结构力学 叠加法
叠加原理用于求解静定结
叠加原理用于求解静定结叠加原理是力学中一种常用的方法，用于求解静定结构。
在工程实践中，静定结构是指受力平衡的结构，其支撑条件足够使得结构保持稳定，并且可以通过解析方法求得结构中各个构件的受力情况。
叠加原理的基本思想是，将多个力或载荷作用于结构上时，结构的响应可以看作是每个力或载荷独立作用时结构响应的叠加。
也就是说，如果我们知道了单个力或载荷作用时结构的响应，那么通过叠加原理，我们就可以得到多个力或载荷作用时结构的总响应。
具体应用叠加原理求解静定结构的方法如下：我们需要确定结构的受力情况。
对于静定结构来说，受力情况是已知的，即我们可以得知结构受力的位置、方向和大小。
然后，我们需要将每个受力分解为其在结构上的作用力。
这一步是为了方便计算，将力的作用方向和大小分解为各个坐标轴上的分力。
接下来，我们可以分别求解每个受力作用时结构的响应。
对于每个受力，我们可以使用力的平衡条件和结构的几何特性来求解结构中各个构件的受力情况。
我们将每个受力作用时结构的响应进行叠加，得到整个结构的响应。
这一步是通过将每个受力作用时结构中各个构件的受力情况进行叠加，得到整个结构的受力情况。
通过叠加原理，我们可以方便地求解静定结构的受力情况。
这种方法不仅简单易行，而且准确可靠。
叠加原理的应用范围广泛，可以用于求解各种类型的静定结构，如梁、柱、框架等。
叠加原理是力学中一种常用的方法，用于求解静定结构。
通过将每个受力作用时结构的响应进行叠加，我们可以得到整个结构的受力情况。
叠加原理的应用简单易行，准确可靠，被广泛应用于工程实践中。
通过合理运用叠加原理，工程师可以更好地理解和分析静定结构的受力情况，从而确保结构的稳定和安全。
结构力学的叠加原理的应用
结构力学的叠加原理的应用1. 简介结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏规律的学科，其核心原理之一就是叠加原理。
叠加原理是指当一个物体同时受到多个力作用时，可以将每个力的效应分别计算，然后再将其叠加得到总的效应。
结构力学的叠加原理被广泛应用于工程领域，包括建筑、桥梁、机械等领域。
2. 应用场景结构力学的叠加原理在很多工程项目中都有应用，下面列举几个常见的应用场景。
2.1. 建筑设计在建筑设计中，叠加原理经常用于计算建筑结构的变形和应力分布。
例如，在高层建筑中，地震和风载是两个主要的外力作用，通过将地震力和风载力分别计算，然后将其叠加得到总的作用力，可以有效地评估建筑结构的稳定性和安全性。
2.2. 桥梁设计在桥梁设计中，叠加原理常用于计算桥梁的荷载和变形。
桥梁结构通常承受多种荷载，例如车辆荷载、行人荷载和风荷载等。
通过将每个荷载的效应分别计算，再将其叠加得到总的效应，可以得到桥梁结构的变形和应力分布，从而指导桥梁的设计和施工。
2.3. 机械设计在机械设计中，叠加原理常用于计算机械结构的受力情况。
例如，在机械装配中，不同部件之间存在着接触力、摩擦力和约束力等。
通过将每个力的效应分别计算，再将其叠加得到总的效应，可以评估机械结构的可靠性和安全性，从而进行合理的设计和优化。
3. 叠加原理的优点结构力学的叠加原理具有以下几个优点。
3.1. 简化计算叠加原理可以将复杂的力作用问题简化为多个简单的力作用问题。
通过将每个力的效应分别计算，再将其叠加得到总的效应，可以大大简化计算过程，提高计算效率。
3.2. 灵活应用叠加原理可以灵活应用于不同的力作用情况。
无论是单一力作用还是多个力作用，都可以通过叠加原理进行分析和计算，从而得到全面的结构响应。
3.3. 准确结果叠加原理可以准确地计算结构的变形和应力分布。
通过将每个力的效应分别计算，再将其叠加得到总的效应，可以得到与实际情况相符合的结果，为工程设计和施工提供准确的参考。
结构力学的叠加原理
结构力学的叠加原理结构力学的叠加原理是指结构在受到多个载荷作用时，可以将每个载荷的作用分开计算，然后再将结果叠加得到最终的结构响应。
这个原理在结构分析和设计中起到了至关重要的作用。
结构力学的叠加原理是基于线性弹性的假设而建立的，即假设材料在受力下的变形是可逆的，而且结构的响应与载荷成正比。
在这种情况下，可以将结构的受力问题分解为多个独立的部分，然后根据每个部分受到的载荷作用进行分析。
首先，我们来看结构的静力叠加原理。
根据这个原理，如果结构受到多个静力载荷的作用，那么结构的总响应等于每个载荷分别作用时的响应的矢量和。
这意味着如果我们知道了结构在单个载荷作用下的响应，只需要将这些响应进行矢量相加，就能够得到结构在多个载荷作用下的响应。
