平方差完全平方公式(培优)
平方差完全平方公式(培优)
平方差完全平方公式•选择题（共1小题）二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _5. (1999?内江)配方：X 2+4X +=(X + ) 2 配方：x 2-x+ =(x-1) 22三.解答题(共小题) 5.计算：(1)(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c )6 .计算：1232 - 124 X 122 .7 .计算：2004 2tfi)4 2- 2005X20038. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y ) 2-(x -y ) 2;(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) X ；(4) .10 .化简：(m+n - 2) ( m+n+2).11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m )12 .计算(1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b );(2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4).13 .计算：20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12.14 .利用乘法公式计算：◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c )② 472 - 94 X 27+272.1. (1999?烟台) F 列代数式I ，比逹,普，其中整式有（ A . 1个B . 2个 C. 3个 D. 4个项式.15 .已知：x 2 - y 2=20, x+y=4,求 x - y 的值. ______________________16 .观察下列各式：(x - 1) (x+1) =x 2 - 1； (x - 1) (x 2+x+1) =x 3- 1 ； (x - 1) (x 3+x 2+x+1) =x 4- 1 …(1) _______________________________________________________________________________ 根据上面各式的规律得：(x - 1) (x m -1+x m -2+x m -3+…+x+1) = ______________________________________________________ ；(其中n 为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足x 丄=3，则x 2丄的值为 ___________________________20 . （2007?天水）若a 2 - 2a+仁0.求代数式 /+~丄^的值.21 . （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax 2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a 2±2ab+b 2= （a ± b ） 2.例如：（x - 1） 2+3、（x - 2） 2+2X 、（*X -2） 2疔x 2是x 2 - 2x+4的三种不同形式的配方（即"余项”分别是常数项、 一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1） 比照上面的例子，写出 x 2- 4x+2三种不同形式的配方；（2） 将a 2+ab+b 2配方（至少两种形式）;（3） 已知 a 2+b 2+c 2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 . (2004?太原)已知实数 a 、b 满足(a+b ) 2=1, (a - b ) 2=25,求 a 2+b 2+ab 的值.2 +，223 . (2001?宁夏)设 a - b=- 2，求 一的值.24 .已知(x+y ) 2=49, (x - y ) 2=1，求下列各式的值：(1) x 2+y 2; (2) xy .25 .已知x+丄=4,求x --------- 的值.26 .已知：x+y=3, xy=2，求 x 2+y 2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a 2+b 2, (a - b ) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x 2+xy+y 2 的值.18.门讨）⑴肖〔吟）（吟）（1+盘）29 -宀11x+1=0，求x2+；的值•求下列各式的值: (1)(2)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）1 . （1999?烟台）下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩，其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点：整式.分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.解答：解：整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评：主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减法.二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是二次三项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解.解答：解：由题意可知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二，点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式科•（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和••• x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式. 解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2,x3y, xy3 等都符合题意（答案不唯—A）.点评：考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4. （2004?南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x考点：多项式．分析：按照x 的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幕排列是x3+2x2—3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题(共26 小题)5．计算：(1)(x—y) (x+y) (x2+y2)(2)(a—2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式；完全平方公式．分析：(1) (x—y)与(x+y)结合，可运用平方差公式，其结果再与(x2+y2)相结合，再次利用平方差公式计算；( 2 )先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：( 1 )( x—y)( x+y)( x2+y2)，=( x2—y2)( x2+y2)，=x4—y4；( 2)( a—2b+c) ( a+2b—c)，2—( 2b—c)2，=a=a2—4b2+4bc—点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：(a+b) (a- b) =a2- b2.完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2.6 •计算：1232- 124 X 122 .考点：平方差公式.分析：先把124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.解答：解：1232- 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.7 •计算：2004 20042- 2005X2003考点：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003=2004 - 1, 将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答：解：2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的.8. (x- 2y+z) (-x+2y+z).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为[Z+(x- 2y) ][z -(x-2y)]，再运用平方差公式计算.解答：解：(x- 2y+z) (-x+2y+z), =[Z+ (x-2y) ][z -(x- 2y)], =£- ( x-2y )2, =£-( x2- 4xy+4y ),=z2- Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量.9 •运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).考点：平方差公式．专题：计算题．分析：(1) (x+y) 2-(x-y) 2可以利用平方差公式进行计算；( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化成[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；(3 )x可以转化成( 80-)( 80+)的形式，利用平方差公式计算；(4)可以转化为( 20-) 2进行简便计算．解答：解：(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y)，=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2)，=[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]，=x2-y2+4y- 4；(3 )x,=(80-)(80+)，=；( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10 .化简：(m+n- 2)(m+n+2).考点：平方差公式.分析：把(m+n)看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是- 2 与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答：解：( m+n- 2)( m+n+2 )，=( m+n) 2- 22，22=m +n +2mn- 4. 点评：本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式( a+b)( a - b) =a2- b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11. (x - 2y - m) (x—2y+m)考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把x- 2y 当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可.解答：解：( x- 2y- m )(x- 2y+m)，=( x- 2y) 2- m2，2- 4xy+4y2-=x2.m点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算(1)(a—b+c—d) (c—a - d - b);(2) (x+2y) (x—2y) (x4—8x2/+l6y4) •考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：( 1 )原式=([ c—b—d) +a][( c—b—d)—a] =( c—b—d) 2—a2 =c2+b2+d2+2bd—2bc—2cd—a2，(2 )T x4—8x2y2+16y4=( x2—4y2) 2•••原式=(x2—4y2)( x2—4y2)2=( x2—4y2) 3=( x2) 3—3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2—( 4y2)3=x6—12x4y2+48x2y4—64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13 ．计算：20082—20072+20062—20052+ (22)12.考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=( 20082—20072)+(20062-20052) + …+(22- 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007) +( 2006+2005)( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1)，=2008+2007+20 06+2005+… +2+1，=2017036．本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1 ，所有两数的和组成自然数求和．14 ．利用乘法公式计算：◎ ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)②472- 94 X 27+272.点评：考点：平方差公式；完全平方公式.分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94 写成2X 47 后，可用完全平方公式计算.解答：解：①原式=[a -( 3b- 2c)][a+( 3b - 2c) ]=a2 -( 3b- 2c)2=9b2+12bc-4c2；②原式=472- 2X 47X 27+272=(47- 27)2=400.点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键.①把(3b - 2c) 看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2X 47是利用完全平方公式的关键.15 .已知：x2- y2=20, x+y=4,求x - y 的值. _5考点：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答：解：a2- b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求得x- y=5.点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x- y的值，为5.16 .