江苏省如东县部分学校2020--2021学年度第一学期九年级数学阶段测试试卷(含答案)
的一个交点的横坐标在 0，1 之间．
第二步：因为当 x=0 时，y=﹣2＜0；当 x=1 时，y=1＞0．所以可确定方程 2x2+x﹣2=0
的一个根 x1 所在的范围是 0＜x1＜1．
第三步：通过取 0 和 1 的平均数缩小 x1 所在的范围；取 x= 0 1 1 ，因为当 x= 1 时，
22
2
y＜0，
y3 的大小关系为
（）
A． y1 y2 y3
B． y1 y3 y2 C． y3 y2 y1
D． y3 y1 y2
5.在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个.每次
将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球实验后发现，
摸到红球的频率稳定在 25%，则可以推算出 a 的值大约是
2020-2021 初三（上）数学阶段测试 20-10
一、选择题（共 30 分）
1．已知二次函数 y (x 2)2 1图像的顶点坐标为
A．(－2，－1)
B．(2，－1)
C． (2,1)
() D．(－2,1)
2．将二次函数 y x2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为 ( )
点在直线 x 1 上． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC 的面积为 S，求 S 的最大值并求 出此时点 P 的坐标；
24.（12 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种 玩具每件利润不能超过 60 元），每天可售出 50 件，根据市场调查发现，销售单价每增 加 2 元，销售量会减少 1 件。设销售单价增加 x 元，每天销售 y 件。
⑴请写出 y 与 x 之间的函数解析式； ⑵当 x 为多少元时，超市每天销售这种玩具可获得利润 2250 元？ ⑶设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？
25．（12 分）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程 2x2+x﹣2=0 的根的所在的范围．
第一步：画出函数 y=2x2+x﹣2 的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与 x 轴
()
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
(第 9 题)
(第 10 题)
二、填空题（共 30 分，11、12 每题 3 分，其余每题 4 分）
11.抛物线 y x2 2x 8 由抛物线 y x2 先 向_______平移 _______个单位，再向
______平移_______个单位得到的。 12.二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：
又因为当 x=1 时，y＞0，所以 1 ＜x1＜1． 2
（1）请仿照第二步，通过运算，验证 2x2+x﹣2=0 的另一个根 x2 所在范围是﹣
2＜x2＜﹣1；
பைடு நூலகம்
（2）在﹣2＜x2＜﹣1 的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将 x2 所在范围
缩小至
m＜x2＜n，使得
n﹣m≤
1 4
．
26.（14 分）如图，二次函数 y＝x2+bx 的图象与 x 轴正半轴交于点 A，平行于 x 轴的直线 l 与该抛物线交于 B、C 两点（点 B 位于点 C 左侧），与抛物线对称轴交于点 D（2，﹣3）． （1）求 b 的值； （2）设 P、Q 是 x 轴上的点（点 P 位于点 Q 左侧），四边形 PBCQ 为平行四边形．过点 P、Q 分别作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2， 求 x1、x2 的值．
轴于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为____．
17.已知，四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 互相垂直，且 AC+BD＝10，当 AC＝_______
时，四边形 ABCD 的面积最大，最大值为__________。
18.若关于 x 的一元二次方程 ax 2 3 x 1 0 的两个不等实数根都在-1 和 1 之间（不 22
答案：
1-5：C、A、D、A、A
6-10：D、B、D、C、A
11. 左移 1，下移 9； 12. x 1 ； 13、25； 14、 1 4
15、10；
16、1；
17、5；12.5；
18、1 a 9 或a 2 8
19、 y x 1 2 9 2 4
20.解方程 x2 5x 6 0 ，得 x1 2, x2 3 .
面 2m，水面宽为 4m．如果水面宽度为 6m，则水面下降
()
A．3.5 m
B．3 m
C． 2.5 m
D．2 m
10.如图所示的二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象中，刘星同学观察得出了下面四
条信息：① b2 4ac 0 ；② c 1；③ 2a b 0 ；④ a b c 0 .你认为其中错误有
23、 s 27 p 3 , 15 8 2 4
24、⑴ y 1 x 50 ⑵ 10 2
⑶当 x=20 时，最大值是 2400.
25、
26
22.（12 分）已知关于 x 的二次函数 y x2 2m 1x m2 3m 4 。
⑴求 m 取何值时，该二次函数的图象与 x 轴有两个交点；
⑵设二次函数的图象与 x 轴的交点为 Ax1,0, Bx2,0 ，且 x12 x22 5 ，求该二次
函数的解析式。
23.（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），抛物线的顶
()
A.12
B.9
C.4
D.3
6.函数 y x2 2x m 的图象过点（2,0），则使函数值 y 0 成立的 x 的取值范围是
（）
A． x 0或x 2 C x 4或x 2
B． 0 x 2 D． 4 x 2
7.已知抛物线 y x2 bx 4 经过（-2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（ ）
上放在桌面上。
⑴若从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字恰好是 3 的概率是
；
⑵第一次任意抽取一张(不放回)，第二次再抽一张.用列表法或画树状图法求两次所抽卡
片上的数字恰好是方程 x2 5x 6 0 的两个根的概率.
21.（10 分）如图，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA， O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形 状相同的抛物线路线落下。要求抛物线在离 OA 1m 处，达到最高，最高为 2.25m。不 计其他因素，那么水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
A．-2
B．-4
C．2
D．4
8.已知二次函数 y x2 4x 2 ，关于该函数在-1≤x≤3 的取值范围内，下列说法
正确的是 A．有最大值-1，有最小值-2 C．有最大值 7，有最小值-1
（） B．有最大值 0，有最小值-1 D．有最大值 7，有最小值-2
9.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水
列表如下:
由列表可知在四张牌中随意作不放回的抽卡两张，共有 12 种等可能的结果，其中出现 2 与 3 的的结果有 2 种，
∴两次所抽卡片上的数字恰好是方程 x2 5x 6 0 的两根的概率为 2 1 . 12 6
21、至少 2.5 米；
22、⑴ m 15 ⑵ m 1 y x2 3x 2 16
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 －3 －4 －3 0 5 12
则二次函数的对称轴是
。
13.抛物线 y x2 10x c 的顶点在 x 轴上，则 c _________ 。
14.一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色外没有任何区别），分别是 3 个红珠子、4
个白珠子和 5 个黑珠子，每次只摸出 1 个珠子，观察后放回搅匀，在连续 9 次摸出的都
包括-1,1），则 a 的取值范围是
。
三、解答题（共 90 分）
19. （8 分）已知二次函数 y ax2 bx c ，当 x 0时，y 2; 当 x 1时，y 2;
当 x 1时，y 0 。求该二次函数的图象的开口方向、顶点坐标及对称轴。
20.(10 分)四张质地相同并标有数字 0,1,2,3 的卡片(如图 4 所示)，将卡片洗匀后，背面朝
A． y x2 1
B． y x2 1
C． y (x 1)2
D． y (x 1)2
3.下列成语所描述的事件是必然事件的是
A.水中捞月
B.拔苗助长
C.守株待兔
() D.瓮中捉鳖
4.设 A(2, y1) ， B(1, y2 ) ，C(2, y3) 是抛物线 y (x1)2 m 上的三点，则 y1 ， y2 ，
是红珠子的情况下，第 10 次摸出红珠子的概率是
。
15.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y(m) 与水平距离
x(m) 之间的关系为 y 1 (x 4)2 3 ，由此可知铅球推出的距离是
m.