例如，考虑一个悬臂梁在两个不同点受到两个不同力的作用。
我们可以分别计算出梁在第一个点受到第一个力作用时的响应，以及在第二个点受到第二个力作用时的响应。
然后，将这两个响应的矢量相加，就能够得到结构在两个力作用下的响应。
这个原理可以推广到更复杂的情况，例如结构受到多个力和弯矩的作用时，只需要将每个作用下的力和弯矩的响应进行叠加，就能够得到结构的总响应。
另外一个重要的叠加原理是结构的动力叠加原理。
在动力载荷作用下，结构的响应不仅取决于载荷的大小，还取决于载荷的频率。
动力载荷可以是周期性的，如地震，也可以是非周期性的，如冲击载荷。
根据动力叠加原理，当结构受到多个动力载荷时，可以将每个载荷的响应进行矢量叠加，得到结构在多个载荷作用下的总响应。
在动力叠加原理中，需要注意不同载荷之间的时间相对性。
对于周期性载荷，如果它们的周期相同或者是周期的整数倍关系，那么它们之间存在相位差，需要考虑这些相位差对结构响应的影响。
对于非周期性载荷，可以使用相关函数将不同载荷的时间作用进行叠加，得到结构的总响应。
结构力学的叠加原理是结构分析和设计的基础，具有广泛的应用。
通过使用叠加原理，我们可以将结构的受力问题分解为多个简单的部分，从而更容易进行计算和分析。
结构力学叠加法例题
结构力学叠加法例题
结构力学叠加法例题：
假设有一条由材料A制成的钢筋混凝土梁，该构件长度为L，宽度
为b，厚度为h，吊装高度为H，支座位置为x0和x1。
已知：
a）竖向荷载为Q1=200KN，横向荷载为Q2=100KN。
b）钢筋混凝土梁外表面有一层保温材料层厚为t。
根据叠加法，梁的受力状态应先考虑梁的横向荷载，再考虑竖向
荷载。
1. 横向荷载：因为受均布力作用时承受拉应力，故钢筋混凝土梁
的设计应力应符合承载力限值。
因此：α1应满足fc'd ≤ 0.85fck
其中fc'd为混凝土抗拉强度，fck为钢筋混凝土强度等级标准值。
进一步，梁对横向荷载Q2所受的弯矩M2应满足M2 ≤
0.9bd^2fcd ，其中d为梁截面的深度，即：d = h +t 。
2. 竖向荷载：因为受均布力和集中力的作用，竖向荷载会造成弯矩，从而使梁产生弯曲，因此，梁受竖向荷载时，应使梁的剪力不大
于设计值。
因此，梁受竖向荷载Q1时，应满足：Fp·L/2b ≤ Φ·M1
其中Fp为梁受荷载时的设计剪力，M1为梁受竖向荷载时的弯矩，
Φ为保守系数。
3. 支座支撑：由于梁的支座支撑位置x0和x1之间有空隙，梁中
间的部分会受到支座边缘附件间的细微剪荷载。
因此，梁受支座边缘附件的剪力的弯矩M3必须满足：M3 ≤ 0.9bd^2fc'd
综上，当上述三种受力状态都满足相应的要求时，可以认定该钢筋混凝土梁设计是合理的。
结构分析中的叠加原理应用
M CD 3i C =3 C
M BD 3i = 3 l 4
求各杆端弯矩时， 就是利用叠加原理， 未知量引起的形常数与外荷载引起的窄常数叠加 得到。例如， M AC 2iC 6i 1
l
12
ql 2 中， 2i C 为未知位移 C 引起的形常数，
6i 为为止位移 引起的形常数， 1 ql 2 为均布荷载 q 引起的形常数。 12 l
FNAE sin 45
FP 2 0, FNAE FP （压力） 2 2
再由
F
x
0得
FNAB FNAE cos 45
FP 0, FNAB FP 2
最后取结点 G 为隔离体，由
F
y
0得
FNGE 2
2 FP sin 45 FP (压力) 2
于是，可按照内力对称的原则标出桁架各杆的内力。 在图中反对称外力作用下，根据桁架内力也应该满足反对称的特点，可以判定 EG 杆的 内力（属反对称内力）必定为零，然后可进一步判定杆件 AE,CE,DG 和 FG 均为零杆。依次取 结点 D 和 A 为隔离体，由结点平衡条件得
这里通过列弯矩平衡方程和剪力平衡方程来求解， 而内力平衡方程实质上仍然是叠加原 理。如
M
C
0 M CA M CD 0 ，C 点弯矩是 CA 杆 C 点处弯矩 M CA 与 CD 杆 C 点处
弯矩 M CD 叠加。
M
A
0 Q CA l M CA M AC 1 ql 2 0 ，A 点弯矩是取 AC 杆为 2
FNDB
F F 2 FP , FNDA P , FNAB P 2 2 2
于是，可按照内力反对称的原则标出桁架各杆的内力。 将图相应杆件的内力叠加，即可得到原桁架的各杆最终轴力如下图所示。
《结构力学》静定结构内力计算
只承受竖向荷载和弯矩
FP1 A
FP2
B
C
基本部分：能独立承受外载。 附属部分：不能独立承受外载。
FP
A
B
C
■作用在两部分交接处的集 中力，由基本部分来承担。
FP1