观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2- 1；(x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 …(1)根据上面各式的规律得：(x- 1) (x m-1+x m-2+x m-3+…+x+1) = x m- 1 ；(其中n为正整数)；(2)根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点：平方差公式.分析：(1 )认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空；(2 )先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+ …+x°= (x n+1- 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+…+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即可.解答：解：(1) ( x- 1 )(x m-1+x m-2+x m- 3+…+x2+x+1) =x m-1;(2 )根据上面的式子可得：2 31+x+x +x + …+宀(x n+1- 1 ) 十(X- 1 ),••• 1+2+22+…+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22- 1) ( 22+1) (24+1) = (24- 1) (24+1) =28- 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)・・・(364+1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算.解答：解：原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34- 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38- 1)1(38+1)(364+1),二(364- 1 )(364+1), (8分)=1(3128-=(31). ( 10 分) 本题主要考查了平方差公式，关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)的形式，点评:考点：专题：分析：平方差公式.计算题.由平方差公式，（1+2）（1 -丄）2 =1 —2寺（1-解答: 丄22--,依此类推，从而得出结果.解：原式=（1 - 丄22(1 +18.)(1=1(1 + ；）考点： 完全平方公式.专题： 计算题.分析： 将x+ —=3两边平方, 然后移项即可得出答案.解答： 解：由题意得，1 o x+—=3,两边平方得：«+2+ ：=9,故 x 2+ ° =7.X 故答案为：7.点评： 此题考查了完 全平方公式的知识，掌握完全点评: （1+二）24-■）.1210-■）210=1-本题考查了平 方差公式的反 复应用，是基础 知识要熟练掌 握.(1+(1+(1+(1+19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足二=3,则x 2+ °的值为 7平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题.20 . （2007?天水）若a2- 2a+仁0.求代数式/+~岂的值•考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值.解答：解：由a2-2a+1=0 得（a -1）2=0,••• a=1;把a=1代入a4+—^=1+1=2故答案为：2.点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a 的值，是解决本题的关键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a± b）2.例如：（x- 1）2+3、（x-2）2+2X、（丄x-2）2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2 4一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;（3）已知a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3 )通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值. 解答：解：(1)X2- 4x+2的三种配方分别为：2- 4x+2= (x -x2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . '：) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:'：)2-x2;(2)a2+ab+b2=(a+b) 2- ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2- ab+丄b2)(4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2〒(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评：本题考查了根据完全平方公式：a2± 2ab+b2=(a ± b) 2进行配方的能力.22 . (2004?太原)已知实数a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求a2+b2+ab 的值.考点：完全平方公式.分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab 转化为完全平方式(a+b) 2和ab的形式，即可求值.解答：解：•••( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2-2ab=25..4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2- ab=1 -(-6) =7.点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解.23 . (2001?宁夏)设a- b=- 2，求* 严-命的值.考点：完全平方公式.分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a -b= - 2代入计算即可.解答：解：原式/ + b2- 2ab =2G-b):1 2•/ a - b_- 2 ,•••原式_(-2〉2_ 2=2 .本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用.24 .已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1，求下列各式的值: (1) x2+y2; (2) xy.考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式把（x+y） 2 和（x- y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值.解答：解：由题意知：(x+y)2_x2+y2+2xy_49①，(x- y) 2_x2+y2 -2xy_1 ②，①+②得：(x+y)2+ (x-y) 2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2 (x2+y2),_49+1,_50,•-x2+y2_25；①-②得：4xy_(x+y) 2-( x-y) 2=49 -1_48,• xy_12.点评:点评：25 .已知考点：分析：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键.x+-^4,求X-丄的值.解答:完全平方公式. 把已知条件两边平方求出x2+ ；的值，再X根据完全平方公式整理成（X -丄）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算.解：•••二4,X••• x2+ - =142 ，(x-—)X2=12,点评：26 .已知考点：--x -二= .\本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.x+y=3, xy=2,求x2+y2的值.完全平方公式.分析：利用完全平方公式巧妙转化即可.解答：解：••• x+y=3,••• x2+y2+2xy=9,••• xy=2,• - x2+y2=9 -2xy=9 - 4=5.点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.27.已知a+b=3, ab=2，求a2+b2, (a- b) 2的值.考点：完全平方公式.分析：先把a+b=3两边平方, 然后代入数据计算即可求出a2+b2的值,根据完全平方公式把( a- b) 2展开, 再代入数据求解即可.解答：解：T a+b=3,• a2+2ab+b2=9,T ab=2,•-a2+b2=9 - 2 x 2=5；•(a-b) 2=a2- 2ab+b2=5- 2 x 2=1.点评：本题主要考查完全平方公式, 熟记公式结构是解题的关键, 整体代入思想的利用使计算更加简便.28 .若x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求x2+xy+y2的值.考点：完全平方公式.专题：整体思想.分析：先根据多项式乘多项式的法则把( x+2)(y+2)展开并解答：点评：29. x2考点：分析：代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值.解：•••( x+2)(y+2) =5,••• xy+2 (x+y)+4=5,••• x+y=2,• xy=- 3, 二x2+xy+y2=(x+y) 2- xy=22 -(-3) =7. 本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键.—11x+1=0, 求x2解答: 完全平方公式. 先把x2-11x+1=0两边同除x (由题意可知X M 0),得到x+二=11,然后把该式子两边平方即可得到/+ ;的值.X 解：••• X M 0 ,• X+ 二亠，X(x+—) 2=121,本题考查了完全平方公式，关点评:键是知道隐含 条件 X M 0, x 2- 11X + 1=0两边同 除X 得到 X+二=11，利用 X 和丄互为倒数乘 积是1,利用完 全平方公式来 进行解题.完全平方公式. 本题是完全平 方公式的应用， 两数的平方和， 再加上或减去 它们积的2倍， 就构成了一个 完全平方式.使 分式中含有 x 十！的形式，代 入求值. 解:（ 1） /宀 X =（X -丄）2 - 2， X =42 - 2， =14;2 30 .已+， (1)y H ；X(2)2 X I + x求下列各式的值: 14+1' 考点：分析：解答:一15'本题主要考查完全点评:平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.。
平方差公式与完全平方公式练习(基础+提高)
2.2完全平方公式你一定能完成一、精心选一选⒈ )32)(32(42y x y x x +--的计算结果是 【 】A ．29yB ．—29yC ．23yD ．2232y x +⒉ .在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ），如图1-8-1（1），把余下的部分拼成一个矩形如图1-8-1（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证【 】A.222()2a b a ab b +=++B.222()2a b a ab b -=-+C.22()()a b a b a b -=+-D.22(2)()2a b a b a ab b +-=+-二、耐心填一填：⒈ 利用乘法公式计算：=298 = = ；⒉ 若2542++kx x 是一个完全平方式，则k = .三、用心做一做：⒈ )3)(3()3()3(22b a b a b a b a +--++-，其中1,8-=-=b a ．⒉ ⑴ 22)2()2(b a b a +- ⑵ 22)3()3(b a b a +--相信你能完成一、精心选一选⒈已知1222=+b a ，3-=ab ，则2)(b a +的值是 【 】A ．6B ．18C ．3D ．12⒉要使等式22)()(b a M b a +=+-成立，代数式M 应是 【 】A ．ab 2B ．ab 4C ．ab 4-D ．ab 2-1-8-1（1） （2）平方差公式基础题一、选择题1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )A.(x+y)(－x－y)B.(2x+3y)(2x－3z)C.(－a－b)(a－b)D.(m－n)(n－m)2.下列计算正确的是( )A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9B.(x+4)(x－4)=x2－4C.(5+x)(x－6)=x2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b23.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a－b)(－b+a)B.(xy+z)(xy－z)C.(－2a－b)(2a+b)D.(0.5x－y)(－y－0.5x)4.(4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )A.－4x2－5yB.－4x2+5yC.(4x2－5y)2D.(4x+5y)25.a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a4－1D.1－2a46.下列各式运算结果是x2－25y2的是( )A.(x+5y)(－x+5y)B.(－x－5y)(－x+5y)C.(x－y)(x+25y)D.(x－5y)(5y－x)二、解答题7. a(a－5)－(a+6)(a－6) 8. ( x+y)( x－y)( x2+y2) 9. 9982－4 10. 2003×2001－20022平方差公式提高题一、选择题:1.下列式中能用平方差公式计算的有( )①(x-12y)(x+12y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列式中,运算正确的是( )①222(2)4a a =, ②2111(1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++⨯⨯=.A.①②B.②③C.②④D.③④3.乘法等式中的字母a 、b 表示( )A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.单项式、•多项式都可以二、解答题4.计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1).5.计算:22222110099989721-+-++- .6.(1)化简求值:(x+5)2-(x-5)2-5(2x+1)(2x-1)+x ·(2x)2,其中x=-1.二、典型例题例1：计算（1）(2m-3)(2m+3) （2）（a －2b ＋3c ）（a ＋2b+3c ）．（3）20052-2006×2004例2：因式分解（1）16－4a 4 （2）42242y y x x +-（3）22341ab b a a -+- （4）222224)(b a b a -+例3：已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值三：达标测试（一、选择题）1、下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）A 、)32)(32(b a b a ++-B 、)32)(32(b a b a --+-C 、)32)(32(b a b a --+D 、)32)(32(b a b a ---2、下列运算正确的是（ ）A 、a b a b a 2)(222++=+B 、222)(b a b a -=-C 、6)2)(3(2+=++x x xD 、22))((n m n m n m +-=+-+3、下列四个多项式是完全平方式的是（ ）A 、22y xy x ++B 、222y xy x --C 、22424n mn m ++D 、2241b ab a ++ 4、若22169y mxy x ++是完全平方式，则m =（ ）A 、12B 、24C 、±12D 、±245、已知5-=+y x ，6=xy ，则22y x +的值为（ ）A 、12B 、13C 、37D 、16（二、填空题）6、分解因式： x 2+y 2-2xy=7、已知x +y =1，那么221122x xy y ++的值为_______.8、在多项式4x2+1中添加，可使它是完全平方式（填一个即可），然后将得到的三项式分解因式是（三、计算）9、)yxx-+ 10、4(x+1)2-(2x+5)(2x-5) )(5353(y。