12
（第 15 题）
（第 16 题）
16.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y＝x2－2x＋2 上运动．过点 A 作 AC⊥x
2020-2021学年江苏省南通市如东县九年级上学期期中考试数学模拟试卷及答案解析
2020-2021学年江苏省南通市如东县九年级上学期期中考试
数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，则配方后所得的方程为（）A．（x+3）2＝10B．（x+3）2＝8C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣3）2＝8 3．（3分）下列事件是随机事件的是（）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
4．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 5．（3分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交于BC的中点D，过点D作直线EF 与⊙O相切，交AC于点E，交AB的延长线于点F．若△ABC的面积为△CDE的面积的8倍，则下列结论中，错误的是（）
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2020-2021初三数学上期中试卷带答案(4)
2020-2021初三数学上期中试卷带答案(4)一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70°2．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．13 3．方程2(2)9x -=的解是（ ）A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 4．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4 C ．k<4且k≠3 D ．k≤4且k≠38．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A ．15cmB ．12cmC ．10cmD ．20cm9．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h10．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120°11．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．12B ．1∶2C 32D ．1312．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.14．已知方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．15．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y轴上______________ 16．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．17．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．18．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是________cm．19．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分A B C D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同,,,一个组的概率是_______．20．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．三、解答题21．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．22．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线.（2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.23．某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加一人，人均旅游费降低10元；但人均旅游费不低于550元，公司支付给旅行社30000元，求该公司参加旅游的员工人数．24．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 3．A解析：A【解析】【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x -＝，故x －2＝3或x －2＝－3，解得：x 1＝5，x 2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.4．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 5．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA 1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A 、B 、C 1在同一条直线上，得到∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA 1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R 180π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数． 7．B解析：B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点. 8．A解析：A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．【详解】过O 作OE AB ⊥于E ，90120OA OB cm AOB ︒∠Q ＝＝，＝，30A B ︒∴∠∠＝＝，1452OE OA cm ∴＝＝， ∴弧CD 的长1204530180ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P 在优弧ADB 上，则∠APB=12∠AOB=45°； 若点P 在劣弧AB 上， 则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C ．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A 、∵方程M 有两个不相等的实数根，∴△＝b 2−4ac ＞0，∵方程N 的△＝b 2−4ac ＞0，∴方程N 也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B 、把x ＝4代入ax 2＋bx ＋c ＝0得：16a ＋4b ＋c ＝0，∴110164c b a ++=， ∴即14是方程N 的一个根，故不符合题意； C 、∵方程M 有两根符号相同，∴两根之积ca＞0，∴ac＞0，即方程N的两根之积＞0，∴方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根也可以是x＝－1，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.14．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为解析：94【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 15．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a -=，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++∵图象开口向下∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a =-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0∴二次函数解析式可以为：2y x =-．故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．16．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C 的横坐标为OC ＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C 的位置然后求出翻转B 前进的距离连接CE 过点D 作解析：(4038，3【解析】【分析】先求出开始时点C 的横坐标为12OC ＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C 的位置，然后求出翻转B 前进的距离，连接CE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，则CE ⊥EF ，∠CDH ＝∠EDH ＝60°，CH ＝EH ，求出CE ＝2CH ＝2×CDsin60°＝3C 的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×32＝3，∴点C的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．18．【解析】【分析】先画图根据题意求出∠OAB=60°再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果【详解】解：∵∠CAD=60°∴∠CAB=120°∵AB和AC与⊙O相切∴∠OAB=∠OAC=∠CAB=3【解析】【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果．【详解】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC=∠12CAB=60°，∴∠AOB=30°，∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴2233cmOB OA AB=-=所以直径为2OB=63cm故答案为：63．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．19．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概解析：1 4【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41 164=，故答案为：14．