完全平方公式与平方差公式培优训练
完全平方公式和平方差公式专项训练
完全平方公式和平方差公式专项训练一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为实数且a不为零。
接下来我们将分别介绍完全平方公式和平方差公式。
根据完全平方公式，我们可以得到以下结论：1.当一个一元二次方程能够被写成一些二次项的平方时，它就可以被看作是两个相同因式相乘的结果。
2.当一个一元二次方程的二次项系数为1时，我们可以直接利用完全平方公式求解方程。
考虑一元二次方程x^2+6x+9=0，我们可以将其写成(x+3)^2=0的形式。
由此可得x=-3、这就是完全平方公式的应用。
接下来我们来介绍平方差公式。
平方差公式是一种将一个二次方程转化为平方的形式的方法。
平方差公式的表达式为：(a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2根据平方差公式，我们可以得到以下结论：1.当一个二次方程能够被写成一些一次项和一些常数的平方差时，它就可以被看作是两个相同因式的乘积。
2.当一个二次方程的一次项系数为1时，我们可以直接利用平方差公式求解方程。
考虑二次方程x^2-4x+4=0，我们可以将其写成(x-2)^2=0的形式。
由此可得x=2、这就是平方差公式的应用。
在实际问题中，我们经常会遇到需要使用完全平方公式和平方差公式来求解方程的情况。
下面是一些专项训练的例题，通过解答这些例题，我们能够更好地掌握和应用这两个公式。
例题1：求解方程x^2+8x+16=0。
解答：这是一个关于x的二次方程，可以写成(x+4)^2=0的形式。
由此可得x=-4例题2：求解方程x^2+14x+49=0。
解答：这是一个关于x的二次方程，可以写成(x+7)^2=0的形式。
由此可得x=-7例题3：求解方程9x^2-6x+1=0。
解答：这是一个关于x的二次方程，我们可以直接利用平方差公式求解。
将方程写成(3x-1)^2=0的形式，解得x=1/3通过以上例题的训练，我们对完全平方公式和平方差公式有了更深入的理解，并能够熟练地运用它们来解决一元二次方程的问题。
平方差完全平方公式(培优)
平方差完全平方公式•选择题（共1小题）二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _5. (1999?内江)配方：X 2+4X +=(X + ) 2 配方：x 2-x+ =(x-1) 22三.解答题(共小题) 5.计算：(1)(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c )6 .计算：1232 - 124 X 122 .7 .计算：2004 2tfi)4 2- 2005X20038. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y ) 2-(x -y ) 2;(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) X ；(4) .10 .化简：(m+n - 2) ( m+n+2).11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m )12 .计算(1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b );(2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4).13 .计算：20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12.14 .利用乘法公式计算：◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c )② 472 - 94 X 27+272.1. (1999?烟台) F 列代数式I ，比逹,普，其中整式有（ A . 1个B . 2个 C. 3个 D. 4个项式.15 .已知：x 2 - y 2=20, x+y=4,求 x - y 的值. ______________________16 .观察下列各式：(x - 1) (x+1) =x 2 - 1； (x - 1) (x 2+x+1) =x 3- 1 ； (x - 1) (x 3+x 2+x+1) =x 4- 1 …(1) _______________________________________________________________________________ 根据上面各式的规律得：(x - 1) (x m -1+x m -2+x m -3+…+x+1) = ______________________________________________________ ；(其中n 为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足x 丄=3，则x 2丄的值为 ___________________________20 . （2007?天水）若a 2 - 2a+仁0.求代数式 /+~丄^的值.21 . （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax 2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a 2±2ab+b 2= （a ± b ） 2.例如：（x - 1） 2+3、（x - 2） 2+2X 、（*X -2） 2疔x 2是x 2 - 2x+4的三种不同形式的配方（即"余项”分别是常数项、 一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1） 比照上面的例子，写出 x 2- 4x+2三种不同形式的配方；（2） 将a 2+ab+b 2配方（至少两种形式）;（3） 已知 a 2+b 2+c 2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 . (2004?太原)已知实数 a 、b 满足(a+b ) 2=1, (a - b ) 2=25,求 a 2+b 2+ab 的值.2 +，223 . (2001?宁夏)设 a - b=- 2，求 一的值.24 .已知(x+y ) 2=49, (x - y ) 2=1，求下列各式的值：(1) x 2+y 2; (2) xy .25 .已知x+丄=4,求x --------- 的值.26 .已知：x+y=3, xy=2，求 x 2+y 2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a 2+b 2, (a - b ) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x 2+xy+y 2 的值.18.门讨）⑴肖〔吟）（吟）（1+盘）29 -宀11x+1=0，求x2+；的值•求下列各式的值: (1)(2)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）1 . （1999?烟台）下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩，其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点：整式.分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.解答：解：整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评：主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减法.二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是二次三项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解.