(完整版)平方差完全平方公式(培优1)52940
实用标准文案平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）2+x﹣，），，其中整式有（1．（1999?烟台）下列代数式，x 3个个4个C．D．A．1个B．2二．填空题（共3小题）2 _________ 项式．是_________ 次﹣2．（2011?湛江）多项式2x3x+5 ．（答案不唯一，只要写出一个），y的四次单项式_________ 3．（2010?毕节地区）写出含有字母x12222）内江）配方：32 _________ ．按x的降幂排列是．（42004?南平）把多项式2x﹣3x+xx+4x+___=(x+___）配方：x-x+ ___=(x-19995．（?226小题）三．解答题（共5．计算：22）x+y（1）（x﹣y）（x+y）（c）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣2 6．计算：123﹣124×122．7．计算：．x+2y+z）．．（x﹣2y+z）（﹣89．运用乘法公式计算．22﹣（）；x﹣y（1）（x+y）y+2）；﹣）（2（x+y﹣2）（x 80.2；79.8（3）×2 19.9（4）．10．化简：（．m+n+2）m+n﹣2）（x﹣2y+m）（2y11．（x﹣﹣m）．计算12 ﹣d﹣）；ba）﹣1（）（ab+c﹣d（c﹣4224（2）（+16y8xx（﹣y）．﹣（x+2y）x2y）222222 1+2+﹣2007200813．计算：﹣+20062005…﹣．．利用乘法公式计算：14 ﹣a+3b（2c））3b+2c﹣①（a22 94﹣47②27+27×．文档．22的值．_________ x﹣y =2015．已知：x﹣y，x+y=4，求433222 1﹣…+x+x+1）=x）（x+x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x（16．观察下列各式：（x﹣1）x+1）=x﹣1；（x﹣13m﹣1m﹣2m﹣；；_________ （其中n为正整数））根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x+x+x+…+x+1）= （16968234的值．…+2+2 （2）根据这一规律，计算1+2+2+2+2+ ．先观察下面的解题过程，然后解答问题：1742）．（题目：化简（2+1）2+1）（2+18442424224﹣1）（2+1）=2﹣1．=）（2+1）（2+1=（2﹣1）（2+1）（2+1）（2）=（解：（2+1）2+1）（2+1）（2﹣1）（2+164248 +1）．3+1）（3+1）…（问题：化简（3+1）（3+1）（3．18．2的值为+ _________ ．．19（2012?黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2的值．．求代数式?天水）若a﹣2a+1=0（20．20072配（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．阅读材料：．（2009?佛山）把形如ax+bx+c 的二次三项式21222．（a±2ab+b=a±b）方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即22222的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2x+4﹣x（例如：x﹣1）+3、（﹣2）+2x、（x2）+x是x﹣一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：2三种不同形式的配方；x﹣4x+21（）比照上面的例子，写出22 +ab+b配方（至少两种形式）；（2）将a222 3b﹣2c+4=0a+b+c的值．，求﹣+b（3）已知a+c﹣ab2222的值．+b）b=25，求a+ab（a+ba（22．2004?太原）已知实数、b满足（）=1，a﹣的值．，求2a（23．2001?宁夏）设﹣b=﹣22 =1，求下列各式的值：）﹣=4924．已知（x+y），（xy22．）；（2xy+y）（1x﹣，求x+25．已知=4x的值．22，求，．已知：26x+y=3xy=2x+y的值．222 27的值．）b﹣（+b，求ab=2，．已知a+b=3a，a22（），且（x+y=2．若28x+2，求=5）+xy+yx的值．y+2 菁优网?2010-201322的值．+11x+1=0，求x ﹣29．x，求下列各式的值：30．已；（1））．2（菁优网?2010-2013平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）2），?，其中整式有（烟台）下列代数式，x+x ﹣，（1．1999 个．3D．B． A 1个．2个4个C整式．考点：解决本题关键分析：是搞清整式的紧扣概念概念，作出判断．2解答：+x解：整式有x2，﹣共个．故选B．主要考查了整点评：式的有关概要能准确的念．分清什么是整整式是有理式．在式的一部分，有理式中可以乘，包含加，减，但除四种运算，在整式中除式不能含有字单项式和多母．项式统称为整单项式是字式．母和数的乘积，没有只有乘法，多项式加减法．是若干个单项有加减式的和，法．二．填空题（共3小题）2三项式．次是湛江）多项式（2011?2x﹣3x+5 二．2多项式．：考点计算题．专题：根据单项式的分析：菁优网?2010-2013系数和次数的定义，多项式的定义求解．解：由题意可解答：22x知，多项式二次﹣3x+5是三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．223．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式xy ．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数3，y的指数和∴x322等都是xyy，x 四次单项式．根据四次单解：解答：项式的定义，3322xy，yxy，x等都符合题意（答案不唯．一）点评：考查了单项式的次数的概只要两个字念．母的指数的和的单项式等于4 都符合要求．22334．（2004?南平）把多项式2x﹣3x+x按x的降幂排列是x+2x﹣3x ．菁优网?2010-2013考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂32﹣+2x排列是x3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共26小题）5．计算：22）+y））（x+y（x（1）（x﹣y（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再22）相结+y与（x合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）22），+y （x+y）（x22）y﹣=（x22），（x+y44；y=x ﹣（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），22，）2b﹣（﹣=ac22+4bc﹣=a﹣4b2．c点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．菁优网?2010-2013平方差公式：（a+b）（a﹣b）22．完全平﹣=ab方公式：（a±b）222．±=a2ab+b2﹣124×123122．6．计算：考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．2解答：﹣124解：123×122，2﹣（123+1）=123（123﹣1），22123﹣（=1232），﹣1=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．．计算：．7考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：，=菁优网?2010-2013，=，．=2004本题考查平方点评：差公式的实际注意要构运用，造成公式的结利用公构形式，式达到简化运算的目的．．x+2y+z））（x﹣2y+z（﹣8．平方差公式．：考点计算题．：专题[z+把原式化为分析：﹣][z2y）（x﹣，再）2y]（x﹣运用平方差公式计算．）﹣2y+z 解：（x解答：），（﹣x+2y+z ﹣（x=[z+﹣﹣（x2y）][z ]，2y）22 2y）=z，﹣（x﹣22﹣﹣（=zx2）4xy+4y，22﹣=z+4xy ﹣x2．4y本题考查了平点评：整体方差公式，思想的利用是利用公式的关注意运用公键，式计算会减少运算量．9．运用乘法公式计算．22；﹣（x﹣y）1（）（x+y））；﹣2（x+y﹣）（xy+2）（2 ×80.2；79.83（）菁优网?2010-20132．19.9 （4）考点：平方差公式．专题：计算题．2分析：﹣x+y）1）（（2可以y）（x﹣利用平方差公式进行计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完（3）79.8×80.2可以转化成（80﹣0.2）（80+0.2）的形式，利用平方差公式计算；2可以19.94）（转化为（20﹣2进行简便）0.1计算．解答：解：（1）（x+y）22=y）﹣（x﹣（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），=4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，22+4y﹣4﹣y；=x（3）79.8×80.2，=（80﹣0.2）（80+0.2），=6399.96；2=（20（4）19.92=400﹣）20.1﹣×20×0.1+0.01，=396.01．菁优网?2010-2013点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），22，2m+n）﹣=（22+2mn﹣4+n．=m点评：本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）22b）=a﹣（a﹣b计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），22，﹣m）﹣（=x2y菁优网?2010-201322﹣﹣4xy+4y=x2 m．点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；4224）．+16y2y）（x﹣8xy（2）（x+2y）（x﹣平方差公式．考点：计算题．专题：根据平方差公分析：式以及完全平方公式即可解答本题．）原式（1解答：解：）db=[（c﹣﹣）d+a][（c﹣b﹣a]﹣2）d﹣b﹣=（c2 a﹣222﹣+2bd+b+d=c2，﹣a2bc﹣2cd4﹣x2）∵（2422x（+16y=8xy22 4y）﹣2﹣（x∴原式=222）﹣4y4y）（x3222 4y）（x﹣=232）x﹣3（=（x）?222+3x4y）（222）4y﹣（（4y）36﹣=x4224﹣+48xy12xy6 64y．本题考查了平点评：方差公式以及完全平方公式难度适的运用，中．22222213．计算：2008﹣2007+2006﹣2005+…+2﹣1．考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用菁优网?2010-2013自然数求和公式解题．2解答：2008（解：原式=2）+﹣20072﹣2006（222（+…2005+）2），1 ﹣=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）22．94×②4727+27﹣考点：平方差公式；完全平方公式．分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2﹣（]=a）3b2c﹣2c）22+12bc﹣=9b2；4c2﹣=472②原式2=27+27×47×菁优网?2010-2013（47﹣27）2=400．本题考查了平点评：方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．2215．已知：x﹣y=20，x+y=4，求x﹣y的值．5考点：平方差公式．分析：本题是平方差公式的应用．22解答：解：a﹣b=（a+b）（a﹣b），22xx+y）（x﹣y=（=20﹣y）代入求把x+y=4 y=5．得x﹣运用平方差公点评：关键式计算时，要找相同项和其结果相反项，是相同项的平方减去相反项的平方．把代入求得x+y=4 5．﹣y的值，为x42332216．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x+x+1）=x﹣1；（x﹣1）（x+x+x+1）=x﹣1…m﹣1m﹣2m﹣3m（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x+x+x+…+x+1）= x﹣1 ；（其中n为正整数）；2346869（2）根据这一规律，计算1+2+2+2+2+…+2+2 的值．考点：平方差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；菁优网?2010-2013（2）先根据上面的式子可得：23…+x+1+x+x n+1n）﹣1+x=（x，从1）÷（x﹣而得出2…+1+2+269+169682（+2+2=，）（2﹣1﹣1）÷再进行计算即可．解答：x﹣1）解：（1）（﹣﹣1m﹣2mm+x+x （x m23=x+x+1）+…+x 1；﹣）根据上面（2的式子可得：32…1+x+x+x+n+1n）﹣1+x=（x ，）÷（x﹣12…∴1+2+2+69+168692+2=（+2）﹣11﹣）÷（270．=2﹣1本题考查了平点评：认真方差公式，根据观察各式，指数的变化情况总结规律是解题的关键．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：24）．+1）（2+12题目：化简（2+1）（8442422424﹣1．）（2+1）=22+1﹣1）（2）（2+1）=（﹣1=（（）（22（解：2+1）（+1）（+1）=2﹣1（2+1）2+1）2+1）（264248．3+1）…（+1）（）（3+1）3+1）（3问题：化简（3+1平方差公式．考点：整式根据题意，分析：的第一个因式可以根据平方差公式进行化然后再和后简，面的因式进行运算．