【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答20．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9， 故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．三、解答题21．（1）y=﹣x 2+2x +3；（2）C （0，3），D （1，4）；（3）P （2，3）．【解析】【分析】（1）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b 、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C 点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C 的坐标；（3）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意列出方程即可求得y ，即得D 点坐标．【详解】（1）由点A （﹣1，0）和点B （3，0）得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x +3；（2）令x=0，则y=3，∴C （0，3）∵y=﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，∴D （1，4）；（3）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），S △COE =12×1×3=32，S △ABP =12×4y=2y ， ∵S △ABP =4S △COE ，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x 2+2x +3=3， 解得：x 1=0（不合题意，舍去），x 2=2，∴P （2，3）．【点睛】 本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S △ABP =4S △COE 列出方程是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）»AD 23π=【解析】【分析】（1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得1B ∠=∠，由垂直定义和三角形内角和定理得290B ∠+∠=︒，等量代换得2190∠+∠=︒，由平角定义得90DOE ∠=︒，从而可得证.（2）连结AD ，由圆周角定理得90ADC ∠=︒，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得60AOD ∠=︒，在Rt DEB ∆中，由直角三角形性质得23BD CD ==，在Rt ADC ∆中，由直角三角形性质得2OA OC ==，再由弧长公式计算即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连结OD ．∵OC OD =，AB AC =，∴1C ∠=∠，C B ∠=∠，∴1B ∠=∠，∴DE AB ⊥，∴290B ∠+∠=︒，∴2190∠+∠=︒，∴90ODE ∠=︒，∴DE 为O e 的切线．（2）解：连结AD ，∵AC 为O e 的直径．∴90ADC ∠=︒．∵AB AC =，∴30B C ∠=∠=︒，BD CD =，∴60AOD ∠=︒．∵DE =∴BD CD ==∴2OC =， ∴60221803AD ππ=⨯= 【点睛】 本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．该公司有50人参加旅游．【解析】【分析】设该公司有x 人参加旅游，由308002400030000⨯=<，可得出x 30>，分30x 55<≤及x 55>两种情况考虑，由总价=单价⨯数量，可得出关于x 的一元二次方程(一元一次方程)，解之即可得出结论．【详解】设该公司有x 人参加旅游．308002400030000⨯=<Q ，x 30∴>．()308005501055(+-÷=人)．根据题意得：当30x 55<≤时，有()x 80010x 3030000⎡⎤--=⎣⎦，化简得：2x 110x 30000-+=，解得：1x 50=，2x 60(=舍去)；当x 55>时，有550x 30000=， 解得：600x (11=舍去)． 答：该公司有50人参加旅游．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分30x 55<≤及x 55>两种情况，列出关于x 的方程是解题的关键．24．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A 通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B 通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A 通道通过的情况数有1种，所以都选择A 通道通过的概率为18， 故答案为：18； （2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B 通道通过的有4种情况， ∴至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率为4182=． 【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．25．(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m 的不等式，解之可得； （2）由（1）中m 的范围且m 为非负整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【详解】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m Q 为非负整数， 0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：11x =21x =，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m 的值是1.【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．。
2019-2020学年江苏省南通市如东市部分学校联考九年级(上)期中数学试卷试题及答案(Word解析版)
2019-2020学年江苏省南通市如东市部分学校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）已知二次函数的图象经过(0,2)A -，(1,0)B ，(2,0)C ，则这个二次函数图象的对称轴为( ) A ．32x =B ．2x =-C ．2x =D ．32x =-3．（3分）已知O 的半径为 5 ，圆心O 到直线l 的距离为 3 ，则反映直线l 与O 的位置关系的图形是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）把抛物线2y x bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为223y x x =-+，则(b c += ) A ．9B ．12C ．14-D ．105．（3分）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于( )A ．160︒B ．150︒C ．140︒D ．120︒6．（3分）如图所示，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为(090)αα︒<<︒．若1110∠=︒，则(α= )A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒7．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．（3分）已知点1(4,)y -、2(1,)y -、5(3，3)y 都在函数245y x x =--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>9．（3分）如图，ABC ∆是一张周长为17cm 的三角形的纸片，5BC cm =，O 是它的内切圆，小明准备用剪刀在O 的右侧沿着与O 相切的任意一条直线MN 剪下AMN ∆，则剪下的三角形的周长为( )A ．12cmB ．7cmC ．6cmD ．随直线MN 的变化而变化10．（3分）如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论： ①0a b c -+>； ②30a b +=； ③24()b a c n =-；④一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共8小题，第11～13每小题3分，第14～18每小题3分，共29分） 11．（3分）解方程：23x x =，则x = ．12．（3分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ．13．（3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．14．（4分）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，点O 在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，则OAD OCD ∠+∠= ︒．15．（4分）二次函数241y kx x =-+与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ．16．（4分）在长方形ABCD 中16AB =，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为 ．17．（4分）当21x -剟时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为 ．18．（4分）如图，ABC ∆、BDE ∆都是等腰直角三角形，BA BC =，BD BE =，4AC =，DE =．将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转后得△BD E ''，当点E '恰好落在线段AD '上时，则CE '= ．三、解答题：（本大题共8小题，共91分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19．（10分）解下列方程 （1）242x x -=（2）22630x x --=20．