和的完全平方公式与差的完全平方公式的关系
专题八：平方差公式及完全平方式
专题一：平方差公式及完全平方公式【基础知识回顾】1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2.即，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
2、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a-b)2=a 2-2ab+b 2.两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍。
【强化训练】一、填空题1、若x 2+x +m 是一个完全平方式，则m =2、若16)3(22+-+m x 是关于x 的完全平方式，则________=m 。
3、利用_____公式可以对10199⨯进行简便运算，运算过程为：原式=_________________。
4、（－2x+y ）（－2x －y ）=______．5、（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y46、已知9x 2-6xy+k 是完全平方式，则k 的值是________．7、9a 2+（________）+25b 2=（3a-5b ）28、已知a 2+14a+49=25，则a 的值是_________．二、解答题1、________________)1)(1()3(2=-+--x x x 2、(5x +3y )(3y －5x )－(4x －y )(4y +x )3、(2x ＋y ＋1)(2x ＋y －1)4、[])56()3()3)(3(2b a b b a b a ÷--+-5、( 3y+2x)26、7、8、9、10、-(-21x 3n+2-32x 2+n )211、(3a+2b)2-(3a-2b)212、(x 2+x+6)(x 2-x+6)13、利用平方差公式计算：2023×191314、已知x +y =7,xy =2,求①2x 2+2y 2的值；②(x －y )2的值.15、已知Q y x P y x y x +-=++=+2222)()(，试求多项式P 和Q16、若016822=+-+-n n m ，求m 、n 的值。
八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆
一、导言在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是中学阶段必须掌握的重要知识点。
从初中开始，学生就需要掌握这两个公式的具体内容和运用方法。
八年级是数学学科内容较多的阶段，学习者需要在日常学习中加强对平方差公式和完全平方公式的记忆和理解。
本文章旨在帮助八年级学生加深对这两个数学概念的印象，提高数学学习成绩。
二、平方差公式的记忆1.平方差公式是指两个数的平方差可以用来表示两个数的乘积。
具体公式为(a+b)(a-b)=a²-b²。
2.学生在记忆平方差公式时，可以通过以下方法加深理解和记忆：a.通过实例理解。
将(a+b)(a-b)展开可以得到a²-ab+ab-b²，简化后得到a²-b²，这样可以直观地理解平方差公式的含义。
b.多练习算式转换。
让学生多做一些相关的抽象计算练习，锻炼学生对平方差公式的运用能力。
充分练习可以加深记忆，也有助于提高数学计算能力。
三、完全平方公式的记忆1.完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成一个完全平方的形式，即二次多项式的平方等于一个平方数。
具体公式为a²+2ab+b²=(a+b)²。
2.学生在记忆完全平方公式时，可以通过以下方法进行记忆和理解：a.设定变量。
让学生通过给定一些具体的实际数学问题，然后使用完全平方公式进行推导和解决问题，可以在实际操作中加深对完全平方公式的理解和记忆。
b.应用到实际问题。
同样可以利用具体实例，让学生仿照实际问题中的公式应用，从而加深对公式的记忆和理解。
四、平方差公式和完全平方公式的联系1.平方差公式和完全平方公式之间有一定联系。
在实际问题中，可以通过平方差公式和完全平方公式进行变形和转换，以解决特定问题。
2.学生在学习中需要注意理解和掌握这两个公式的联系和差异，举一反三，灵活运用。
五、结语在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是非常基础但又非常重要的知识点。
完全平方公式与平方差公式教案
完全平方公式与平方差公式教案章节一：完全平方公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式的概念，例如求(x + 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x + 2)²= x²+ 4x + 4，发现完全平方公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用完全平方公式进行计算。
章节二：平方差公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入平方差公式的概念，例如求(x 2)²的值。
2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x 2)²= x²4x + 4，发现平方差公式的规律。
4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式进行计算。
章节三：完全平方公式与平方差公式的应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的应用，例如求(x +1)(x 1) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 1)(x 1) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
章节四：完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展，例如求(x + 2)(x 2) 的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 2)(x 2) 进行展开和简化。
4. 练习：布置一些更复杂的实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。
1. 回顾：引导学生回顾本节课学习的完全平方公式与平方差公式。
3. 评价：对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习。
4. 布置作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
章节六：完全平方公式与平方差公式的综合应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的综合应用，例如求(x + y)²(x y)²的值。
2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + y)²(x y)²进行展开和简化。
完全平方和平方差公式
平方差公式和完全平方公式（一）平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
（二）完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
（三）平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：（四）左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
（五）该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
（六）该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
8.3.2完全平方公式与平方差公式课件
情境导入
地主与农民的故事
以前，狡猾的地主，把一块长为a米的 正方形土地租给农民种植。某一年，他对 农民说：“我把你这块地一边减少5米，另 一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏， 你看如何？”农民听了，觉得好像没有吃 亏，就答应了。农民回到村里，把这件事 跟大伙一说，其他人都认为这个农民吃亏 了。你觉得农民吃亏了吗？为什么？
做一做
下图是一个边长为 a 的大正方形,
割去一个边长为b 的小正方形.小明
将绿色和黄色两部分拼成一个长方形. 分别计算它们的面积，你有什么发现？
a
a
b
a a
a
b
a-b
b
b
(a b)(a b) a2 b2
(x y)( x y)( x2 y2 ) (x4+y4 )
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )(x4+y4 )
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
平方差公式的特征： （1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差. （2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
a2 b2
两数和 两数差 两数平方差
平方差公式：
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差.