解答：解：由题意可知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二，点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式科•（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和••• x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式. 解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2,x3y, xy3 等都符合题意（答案不唯—A）.点评：考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4. （2004?南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x考点：多项式．分析：按照x 的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幕排列是x3+2x2—3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题(共26 小题)5．计算：(1)(x—y) (x+y) (x2+y2)(2)(a—2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式；完全平方公式．分析：(1) (x—y)与(x+y)结合，可运用平方差公式，其结果再与(x2+y2)相结合，再次利用平方差公式计算；( 2 )先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：( 1 )( x—y)( x+y)( x2+y2)，=( x2—y2)( x2+y2)，=x4—y4；( 2)( a—2b+c) ( a+2b—c)，2—( 2b—c)2，=a=a2—4b2+4bc—点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：(a+b) (a- b) =a2- b2.完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2.6 •计算：1232- 124 X 122 .考点：平方差公式.分析：先把124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.解答：解：1232- 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.7 •计算：2004 20042- 2005X2003考点：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003=2004 - 1, 将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答：解：2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的.8. (x- 2y+z) (-x+2y+z).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为[Z+(x- 2y) ][z -(x-2y)]，再运用平方差公式计算.解答：解：(x- 2y+z) (-x+2y+z), =[Z+ (x-2y) ][z -(x- 2y)], =£- ( x-2y )2, =£-( x2- 4xy+4y ),=z2- Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量.9 •运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).考点：平方差公式．专题：计算题．分析：(1) (x+y) 2-(x-y) 2可以利用平方差公式进行计算；( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化成[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；(3 )x可以转化成( 80-)( 80+)的形式，利用平方差公式计算；(4)可以转化为( 20-) 2进行简便计算．解答：解：(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y)，=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2)，=[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]，=x2-y2+4y- 4；(3 )x,=(80-)(80+)，=；( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10 .化简：(m+n- 2)(m+n+2).考点：平方差公式.分析：把(m+n)看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是- 2 与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答：解：( m+n- 2)( m+n+2 )，=( m+n) 2- 22，22=m +n +2mn- 4. 点评：本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式( a+b)( a - b) =a2- b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11. (x - 2y - m) (x—2y+m)考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把x- 2y 当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可.解答：解：( x- 2y- m )(x- 2y+m)，=( x- 2y) 2- m2，2- 4xy+4y2-=x2.m点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算(1)(a—b+c—d) (c—a - d - b);(2) (x+2y) (x—2y) (x4—8x2/+l6y4) •考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：( 1 )原式=([ c—b—d) +a][( c—b—d)—a] =( c—b—d) 2—a2 =c2+b2+d2+2bd—2bc—2cd—a2，(2 )T x4—8x2y2+16y4=( x2—4y2) 2•••原式=(x2—4y2)( x2—4y2)2=( x2—4y2) 3=( x2) 3—3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2—( 4y2)3=x6—12x4y2+48x2y4—64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13 ．计算：20082—20072+20062—20052+ (22)12.考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=( 20082—20072)+(20062-20052) + …+(22- 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007) +( 2006+2005)( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1)，=2008+2007+20 06+2005+… +2+1，=2017036．本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1 ，所有两数的和组成自然数求和．14 ．利用乘法公式计算：◎ ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)②472- 94 X 27+272.点评：考点：平方差公式；完全平方公式.分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94 写成2X 47 后，可用完全平方公式计算.