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(15)50(0)mx m x m +--=≠ （1）求证：无论m 为任何非0实数，此方程总有两个实数根．（2）若抛物线2(15)5(0)y mx m x m =+--≠与x 轴交于1(A x ，0)、2(B x ，0)两点，且12||6x x -=，求m 的值．21．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(1,4)A ，(1,1)B ，(3,1)C ．（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的△111A B C ；（2）画出ABC ∆绕点O 逆时针旋转90︒后的△222A B C ； （3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留)π．22．（12分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件(6x …，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．23．（12分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AB 上，以AD 为直径的O 与BC 相交于点E ，与AC 相交于点F ，AE 平分BAC ∠． （1）求证：BC 是O 的切线．（2）若30EAB ∠=︒，3OD =，求图中阴影部分的面积． （3）若5AD =，4AE =，求AF ．24．（12分）如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线上的一个动点，点D 的横坐标为(14)m m <<，连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的解析式；（2）当BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得QAC ∆的周长最小，若存在，求出点Q 的坐标．25．（12分）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边ABC ∆内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB ∠的度数．为了解决本题，我们可以将ABP ∆绕顶点A 旋转到ACP ∆'处，此时ACP ABP ∆'≅∆，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠= ； （2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，E 、F 为BC 上的点且45EAF ∠=︒，求证：222EF BE FC =+； （3）能力提升如图③，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，点O 为Rt ABC ∆内一点，连接AO ，BO ，CO ，且120AOC COB BOA ∠=∠=∠=︒，求OA OB OC ++的值．26．（14分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2=+与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左y x x侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM∆以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN∆为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F 的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年江苏省南通市如东市部分学校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．（3分）已知二次函数的图象经过(0,2)A-，(1,0)B，(2,0)C，则这个二次函数图象的对称轴为()A．32x=B．2x=-C．2x=D．32x=-【解答】解：二次函数的图象经过(0,2)A-，(1,0)B，(2,0)C，∴这个二次函数图象的对称轴为直线12322x+==，故选：A．3．（3分）已知O的半径为5 ，圆心O到直线l的距离为3 ，则反映直线l与O的位置关系的图形是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：O 的半径为 5 ，圆心O 到直线l 的距离为 3 ，53>，即：d r <，∴直线L 与O 的位置关系是相交 ．故选：B ．4．（3分）把抛物线2y x bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为223y x x =-+，则(b c += ) A ．9 B ．12C ．14-D ．10【解答】解：2223(1)2y x x x =-+=-+，∴新抛物线顶点坐标为(1,2)，由平移规律可知，原抛物线顶点坐标为(2,4)-， ∴原抛物线解析式为22(2)448y x x x =++=++，比较系数，得12b c +=． 故选：B ．5．（3分）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于( )A ．160︒B ．150︒C ．140︒D ．120︒【解答】解：线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥， ∴CB BD =，20CAB ∠=︒， 40BOD ∴∠=︒， 140AOD ∴∠=︒．故选：C ．6．（3分）如图所示，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为(090)αα︒<<︒．若1110∠=︒，则(α= )A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒【解答】解：如图，四边形ABCD 为矩形， 90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到矩形AB C D '''， 90D D ∴∠'=∠=︒，4α∠=， 12110∠=∠=︒，3360909011070∴∠=︒-︒-︒-︒=︒， 4907020∴∠=︒-︒=︒， 20α∴∠=︒．故选：A ．7．（3分）下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意； （2）半圆是弧，故符合题意；（3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意； （4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意； 其中真命题的个数有2个； 故选：C ．8．（3分）已知点1(4,)y -、2(1,)y -、5(3，3)y 都在函数245y x x =--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>【解答】解：245y x x =--+，∴函数图象的对称轴是直线422x -=-=--，图象的开口向下， ∴当2x <-时，y 随x 的增大而增大，点5(3，3)y 关于对称轴的对称点的坐标是17(3-，3)y ，17413-<-<-， 213y y y ∴>>，故选：C ．9．（3分）如图，ABC ∆是一张周长为17cm 的三角形的纸片，5BC cm =，O 是它的内切圆，小明准备用剪刀在O 的右侧沿着与O 相切的任意一条直线MN 剪下AMN ∆，则剪下的三角形的周长为( )A ．12cmB ．7cmC ．6cmD ．随直线MN 的变化而变化【解答】解：设E 、F 分别是O 的切点，ABC ∆是一张三角形的纸片，17AB BC AC cm ++=，O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，5BC cm =，5BD CE BC cm ∴+==，则7AD AE cm +=，故DM MF =，FN EN =，AD AE =， 7()AM AN MN AD AE cm ∴++=+=．故选：B ．10．（3分）如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论： ①0a b c -+>； ②30a b +=； ③24()b a c n =-；④一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线1x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(2,0)-和(1,0)-之间． ∴当1x =-时，0y >，即0a b c -+>，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线12bx a=-=，即2b a =-， 332a b a a a ∴+=-=，所以②错误；抛物线的顶点坐标为(1,)n ，∴244ac b n a-=， 2444()b ac an a c n ∴=-=-，所以③正确；抛物线与直线y n =有一个公共点， ∴抛物线与直线1y n =-有2个公共点，∴一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C ．二、填空题：（本大题共8小题，第11～13每小题3分，第14～18每小题3分，共29分） 11．（3分）解方程：23x x =，则x = 10x =，23x = ． 【解答】解：原方程可化为：230x x -=， (31)0x x -=， 0x =或310x -=，解得：10x =，213x =； 故答案为：10x =，213x =．12．（3分）已知正六边形的边长为2【解答】解：由题意得，360606AOB ︒∠==︒， 30AOC ∴∠=︒，2cos302OC ∴=︒==，13．（3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为(1)212x -= ． 【解答】解：设有x 个队，每个队都要赛(1)x -场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： 1(1)212x x -=， 故答案为：1(1)212x x -=．14．（4分）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，点O 在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，则OAD OCD ∠+∠= 60 ︒．【解答】解：四边形OABC 为平行四边形，AOC B ∴∠=∠，OAB OCB ∠=∠，180OAB B ∠+∠=︒．四边形ABCD 是圆的内接四边形， 180D B ∴∠+∠=︒．