宽度越 ，说明拟合精度越 ，回归方程的预报精度越 .※ 典型例题为了对x 、y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好?小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.例2 假定小麦基本苗数x 与成熟期有效苗穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：（1）画散点图；（2）求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数； （3）求2R ，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几. (参考数据：2115101.51,6746.76,nni i i i i x x y ====∑∑521()50.18ii yy =-=∑， 521()9.117i i i y y =-=∑）※ 动手试试练1. 某班5名学生的数学和物理成绩如下表:（4）求学生A,B,C,D,E 的物理成绩的实际成绩和回归直线方程预报成绩的差2i i e y y =-.并作出残差图评价拟合效果.小结：1. 评价回归效果的三个统计量:2. 相关指数评价拟合效果：3. 残差分析评价拟合效果：三、总结提升 ※ 学习小结一般地，建立回归模型的基本步骤：1、确定研究对象，明确解释、预报变量；2、画散点图；3、确定回归方程类型（用r 判定是否为线性）；4、求回归方程；5、评价拟合效果. ※ 知识拓展在现行回归模型中，相关指数2R 表示解释变量对预报变量的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好.如果某组数据可以采取几种不同的回归方程进行回归分析，则可以通过22R 大的模型.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两个变量 y 与x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是（ ）.A. 模型 1 的相关指数2R 为 0.98B. 模型 2 的相关指数2R 为 0.80C. 模型 3 的相关指数2R 为 0.50D. 模型 4 的相关指数2R 为 0.252. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）. A. 残差 B. 样本编号 C. x D. n e3. 通过12,,,n e e e 来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为（ ）.A.回归分析B.独立性检验分析C.残差分析D. 散点图分析 4.2R 越接近1,回归的效果 .5. 在研究身高与体重的关系时，求得相关指数2R = ，可以叙述为“身高解释了69%的体重变化，而随机误差贡献了剩余 ”所以身高对体重的效应比随机误差的 . 练.(07广东文科卷）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=) （4）求相关指数评价模型.§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用;2. 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.3. 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.（预习教材P4~ P7，找出疑惑之处）复习1：求线性回归方程的步骤复习2：作函数2x=+的图像y x0.25y=和2二、新课导学※学习探究探究任务：如何建立非线性回归模型？实例一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与y个（1）根据收集的数据，做散点图上图中，样本点的分布没有在某个 区域，因此两变量之间不呈 关系，所以不能直接用线性模型.由图，可以认为样本点分布在某一条指数函数曲线bx a y e +=的周围（,a b 为待定系数）.对上式两边去对数，得ln y =令ln ,z y =，则变换后样本点应该分布在直线的周围.这样，就利用 模型来建立y 和x 的非线性回归方程. x 21 23 25 27 29 32 35y7 11 2124 66 115 325 ln z y =i i由上表中的数据得到回归直线方程z =因此红铃虫的产卵数y 和温度x 的非线性回归方程为※ 典型例题例1一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，温度/x C 21 23 25 27 29 32 35产卵数y 个7 11 21 24 66 115 325（散点图如由图，可以认为样本点集中于某二次曲线234y c x c =+的附近，其中12,c c 为待定参数）试建立y 与x 之间的回归方程.思考：评价这两个模型的拟合效果.小结：利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.三、总结提升 ※ 学习小结利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.※ 知识拓展非线性回归问题的处理方法： 1、 指数函数型bx a y e +=① 函数bx a y e +=的图像：② 处理方法：两边取对数得ln ln()bx ay e +=，即ln y bx a =+.令ln ,z y =把原始数据（x,y ）转化为（x,z ），再根据线性回归模型的方法求出,b a . 2、对数曲线型ln y b x a =+ ① 函数ln y b x a =+的图像② 处理方法：设ln x x '=，原方程可化为y bx a '=+ 再根据线性回归模型的方法求出,a b . 3、2y bx a =+型处理方法：设2x x '=，原方程可化为y bx a '=+，再根据线性回归模型的方法求出,a b . 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两个变量 y 与x 的回归模型中，求得回归方程为0.232x y e -=，当预报变量10x =时（ ）. A. 解释变量30y e -= B. 解释变量y 大于30e - C. 解释变量y 小于30e - D. 解释变量y 在30e -左右2. 在回归分析中，求得相关指数20.89R =，则（ ）. A. 解释变量解对总效应的贡献是11% B. 解释变量解对总效应的贡献是89% C. 随机误差的贡献是89% D. 随机误差的贡献是0.89%3. 通过12,,,n e e e 来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为（ ）.A ．回归分析B ．独立性检验分析C ．残差分析 D. 散点图分析4.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线bx a y e +=的周围，令ln z y =，求得回归直线方程为0.25 2.58z x =-，则该模型的回归方程为 .5. 已知回归方程0.5ln ln 2y x =-,则100x =时,y 的估计值为 . 课后作业为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下：（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.天数x /天12 3 4 56繁殖个数y /个 6 12254995 190§1.2.1 独立性检验的基本思想及其初步应用学习目标1.通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的必要性;2.会根据22⨯列联表求统计量2K . 学习过程一、课前准备（预习教材P 12~ P 14，找出疑惑之处）复习1：回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.二、新课导学 ※ 学习探究 新知1：1.分类变量： .2. 