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
左边有 相同项a,相反项b 右边= 相同项a2减去相反项b2
11.平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式知识点一：平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
例1.计算：(1) (-3x-2y)(2y-3x)(2)(3) (4)例2.计算（2+1）（22+1）（24+1）·……（22n+1）变式练习1、简便运算(1) (2)2、先化简，再求值：，其中x=10，y=3、先化简，再求值：.其中知识点二、完全平方公式完全平方公式：常用变形：例1．如果 是一个完全平方式，那么m 的值是____________.例2.已知a+b =6，ab =7，求下列各式的值：(1) ； ；例3.运用乘法公式计算：(1) (a-b+c )2； (2)(a+2b-3c )2；(3)(a+b+c )(a-b-c ) (4)(-2+y )(-2-y )-(y -1)(y +5)变式练习1、已知a+b =3，ab =-12，求下列各式的值。
(1)2、若 ， ，则 .3、已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．4、计算（3x+2）2－（3x －2）2+（3x+2）2（3x －2）2知识点三、平方差公式与完全平方公式的综合应用例4.计算： .变式练习1、计算2、当x 、y 为何值时，多项式2x 2－4xy+5y 2－12y+13有最小值，并求出这个最小值。
3、观察：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅ ……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．4.解不等式课后练习1．下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A．（x+9）（x﹣9）B．（x+9）（﹣x﹣9）C．（﹣x+9）（﹣x﹣9）D．（﹣x﹣9）（x﹣9）2、（3a2－4b2）（－3a2+4b2）的运算结果是（）A、－9a4－4b4B、－9a4+24a2b2－16b4C、9a4－16b4D、9a4－24a2b2＋16b43、若4x2+axy+9y2是一个完全平方式,则a= ( )A、±12B、12C、－12D、±64、若4x2－20x+m2是一个完全平方式，则m= （）A、5B、－5C、±5D、255．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（x-y+z）（-x+y+z）=[z+（）][ ]=z2-（）2．7、已知4a2+16b2+12a－8b+10=0，则a+b= 。
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。
本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。
一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。
它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。
例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。
如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。
同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。
例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。
三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。
例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。
平方差公式与完全平方差公式
平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
熟悉公式：(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b(x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b(-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b将下列各式转化成平方差形式（1） 36－x 2 （2）a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2例1：计算下列各题1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (a+2b)(a-2b)6. (2x+12)(2x-12)例2：计算下列各题：1、 1998×20022、1.01×0.99 3.（20-19）×（19-89）例3：：计算下列各题1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)例4：计算下列各题1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)例5；计算下列各题1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项熟悉公式1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=5.将下列各式转化成完全平方式形式(1)a 2－4a ＋4 (2)a 2－12ab ＋36b 2 (3)25x 2＋10xy ＋y 2(4)16a 4＋8a 2＋1 (5) (m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 (6) 16a 4－8a 2＋1（7）249114x x --例1：计算下列各题1、2)(y x +2、2)23(y x -3、2)21(b a +4、2)12(--t5、2)313(c ab +- 6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2 例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032例3：（1）若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。
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公式变形 ab b a b a 4)()(2
2=--+ 图形验证
如图1是一个相邻两边分别是2a 和2b 的长方形，按图中虚线剪开再拼成图2的大正方形，中间有一个小正方形。
有拼图过程可知它的边长是a b -
(a-b)
图2
图1
b
b
b
b
b
b b
b a
a
a
a a
a
a
a
图2大正方形的面积中面积算？你有几种方法？
探究：
方法一：直接计算，大正方形的边长是a b +，因此大正方形吵得面积为2
)(b a +， 方法二：它是由五小块组成的其和为大正方形的面积是 2
()4a b ab -+ 由两种方法可以得到ab b a b a 4)()(2
2
+-=+ 变形可得 ab b a b a 4)()(22
=--+。
结论：
2)(b a +与2)(b a -的差是ab 的4倍。
已知a+b ，a-b ，ab 三个量中任意两个量，就可
以求出第三个量。