又12D AOC ∠=∠，3180D ∴∠=︒，解得60D ∠=︒．18060OAB OCB B ∴∠=∠=︒-∠=︒．360()360(601206060)60OAD OCD D B OAB OCB ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒-︒+︒+︒+︒=︒． 故答案为：60．15．（4分）二次函数241y kx x =-+与x 轴有交点，则k 的取值范围是 4k …且0k ≠ ． 【解答】解：二次函数241y kx x =-+与x 轴有交点， ∴2(4)410k k ≠⎧⎨--⨯⨯⎩…， 解得，4k …且0k ≠， 故答案为：4k …且0k ≠．16．（4分）在长方形ABCD 中16AB =，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为 4 ．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r ，依题意，得 90162180r ππ⨯=， 解得4r =．故此圆锥的底面半径为4； 故答案为：4．17．（4分）当21x -剟时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为 2或【解答】解：二次函数对称轴为直线x m =，①2m <-时，2x =-取得最大值，22(2)14m m ---++=， 解得74m =-，不合题意，舍去；②21m -剟时，x m =取得最大值，214m +=，解得m =，3m =不满足21m -剟的范围，m ∴=；③1m >时，1x =取得最大值，22(1)14m m --++=， 解得2m =．综上所述，2m =或4．故答案是：2或18．（4分）如图，ABC ∆、BDE ∆都是等腰直角三角形，BA BC =，BD BE =，4AC =，DE =．将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转后得△BD E ''，当点E '恰好落在线段AD '上时，则CE '【解答】解：如图，连接CE '，ABC ∆、BDE ∆都是等腰直角三角形，BA BC =，BD BE =，4AC =，DE =，AB BC ∴==2BD BE ==，将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转后得△BD E ''， 2D B BE BD ∴'='==，90D BE ∠''=︒，D BD ABE ∠'=∠'， ABD CBE ∴∠'=∠'，()ABD CBE SAS ∴∆'≅∆'， 45D CE B ∴∠'=∠'=︒，过B 作BH CE ⊥'于H ，在Rt BHE ∆'中，BH E H ='='=在Rt BCH ∆中，CH ==，CE ∴'=，+．三、解答题：（本大题共8小题，共91分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19．（10分）解下列方程 （1）242x x -= （2）22630x x --= 【解答】解：（1）242x x -=，2446x x ∴-+=，2(2)6x ∴-=，2x ∴=（2）22630x x --=，22164x x ∴-+=，2(1)64x ∴-=，9x ∴=或7-；20．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(15)50(0)mx m x m +--=≠ （1）求证：无论m 为任何非0实数，此方程总有两个实数根．（2）若抛物线2(15)5(0)y mx m x m =+--≠与x 轴交于1(A x ，0)、2(B x ，0)两点，且12||6x x -=，求m 的值．【解答】解：（1）△2224(15)201250b ac m m m =-=-+=+>， 故：无论m 为任何非0实数，此方程总有两个实数根． （2）121(51)x x m m +=-，125x x m =-，12||6x x -=， 解得：1m =或111-； 21．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(1,4)A ，(1,1)B ，(3,1)C ． （1）画出ABC ∆关于x 轴对称的△111A B C ；（2）画出ABC ∆绕点O 逆时针旋转90︒后的△222A B C ； （3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留)π．【解答】解：（1）ABC ∆关于x 轴对称的△111A B C 如图所示； （2）ABC ∆绕点O 逆时针旋转90︒后的△222A B C 如图所示；（3）BC扫过的面积222OCC OBB S S π=-==扇形扇形．22．（12分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件(6x …，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 【解答】解： 由题意（1）26(5)(1005)102108000.5x y x x x -=--⨯=-+-故y 与x 的函数关系式为：210210800y x x =-+- （2）要使当天利润不低于240元，则240y …，221021080010(10.5)302.5240y x x x ∴=-+-=--+=解得，18x =，213x =100-<，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为813x 剟（3）每件文具利润不超过80% ∴50.85x -…，得9x … ∴文具的销售单价为69x 剟， 由（1）得221021080010(10.5)302.5y x x x =-+-=--+ 对称轴为10.5x =69x ∴剟在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大∴当9x =时，取得最大值，此时210(910.5)302.5280y =--+=即每件文具售价为9元时，最大利润为280元23．（12分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AB 上，以AD 为直径的O 与BC 相交于点E ，与AC 相交于点F ，AE 平分BAC ∠． （1）求证：BC 是O 的切线．（2）若30EAB ∠=︒，3OD =，求图中阴影部分的面积． （3）若5AD =，4AE =，求AF ．【解答】（1）证明：如图1，连结OE ，AE 平分BAC ∠， CAE EAD ∴∠=∠， OA OE =， EAD OEA ∴∠=∠ OEA CAE ∴∠=∠//OE AC ∴， 90OEB C ∴∠=∠=︒， OE BC ∴⊥， BC ∴是O 的切线；（2）解：30EAB ∠=︒， 60EOD ∴∠=︒， 90OEB ∴∠=︒， 30B ∴∠=︒，226OB OE OD ∴===，BE ∴===，11322OEBS OE BE ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=，260333602OED S ππ⨯==扇形，32OEB OED S S S π∆∴=-=阴影扇形． （3）如图2，连结DE ，EF ，AD 为O 的直径，90AED ∴∠=︒，∴3DE ===， AE 平分BAC ∠，CAE EAD ∴∠=∠，又90ACE AED ∠=∠=︒，ACE AED ∴∆∆∽， ∴45AC AE CE AE AD DE ===， ∴1612,55AC CE ==， 四边形AFED 为圆内接四边形，CFE ADE ∴∠=∠，ACE AED ∆∆∽，ADE AEC ∴∠=∠，AEC CFE ∴∠=∠，FCE ACE ∠=∠，CEF CAE ∴∆∆∽， ∴CE AC CF CE=， ∴2212()951655CE CF AC ===， 1697555AF AC CF ∴=-=-=． 24．（12分）如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线上的一个动点，点D 的横坐标为(14)m m <<，连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的解析式；（2）当BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得QAC ∆的周长最小，若存在，求出点Q 的坐标．【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：22(2)(4)(28)28y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，即86a -=，解得：34a =-， 故抛物线的表达式为：233642y x x =-++； （2）点(0,6)C ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：362y x =-+， 如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 与点H ， 设点233(,6)42D m m m -++，则点3(,6)2H m m -+ 22133332(66)2(3)24224BDC S HD OB m m m m m ∆=⨯=-+++-=-+，3319624422ACO S ∆=⨯⨯⨯=， 即：2392(3)42m m -+=， 解得：1m =或3（舍去1)，故3m =；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q ，使得QAC ∆的周长最小，如图2， 抛物线233642y x x =-++的轴对称与BC 的交点即为点Q ， 抛物线233642y x x =-++的轴对称为1x =， ∴把1x =代入直线BC 的表达式362y x =-+得92y =， ∴点Q 的坐标为9(1,)2．25．（12分）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边ABC∠∆内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数．为了解决本题，我们可以将ABP∆绕顶点A旋转到ACP∆'≅∆，这样就∆'处，此时ACP ABP可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出APB∠=150︒；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，ABC=，E、F为BC上的点且45∠=︒，求EAF∠=︒，AB ACCAB∆中，90证：222=+；EF BE FC（3）能力提升如图③，在Rt ABCABC∠=︒，点O为Rt ABC∆内一点，连接∠=︒，1AC=，30∆中，90C++的值．