22⨯列联表： .试试：你能列举出几个分类变量吗？探究任务：吸烟与患肺癌的关系1.由列联表可粗略的看出：(1)不吸烟者有患肺癌;(2)不吸烟者有患肺癌.因此，直观上课的结论： .2.用三维柱柱图和二维条形图直观反映:(1)根据列联表的数据,作出三维柱形图:由上图可以直观地看出,吸烟与患肺癌 .(2) 根据列联表的数据,作出二维条形图:由上图可以直观地看出,吸烟与患肺癌 .根据列联表的数据,作出等高条形图:由上图可以直观地看出,吸烟与患肺癌 .反思：（独立性检验的必要性）通过数据和图形,我们得到的直观印象是患肺癌有关.那是否有一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？新知2：统计量2K吸烟与患肺癌列联表假设0H ：吸烟与患肺癌没关系，则在吸烟者和不吸烟者中患肺癌不患肺癌者的相应比例 .即因此， 越小，说明吸烟与患肺癌之间关系 ；反之， .2K =※ 典型例题例1 吸烟与患肺癌列联表求2K .※ 动手试试喜欢数学 不喜欢数学总 计 男 37 85 122 女 35 143 178 总 计 72228300求K .三、总结提升 ※ 学习小结不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸 烟 2099 49 2148 总 计98749199651. 分类变量： .2. 22⨯列联表： .3. 统计量2K ： . ※ 知识拓展1. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：求2K .§1.2.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 通过探究“秃顶是否与患心脏病有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示患心脏病的秃顶比例比患其它病的秃顶比例高，让学生亲身体验独立性一、课前准备（预习教材P 14~ P16，找出疑惑之处）复习1：统计量2K：复习2：独立性检验的必要性：二、新课导学※学习探究新知1：独立性检验的基本思想：1、独立性检验的必要性：反证法假设检验要证明结论A 备择假设H1在A不成立的前提下进行推理在H1不成立的条件下，即H成立的条件下进行推理推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过α的事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－α））很大没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设探究任务：吸烟与患肺癌的关系第一步：提出假设检验问题H：第二步：根据公式求2K观测值k=（它越小，原假设“H：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越；它越大，备择假设“H1：”成立的可能性越大.）第三步：查表得出结论P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k0.455 0.708 1..323 2.072 2.706 3.84 5.024※ 典型例题例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？小结：用独立性检验的思想解决问题： 第一步： 第二步： 第三步：例2为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽由表中数据计算得到2K 的观察值 4.513k . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？※ 动手试试练1. 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？三、总结提升 ※ 学习小结1. 独立性检验的原理：2. 独立性检验的步骤：※ 知识拓展. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 （ ） A. 若k =6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病.B. 从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺病.C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误.D. 以上三种说法都不对. 2. 下面是一个22 列联表则表中a,b 的之分别是（ ）D. 54,52 3.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:则认为喜欢玩游戏与认为作业量多少有关系的把握大约为( ) A. 99% B. 95% C. 90% D.无充分依据 4. 在独立性检验中,当统计量2K 满足时,我们有99%的把握认为这两个分类变量有关系. 5. 在22 列联表中,统计量2K = . ,进行动物试验,得到如下列联表 能以97.5%的把握认为药物有效吗?为什么?统计案例检测题测试时间:90分钟 测试总分:100分一、选择题（本大题共12小题，每题4分） 1、散点图在回归分析中的作用是 （ ） A ．查找个体数目 B ．比较个体数据关系 C ．探究个体分类D ．粗略判断变量是否呈线性关系2、对于相关系数下列描述正确的是 （ ） A ．r >0表明两个变量相关 B ．r <0表明两个变量无关C ．r 越接近1，表明两个变量线性相关性越强D ．r 越小，表明两个变量线性相关性越弱3、预报变量的值与下列哪些因素有关 （ ） A ．受解释变量影响与随机误差无关 B ．受随机误差影响与解释变量无关 C ．与总偏差平方和有关与残差无关 D ．与解释变量和随机误差的总效应有关4、下列说法正确的是 （ ） A ．任何两个变量都具有相关系 B ．球的体积与球的半径具有相关关系C ．农作物的产量与施肥量是一种确定性关系D ．某商品的产量与销售价格之间是非确定性关系5、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ）A. 预报变量在x 轴上，解释变量在 y 轴上B. 解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D. 可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上6、回归直线y bx a =+必过 （ ）A ．(0,0)B ．(,0)xC ．(0,)yD ．(,)x y7、三维柱形图中，主、副对角线上两个柱形高度的 相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大 （ ）A ．和B ．差C ．积D ．商8、两个变量 y 与x 的回归模型中，求得回归方程为0.232x y e -=，当预报变量10x = （ ）A. 解释变量30y e -=B. 解释变量y 大于30e -C. 解释变量y 小于30e -D. 解释变量y 在30e -左右9、在回归分析中，求得相关指数20.89R =，则（ ）A. 解释变量解对总效应的贡献是11%B. 解释变量解对总效应的贡献是89%C. 随机误差的贡献是89%C. 随机误差的贡献是0.89%10、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 （ ）A ．若k =6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病.B ．从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺病.C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断出现错误.D ．以上三种说法都不对.11、3. 通过12,,,n e e e 来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为（ ）A ．回归分析B ．