解答：3=解：原式（﹣1）（3+1）42）（3+1+1（3）648，3+1））+1（3（菁优网?2010-2013（4分）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）64+1）3，（4﹣1（3）=48+1）（3（3+1）64+1），（3 8﹣13）=（864+1），+1（）（3364﹣1）=（364+1），（8分）（3128﹣（3=1）．（10分）点评：本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，．．18平方差公式．考点：计算题．专题：由平方差公式，分析：）（1﹣（1+）﹣，（1=1﹣=11+（）），依此类﹣从而得出结推，果．﹣（解：原式=1解答：）1+）（）（1+）（1+菁优网?2010-20131+（））﹣=（1）（1+）1+（（）1+）1﹣=（）（1+1+（））1=（﹣1+）（=1﹣．本题考查了平点评：方差公式的反是基础复应用，知识要熟练掌握．2的值为7 x+．（19．2012?黄冈）已知实数x满足=3x+，则完全平方公式．：考点计算题．专题：分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解：由题意得，解答：=3，x+两边平方得：2=9x+2+，2=7．故x+故答案为：7．此题考查了完点评：全平方公式的知识，掌握完全菁优网?2010-2013平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．2的值．．求代数式﹣2a+1=0 20．（2007?天水）若a完全平方公式．：考点根据完全平方分析：公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．2解答：﹣a解：由﹣a2a+1=0得（2）=0，1 ∴a=1；代入把a=1=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完灵全平方公式，活运用完全平a方公式先求出是解决本的值，题的关键．221．（2009?佛山）阅读材料：把形如ax+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配222方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a±2ab+b=（a±b）．22222的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、﹣2x+4x是x+2x+3、（x﹣2）、+（x ﹣2））（例如：x﹣1 一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：2 4x+2三种不同形式的配方；﹣（1）比照上面的例子，写出x22；）将（2a+ab+b配方（至少两种形式）222 a+b+c的值．3b﹣2c+4=0，求aba（3）已知+b+c﹣﹣考点：完全平方公式．阅读型．：专题）本题）分析：（1（2考查对完全平方公式的灵活由题应用能力，中所给的已知2﹣材料可得x22+ab+ba4x+2和的配方也可分菁优网?2010-2013别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．2解答：﹣x4x+2解：（1）的三种配方分别为：2﹣4x+2=（xx﹣2﹣2，2）2﹣x4x+2=2﹣x+（）2+4）x，（2（x﹣4x+2=x22；﹣x﹣）22=）a+ab+b（22﹣ab，（a+b）22=a+ab+b22；b）+b（a+222﹣+c3）a+b（ab﹣3b﹣2c+4，22）aab+﹣b=（2﹣3b+3）（b+2﹣2c+1），c+（22）﹣b=（aab+2﹣4b+4b）+（2﹣2c+1），+（c2+（﹣b）=（ab2+（c﹣1）﹣2）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．点评：本题考查了根据完全平方公菁优网?2010-201322=2ab+b式：a±2进行）a±b（配方的能力．2222的值．a+b+ab（满足（a+b）=1，a﹣b）=25，求a22．（2004?太原）已知实数、b 完全平方公式．考点：先由已知条件分析：展开完全平方的值，式求出ab22转+b+ab再将a化为完全平方2ab和式（a+b）即可求的形式，值．2解答：，=1a+b）解：∵（2，）=25（a﹣b22，+b+2ab=1∴a22 2ab=25．a+b﹣，24∴4ab=﹣，ab=﹣622+ab=+b∴a2ab=1a+b（）﹣）=7．﹣（﹣6点评：本题考查了完利全平方公式，用完全平方公式展开后建立再整体方程组，代入求解．，求的值．﹣2 2001（?宁夏）设a﹣b=23．完全平方公式．考点：对所求式子通分析：分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．解：原式解答：==，菁优网?2010-2013∵a﹣b=﹣2，∴原式==2．本题考查了完点评：全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．2224．已知（x+y）=49，（x﹣y）=1，求下列各式的值：22（1）x+y；（2）xy．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方2）x+y公式把（2展）﹣y和（x然后相加即开，22的x可求出+y相减即可求值，出xy的值．解答：解：由题意知：）（x+y222+2xy=49+y=x ①，222+y=x（x﹣y）2xy=1﹣②，）①+②得：（x+y22，y）（+x﹣222+y+2xy+x=x+y2 2xy﹣，22），=2（x+y =49+1，=50，22 =25；∴x+y4xy=①﹣②得：2x （x+y）﹣（2﹣=49y）﹣1=48，．∴xy=12点评：本题考查了完灵全平方公式，活运用完全平熟记公方公式，式是解题的关键．菁优网?2010-2013﹣的值．x x+=4，求25．已知考点：完全平方公式．分析：把已知条件两边平方求出2+的值，再x根据完全平方公式整理成（x2的形式并﹣）代入数据计算，然后进行开方运算．解答：解：∵，∴，2+=14，∴x﹣）∵（x22+=x﹣2=12，∴x﹣=．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．22的值．x +y26．已知：x+y=3，xy=2，求考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式巧妙转化即可．解答：解：∵x+y=3，22+2xy=9，x∴+y∵xy=2，菁优网?2010-201322﹣x+y=9∴﹣4=5．2xy=9点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．22227．已知a+b=3，ab=2，求a+b，（a﹣b）的值．考点：完全平方公式．分析：先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可22的值，a+b求出根据完全平方）﹣b 公式把（a2展开，再代入数据求解即可．解：∵a+b=3，解答：22，∴a+2ab+b=9 ，∵ab=222×﹣2∴a+b=9 2=5；22=ab）∴（a﹣22﹣﹣2ab+b=5 ．×2=1点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．2228．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x+xy+y的值．考点：完全平方公式．专题：整体思想．分析：先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出22 x+xy+y的值．菁优网?2010-2013解答：解：∵（x+2）（y+2）=5，∴xy+2（x+y）+4=5，∵x+y=2，∴xy=﹣3，22=x+xy+y∴22xy=2）﹣（x+y﹣（﹣3）=7．点评：本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．22+的值．，求x．29x ﹣11x+1=0完全平方公式．考点：2分析：﹣先把x两边同11x+1=0（由题意可x除，得到）x≠0知然后把，x+=11该式子两边平方即可得到2的值．x+ 0，解答：解：∵x≠x+∴，2，x+）（=121∴2，+2+x2．∴x+本题考查了完点评：关全平方公式，键是知道隐含2x≠0，条件x两边11x+1=0﹣得到同除x x，利用x+=11菁优网?2010-2013互为倒数乘和，利用完积是1全平方公式来进行解．已30，求下列各式的值：；（1）2．）（完全平方公式．考点：本题是完全平分析：方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去倍，2它们积的就构成了一个使完全平方式．分式中含有代的形式，入求值．解答：）解：（1，2，﹣2=（x）﹣2，﹣2=4 ；=14）（2，，=．=本题主要考查点评：完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全并利平方公式，菁优网?2010-2013 用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．菁优网?2010-2013菁优网?2010-2013。
完全平方公式变形的应用培优
完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。
通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。
因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。
沪教版 培优 七年级数学 暑假同步讲义 第8讲 乘法公式(一)(解析版)
平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．()()22a b a b a b+-=-．（1）a．b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：如：()()()()()22a b c b a c b a c b a c b a c+--+=+---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差．乘法公式（一）知识结构模块一：平方差公式内容分析知识精讲2/ 13【例1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()11x x ++B ．1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()a b a b -+- D ．()()x y x y --+【答案】B【解析】A :完全平方公式； C ：原式2()a b =--； D ：原式2()x y =-+． 【总结】对平方差公式概念的考查．【例2】 计算： （1）()()3535x x +-；（2）11112323x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()22x y x y +-．【答案】（1）2925x -；（2）21149x -；（3）224x y -．【解析】（1）()()2223535(3)5925x x x x +-=-=-；（2）22211111111()()23232349x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222222(2)4x y x y x y x y +-=-=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【例3】 计算：（1）2211112525x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()2323x y x y -+--； （3）()()2323a b a b ---．【答案】（1）411425x -；（2）2249x y -；（3）2294b a -【解析】（1）22222411111111()()252525425x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()22222323(2)(3)49x y x y x y x y -+--=--=-； （3）()()22222323(3)(2)94a b a b b a b a ---=--=-．【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例4】 计算：（1）()()()2232349a a a -++；（2）22111224a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例题解析【答案】（1）41681a -； （2）42116a b -． 【解析】（1）原式224(49)(49)1681a a a =-+=-；（2）原式222242111()()4416a b a b a b =-+=-．【总结】平方差公式的连续运用．【例5】 计算：111111253253x y z x y z ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】222111145259x xy y z -+-+．【解析】原式22222111111()()253253111111[()][()]2532531111111[()]25945259x y z x y z x y z x y z x y z x xy y z=----+=----+=---=-+-+【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例6】 计算：（1）()()()()33a b a b a b a b +--+-； （2）()()()()2222y x y x x y x y -+++---+； （3）22111133222233x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）28b ；（2）2255x y -；（3）4211549x x --【解析】 （1）原式 2222298a b a b b =--+=；（2）原式2222224455x y x y x y =-+-=-； （3）原式424211119454949x x x x =--+=--． 【总结】平方差公式以及合并同类项的运用．【例7】 计算：()()()()()2221212245a a a a a a ⎡⎤-+++--+⎣⎦．【答案】425a -【解析】原式2222224(4144)(5)(5)(5)25a a a a a a a =-+--+=-+=-4/ 13【总结】平方差公式的连续运用．【例8】 简便运算： （1）10298⨯；（2）30.229.8⨯；（3）12252433⨯．【答案】（1）9996；（2）899.96；（3）86249【解析】 （1）原式2(1002)(1002)10049996=+-=-=；（2）原式(300.2)(300.2)9000.04899.96=+-=-=（3）原式1118(25)(25)6256243399=+-=-=【总结】平方差公式在简便运算中的运用．【例9】 计算：（1）2200920072008⨯-；（2）22007200720082006-⨯； （3）22007200820061⨯+．【答案】 （1）-1；（2）2007；（3）1【解析】 （1）222(20081)(20081)20082008120081=+--=--=-；（2）2222007200720072007(20071)(20071)200720071===-+--+（3）222200720071(20071)(20071)1200711===+-+-+【总结】平方差公式在计算题中的运用． 