∠=∠=∠=︒，求OA OB OCAOC COB BOAAO，BO，CO，且120【解答】解：（1）ACP ABP∆'≅∆，3AP AP ∴'==、4CP BP '==、AP C APB ∠'=∠，由题意知旋转角PA ∠ 60P '=︒，∴△AP P '为等边三角形，P 3P AP '==，A ∠ 60P P '=︒，易证△P P C '为直角三角形，且P ∠ 90P C '=︒，APB AP C A ∴∠=∠'=∠ P P P '+∠ 6090150P C '=︒+︒=︒；故答案为：150︒；（2）如图2，把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ACE ∆'，由旋转的性质得，AE AE '=，CE BE '=，CAE BAE ∠'=∠，ACE B ∠'=∠，90EAE ∠'=︒， 45EAF ∠=︒，904545E AF CAE CAF BAE CAF BAC EAF ∴∠'=∠'+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， EAF E AF ∴∠=∠'，在EAF ∆和△E AF '中，AE AE EAF E AF AF AF ='⎧⎪∠=∠'⎨⎪=⎩EAF ∴∆≅△()E AF SAS '，E F EF ∴'=，90CAB ∠=︒，AB AC =，45B ACB ∴∠=∠=︒，454590E CF ∴∠'=︒+︒=︒，由勾股定理得，222E F CE FC '='+，即222EF BE FC =+．（3）如图3，将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒至△A O B ''处，连接OO '，在Rt ABCAC=，30∠=︒，ABC∠=︒，1∆中，90C∴=，2AB∴==，BC∆绕点B顺时针方向旋转60︒，AOB''如图所示；∴△A O BA BC ABC∠'=∠+︒=︒+︒=︒，60306090ABC∠=︒，AC=，30∠=︒，190CAB AC∴==，22∆绕点B顺时针方向旋转60︒，得到△A O B''，AOB∴'==，BO BOA B AB2''=，='，A O AOBOO∴∆'是等边三角形，BOO BO O∠'=∠'=︒，∴='，60BO OO∠=∠=∠=︒，120AOC COB BOACOB BOO BO A BO O∴∠+∠'=∠''+∠'=︒+︒=︒，12060180∴、O、A'、O'四点共线，C在Rt△A BC'中，A C'===OA OB OC A O OO OC A C∴++=''+'+='=26．（14分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2y x x =+与其“梦想直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y x =点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将ACM ∆以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若AMN ∆为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线2y =+ ∴其梦想直线的解析式为y =+，联立梦想直线与抛物线解析式可得2y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩，(2A ∴-，，(1,0)B ，故答案为：y =+(2-，；(1,0)； （2）当点N 在y 轴上时，AMN ∆为梦想三角形，如图1，过A 作AD y ⊥轴于点D ，则2AD =，在2y x x =+中，令0y =可求得3x =-或1x =，(3,0)C ∴-，且(2A -，，AC ∴==，由翻折的性质可知AN AC ==，在Rt AND ∆中，由勾股定理可得3DN ===， 2OD =，3ON ∴=-或3ON =，当3ON =时，则MN OD CM >>，与MN CM =矛盾，不合题意，N ∴点坐标为(0，3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP x ⊥轴于点P ，如图2，在Rt AMD ∆中，2AD =，OD =tan MD DAM AD∴∠== 60DAM ∴∠=︒，//AD x 轴，60AMC DAO ∴∠=∠=︒，又由折叠可知60NMA AMC ∠=∠=︒，60NMP ∴∠=︒，且3MN CM ==，1322MP MN ∴==，NP ==∴此时N 点坐标为3(2；综上可知N 点坐标为(0，3)-或3(2； （3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK x ⊥轴于点K ，则有//AC EF 且AC EF =，ACK EFH ∴∠=∠，在ACK ∆和EFH ∆中ACK EFH AKC EHF AC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACK EFH AAS ∴∆≅∆， 1FH CK ∴==，HE AK ==， 抛物线对称轴为1x =-， F ∴点的横坐标为0或2-， 点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F ，此时点E 在直线AB 下方， E ∴到x轴的距离为EH OF -==E点纵坐标为(1,E ∴-； 当F 点的横坐标为2-时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， (3,0)C -，且(2A -，， ∴线段AC的中点坐标为(-， 设(1,)E t -，(,)F x y ，则12( 2.5)x -=⨯-，y t +=， 4x ∴=-，y t =， 代入直线AB解析式可得(4)t -=-，解得t =(1,E ∴-，(F -； 综上可知存在满足条件的点F ，此时(1,E -、F或(1,E -、(F -．。
江苏省南通市部分学校2020-2021学年第一学期九年级(上)数学期中考试测试
A
B
C
D
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ▲ ）．
A． xy +2 =1
B． (x - 2)2 +16 = x2 C． x2 + 1 - 3 = 0 x
3．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ▲ ）．
D． x2 =1
A．经过任意两点画一条直线
B．任意画一个五边形，其外角和为 360°
C．过平面内任意三个点画一个圆
三、解答题（本大题共 8 小题，共 91 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）
19．（本小题满分 10 分） 用适当的方法解下列方程：
（1） x x 2 3
（2） 4x2 x 3 0
20．（本小题满分 10 分） 一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字 1、－2、3，搅匀后先从中 任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点 A 的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球， 记下数字作为点 A 的纵坐标．求点 A 落在第四象限的概率．
B． y = 4 x2 + 5 810 2
C． y = 1 x2 + 2 810
D． y = 4 x2 + 2 810
（第 7 题）
（第 9 题）
（第 10 题）
二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～13 题每小题 3 分，第 14～18 题每小题 4 分，共 29 分．不需写出 解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上）
2020-2021 学年度初三（上）数学期中测试
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上．）
2020-2021学年南通市如东县九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年南通市如东县九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. 等腰三角形B. 平行四边形C. 菱形D. 正五边形2.将一元二次方程x2+4x+2=0配方后可得到方程()A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=6D. (x+2)2=63.已知△ABC的三个内角满足：∠A：∠B：∠C=1：2：3，则这是一个()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定4.把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为()A. y=(x+2)2+3B. y=(x−2)2+3C. y=(x+2)2−3D. y=(x−2)2−3(x−1)(x−9)与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴5.已知抛物线y=−316交于点D，抛物线顶点为C，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为()A. 72B. 2√3C. √412D. 56.下列关于x的方程ax2−bx=0(a,b是不为0的常数)的根的情况判断正确的是()A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 有且只有一个实数根7.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB′，若∠A′B′A=25°，则∠B的大小为()A. 80°B. 70°C. 50°D. 45°8.如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 159.如图，△ABC中，AB=AC=4√5，BC=8，则△ABC外接圆的直径为()A. 8B. 10C. 12D. 1610.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x−2)2+n+1交于点A，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C(点B在点C左侧)则线段BC的长为()A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共8小题，共29.0分）11.方程(x+1)2=16的解是______ ．12.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是______ ．13.若点与点是关于原点的对称点，则点的坐标为14. 如图，在Rt △ABC 中，CA =CB ，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EM.