独立性检验分析C ．残差分析 D. 散点图分析12、在独立性检验时计算的2K 的观测值k =3.99，那么我们有 的把握认为这两个分类变量有关系 （ ）A ．90%B ．95%C ．99%D ．以上都不对二、填空题（本大题共4小题，每题4分）13、已知回归直线方程0.50.81y x =-,则25x =时,y 的估计值为 .14、如下表所示：计算2K = . 15、下列关系中： （1）玉米产量与施肥量的关系； （2）等边三角形的边长和周长； （3）电脑的销售量和利润的关系；（4）日光灯的产量和单位生产成本的关系.不是函数关系的是 .16、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查1768人，经计算的2K =27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的.(填“有关”“无关”)三、解答题（本大题共2小题，每题18分）18、为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表能以97.5%的把握认为药物有效吗?为什么?18、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=)。
高中数学 第一章 统计案例学案 新人教A版选修1-2
高中数学第一章统计案例学案_1.1回归分析的基本思想及其初步应用线性回归方程[导入新知] 1．回归分析(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系，即自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．2．线性回归模型(1)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和 b 是模型的未知参数，e 称为随机误差．自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．(2)在回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .其中x ＝1n ∑i ＝1nx i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i, (x ，y )称为样本点的中心．[化解疑难]线性回归方程中系数b ^的含义(1)b ^是回归直线的斜率的估计值，表示x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当b ^＞0时，变量y 与x 具有正的线性相关关系；当b ^＜0时，变量y 与x 具有负的线性相关关系.[导入新知] 1．残差分析 (1)残差：样本点(x n ，y n )的随机误差e i ＝y i －bx i －a ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差(residual)．(以上i ＝1,2，…，n )(2)残差图：作图时，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或x i 数据，或y i 数据，这样作出的图形称为残差图．(3)残差分析：残差分析即通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果，其步骤为：计算残差——画残差图——在残差图中分析残差特性．残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．2．相关指数我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2.R 2越大，残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R 2的取值范围为[0,1]，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，1－R 2表示随机误差对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．[化解疑难]残差分析的注意点在残差图中，可疑数据的特征表现为：(1)个别样本点的残差过大，即大多数的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误，如果采集数据有错误，那么需要纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他原因．(2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需要考虑所采用的线性回归模型是否合适．[例1]短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？(2)求回归方程；(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？[解] (1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，作散点图如图所示：从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：设所求的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x －2≈1.267，a ^＝y －b ^x －≈－30.47.所以所求的回归方程为y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47≈173(min)，即冶炼时间大约为173 min. [类题通法]求线性回归方程的步骤(1)列表表示x i ，y i ，x i y i ； (2)计算x － y －，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ；(3)代入公式计算a ^，b ^的值； (4)写出回归直线方程． [活学活用]某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)试根据数据预报广告费支出1 000万元的销售额；(2)若广告费支出1 000万元的实际销售额为8 500万元，求误差．解：(1)从画出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可以建立销售额y 对广告费支出x 的线性回归方程．由题中数据计算可得x －＝5，y －＝50，由公式计算得b ^＝6.5，a ^＝17.5，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.因此，对于广告费支出为1 000万元(即10百万元)，由线性回归方程可以预报销售额为y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)．(2)8 500万元即85百万元，实际数据与预报值的误差为85－82.5＝2.5(百万元)．[例2] 10次试验，测得的数据如下：(1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差； (2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？ [解] (1)根据表中数据画出散点图，如图所示．由图可看出，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来拟合数据．计算得加工时间对零件数的线性回归方程为y ^＝0.668x ＋54.93.残差数据如下表：(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标画出残差图如图所示．由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好．但需注意，由残差图可以看出，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．