FP2
A B
■基本部分上的荷载不影响附 属部分受力。
■附属部分上的荷载影响基本 部分受力。
先算附属部分， 后算基本部分。
例 确定x值，使支座B处弯矩与AB跨中弯矩相等，画弯矩图
ql ql/2
FQ图 ql
7ql/4 ql
5ql/4 ql/2
3ql/4
ql/2
练习
10kNm 20kN 10kN
10kN/m
1m 1m 1m 1m
1m 1m 10kN/m
10kNm
20kN 10kN 0
0
30kN
10kNm
20kN 10kNm
10kNm
10kNm
20kN 10kN 0
0
30kN
2m 2m
解 （1）求支反力
q=20kN/m FP=40kN
70kN
50kN
（2）取隔离体，求截面内力
MC C FQC
FP=40kN
B 50kN
（2）叠加法作弯矩图
120kNm
+
40kNm
40kNm
=
120kNm
40kNm
40kNm M图
例 试绘制梁的弯矩图。
40kNm
FP=40kN q=20kN/m
26
26
8 FQ图(kN)
6
12
M图(kNm)
24 12
例
解 （1）求支反力
土木工程叠加法
土木工程叠加法
土木工程叠加法是指利用叠加原理和结构分析方法进行复杂结构的力学分析的一种方法。
叠加法是力学分析中经常使用的一种基本方法，它是一种根据负荷情况，将结构分为几个部分，分别计算每一部分的内力，然后将其叠加起来得到整个结构的内力的方法。
在土木工程设计中，建筑结构的受力、变形和破坏具有复杂性和不规则性。
对于这种情况，传统的手工计算方法难以满足需要。
因此，叠加法是一种比较简单、实用、可靠的手段。
它适用于各种建筑结构形式，包括桁架、板壳、悬索、梁等。
叠加法的主要特点是分部分计算。
即将结构分为若干个部分，分别计算每一部分的内力，然后将各部分的内力叠加起来，得到整个结构的内力。
这样，就可以将复杂的结构力学分析化为若干个简单的部分进行计算。
叠加法的步骤一般包括以下几个方面：
(1) 给定结构物的荷载情况和受力部位。
(2) 将结构物分解为若干个部分，每个部分受到独立于其他部分的荷载作用。
(3) 计算各部分的内力。
(4) 将各部分的内力叠加起来得到整个结构的内力。
(5) 根据内力大小判断结构物的破坏形式。
(6) 根据计算结果进行调整和优化设计。
叠加法在土木工程中的应用非常广泛，具体包括以下几个方面：
(1) 建筑物叠加法分析，如梁、柱、框架等结构的力学分析；
综上所述，土木工程叠加法是一种比较实用的结构分析方法，能够有效地解决复杂结构的力学分析问题。
对于工程师来说，掌握叠加法是提高工程设计和分析能力的重要途径。
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
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2．6叠加法作弯矩图
当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反
力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，
且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁
上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支
反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁
的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独
作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和
即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用
引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作
用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物
理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形
等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量
的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也