则下列结论中：①BF =CE ；②∠AEM =∠DEM ；③AE −CE =√2ME ； ④DE 2+DF 2=2DM 2；⑤若AE 平分∠BAC ，则EF ：BF =√2：1；正确的有______ .(只填序号)15. 已知关于x 的方程x 2−3x +2k =0的一个根是1，则k = ______ ．16. 现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y 轴对称.其中半圆交y 轴于点E ，直径AB =2，OE =2；两支抛物线的顶点分别为点A 、点B.与x 轴分别交于点C 、点D ；直线BC 的解析式为：y =kx +34.则零件中BD 这段曲线的解析式为______ ．17. 函数y =3(x −2)2−1的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______，最小值是______．18. 弦AB 把圆周分成1：3的两部分，点C 是圆上不同于A 、B 的一点，那么∠ACB 的度数为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共91.0分）19. 解下列方程组：(1){2x −y =6x +2y =−2(2){2(3x −4)−3(y −1)=43x 3+y 2=0．20. 为了丰富校园生活，展现同学们英语表达的风采，某校组织了“英语风采大赛”，大赛共设置四个比赛项目．八年级六班的同学们踊跃报名，在“才艺表演”项目中，小怡报名表演古筝，小宏报名表演小提琴，小童报名表演笛子，小灿和小源报名唱英文歌曲．为了取得良好的节目效果，体现公平公正．文体委员决定采用以下方法搭配组合节目：制作5张完全相同的卡片，正面分别写上报名参加比赛同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，然后随机抽取卡片，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛．(1)随机抽取一张卡片，求六班才艺表演项目是“乐器独奏”的概率；(2)随机抽取两张卡片，请用树状图或列表法求小宏和小灿组合参加比赛的概率．(注：可以用A，B，C，D，E分别表示小怡，小宏，小童，小灿，小源的名字)21.如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6.(1)求证：△ADE∽△ACB(2)求DE的长．22. 如图，在△ABC中，AB=AC．(1)如图1，若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．①试说明：BD=CD；②判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)如图2，若点O沿OB向点B移动，以O为圆心，以OB为半径作⊙O与AC相切于点F，与AB相交于点G，与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E，已知⊙O的半径长为4，CE=2，求切线AF的长．23. 端午节前夕.某超市调研一种进价为4元/个的粽子的销售情况.当每个售价为6元时，每天能卖出1400个，在此基础上售价每上涨0.1元，每天销售量将减少10个.根据物价局规定，售价不能超过进价的300%．(1)若要实现每天6000元的销售利润，售价应定为多少？(2)若按照物价局规定的最高售价，每天的利润会超过6000元吗？请说明理由．24. 如图所示，二次函数y=−x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)，使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．25. 如图，已知点B的坐标为(7,10)，点A的坐标为(7,6)，点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA=1：4．⏜的中点时，求证：DF=DN；(1)当点P运动使得点E为劣弧PN(2)在(1)的条件下，直接写出CP：DP的值为______ ．(3)设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．。
江苏省如东实验中学2020-2021学年九年级上九月数学质量检测
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝21，直接写出点P的坐标．
24．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
15．已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的根为________．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+c经过正方形的顶点A，B，C，则c＝_____．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．
18．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是_____．
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
12．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝_____．
13．已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax+3，在此抛物线上有A（﹣0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为_____．
2019-2020学年江苏省南通市如东县九年级(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年江苏省南通市如东县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图图案中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.用配方法解一元二次方程x2−6x=8时，此方程可变形为()A. (x−3)2=17B. (x−3)2=1C. (x+3)2=17D. (x+3)2=13.下列事件中，是必然事件的是()A. 足球运动员梅西射门一次，球射进球门B. 随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯D. 任意画一个三角形，其内角和是180°4.抛物线y=(x+1)2的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2+bx+c，则b、c的值为()A. b=6，c=7B. b=−6，c=−11C. b=6，c=11D. b=−6，c=115.平面内，⊙O的半径为3，OP=2，则点P在()A. ⊙O内B. ⊙O上C. ⊙O外D. 以上都有可能6.关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的根的情况()A. 无实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定7.如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠AC′C的度数为()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°8.“服务社会，提升自我．”尤溪县某中学积极开展志愿者服务活动，来自九年级的4名同学(二男二女)成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是()A. 13B. 12C. 23D. 349.如图，⊙O中，AB⌢=AC⌢，∠ABC=75°，BC=2，则图中阴影部分的面积是()A. 2+23πB. 2+43πC. 4+23ππD. √3+2310.在抛物线y=−x2+1上的一个点是()A. (1,0)B. (0,0)C. (0,−1)D. (1,1)二、填空题（本大题共8小题，共29.0分）11.14.设a、b是一元二次方程x2+2x−7=0的两个根，则a2+3a+b=_____．12.在不透明口袋内有形状．大小．质地完全一样的5个小球，其中红球3个，白球2个，随机抽取一个小球是红球的概率是______ ．13.平面直角坐标系中，点P(−4,2)与P1关于原点对称，则P1的坐标是______．14.在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是__________15.若m，n是一元二次方程x2−2x−8=0的两根，则m+n=______．16.火车进站刹车后滑行的距离S(米)与滑行的时间t(秒)的函数关系式是S=30t−1.5t2，要使火车刚好停在站台位置上，火车必须在离站台______ 米远处开始刹车．17.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是______．18.如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，若∠A=70°，则∠COD的大小为______(度)．三、解答题（本大题共8小题，共91.0分）19.解方程：(1)x2+4x+2=0(2)x(x−3)=−x+3．20.甲、乙两个不透明的口袋中各装有3个小球，它们除所标数字不同外其余均相同．甲口袋中小球分别标有数字1，6，7，乙口袋中小球分别标有数字1，2，4.现从甲口袋中随机摸出1个小球，记下标号；再从乙口袋中随机摸出1个小球，记下标号．用树状图(或列表)的方法，求两次摸出小球的标号之积是偶数的概率．21.如图，△ABC和△EBD均为等腰直角三角形，点E是边AB上一点，∠ABC=∠EBD=90°，连接AD，CE.求证：AD⊥CE．22.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD=8cm , BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．(结果保留π)23.某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．(1)若a=6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？(2)若0<a<6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．24.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．(1)求证：2a+b=0；(2)若关于x的方程ax2+bx−8=0的一个根为4，求方程的另一个根．25.已知：四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD相交于点E，AB=AC．