[类题通法]残差分析应注意的问题利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差e ^1，e ^2，…，e ^n 来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R 2来刻画模型拟合的效果．[活学活用]已知某种商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：求y 关于x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 解：x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1.列出残差表：y i －y ^i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 y i －y4.62.6－0.4－2.4－4.4所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3，∑i ＝15(y i －y －)2＝53.2，R 2＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y－2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好.非线性回归分析[例3]x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的回归方程．[解] 作出变量y 与x 之间的散点图如图所示．由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系．设y ＝k x，令t ＝1x，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：作出y 与t 的散点图如图所示．由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系．又t ＝1.55，y ＝7.2，∑i ＝15t i y i ＝94.25，∑i ＝15t 2i ＝21.312 5，b ^＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t 2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4，a ^＝y －b ^t ＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，∴y ^＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 的回归方程是y ^＝4.134 4x＋0.8.[类题通法]非线性回归分析的步骤非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：[活学活用]某电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt(b ＜0)表示，现测得时间t (s)时的电压U (V)如下表：试求：电压U 对时间t 的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解：对U ＝A e bt两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ，令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ，则y ＝a ＋bx ，y 与x 的数据如下表：根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较好的线性相关关系，由表中数据求得x ＝5，y ≈3.045，由公式计算得b ^≈－0.313，a ^＝y －b ^x －＝4.61，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－0.313x ＋4.61.所以ln U ^＝－0.313t ＋4.61，即U ^＝e －0.313t ＋4.61＝e －0.313t ·e 4.61，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ^＝e －0.313t ·e 4.61.1.错误理解相关系数的意义而致误[典例] 下列现象的线性相关程度最高的是( )A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87 B．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－0.94C．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81[解析] |r|越接近于1，相关程度越高．[答案] B[易错防范]1．本题易错误地认为r 越接近于1，相关程度越高，从而误选A. 2．变量之间线性相关系数r 具有如下性质：(1)r 2≤1，故变量之间线性相关系数r 的取值范围为[－1,1]．(2)|r |越大，变量之间的线性相关程度越高；|r |越接近0，变量之间的线性相关程度越低．(3)当r ＞0时，两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量正相关；当r ＜0时，一个变量增加，另一个变量有减少的趋势，称两个变量负相关；当r ＝0时，称两个变量线性不相关．[成功破障]变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1解析：选C 对于变量X 与Y 而言，Y 随X 的增大而增大，故变量Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量U 与V 而言，V 随U 的增大而减小，故变量V 与U 负相关，即r 2＜0.故r 2＜0＜r 1.[随堂即时演练]1．(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选D ①中y 与x 负相关而斜率为正，不正确；④中y 与x 正相关而斜率为负，不正确．2．关于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的也可以是负的C ．在回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关 D ．样本相关系数r ∈(－1,1)解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤r ≤1.3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．解析：由相关指数R 2的意义可知，R 2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.答案：85% 15%4．若施肥量x (kg)与小麦产量y (kg)之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________．解析：把x ＝50代入y ^＝250＋4x ，可求得y ^＝450. 答案：450 kg5．某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x －＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ^＝y －＋20x －＝80＋20×8.5＝250，故y ^＝－20x ＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．[课时达标检测]一、选择题1．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，已知两人计算过程中x －，y －分别相同，则下列说法正确的是( )A ．l 1与l 2一定平行B ．l 1与l 2重合C ．