培优3三数和的完全平方公式
三个式子的完全平方公式
三个式子的完全平方公式完全平方公式是解二次方程的重要工具，它可以帮助我们简化计算过程，快速求得方程的解。
在数学中，我们常常会遇到关于平方的问题，而完全平方公式则提供了一种简便的方法来解决这些问题。
我们来看一下完全平方公式的第一个式子：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的平方和。
例如，我们可以将$(x+3)^2$展开为$x^2+6x+9$。
这个公式在代数中非常常见，它帮助我们将复杂的二次项拆解成简单的一次项相加。
接下来，我们来看一下完全平方公式的第二个式子：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的差的平方。
例如，我们可以将$(x-3)^2$展开为$x^2-6x+9$。
这个公式与第一个式子非常相似，只是符号不同。
它也可以帮助我们将复杂的二次项拆解成简单的一次项相减。
我们来看一下完全平方公式的第三个式子：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
这个公式告诉我们，一个二次项可以表示为两个一次项的乘积。
例如，我们可以将$x^2-9$展开为$(x+3)(x-3)$。
这个公式在因式分解中非常有用，它可以帮助我们将二次项分解成两个一次项的乘积。
通过这三个完全平方公式，我们可以更加灵活地处理二次项。
无论是展开还是因式分解，这些公式都能够帮助我们简化计算过程，提高效率。
因此，在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择适合的公式来运用。
除了解决数学问题，完全平方公式还有一些其他的应用。
例如，在物理学中，我们经常会遇到运动方程。
如果我们知道物体的位移和加速度，可以使用完全平方公式来求解物体的速度。
通过将位移用完全平方公式展开，我们可以得到速度的表达式，从而更好地理解物体的运动规律。
在实际生活中，完全平方公式也有一些应用场景。
例如，我们购买商品时常常会遇到打折优惠的情况。
如果我们知道原价和折扣率，可以使用完全平方公式来计算打折后的价格。
完全平方公式ppt课件
4. 解法：
（1）先把二次方程化为完全 平方公式的形式： ax² + bx + c = 0
完全平方公式
（2）然后将方程按照完全平方公式的标准形式：
(x + p)² + q = 0
01
（5）求出方程的根：
x1 = -p + √(-q)
04
x2 = -p - √(-q)
（3）求出p、q的值：
02
p = -b/2a q = c - b²/4a
一、完全平方公式
演讲人 2023-01-14
目录
01
02
完全平方公式
实例
完全平方公式
1. 定义：
完全平方公式，又称为对称二 次方程，指的是可以表示为一
个完全平方式的二次方程。
2. 标准形式：
ax² + bx + c = 0
3. 用途：
完全平方公式可以用来解决二 次方程，求解方程的根，从而
解决一些数学问题。
04
0 5
（1）将二次方程化为完全平方公式的形式：
x² - 10x + 25 = 0
（3）求出p、q的值：
p = -10/2 q = 25 - 100/4
实例
x1 = 5 + √24 01
03 x1 = 9
（5）求出方程 的根：x2 = 5 - √2 0204 x2 = 1
谢谢
03
（4）由求出的p、q值代入完全平方公式中：
(x + p)² + q = 0
实例
例1：解x² - 10x + 25 = 0
在右侧编辑区输入内容
（2）按照完全平方公式的标准形式：
《完全平方公式》PPT课件
-.
思考:
你能计算图1和图2的面积吗？
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
b ab b²
(a+b)
a a²² ab
ab
(a b)2 a2+ 2ab+b2
b a b²
a
b
a² a
(a-b)² b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
完全平方公式的数学表达式：
3、若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
基础练习:
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2；
(2) (y-5)2；
(3) (-2x+5)2；
(4) ( 2 x - 3 y)2.
34
2.运用完全平方公式计算:
(1) 9.9
(2)201
3.若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
4.已知 x y 8，x y 4，求xy.
.
(1)
(1 x 2 y2)2 23
(2) 1012
解：1
1 2
x
2 3y2Βιβλιοθήκη 21 2x
2
2
1 2
x
2 3
y2
2 3
y2
2
1 x2 2 xy2 4 y4;
43
9
21012 100 12
1002 21001 12
10201.