解答：解：①原式=[a -( 3b- 2c)][a+( 3b - 2c) ]=a2 -( 3b- 2c)2=9b2+12bc-4c2；②原式=472- 2X 47X 27+272=(47- 27)2=400.点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键.①把(3b - 2c) 看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2X 47是利用完全平方公式的关键.15 .已知：x2- y2=20, x+y=4,求x - y 的值. _5考点：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答：解：a2- b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求得x- y=5.点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x- y的值，为5.16 .观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2- 1；(x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 …(1)根据上面各式的规律得：(x- 1) (x m-1+x m-2+x m-3+…+x+1) = x m- 1 ；(其中n为正整数)；(2)根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点：平方差公式.分析：(1 )认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空；(2 )先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+ …+x°= (x n+1- 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+…+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即可.解答：解：(1) ( x- 1 )(x m-1+x m-2+x m- 3+…+x2+x+1) =x m-1;(2 )根据上面的式子可得：2 31+x+x +x + …+宀(x n+1- 1 ) 十(X- 1 ),••• 1+2+22+…+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22- 1) ( 22+1) (24+1) = (24- 1) (24+1) =28- 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)・・・(364+1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算.解答：解：原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34- 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38- 1)1(38+1)(364+1),二(364- 1 )(364+1), (8分)=1(3128-=(31). ( 10 分) 本题主要考查了平方差公式，关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)的形式，点评:考点：专题：分析：平方差公式.计算题.由平方差公式，（1+2）（1 -丄）2 =1 —2寺（1-解答: 丄22--,依此类推，从而得出结果.解：原式=（1 - 丄22(1 +18.)(1=1(1 + ；）考点： 完全平方公式.专题： 计算题.分析： 将x+ —=3两边平方, 然后移项即可得出答案.解答： 解：由题意得，1 o x+—=3,两边平方得：«+2+ ：=9,故 x 2+ ° =7.X 故答案为：7.点评： 此题考查了完 全平方公式的知识，掌握完全点评: （1+二）24-■）.1210-■）210=1-本题考查了平 方差公式的反 复应用，是基础 知识要熟练掌 握.(1+(1+(1+(1+19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足二=3,则x 2+ °的值为 7平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题.20 . （2007?天水）若a2- 2a+仁0.求代数式/+~岂的值•考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值.解答：解：由a2-2a+1=0 得（a -1）2=0,••• a=1;把a=1代入a4+—^=1+1=2故答案为：2.点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a 的值，是解决本题的关键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a± b）2.例如：（x- 1）2+3、（x-2）2+2X、（丄x-2）2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2 4一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;（3）已知a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3 )通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值. 解答：解：(1)X2- 4x+2的三种配方分别为：2- 4x+2= (x -x2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . '：) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:'：)2-x2;(2)a2+ab+b2=(a+b) 2- ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2- ab+丄b2)(4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2〒(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评：本题考查了根据完全平方公式：a2± 2ab+b2=(a ± b) 2进行配方的能力.22 . (2004?太原)已知实数a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求a2+b2+ab 的值.考点：完全平方公式.分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab 转化为完全平方式(a+b) 2和ab的形式，即可求值.解答：解：•••( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2-2ab=25..4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2- ab=1 -(-6) =7.点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解.23 . (2001?宁夏)设a- b=- 2，求* 严-命的值.考点：完全平方公式.分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a -b= - 2代入计算即可.解答：解：原式/ + b2- 2ab =2G-b):1 2•/ a - b_- 2 ,•••原式_(-2〉2_ 2=2 .本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用.24 .已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1，求下列各式的值: (1) x2+y2; (2) xy.