l 1与l 2相交于点(x －，y －) D ．无法判断l 1和l 2是否相交解析：选C 回归直线一定过样本点的中心(x －，y －)，故C 正确．2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：建立的回归模型拟合效果最好的同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 解析：选A 相关指数R 2越大，表示回归模型的效果越好．3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 回归方程中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，B 正确；依据回归方程中b ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^相应变化约0.85个单位，C 正确； 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D 不正确． 4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)，则a ^＝y －－b ^x －＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.5．(福建高考)已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝6i ＝1x i y i －6x －·y －6i ＝1x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′.二、填空题6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. 答案：17．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为________．解析：设y 对x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由表中数据得x －＝176，y －＝176，b ^＝12，a ^＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝12x ＋88.答案：y ^＝12x ＋888．关于x 与y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070为了对x ，y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：y ^＝6.5x ＋17.5，乙：y ^＝7x ＋17，则________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．解析：设甲模型的相关指数为R 21，则R 21＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y－2＝1－1551 000＝0.845；设乙模型的相关指数为R 22，则R 22＝1－1801 000＝0.82.因为0.845＞0.82，即R 21＞R 22，所以甲模型拟合效果更好．答案：甲 三、解答题9．假设某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0试求：(1)y 与x 之间的回归方程；(2)当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？ 解：(1)根据表中数据作散点图，如图所示：从散点图可以看出，样本点都集中分布在一条直线附近，因此y 与x 之间具有线性相关关系．利用题中数据得：x ＝15(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，∑5i ＝1x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3， ∑5i ＝1x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90，所以b ^＝∑5i ＝1x i y i－5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08，∴线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即当使用10年时，估计维修费用是12.38万元．10．在一段时间内，某种商品的价格x (元)和需求量y (件)之间的一组数据为：需求量y /件 56 50 43 41 37求出y 关于x 的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．(参考数据：∑5i ＝1x 2i ＝1 660，∑5i ＝1x i y i ＝3 992)解：从作出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．由数据可得x ＝18，y ＝45.4.由计算公式得b ^＝－2.35，a ^＝y －b ^x ＝87.7. 故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－2.35x ＋87.7. 列表：y i －y ^i 1.2 －0.1 －2.4 0.3 1 y i －y －10.64.6－2.4－4.4－8.4所以∑5i ＝1 (y i －y ^i )2＝8.3，∑5i ＝1(y i －y )2＝229.2. 相关指数R 2＝1－∑5i ＝1y i －y ^i 2∑5i ＝1y i －y2≈0.964.因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．1．2独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验的有关概念[导入新知]1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称2×2列联表)为：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d3．等高条形图将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．4．K2统计量为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝n ad－bc2，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．a＋b c＋d a＋c b＋d5．独立性检验利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．[化解疑难]反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率.独立性检验的步骤[导入新知]独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查下表确定临界值k0.P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.708 1.323 2.072 2.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828(2)利用公式K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，计算随机变量K2的观测值k.(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．[化解疑难]详析独立性检验(1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．[例1] 某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．