【例10】 计算：()()()()242121212121n+++++（n 是正整数）． 【答案】42n【解析】原式24244244(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)12112n n n n=-+++++=-+++=-+=【总结】平方差公式的提高性运用，关键在于如何启发学生添加“（2-1）”这一项．1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．()2222a b a ab b +=++、()2222a b a ab b -=-+． 2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘；（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．【例11】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．()()4774x y y x ---B ．()()4774x y x y --+C ．()()4774x y y x --+D ．()()4747x y x y -+【答案】C【解析】A ：(47)(47)x y x y --+；B ：()()4774x y x y -++；D ：()()4747x y x y -+ 【总结】运用时，注意完全平方公式与平方差公式的区别． 【例12】 下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+B ．()2222x y x xy y -=--C ．()2225225420a b a b ab +=++D ．2221111132364m n m mn n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】A ：正确答案为：222a ab b ++； B ：正确答案为：222x xy y -+；D ：正确答案为：22111934m mn n ++．【总结】本题注意考查学生对完全平方公式的理解和准确运用．例题解析模块二：完全平方公式知识精讲6/ 13【例13】 计算： （1）()239x +；（2）223x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()22xyz --．【答案】（1）295481x x ++；（2）22111439x xy y -+；（3）22244x y z xyz ++；【解析】（1）()222239(3)239995481x x x x x +=+⋅⋅+=++： （2）22222111()2()232233439x y x x y y x xy y ⎛⎫-=-⋅⋅+=-+ ⎪⎝⎭；（3）()222222(2)44xyz xyz x y z xyz --=+=++． 【总结】本题主要是利用完全平方公式直接进行计算．【例14】 计算：（1）()()()2343x x x -+-+；（2）()()()2232222x x x +----+；（3）()()()2212121a a a +-+-．【答案】（1）521x --； （2）1213x +；（3）42a +；【解析】 （1）原式221269521x x x x x =+----=--；（2）原式224129441213x x x x =+++-=+； （3）原式224414142a a a a =++-+=+．【总结】完全平方公式与合并同类项的运用．【例15】 计算：（1）2211113232x y x y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2213133434a b a b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）23xy -；（2）0．【解析】 （1）原式222211111129349343x xy y x xy y xy =-+---=-；（2）原式222211111909249216a ab b a ab b =++---=．【总结】完全平方公式的直接运用，在运用时注意中间项是“积的2倍”．【例16】 计算：（1）()()()229163434a b a b a b --+；（2）22111111323294a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）422481288256a a b b -+；（2）4224111811816a ab b -+． 【解析】（1）原式22224224(916)(916)81288256a b a b a a b b =--=-+；（2）原式222242*********()()9494811816a b a b a a b b =--=-+．【总结】平方差公式与完全平方公式的综合运用，运用时注意两个公式的区别．【例17】 计算： （1）()22a b c --+；（2）()2324x y ++；（3）()()22x y x y +---．【答案】（1）2224424a ab b ac bc c ++--+；（2）229124241616x xy y x y +++++；（3）222444x xy y x y ---++-．【解析】（1）原式222[(2)](2)2(2)a b c a b c a b c =--+=--+⋅--+2224424a ab b ac bc c =++--+；（2）原式2(32)8(32)16x y x y =++++229124241616x xy y x y =+++++； （3）原式22(2)()4()4x y x y x y =-+-=-+++-222444x xy y x y =---++-． 【总结】三项完全平方的综合运用，注：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．【例18】 简便计算： （1）299.8；（2）22005．8/ 13【答案】（1）9960.04；（2）4020025．【解析】 （1）2299.8(1000.2)10000400.049960.04=-=-+=；（2）222005(20005)400000020000254020025=+=++=．【总结】完全平方公式在简便运算中的运用．【例19】 设8,15m n mn +==，求（1）22m n + ；（2）m n -． 【答案】（1）34；（2）±2．【解析】 （1）222()2643034m n m n mn +=+-=-=；（2）222()22m n m n m n mn -=±-=±+-=±．【总结】完全平方公式的变形及其应用．常用的变形还有：①2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+；②22()()4a b a b ab +=-+等．【例20】 已知16x x -=，求221x x+的值． 【答案】38 【解析】222111()236238x x x x x x+=-+⋅=+=． 【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：22211()2a a a a +=+-或22211()2a a a a +=-+【例21】 已知：2221440x y x xy y --+++=，则2x y +=___________． 【答案】34【解析】 ∵2221440x y x xy y --+++=，221(2)0x y x y --++=，∴21020x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得：1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴324x y +=． 【总结】当几个非负数的和为零时，则它们分别为零．【例22】 已知26x x k -+是完全平方式，求k 的值． 【答案】9k =【解析】解：∵22222623(3)(3)(3)9x x k x x k x k -+=-⋅+-+=--+，且26x x k -+是完全平方式， ∴9k =． 【总结】考察如何配方成完全平方式．【例23】 已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 都是有理数，求y x 的值． 【答案】-8【解析】∵2244690x x y y +++-+=，22(2)(3)0x y ++-=，∴可得2030x y +=⎧⎨-=⎩，解得：23x y =-⎧⎨=⎩．∴8y x =-．【总结】考察如何配方及非负性的运用．【例24】 已知2416x kx -+是完全平方式，求k 的值． 【答案】±16【解析】解：∵2221416(2)2244x kx x x k-+=-⋅⋅+ ∴可得：221()44k=， ∴16k =±．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解．【例25】 已知2310x x ++=，求：（1）221x x +；（2）441x x+．【答案】（1）7； （2）47． 【解析】由2310x x ++=可得130(0)x x x++=≠ （1）22211()2927x x x x +=+-=-=； （2）4224211()249247x x x x+=+-=-=． 【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：22211()2a a a a +=+-或22211()2a a a a+=-+．10/ 13【习题1】 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A ．()()2a b a b -- B ．()()22a b a b -+-C ．()()22a b a b +--D ．()()22a b a b ---+【答案】D【解析】D 选项为(2)(2)a b b a -+-． 【总结】对平方差公式概念的考查．【习题2】 计算： （1）()()2525x x +-；（2）()()1212a a -+；（3）11113232a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）2425x -；（2）214a -；（3）221194a b -．【解析】（1）原式=222(2)5425x x -=-；（2）原式=2221(2)14a a -=-；（3）原式=22221111()()3294a b a b -=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【习题3】 计算： （1）10496⨯；（2）30.729.3⨯；（3）1610977⨯．随堂检测师生总结1、基本乘法公式有几个？2、平方差公式的基本特征是什么？3、完全平方公式的基本特征是什么？【答案】（1）9984；（2）899.51；（3）489949． 【解析】 （1）(1004)(1004)10000169984=+-=-=；（2）原式(300.7)(300.7)9000.49899.51=+-=-=；（3）原式11148(10)(10)10099774949=+-=-=． 【总结】平方差公在简便运算中的运用．【习题4】 计算：（1）()()3434x y x y --++-； （2）()()2332x y x y ++--．【答案】（1）226982416x xy y x y ---++-；（2）229444x xy y ---．【解析】 （1）原式22(34)[(3)8(3)16]x y x y x y =-+-=-+-++ 226982416x xy y x y =---++-；（2）原式222[3(2)][3(2)]9(2)9444x y x y x y x xy y =++-+=-+=---．【总结】平方差公式和完全平方公式的运用，注意二个公式的区别．【习题5】 求值：（1）已知：3a b +=，1ab =，求代数式的值：（1）22a b +；（2）44a b +．（2）已知：5a b -=，4ab =，求22a b +的值．【答案】（1）7和47；（2）33．【解析】 （1）222()2927a b a b ab +=+-=-=；4422222()247a b a b a b +=+-=．（2）222()225833a b a b ab +=-+=+=．【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．【习题6】 求值：（1）已知：()28a b -=，()22a b +=，求ab 的值；（2）已知：()()222315x x -++=，求()()23x x -+的值． 【答案】（1）32-；（2）5． 【解析】（1）∵22()()4a b a b ab --+=-； ∴46ab -=， ∴32ab =-．12/ 13 （2）∵()()222315x x -++=，又22[(2)(3)]525x x -++==， ∴()()22232(3)(2)25x x x x -++++-=，∴(2)(3)5x x -+=． 【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．【作业1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22x y x y -+B ．()()a b a b ---C ．()()2222c d d c --+D ．()()22x y x y -+【答案】B【解析】B 选项可以变为()()a b a b -+-．【总结】本题主要考查对平方差公式的理解．【作业2】 计算：（1）211510x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）212cd ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）221112525100x xy y ++； （2）2214c d cd -+． 【解析】直接使用完全平方公式进行计算．【作业3】 用简便方法计算：（1）403397⨯；（2）31293044⨯； （3）9910110001⨯⨯；（4）224952+．【答案】（1）159991；（2）1589916；（3）9999999；（4）5105． 【解析】（1）403397(4003)(4003)1600009159991⨯=+-=-=；（2）31111152930(30)(30)90089944441616⨯=-+=-=； （3）999910001(100001)(100001)9999999⨯=-+=；（4）22224952(501)(502)5105+=-++=．【总结】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用．【作业4】 计算：课后作业（1）()()()2222x y x y x y +-+-；（2）()()()2x y x y x y ---++； （3）()()()()22253x y x y x y x y +-+-+-．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式2222244442x xy y x y xy y =++-+=+；（2）原式22222()222x y x xy y xy y =--+++=+；（3）原式222222224255363102x xy y x y x xy y y xy =++-++-+=-．【总结】平方差公式和完全平方公式的综合运用．【作业5】 计算：（1）()()2323x y z x y z +--+；（2）()()2121a b a b -+--．【答案】（1）222469x y yz z -+-；（2）22441a ab b -+-．【解析】 （1）22222[2(3)][2(3)]4(3)469x y z x y z x y z x y yz z =+---=--=-+-；（2）222[(2)1][(2)1](2)1441a b a b a b a ab b =-+--=--=-+-．【总结】完全平方公式的多次运用，注意在运用的过程中符号的确定．【作业6】 求值：（1）已知6x y +=-，2xy =，求代数式()2x y -的值．（2）已知4x y +=-，8x y -=，求代数式22x y -的值．（3）已知3a b +=，225a b +=，求ab 的值．【答案】（1）28；（2）-32；（3）2．【解析】 （1）22()()428x y x y xy -=+-=；（2）22()()32x y x y x y -=+-=-；（3）2222()4ab a b a b =+--=，2ab =．。