考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式把（x+y） 2 和（x- y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值.解答：解：由题意知：(x+y)2_x2+y2+2xy_49①，(x- y) 2_x2+y2 -2xy_1 ②，①+②得：(x+y)2+ (x-y) 2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2 (x2+y2),_49+1,_50,•-x2+y2_25；①-②得：4xy_(x+y) 2-( x-y) 2=49 -1_48,• xy_12.点评:点评：25 .已知考点：分析：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键.x+-^4,求X-丄的值.解答:完全平方公式. 把已知条件两边平方求出x2+ ；的值，再X根据完全平方公式整理成（X -丄）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算.解：•••二4,X••• x2+ - =142 ，(x-—)X2=12,点评：26 .已知考点：--x -二= .\本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.x+y=3, xy=2,求x2+y2的值.完全平方公式.分析：利用完全平方公式巧妙转化即可.解答：解：••• x+y=3,••• x2+y2+2xy=9,••• xy=2,• - x2+y2=9 -2xy=9 - 4=5.点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.27.已知a+b=3, ab=2，求a2+b2, (a- b) 2的值.考点：完全平方公式.分析：先把a+b=3两边平方, 然后代入数据计算即可求出a2+b2的值,根据完全平方公式把( a- b) 2展开, 再代入数据求解即可.解答：解：T a+b=3,• a2+2ab+b2=9,T ab=2,•-a2+b2=9 - 2 x 2=5；•(a-b) 2=a2- 2ab+b2=5- 2 x 2=1.点评：本题主要考查完全平方公式, 熟记公式结构是解题的关键, 整体代入思想的利用使计算更加简便.28 .若x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求x2+xy+y2的值.考点：完全平方公式.专题：整体思想.分析：先根据多项式乘多项式的法则把( x+2)(y+2)展开并解答：点评：29. x2考点：分析：代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值.解：•••( x+2)(y+2) =5,••• xy+2 (x+y)+4=5,••• x+y=2,• xy=- 3, 二x2+xy+y2=(x+y) 2- xy=22 -(-3) =7. 本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键.—11x+1=0, 求x2解答: 完全平方公式. 先把x2-11x+1=0两边同除x (由题意可知X M 0),得到x+二=11,然后把该式子两边平方即可得到/+ ;的值.X 解：••• X M 0 ,• X+ 二亠，X(x+—) 2=121,本题考查了完全平方公式，关点评:键是知道隐含 条件 X M 0, x 2- 11X + 1=0两边同 除X 得到 X+二=11，利用 X 和丄互为倒数乘 积是1,利用完 全平方公式来 进行解题.完全平方公式. 本题是完全平 方公式的应用， 两数的平方和， 再加上或减去 它们积的2倍， 就构成了一个 完全平方式.使 分式中含有 x 十！的形式，代 入求值. 解:（ 1） /宀 X =（X -丄）2 - 2， X =42 - 2， =14;2 30 .已+， (1)y H ；X(2)2 X I + x求下列各式的值: 14+1' 考点：分析：解答:一15'本题主要考查完全点评:平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.。
(完整版)平方差完全平方公式提高练习题
平方差公式专项练习题一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．C卷：课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+，ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（，bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 练一练 A 组： 1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
平方差与完全平方公式专练
平方差与完全平方公式专练一、平方差公式平方差公式是指一个差的平方可以展开为两个数的平方的差。
即对于任意实数a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^2下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用平方差公式。
例题1：计算下列各式的值：(1)(6+3)(6-3)(2)(5+2)(5-2)(3)(9+4)(9-4)解答：(1)(6+3)(6-3)=6^2-3^2=36-9=27(2)(5+2)(5-2)=5^2-2^2=25-4=21(3)(9+4)(9-4)=9^2-4^2=81-16=65例题2：已知两个数字的和为17，差为7，求这两个数字。
解答：设两个数字分别为x和y，根据题意可以得到两个方程：x+y=17x-y=7我们可以使用平方差公式对第二个方程进行变形：(x+y)(x-y)=(17)(7)可以得到：x^2-y^2=119将第一个方程代入上述方程中：17^2-y^2=119289-y^2=119y^2=289-119y^2=170y=±√170代入第一个方程中可以解得：x=17-y如果y=√170，则x=17-√170如果y=-√170，则x=17+√170所以。
通过以上例题的练习，我们可以发现平方差公式在解决方程和计算中的巧妙运用，可以简化计算过程，提高解题效率。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以写成一个二次项的平方。
即对于任意实数a和b，有a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用完全平方公式。
例题1：计算下列各式的值：(1)2^2+2(2)(3)+3^2(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2(3)12^2+2(12)(5)+5^2解答：(1)2^2+2(2)(3)+3^2=(2+3)^2=5^2=25(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2=(-5+4)^2=(-1)^2=1(3)12^2+2(12)(5)+5^2=(12+5)^2=17^2=289例题2：已知一个二次多项式x^2+10x+k是一个完全平方，求k的值。
平方差公式和完全平方公式训练
平方差公式填空：1、(2x-1)( )=4x 2-12、(-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 2 第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (2x+12)(2x-12) 4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、498×5022、1.01×0.993、（100-13）×（99-23）4、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3. (b+2a)(2a-b) 4.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=一、计算下列各题：1、2)21(b a + 2、2)23(y x - 3、2(324)x y z -- 4、2)12(--t 5、 (0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032三、计算：（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- （3）()()2()x y x y x y --+-四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy （3）)4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x （3）)3)(3(+---b a b a六、拓展延伸 巩固提高1、若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。