例3：计算： (1) (x 2y) (x 2y) (x 2y)2 8y2
2
x
2
1 2
x
2 3
y
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。
这两个公式分别称为完全平方和公式与完全平方差公式。
完全平方和公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²完全平方差公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²二、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
对于完全平方和公式（a ＋ b)²，将其展开：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼对于完全平方差公式（a b)²，展开可得：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼三、完全平方公式的特点1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是左边二项式中两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。
3、公式中的字母 a、b 可以表示数、单项式或多项式。
四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²（a b)²＝ 4ab五、完全平方公式的应用1、整式乘法运算在进行整式乘法运算时，若遇到形如（a ＋ b)²或（a b)²的式子，可以直接运用完全平方公式进行计算，简化运算过程。
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
培优3三数和的完全平方公式
培优3三数和的完全平方公式(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc其中，a、b、c为任意实数。
这个公式可以通过展开两个完全平方和的和的方式来证明：(a+b+c)^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2= a^2 + b^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc因此，培优3三数和的完全平方公式可以用来求解三个实数的和的平方。
下面将详细介绍培优3三数和的完全平方公式的应用。
首先考虑一个简单的例子：若a=2，b=3，c=4，代入公式，则有：(2+3+4)^2=2^2+3^2+4^2+2*2*3+2*2*4+2*3*4=81公式的应用可以用于解决类似于完全平方和的问题。
例如，考虑以下问题：问题：给定实数a、b、c，求(a+b+c)^2解法：使用培优3三数和的完全平方公式，可以得到：(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc因此，我们只需要将a、b、c的值代入公式中进行计算即可。
这个公式的一个重要应用是在代数表达式的展开中。
例如，我们可以使用完全平方公式将(x+2)(x+3)展开：(x+2)(x+3)=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6在这个例子中，我们使用了(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2ac + 2bc的形式来展开表达式。
另一个应用是在求解二次方程中。
考虑一个简单的二次方程，例如x^2+5x+6=0。
我们可以通过将方程转化为完全平方形式来求解它：x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0然后，我们可以使用零乘积法则求解该方程，即x+2=0或x+3=0。
因此，方程的解为x=-2或x=-3在最后的应用中，我们来考虑一个更复杂的例子。
假设我们有三个实数a、b、c，我们想要求解三个数的和的平方再加上乘积等于一些特定值的问题，即(a+b+c)^2 + abc = k。
七年级完全平方公式培优讲义讲课讲稿
七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。
而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。
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初中数学培优讲座3 三数和的完全平方公式
三个数和的平方公式:ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
证明：
222
2
)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++
ca bc ab c b a c bc ac b ab a 2222222222
22+++++=+++++=
∴等式成立
语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两数的积的2倍。
一般地，我们有
即三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的2倍。
这个公式叫做（乘法的）三数和的完全平方公式。
扩展：几个数的和的平方，等于这几个数中每个数的平方和加上其中每两个数的积的2倍。
练习：运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2
()a b c -+；
（2）2()a b c +-；
（3）2()a b c --；
（4）2()a b c --+。
例1 运用三个数的完全平方公式计算：
（1）2(2)x y z ++； （2）（a-2b+c ）2； （3）2(3)m n --。
解：（1）2222(2)(2)2(2)2(2)2x y z x y z x y y z z x ++=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2224442x y z xy yz xz =+++++；
（2）2222
(2)(2)2(2)2(2)2a b c a b c a b b c c a -+=+-++⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯ 2224442a b c ab bc ac =++--+；
（3）2
(3)m n -- 222()(3)2()2()(3)2(3)()m n m n n m =+-+-+⨯⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯
229266m n mn n m =++-+-222669m mn n m n =-+-++。
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．
解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．
例3 运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2213； （2）2
128。
解：（1）22222213(200103)200103220010210323200=++=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4000010094000601200=+++++
45369=；
（2）22
128(100302)=+- 22210030(2)210030230(2)2(2)100=++-+⨯⨯+⨯⨯-+⨯-⨯
1000090046000120400=+++--
16384=。
强化训练：
1．运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2(3)x y z --； （2）2(14)y z +-；
（3）2(32)a b c --+； （4）22(2)x x -+；
（5）2(234)x y z ++； （6）2(34)x y z --。
2．下面各式的计算错在哪里？应该怎样改正？
（1）2222()
222a b c a b c ab bc ca ---=------； （2）2
222()222a b c a b c ab bc ca -++=-++-+-。
3．运用三数和的完全平方公式计算：
（1）2142； （2）2128。
4．已知1113,4,5201020
a x
b x
c x =+=+=+，求代数式222222a b c ab bc ac ++--+的值．
5．已知,,a b c 为三角形的三边，2228a b c ++=，4ab bc ac --=，求a b c +-的值．
6.有理数a 、b 、c 满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么
111a b c
++的值是( ). (A)是正数 (B)是零
(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或0
知识拓展：
因为ca bc ab c b a a c c b b a 222222)()()(222222---++=-+-+-
=)(2222ca bc ab c b a ---++
所以ca bc ab c b a ---++222=2
1])()()[(222a c c b b a -+-+-（熟记该公式）
应用举例：
【例4】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 解：因为ca bc ab c b a ---++222=
21])()()[(222a c c b b a -+-+- 又a-b =－1,b-c=－1,c-a=2
所以ca bc ab c b a ---++222=
21])()()[(222a c c b b a -+-+- =2
1]2)1()1[(222+-+-=3 【例5】．已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明
该三角形是什么三角形？
解：∵22223()()a b c a b c ++=++
∴ 3（)222c b a ++=ca bc ab c b a 222222+++++
即)(2222ca bc ab c b a ---++=0
所以2
22)()()(a c c b b a -+-+-=0
因为三个非负数的和为0，则每个都等于0
所以a=b=c,所以△ABC 是等边三角形.
练习：
7.如果-1,那么x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx=____________
8.已知a 十x 2=2011，b ＋x 2=2012,c ＋x 2=2013，且abc=24，则
c
b a ab
c ac b bc a 111---++=______________.
9.若a,b,c 是实数,且2+b 2+c 2=4,则(a-2b+c)1994=______.
10.如果：a ≠0，14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c) 2，那么，a ∶b ∶c=______．。