[解] 作列联表如下：相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．[类题通法]细解等高条形图(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显⎝ ⎛⎭⎪⎫即a a ＋b 和c c ＋d 相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．[活学活用]为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：解：等高条形图如下：由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.独立性检验的原理[例2] 数据：患心脏病 未患心脏病总计 每晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 总计541 5791 633根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？[解] 由列联表中的数据，得K 2的观测值为 k ＝1 633×30×1 355－224×242254×1 379×54×1 579≈68.033＞10.828.因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每晚都打鼾与患心脏病有关系． [类题通法]解决独立性检验问题的思路解决一般的独立性检验问题，首先由题目所给的2×2列联表确定a ，b ，c ，d ，n 的值，然后代入随机变量K 2的计算公式求出观测值k ，将k 与临界值k 0进行对比，确定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”．[活学活用]某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？解：根据题目所给数据得如下2×2列联表：合格品 次品 总计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场493 17 510 总计1 475251 500由列联表中的数据，得K 2的观测值为 k ＝1 500×982×17－8×4932990×510×1 475×25≈13.097＞10.828.因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．1.独立性检验与统计的综合应用[典例] (12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．表1：A类工人生产能力的频数分布表表2：B类工人生产能力的频数分布表(1)确定x，y的值；(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？B 类工人总计附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828[解题流程](2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：生产能力分组工人类别[110,130)[130,150)总计A类工人20525B类工人304575总计50501006分由列联表中的数据，得K2的观测值为[活学活用]电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女总计附：P(K2≥k0)0.050.01k0 3.841 6.635解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，“非体育迷”有75名，又已知100名观众中女性有55名，女“体育迷”有10名，所以男性有45名，男“体育迷”有15名，从而可完成2×2列联表，如下表：非体育迷 体育迷 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计7525100由2×2列联表中的数据，得K 2的观测值为 k ＝100×30×10－15×45245×55×75×25≈3.030.因为3.030＜3.841，所以没有充分的证据表明“体育迷”与性别有关．[随堂即时演练]1．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )解析：选D 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D.2．下面是一个2×2列联表：则表中a ，b 处的值分别为( ) A ．94,96 B ．52,50 C ．52,54D ．54,52解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋21＝73，a ＋2＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝54.3．独立性检验所采用的思路是：要研究A ，B 两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K 2，如果K 2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．答案：无关 不成立4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K 2的观测值k >6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下推断：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机？解：由已知条件得出下列2×2列联表：晕机不晕机总计男乘客243155女乘客82634总计325789由公式可得K2的观测值k＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d＝8924×26－31×8255×34×32×57≈3.689>2.706.故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．[课时达标检测]一、选择题1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是( ) A．2×2列联表B．独立性检验C．等高条形图D．其他解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．2．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：YXy1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为( )A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：选D 对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2.对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7＞2.3．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B.4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )A．k≥6.635 B．k＜6.635C．k≥7.879 D．k＜7.879解析：选C 犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d算得，观测值k＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.。
【教学设计】《 数学人教A版高中选修2-3第三章 统计案例--3
《独立性检验的基本思想及其初步应用》本节课是人教A 版（选修）2—3第三章第二单元第二课时的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用。