平方差完全平方公式(培优)
平方差完全平方公式 一．选择题（共1小题）1．（1999?烟台）下列代数式，x 2+x ﹣，，，其中整式有（ ） A ． 1个 B ． 2个C ． 3个D ． 4个二．填空题（共3小题）2．（2011?湛江）多项式2x 2﹣3x+5是 _________ 次 _________ 项式．3．（2010?毕节地区）写出含有字母x ，y 的四次单项式 _________ ．（答案不唯一，只要写出一个）4．（2004?南平）把多项式2x 2﹣3x+x 3按x 的降幂排列是 _________ ．5．（1999?内江）配方：x 2+4x+___=(x+___）2 配方：x 2-x+ ___=(x-21）2 三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2）（2）（a ﹣2b+c ）（a+2b ﹣c ）6．计算：1232﹣124×122．7．计算：．8．（x ﹣2y+z ）（﹣x+2y+z ）．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y ）2﹣（x ﹣y ）2；（2）（x+y ﹣2）（x ﹣y+2）；（3）×；（4）．10．化简：（m+n ﹣2）（m+n+2）．11．（x ﹣2y ﹣m ）（x ﹣2y+m ）12．计算（1）（a ﹣b+c ﹣d ）（c ﹣a ﹣d ﹣b ）；（2）（x+2y ）（x ﹣2y ）（x 4﹣8x 2y 2+16y 4）．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利用乘法公式计算：①（a ﹣3b+2c ）（a+3b ﹣2c ）②472﹣94×27+272．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．_________16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）= _________ ；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．18．．19．（2012?黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________ ．20．（2007?天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．21．（2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．22．（2004?太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001?宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（1999?烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：整式．分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断．解答：解：整式有x2+x﹣，共2个．故选B．点评：主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．二．填空题（共3小题）2．（2011?湛江）多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．考点：多项式．专题：计算题．分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．解答：解：由题意可知，多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．3．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式x2y2．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和∴x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式．解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2，x3y，xy3等都符合题意（答案不唯一）．点评：考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．4．（2004?南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x ．考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），=（x2﹣y2）（x2+y2），=x4﹣y4；（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），=a2﹣（2b﹣c）2，=a2﹣4b2+4bc﹣c2．点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．6．计算：1232﹣124×122．考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．解答：解：1232﹣124×122，=1232﹣（123+1）（123﹣1），=1232﹣（1232﹣12），=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．7．计算：．考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：，=，=，=2004．点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运用平方差公式计算．解答：解：（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，=z2﹣（x﹣2y）2，=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），=z2﹣x2+4xy﹣4y2．点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）×；（4）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2可以利用平方差公式进行计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；（3）×可以转化成（80﹣）（80+）的形式，利用平方差公式计算；（4）可以转化为（20﹣）2进行简便计算．解答：解：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），=4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，=x2﹣y2+4y﹣4；（3）×，=（80﹣）（80+），=；（4）=（20﹣）2=400﹣2×20×+，=．点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．考点：平方差公式．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），=（m+n）2﹣22，=m2+n2+2mn﹣4．点评：本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），=（x﹣2y）2﹣m2，=x2﹣4xy+4y2﹣m2．点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2?（4y2）2﹣（4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=（20082﹣20072）+（20062﹣20052）+…+（22﹣12），=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．考点：平方差公式；完全平方公式．分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2c）]=a2﹣（3b﹣2c）2=9b2+12bc﹣4c2；②原式=472﹣2×47×27+272=（47﹣27）2=400．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值． 5考点：平方差公式．分析：本题是平方差公式的应用．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=20把x+y=4代入求得x﹣y=5．点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．把x+y=4代入求得x﹣y的值，为5．16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）= x m﹣1 ；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．考点：平方差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；（2）先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），从而得出1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可．解答：解：（1）（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x2+x+1）=x m﹣1；（2）根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），∴1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1）=270﹣1．点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．考点：平方差公式．分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算．解答：解：原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（364+1），（38+1）（4分）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），=（34﹣1）（34+1）（38+1）（364+1），=（38﹣1）（364+1），（38+1）=（364﹣1）（364+1），（8分）=（3128﹣1）．（10分）点评：本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，18．．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：由平方差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从而得出结果．解答：解：原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）=1﹣．点评：本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握．19．（2012?黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7 ．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解答：解：由题意得，x+=3，两边平方得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．点评：此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．20．（2007?天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．解答：解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．21．（2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．考点：完全平方公式．专题：阅读型．分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．解答：解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．点评：本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．22．（2004?太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．考点：完全平方公式．分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值．解答：解：∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=25．∴4ab=﹣24，ab=﹣6，∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=1﹣（﹣6）=7．点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解．23．（2001?宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．考点：完全平方公式．分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．解答：解：原式==，∵a﹣b=﹣2，∴原式==2．点评：本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．解答：解：由题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，=2（x2+y2），=49+1，=50，∴x2+y2=25；①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，∴xy=12．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．25．已知x+=4，求x﹣的值．考点：完全平方公式．分析：把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．解答：解：∵，∴，∴x2+=14，∵（x﹣）2=x2+﹣2=12，∴x﹣=．