平方差、完全平方公式专项练习题
平方差公式专项练习题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．11．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．3．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5．下列运算正确的是（）A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8C．（－2a2b）·4a=－24a6b3D．（－13a－4b）（13a－4b）=16b2－19a26．计算：（a+1）（a－1）=______．完全平方公式变形的应用1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
平方差公式与完全平方公式提高训练
平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式x_1x_2=c/ax_1+x_2=-b/a其中，a、b、c为方程的系数。
平方差公式可以帮助我们在解二次方程时，通过已知的一根求出另一根。
它的推导基于第二个根是解得方程ax^2+bx+c=0的一个根，记为x_2、那么我们可以将二次方程表示为(x-x_2)(x-x_1)=0，展开：x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。
比较系数即可得到平方差公式。
举例来说，假设有一个二次方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式来解题。
根据平方差公式，我们可以得到：x_1x_2=6/1=6x_1+x_2=-(-5)/1=5因此，方程的两个根分别为2和3二、完全平方公式完全平方公式是指对于一个一次方程x^2+2ax+a^2=b，可以转变为(x+a)^2=b的形式。
完全平方公式可以帮助我们在解一次方程时，简化计算。
它的推导基于二次方程与一次方程的关系：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它有两个相等的根x_1=x_2=x，那么x也是对应的一次方程bx+c=0的一个解。
举例来说，假设有一个一次方程x^2+6x+9=25，我们可以使用完全平方公式来解题。
根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=25因此，方程的解为x=-3±√25总结：平方差公式和完全平方公式是高中数学中非常基础和重要的概念，它们在解二次方程和一次方程时非常有用。
通过掌握和熟练应用这两个公式，我们可以简化计算，提高解题效率。
因此，在数学学习中，我们要加强对这两个公式的理解和应用。
完整版)平方差公式与完全平方公式练习题
完整版)平方差公式与完全平方公式练习题1.计算以下多项式的积：1) $x^2-1$2) $m^2-4$3) $(2x)^2-1$4) $x^2-25y^2$2.哪些多项式可以用平方差公式相乘？1) 可以2) 可以3) 可以4) 可以5) 可以6) 可以3.计算：1) $9x^2-4$2) $4a^2-3b^2$3) $4y^2-x^2$4.简便计算：1) $9996$2) $-y^2-3y+10$5.计算：1) $4y^2-xy-2x^2$2) $25-4x^2$3) $-0.5x^4+0.25x^2$4) $12x$5) $.75$6) $9999$6.证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方。
假设两个连续奇数为$(2n+1)$和$(2n+3)$，它们的积为$(2n+1)(2n+3)=4n^2+8n+3$，加上1后得到$4n^2+8n+4=(2n+2)^2$，是一个偶数的平方。
7.求证：$(m+5)^2-(m-7)^2$一定是24的倍数。
m+5)^2-(m-7)^2=(m^2+10m+25)-(m^2-14m+49)=24m-24$。
是24的倍数。
完全平方公式（一）1.应用完全平方公式计算：1) $16m^2+8mn+n^2$2) $y^2-6y+9$3) $a^2+2ab+b^2$4) $b^2-2ab+a^2$2.简便计算：1) $$2) $9801$3) $50$4) $50$3.计算：1) $16x^2-8xy+y^2$2) $9a^4-24a^3b+16a^2b^2$3) $10xy^2-y^4$4) $-9a^2-2ab-3b^2$5) $6x^2-3xy+3y^2$4.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？1) 是2) 是3) 不是4) 是5) 是完全平方公式（二）1.运用法则：1) $a+\dfrac{b-c}{2}$2) $a-\dfrac{b-c}{2}$3) $a-\dfrac{b+c}{2}$4) $a+\dfrac{b+c}{2}$2.判断下列运算是否正确：1) 正确2) 错误3) 正确4) 错误3.计算：1) $x^2-4y^2+12x-12y+9$2) $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$3) $6x+9$4) $2x^2+16x+19$4.计算：dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{4}$1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{4}$1.求(a-b+2c)²和(a+b+c)²-(a-b-c)²的结果。
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变形公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+=-+-=++-=+-+=+ab b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a 4)()(4)()(2)(2)(2222222222常考公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+-+=+
2)1(12)1(1222222x x x x x x x x 知识点一、多项式乘多项式法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
由多项式乘多项式法则可以得到：
bd bc ad ac d c b d c a d c b a +++=+++=++)()())((
知识点二、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+
两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
1、即：=-+))((b a b a 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方
2、平方差公式可以逆用，即：))((2
2b a b a b a +-=-。
3、能否运用平方差公式的判定
①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a)