本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。
在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。
在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。
独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。
因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。
学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。
这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。
【知识与能力目标】通过生活中新闻案例的探究，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。
【过程与方法目标】通过探究“玩电脑游戏与注意力集中是否有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表分析独立性检验的实施步骤。
利用上节课所学已经由数据直观判断出玩电脑游戏与注意力集中可能有关系。
这一直觉来自于观测数据，即样本。
问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体。
这节课就是为了解决这个问题，在学生亲身体验感受的基础上，提高学生的数据分析能力。
【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 小结》优质课教案_5
第一章统计案例章末复习辉县市第二高级中学孙利明第一章统计案例章末复习教学设计【学情分析】：通过对本章的复习，学生能在必修课程学习统计的基础上，再次对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
【教学目标】：1、知识与技能：（1）通过本节的学习，进一步了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
（2）通过本节知识的学习，进一步了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。
明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。
2、过程与方法：（1）本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析；（2）通过本节复习，学生能从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。
最后介绍了独立性检验思想的综合运用。
3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，首先让学生了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。
还能让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。
【教学重点】：回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法；理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤。
高中数学 第三章 统计案例综合训练学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案
第三章统计案例（综合训练1）一、学习要求1．通过典型案例的探究，了解统计学中对两个变量统计分析的思想方法和步骤；2．能综合运用概率、统计的知识解决有关问题。
二、问题探究■合作探究例1．【10新课标（文19）】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828。
【解析】（1）样本中，该地区的老年人需要志愿者提供帮助的有：403070+=（人），∴估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例为：707 50050=。
（2）根据表中数据，得到：，∵，∴有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。
（3）根据（2）的结论可知，地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，所以可按性别进行分层抽样调查，从而能更好地估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例。
■自主探究1．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为。
（Ⅰ）补充完整上面的列联表，并判断是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？解：（Ⅰ）这50人中喜爱打篮球的人数为:（人）。
列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50，∵，∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 统计案例复习一、本章知识脉络：二、本章要点追踪： 1.样本点的中心（x －，y －）其中x －＝1n n ∑i ＝1x i ，y －＝ n∑i ＝1y i .2.线性回归模型的完美表达式 ⎩⎨⎧y ＝bx ＋a ＋e E （e ）＝0，D （e ）＝σ23.类比样本方差估计总体方差的思想，可以用σ2∧＝1n －2 n∑i ＝1e 2∧i ＝1n －2 Q （a ∧，b ∧）（n ＞2）作为σ2的估计量 其中a ∧＝y －－b ∧x －b ∧＝ n∑i ＝1（x i －x －）（y i －y －） n∑i ＝1（x i －x －）24.我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－ n∑i ＝1（y i －y i ∧）2 n ∑i ＝1（y i －y i －）2R 2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好. 5.建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋x）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
6.作K2来确定结论“X与Y有关系”的可信程度.三、几个典型例题：例1某地区10名健康儿童头发和全血中的硒含量（1000ppm）如下，血硒74 66 88 69 91 73 66 96 58 73发硒13 10 13 11 16 9 7 14 5 10 （1）画出散点图；（2）求回归方程；（3）如果某名健康儿童的血硒含量为94（1000ppm）预测他的发硒含量.解（1）散点图如下图所示：（2）利用计算器或计算机，求得回归方程：y∧＝0.2358x－6.9803（3）当x＝94时，y∧≈15.2因此，当儿童的血硒含量为94（1000ppm）时，该儿童的发硒含量约为15.2（1000ppm）.污染源距离50 100 150 200 250 300 400 500氰化物浓度0.687 0.398 0.200 0.121 0.09 0.05 0.02 0.01 （1）试建立氰化物浓度与距离之间的回归方程.（2）求相关指数.（3）作出残差图，并求残差平方和解析（1）选取污染源距离为变量x，氰化物浓度为自因变量y作散点图.