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式巧妙转化即可．解答：解：∵x+y=3，∴x2+y2+2xy=9，∵xy=2，∴x2+y2=9﹣2xy=9﹣4=5．点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．考点：完全平方公式．分析：先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可求出a2+b2的值，根据完全平方公式把（a﹣b）2展开，再代入数据求解即可．解答：解：∵a+b=3，∴a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9﹣2×2=5；∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣2×2=1．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．考点：完全平方公式．专题：整体思想．分析：先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值．解答：解：∵（x+2）（y+2）=5，∴xy+2（x+y）+4=5，∵x+y=2，∴xy=﹣3，∴x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=22﹣（﹣3）=7．点评：本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．考点：完全平方公式．分析：先把x2﹣11x+1=0两边同除x（由题意可知x≠0），得到x+=11，然后把该式子两边平方即可得到x2+的值．解答：解：∵x≠0，∴x+，（x+）2=121，∴x2+2+，∴x2+．点评：本题考查了完全平方公式，关键是知道隐含条件x≠0，x2﹣11x+1=0两边同除x得到x+=11，利用x和互为倒数乘积是1，利用完全平方公式来进行解题．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．考点：完全平方公式．分析：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．使分式中含有的形式，代入求值．解答：解：（1），=（x﹣）2﹣2，=42﹣2，=14；（2），=，=，=．点评：本题主要考查完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．。
平方差公式完全平方公式计算
平方差公式完全平方公式计算1.平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式的原理可以通过展开左边的式子来进行证明：(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2通过平方差公式，可以简化计算平方数之差的过程。
下面通过一个例题进行说明。
例题1：求解：25^2-16^2解析：利用平方差公式，可以将这个表达式转化成乘法形式。
(25+16)(25-16)=41*9=369因此，25^2-16^2=3692.完全平方公式完全平方公式是一种用于计算一个多项式的平方的公式。
其表达形式为：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个公式的原理也可以通过展开左边的式子来进行证明：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2完全平方公式的应用范围非常广泛，下面通过一个例题进行说明。
例题2：求解：(3+x)^2解析：利用完全平方公式，可以得到：(3+x)^2=3^2+2*3*x+x^2=9+6x+x^2因此，(3+x)^2=9+6x+x^23.平方差公式的应用例题3：求解：36a^2-25b^2解析：利用平方差公式，可以得到：36a^2-25b^2=(6a)^2-(5b)^2=(6a+5b)(6a-5b)因此，36a^2-25b^2=(6a+5b)(6a-5b)。
4.完全平方公式的应用完全平方公式可以用于计算多项式的平方，例如计算一个二次多项式的平方，或计算两个代数式的平方和。
下面通过一个例题进行说明。
例题4：求解：(2x+3)^2解析：利用完全平方公式，可以得到：(2x+3)^2=(2x)^2+2*2x*3+3^2=4x^2+12x+9因此，(2x+3)^2=4x^2+12x+9总结：平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，用于计算平方的差和完全平方。
(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2概括小结公式的变式，正确灵巧运用公式：①地点变化， x y y x x2y2②符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2③指数变化， x2 y2x2y2x4y4④系数变化， 2a b2a b4a2b2⑤换式变化， xy z m xy z mxy 2z m2x2y2z m z mx 2y2z22zm zm mx 2y2z222zm m⑥增项变化， x y z x y zx y 2z2x y x y z2x2xy xy y2 z2x22xy y2z222⑦连用公式变化，x y x y x y2222x y x y44x y⑧逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y z x y z x y z x y z2x2y 2z4xy 4xz完整平方公式活用: 把公式自己适合变形后再用于解题。
这里以完整平方公式为例，经过变形或从头组合，可得以下几个比较实用的派生公式：1. a22ab a2b2 b2. a22ab a2b2 b3. a2a22 a 2b2b b4. a2a24ab b b灵巧运用这些公式，常常能够办理一些特别的计算问题，培育综合运用知识的能力。
例 1．已知a b 2 ， ab 1，求a2b2的值。
例 2．已知a b 8， ab2，求 (a b)2的值。
解：∵ (a b) 2 a 22ab b 2(a b)2a22ab b 2∴∵(a b) 2(a b) 24ab∴ (a b) 24ab =(a b) 2 a b 8， ab 2∴ ( a b) 282 4 2 56例 3已知 a b4， ab5，求 a2b2的值。
解：2222a ab ab425262三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特色，认清公式中的“两数”．例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5)剖析：本题两个因式中“-5 ”同样，“2x2”符号相反，因此“-5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2中的a，而“ 2x2”则是公式中的b．例 2 计算 (- a2+4b) 2剖析：运用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2时，“ - a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为 (4 b- a2) 2时，则“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b．（解略）（二）、注意为使用公式创建条件例 3 计算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) ．剖析：粗看不可以运用公式计算，但注意察看，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因此，可运用添括号的技巧使原式变形为切合平方差公式的形式．例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1) ．剖析：本题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．（三）、注意公式的推行计算多项式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推行获得：( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例 6 计算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2 +(-3) 2+2·2x·y+2·2x(-3)+2 ·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y．（四）、注意公式的变换，灵巧运用变形公式例 7 已知：x+2y=7，xy=6，求 ( x-2 y) 2的值．例 10 计算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2剖析：本题能够利用乘法公式和多项式的乘法睁开后计算，但逆用完整平方公式，则运算更为简易．四、如何娴熟运用公式：熟习常有的几种变化有些题目常常与公式的标准形式不相一致或不可以直接用公式计算，此时要依据公式特色，合理调整变化，使其知足公式特色．常有的几种变化是：1、地点变化如（3x+5y）（5y－3x）互换3x和5y的地点后即可用平方差公式计算了．2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变成－（2m+7n）（2m －7n）后即可用平方差公式求解了（思虑：不变或不这样变，能够吗？）3、数字变化如 98×102，992，912平分别变成（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后即可以用乘法公式加以解答了．4、系数变化如（ 4m+ n）（2m－n）变成2（2m+ n）（2m－n）2444后即可用平方差公式进行计算了．（四）、注意公式的灵巧运用有些题目常常可用不一样的公式来解，此时要选择最适合的公式以使计算更简易．如计算（ a2+1）2·（a2－1）2，若分别睁开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法例后再进一步计算，则特别简易．即原式 =[ （a2+1）（a2－1）]2=（a4－1） 2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－1）（1－1）（1－1）（ 1223242－192）（1－1102），若分别算出各因式的值后再行相乘，不单计算繁难，并且简单犯错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则碰巧解本题．即原式 =（1－1）（1+1）（1－1）（1+ 1）× ×（ 1－1）（1+ 1）22331010 = 1× 3× 2× 4× × 9×11= 1× 11= 11．2233101021020有时有些问题不可以直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有： a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab 等．用这些变式解相关问题常能收到事半功倍之效．2222如已知 m+n=7，mn=－18，求 m+n，m－mn+ n 的值．面对这样的问题即可用上述变式来解，2222即 m+n =（m+n）－2mn=7－2×（－ 18）=49+36=85，2222m－mn+ n= （m+n）－3mn=7－3×（－ 18） =103．以下各题，难不倒你吧？！1、若a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12，（2）（a－1）2的值．a a a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案： 1. （1）23；（2） 21．2. 6）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a ＋b)(a －b)=a 2－b2，(a ±b)=a 2±2ab＋b2，(a ±b)(a 2±ab＋b2)=a 3±b3．第一层次──正用即依据所求式的特色，模拟公式进行直接、简单的套用．例1计算( － 2x－y)(2x －y) ．．第二层次──逆用，马上这些公式反过来进行逆向使用．例2计算第三层次──活用：依据待求式的构造特色，探访规律，连续频频使用乘法公式；有时依据需要创建条件，灵巧应用公式．例 3 化简： (2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1．剖析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，假如再增加一个因式“ 2－1”即可连续应用平方差公式，从而问题水到渠成．解原式 =(2 －1)(2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=(2 2－1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=216．第四层次──变用：解某些问题时，若能娴熟地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a ＋b) 2－2ab，a3＋b3=(a ＋b) 3－3ab(a ＋b) 等，则求解十分简单、明快．例 5 已知 a＋b=9，ab=14，求 2a2＋2b2的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴ 2a2＋2b2 =2[(a ＋b) 2－2ab]=2(9 2－2·14)=106 ，第五层次──综合后用：将 (a ＋ b) 2=a2＋ 2ab＋ b2和(a －b) 2 =a2－2ab＋ b2综合，可得 (a ＋b) 2＋(a － b) 2=2(a 2＋b2 ) ；(a ＋b) 2－(a －b) 2=4ab；等，合理地利用这些公式办理某些问题显得新奇、简捷．例 6 计算： (2x ＋y－z＋5)(2x －y＋z＋5) ．解：原式= 1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-1[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]244=(2x ＋5) 2－(y － z) 2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz －z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：关于含负号许多的因式，往常先提出负号，以防止负号多带来的麻烦。