不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简
支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，
分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图
(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠
加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共
有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见
图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后
的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基
线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值
弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0B
m =∑可求得支反,
剪力方程为
Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0
x
极值弯矩为
由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为
本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的
简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
所以，如用叠加法做出了该筒支梁的弯矩图，即可得该段梁的弯矩图。
此种叠加法，有时也称为区段叠加法。
例题2-10 利用叠加法做图示悬臂梁的弯矩图。
解：本例中梁的荷载可将梁分成AC、CD两段。
梁
各段控制截面上的剪力和
弯矩为
由上述控制截面的剪力、弯矩值，可画出每段梁的受力如例题2-10图（b)所示。
与各段梁的荷载相对应的简支梁如图(c)所示。
按照叠加法我们可分别作出简支梁 AC和简支梁CD的弯矩图(见图(d))，将两段梁的弯矩图合并即得图(e)所示的悬臂梁的弯矩图。
平面刚架是由同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接(受力后夹角不变)而组成的结构。
平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，还有轴力。
因刚架是由不同取向的杆件组成，为了能表示内力沿
各杆轴线的变化规律，习惯上约定：刚架截面上的弯矩如使刚架的内侧纤维受拉，则该截面上的弯矩规定为正(剪力、轴力的正负号规定同前)，弯矩图画在各杆受拉的一侧，不注明正负号。
剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧(通常正值画在刚架外侧)，但需注明正负号。
具体画图时，可采用上节叠加法做弯矩图时所介绍的方法，即将刚架分段，把各段杆的端面及刚架结点处的截面作为控制截面，求出其上的内力值。
在将各段杆简化为简支梁后可运用叠加法画出各段杆的内力图，最后合并为整个刚架的内力图。
例2-11 例2-11图（a)所示下端固定的刚架，其轴线平面内受荷载如图，试作
刚架内力图。
AB段及BC段杆对应的简支梁如例题2-11图(b)、图(c)所示。
刚架的内力图如例题2-11图(d)、图(e)、图(f)所示。
对于本例题，也可将刚架分段仿照梁的内力图的作法。
这时决定杆截面位置的x坐标应改为流动坐标，如图(a)所示。
在本例中，由于A点系自由端，为避免求支反力的麻烦，坐标原点先从A点算起，分别求出各段杆的内力方程，各段杆的内力图即可随之绘出(建议读者自行练习)。
曲杆内力图的绘制方法与此类似。
例题2-12 一端固定的半圆环受集中力P作用，试做此曲杆弯矩图。
解：以极坐标来表示杆横截面的位置。
如图(a)所示，θ表示m-m截面的位置，其上的弯矩的正负号通常规定为：使曲杆的曲率增加(外侧纤维受拉)的弯矩为正。
按照这一规定
M(θ)=Px=PR(1-cosθ) (O≤θ≤π)
它即是曲杆的弯矩方程，以曲杆的轴线为基线，将各相应截面的弯矩画在与横截面相应的半径线上。
这里也将弯矩图画在曲杆受拉的一侧，而不标注正负号。
由图可见，固定端处弯矩最大，。