从表中所给的数据可以看出，氰化物浓度与距离有负的相关关系，用非线性回归方程来拟合，建立y 关于x 的指数回归方程.y ∧＝0.9293e－0.0094x（2）相关指数K 2＝1－ n∑i ＝1（y i －y i ∧）2n ∑i ＝1（y i －y ∧）2＝0.9915编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 污染源距离 50 100 150 200 250 300 400 500 氰化物浓度 0.687 0.398 0.20.1210.090.050.020.01残 差 0.10618570.035－0.027 －0.021 0.0014 －0.005 －0.002 0.0015残差平方和 n∑i ＝1（y i －y i ∧）2＝0.0118例3 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系， 积极支持企业改革不太造成企业改革合 计 工作积极 54 40 94 工作一般 32 63 95 合 计86103189对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？ 解：根据列联表中的数据，得到K 2＝189×（54×63－40×32）294×95×86×103＝10.76.因为10.76＞6.635，所以有99%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的.例4 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国内生产总值（即人均GDP ）和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表： 人均GDP x （万元） 10 8 6 4 3 1 患白血病的儿童数y351312207175132180（2）求y 对x 的回归直线方程；（3）如果这个省的某一城市同时期年人均GDP 为12万元，估计这个城市一年患白血病的儿童数目；分析：利用公式分别求出∧∧a b ,的值，即可确定回归直线方程，然后再进行预测.解：（1）作x 与y 对应的散点图，如右图所示； （2）计算得67.1286)()(,17.226,33.561=--==∑=y y x x y x i i i33.55)(612=-∑=i i x x ，∴25.2333.5567.1286≈=∧b ，25.10233.525.2317.226≈⨯-=∧a ，∴y 对x 的回归直线方程是25.10225.23+=∧x y ；（3）将12=x 代入25.10225.23+=∧x y 得38125.1021225.23≈+⨯=∧y ，估计这个城市一年患白血病的儿童数目约为381.评注：本题涉及的是一个和我们生活息息相关，也是一个愈来愈严峻的问题——环保问题.本题告诉了我们一个沉痛的事实：现如今，一个城市愈发达，这个城市患白血病的儿童愈多.原因在于，城市的经济发展大都以牺牲环境为代价的，经济发展造成了大面积的环境污染，空气、水源中含有的大量的有害物质是导致白血病患者增多的罪魁祸首，所以，我们一定要增强自我保护意识和环境保护意识.例5 寒假中，某同学为组织一次爱心捐款，于2008年2月1日在网上给网友发了张帖子，并号召网友转发，下表是发帖后一段时间的收到帖子的人数统计：（1）作出散点图，并猜测x 与y 之间的关系； （2）建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差；（3）如果此人打算在2008年2月12日（即帖子传播时间共10天）进行募捐活动，根据上述回归模型，估计可去多少人.分析：先通过散点图，看二者是否具有线性相关关系，若不具有，可通过相关函数变换，转化为线性相关关系.解：（1）散点图略.从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，同时可发现样本点分布在某一个指数函数曲线mx ke y =的周围，其中m k 、是参数；（2）对mx ke y =两边取对数，把指数关系变成线性关系.令y z ln =，则变换后的样本点分布在直线),ln (m b k a a bx z ==+=的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立x 与y 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：万元人均/GDP 16题图求得回归直线方程为133.1620.0+=∧x z ，∴133.1620.0+∧=x e y .（3）截止到2008年2月12日，10=x ，此时1530133.110620.0≈=+⨯∧e y （人）.∴估计可去1530人.评注：现如今是网络时代，很多同学都会通过互联网发帖子，所以此类问题为同学们司空见惯.但如何预测发帖后的效果，这却是个新课题，通过本题你是否已明确.例6 有人发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究国籍和邮箱名称里是否含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的70个，外国人的54个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字.（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）他发现在这组数据中，外国人邮箱名称里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关，你能帮他判断一下吗？分析：按题中数据建列联表，然后根据列联表数据求出k 值，即可判定.解：（1）2×2的列联表（2.由表中数据得201.660645470)21273343(1242≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ，因为024.5>k ，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”是不合理的，即有005.97的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”.评注：独立性检验类似于反证法，其一般步骤为：第一步：首先假设两个分类变量几乎没有关系（几乎独立）；第二步：求随机变量k 的值；第三步.判断两个分类变量有关的把握（即概率）有多大.例7 针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的21，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的61，女生喜欢韩剧人数占女生人数的32. （1）若有0095的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人；（2）若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有多少人. 分析：有0095的把握认为回答结果对错和性别有关，说明841.3>k ，没有充分的证据显示回答结果对错和性别有关，说明706.2≤k .设出男生人数，并用它分别表示各类别人数，代入2K 的计算公式，建立不等式求解即可.解：x （1）若有0095的把握认为回答结果的对错和性别有关，则841.3>k ，由841.38322)66365(2322>=⋅⋅⋅⨯-⨯=x x x x x x x x x x K ，解得24.10>x ， ∵6,2xx 为整数，∴若有0095的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有12人；（2）没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则706.2≤k ，由706.28322)66365(2322≤=⋅⋅⋅⨯-⨯=x x x x x x x x x x K ，解得216.7≤x ，∵6,2xx 为整数，∴若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人.评注：这是一个独立性检验的创新问题，解答时要注意理解“至少”、“至多”的含义. 通过上面几例，大家是否已体会到了回归分析和独立性检验思想方法的应用的广泛性和重要性.其实，这两种思想方法并不神秘，你身边有很多问题可信手拈来，用它们处理，这一点还请同学们多思考、勤尝试.。