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实用标准文档平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）1．（1999•烟台）下列代数式，x 2+x ﹣，，，其中整式有（ ） A ． 1个 B ． 2个C ． 3个D ． 4个二．填空题（共3小题）2．（2011•湛江）多项式2x 2﹣3x+5是 _________ 次 _________ 项式．3．（2010•毕节地区）写出含有字母x ，y 的四次单项式 _________ ．（答案不唯一，只要写出一个）4．（2004•南平）把多项式2x 2﹣3x+x 3按x 的降幂排列是 _________ ．5．（1999•内江）配方：x 2+4x+___=(x+___）2 配方：x 2-x+ ___=(x-21）2 三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2）（2）（a ﹣2b+c ）（a+2b ﹣c ）6．计算：1232﹣124×122．7．计算：．8．（x ﹣2y+z ）（﹣x+2y+z ）．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y ）2﹣（x ﹣y ）2；（2）（x+y ﹣2）（x ﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．10．化简：（m+n ﹣2）（m+n+2）．11．（x ﹣2y ﹣m ）（x ﹣2y+m ）12．计算（1）（a ﹣b+c ﹣d ）（c ﹣a ﹣d ﹣b ）；（2）（x+2y ）（x ﹣2y ）（x 4﹣8x 2y 2+16y 4）．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利用乘法公式计算：①（a ﹣3b+2c ）（a+3b ﹣2c ）②472﹣94×27+272．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．_________16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）= _________ ；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．18．．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________ ．20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（1999•烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：整式．分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断．解答：解：整式有x2+x﹣，共2个．故选B．点评：主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．二．填空题（共3小题）2．（2011•湛江）多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．考点：多项式．专题：计算题．分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．解答：解：由题意可知，多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．3．（2010•毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式x2y2．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和∴x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式．解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2，x3y，xy3等都符合题意（答案不唯一）．点评：考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．4．（2004•南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x ．考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），=（x2﹣y2）（x2+y2），=x4﹣y4；（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），=a2﹣（2b﹣c）2，=a2﹣4b2+4bc﹣c2．点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．6．计算：1232﹣124×122．考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．解答：解：1232﹣124×122，=1232﹣（123+1）（123﹣1），=1232﹣（1232﹣12），=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．7．计算：．考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：，=，=，=2004．点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运用平方差公式计算．解答：解：（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，=z2﹣（x﹣2y）2，=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），=z2﹣x2+4xy﹣4y2．点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2可以利用平方差公式进行计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；（3）79.8×80.2可以转化成（80﹣0.2）（80+0.2）的形式，利用平方差公式计算；（4）19.92可以转化为（20﹣0.1）2进行简便计算．解答：解：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），=4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，=x2﹣y2+4y﹣4；（3）79.8×80.2，=（80﹣0.2）（80+0.2），=6399.96；（4）19.92=（20﹣0.1）2=400﹣2×20×0.1+0.01，=396.01．点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．考点：平方差公式．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），=（m+n）2﹣22，=m2+n2+2mn﹣4．点评：本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），=（x﹣2y）2﹣m2，=x2﹣4xy+4y2﹣m2．点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2•（4y2）2﹣（4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=（20082﹣20072）+（20062﹣20052）+…+（22﹣12），=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．考点：平方差公式；完全平方公式．分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2c）]=a2﹣（3b﹣2c）2=9b2+12bc﹣4c2；②原式=472﹣2×47×27+272=（47﹣27）2=400．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值． 5考点：平方差公式．分析：本题是平方差公式的应用．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=20把x+y=4代入求得x﹣y=5．点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．把x+y=4代入求得x﹣y的值，为5．16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）= x m﹣1 ；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．考点：平方差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；（2）先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），从而得出1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可．解答：解：（1）（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x2+x+1）=x m﹣1；（2）根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），∴1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1）=270﹣1．点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．考点：平方差公式．分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算．解答：解：原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（364+1），（38+1）（4分）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），=（34﹣1）（34+1）（38+1）（364+1），=（38﹣1）（38+1）（364+1），=（364﹣1）（364+1），（8分）=（3128﹣1）．（10分）点评：本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，18．．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：由平方差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从而得出结果．解答：解：原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）=1﹣．点评：本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7 ．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解答：解：由题意得，x+=3，两边平方得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．点评：此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．解答：解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．考点：完全平方公式．专题：阅读型．分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．解答：解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．点评：本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．考点：完全平方公式．分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值．解答：解：∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=25．∴4ab=﹣24，ab=﹣6，∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=1﹣（﹣6）=7．点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解．23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．考点：完全平方公式．分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．解答：解：原式==，∵a﹣b=﹣2，∴原式==2．点评：本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．解答：解：由题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，=2（x2+y2），=49+1，=50，∴x2+y2=25；①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，∴xy=12．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．25．已知x+=4，求x﹣的值．考点：完全平方公式．分析：把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．解答：解：∵，∴，∴x2+=14，∵（x﹣）2=x2+﹣2=12，∴x﹣=．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式巧妙转化即可．解答：解：∵x+y=3，∴x2+y2+2xy=9，∵xy=2，∴x2+y2=9﹣2xy=9﹣4=5．点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．考点：完全平方公式．分析：先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可求出a2+b2的值，根据完全平方公式把（a﹣b）2展开，再代入数据求解即可．解答：解：∵a+b=3，∴a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9﹣2×2=5；∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣2×2=1．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．考点：完全平方公式．专题：整体思想．分析：先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值．解答：解：∵（x+2）（y+2）=5，∴xy+2（x+y）+4=5，∵x+y=2，∴xy=﹣3，∴x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=22﹣（﹣3）=7．点评：本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．考点：完全平方公式．分析：先把x2﹣11x+1=0两边同除x（由题意可知x≠0），得到x+=11，然后把该式子两边平方即可得到x2+的值．解答：解：∵x≠0，∴x+，（x+）2=121，∴x2+2+，∴x2+．点评：本题考查了完全平方公式，关键是知道隐含条件x≠0，x2﹣11x+1=0两边同除x得到x+=11，利用x和互为倒数乘积是1，利用完全平方公式来进行解题．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．考点：完全平方公式．分析：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．使分式中含有的形式，代入求值．解答：解：（1），=（x﹣）2﹣2，=42﹣2，=14；（2），=，=，=．点评：本题主要考查完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．。