②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差 即：a 2-b 2 或-b 2+a 2
知识点三、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
知识点四、变形公式
例题讲解
1、计算
10199⨯
2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L 298
(22)(22)a b c a b c +++-
2、公式的逆用
(1) 如果x 2-y 2=12，x +y=3，则x -y 的值是
（2）已知a+b=3，ab=1，则a 2+b 2的值为
（3）若=
（4）已知a+b=5,ab=6，则(a-b)2的值为( )
(A)1 (B)4 (C)9 (D)16
（5）已知，求________，________ （6）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于( )
(A)64 (B)48 (C)32 (D)16
（7）已知4x 2+4mx+36是完全平方式，则m 的值为( )
(A)2 (B)±2 (C)-6 (D)±6
基础巩固
一、选择题
1、下列等式能够成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．41)21(22+=-x x 2、下列等式能够成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3、如果9x 2+kx+25是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A ．15
B ．±5
C ．30
D ．±30 22()12,()16,x y x y xy -=+=则3)(,7)(22=-=+b a b a =+2
2b a =ab 222121⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 222121⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 412122
-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 222)(y xy x y x +-=-2229)3(y x y x +=+222
4121y xy x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-9)9)(9(2-=+-m m m
4、若a﹣b=，且a2﹣b2=，则a+b的值为（）
A．﹣ B．C．1 D．2
5、已知x y = 9，x－y=－3，则x2+3xy+y2的值为（）
A、27
B、9
C、54
D、18
6、将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个
图形的面积关系得到的数学公式是（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
7、若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A﹣2003的末位数字是（）
A．0 B．2 C．4 D．6
8、（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是（）
A．x4+16 B．﹣x4﹣16 C．x4﹣16 D．16﹣x4
9、（﹣x+y）（）=x2﹣y2，其中括号内的是（）
A．﹣x﹣y B．﹣x+y C．x﹣y D．x+y
10、在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形
（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个
等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个
等式，这个等式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）
11、如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（）
A. （2a2+5a）cm2B．（3a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（6a+15）cm2
12、如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）
的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边
形，则该平行四边形的面积为（ ）
A ．a 2+4
B ．2a 2+4a
C ．3a 2﹣4a ﹣4
D ．4a 2﹣a ﹣2 13、若4x 2﹣2（k ﹣1）x+9是完全平方式，则k 的值为（ ）
A ．±2
B ．±5
C ．7或﹣5
D ．﹣7或5 14、已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 15、若a ﹣=2，则a 2+
的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．6 16、设（2a+3b ）2=（2a ﹣3b ）2+A ，则A=（ ）
A ．6ab
B ．12ab
C ．0
D ．24ab 17、已知x 2﹣3x+1=0，那么
的值是（ ） A ．3 B ．7
C ．9
D ．11 18、当n 是整数时，（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2是（ ）
A ．2的倍数
B ．4的倍数
C ．6的倍数
D ．8的倍数
二、填空题
1、若2210a a --=，则221a a +
=____________． 2、=⨯123457123455-1234562______
=⨯4394110______ 3、=++⋅⋅⋅++⋅1)12()12)(12(36442______
4、已知121=+x x ，则22-+x x = ，已知101=-x
x ，则22-+x x = 5、已知0162=+-x x ，则22-+x x =
6、已知100)(2=+b a ，4)(2=-b a ，则22b a += ，ab =
7、已知8=+b a ，12=ab ，则22b a += ，2)(b a -=
8、（a+b ﹣1）（a ﹣b+1）=（ ）2﹣（ ）2 9、若a+b=8，a ﹣b=5，则a 2﹣b 2= ．
10、已知a+b=8，a 2b 2=4，则﹣ab=
11、已知实数a 、b 满足a+b=5，ab=3，则a ﹣b=
12、已知x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，那么x y =
13、已知m 2+n 2﹣6m+10n+34=0，则m+n=
14、已知m 2﹣5m ﹣1=0，则
= 15、若m=2n+1，则m 2﹣4mn+4n 2的值是
16、若|x+y ﹣5|+（xy ﹣6）2=0，则x 2+y 2
的值为
三、计算题 )23)(25(y x y x -+
()()2
()x y x y x y --+-
)4)(1()3)(3(+---+a a a a
22)1()1(--+xy xy
)4)(12(3)32(2+--+a a a
(1)(2)(2)(21)2(2)x x x x x x -+----+
四、解答题 1、先化简，再求值: (x+2)2
-(x+1)(x-1),其中x=1.5
2、已知，求和的值
3、已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值。
课后练习
1、(34)(34)(23)(32)x x x x +--+-
2(21)(21)(21)x x x +-+-
2、先化简，后求值．
①x （x 2+3）+x 2（x-3）-3x （x 2-x-1），其中x=-3
②（x+5y ）（x+4y ）-（x-y ）（x+y ），其中x=2
，y=-．
4、计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣1
2
0132=+-x x 221x x +
441x x +2317。