(1)如图1，求证：2∠ACB+∠BDC=180°；(2)如图2，连接BO并延长交⊙O于点H，若AC⊥BD，求证：AH=CD；(3)如图3，在(2)的条件下，连接HE，若BE：DE=9：4；AB=30，求HE长．26.已知二次函数y=ax2+bx+c在x=1时取最大值5，且图象经过点(2,3)，求出a、b、c的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、是中心对称图形，故A选项错误；B、是中心对称图形，故B选项错误；C、是中心对称图形，故C选项错误；D、不是中心对称图形，故D选项正确；故选：D．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．2.答案：A解析：解：用配方法解一元二次方程x2−6x=8时，此方程可以变形为(x−3)2=17．故选A．利用完全平方公式的结构特征将方程变形即可．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3.答案：D解析：解：A.足球运动员梅西射门一次，球射进球门是随机事件；B.随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数是随机事件；C.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件；D.任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件；故选：D．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．本题主要考查必然事件的定义，关键是理解必然事件是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．4.答案：C解析：【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得．【解答】解：∵抛物线y=(x+1)2的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y= (x+1+2)2+2，即y=x2+6x+11，∴b=6，c=11．故选C．5.答案：A解析：解：∵OP<3，∴点P在⊙O内部．故选：A．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r 时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．6.答案：C解析：解：x2+3x−1=0，△=32−4×1×(−1)=13>0，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：C．先根据根的判别式求出△的值，再判断即可．本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．7.答案：C解析：解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，∴∠CAC′=40°，AC=AC′，(180°−∠CAC′)=70°，∴∠AC′C=∠C=12故选：C．根据旋转得出∠CAC′=40°，AC=AC′，求出∠AC′C=∠C，根据三角形内角和定理求出即可．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据旋转的性质得出∠CAC′=40°，AC=AC′是解此题的关键．8.答案：C解析：【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：画树形图得：共12种情况，一男一女的情况是8种，概率为P(一男一女)=812=23．故选C．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，明确S阴影=S△ABC+S扇形BOC−S△BOC是解决本题的关键．连接OB，OC，先利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一般，求出扇形的圆心角为60°，即可求出半径的长为2，利用三角形的面积和扇形的面积公式即可求解．【解答】解：如图，，作OD⊥BC，则BD=CD，连接OA，OB，OC，∴OD是BC的垂直平分线，∵AB⏜=AC⏜，∴AB=AC，∴A在BC的垂直平分线上，∴A、O、D共线，∵∠ABC=75°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=75°，∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA=OB=OC=BC=2，∵AD⊥BC，AB=AC，∴BD=CD，∴AD经过圆心O，∴OD=√32OB=√3，∴AD=2+√3，∴S△ABC=1BC·AD=2+√3，2BC·OD=√3，S△BOC=12．故选A．10.答案：A解析：解：∵当x=1时，y=−x2+1=−1+1=0，当x=0时，y=−x2+1=0+1=1，抛物线过(1,0)或(0,1)两点．故选：A．根据几个选项，分别将x=1或x=0代入y=−x2+1中，求y的值即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．11.答案：5解析：【分析】根据根与系数的关系可知a+b=−2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a−7=0，最后可将a2+ 3a+b变成a2+2a+a+b，即可得到答案．【详解】∵设a、b是一元二次方程x2+2x−7=0的两个根，∴a+b=−2．∵a是原方程的根，∴a2+2a−7=0，即a2+2a=7，∴a2+3a+b=a2+2a+a+b=7−2=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．12.答案：35解析：【分析】用红球的个数除以总球的个数，即可得出答案．本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【解答】解：∵共有5个小球，其中红球3个，白球2个，∴随机抽取一个小球是红球的概率是35；故答案为：35．13.答案：(4,−2)解析：【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特点解答．【解答】解：点P(−4,2)与(4,−2)关于原点对称，∴P1的坐标是(4,−2)，故答案为：(4,−2)．14.答案：10cm或40cm解析：【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE=BE=12AB=20，再利用勾股定理计算出OE=15，然后分别计算出DE 和CE即可．【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE=BE=12AB=20，在Rt△OAE中，∵OA=25，AE=20，∴OE=√OA2−AE2=15，∴DE=OD+OE=40，CE=OC−OE=10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故答案为10cm或40cm．15.答案：2解析：【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．根与系数的关系：若m、n是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则m+n=−ba ，mn=ca.根据根与系数的关系，直接代入得结果．【解答】解：因为m，n是一元二次方程x2−2x−8=0的两根，根据根与系数的关系，m+n=−ba =−−21=2．故答案为2．16.答案：150解析：【分析】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法求解．当火车停下时，也就是滑行最远时，即在本题中需求出S的最大值．【解答】解：由题意，S=30t−1.5t2=−1.5t2+30t=−1.5(t2−20t+100−100)=−1.5(t−10)2+150，∴火车必须在离站台150米远处开始刹车，才能刚好停在站台位置上．故答案为150．17.答案：−1<x<3解析：解：由图可得，该抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为(−1,0)，则该抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，故当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，故答案为：−1<x<3．根据图象和二次函数的性质，可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象即可得到当y>0时，x的取值范围．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．18.答案：70°解析：解：连接OB，∵∠A=70°，∴∠BOC=2∠A=140°．∵OB=OC，OD⊥BC，∴∠COD=12∠BOC=70°．故答案为：70°．连接OB，先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．19.答案：解：(1)∵x2+4x+2=0∴x2+4x=−2x2+4x+4=2(x−2)2=2x−2=±√2x=2+√2或x=2−√2．(2)∵x(x−3)=−x+3∴x(x−3)+x−3=0(x−3)(x+1)=0解得：x=−1或x=3．解析：(1)配方法求解可得；(2)因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.答案：解：列表得：甲乙1671167221214442428∴P(两次摸出的小球标号之积是偶数)=79．解析：首先列表将所有等可能的结果全部列举出来，利用概率公式求解即可求出两次摸出小球的标号之积是偶数的概率．．本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是通过列表或树形图能够将所有等可能的结果全部列举出来，难度不大．21.答案：证明：延长CE交AD于点F，∵△ABC和△EBD均为等腰直角三角形，∴EB=DB，AB=BC，∠ABD=∠EBC=90°，在△EBC与△DBA中{EB=DB∠ABD=∠EBC AB=BC，∴△EBC≌△DBA(SAS)，∴∠DAB=∠ECB，∵∠DAB+∠ADB=90°，∴∠ECB+∠ADB=90°，∴∠DFC=90°，∴AD⊥CE．解析：延长CE 交AD 于点F ，根据SAS 证明△EBC 与△DBA 全等，利用全等三角形的性质和垂直的定义证明即可．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和SAS 证明△EBC 与△DBA 全等．22.答案：解：(1)BC 所在直线与小圆相切．理由如下： 过圆心O 作OE ⊥BC ，垂足为E ；∵AC 是小圆的切线，AB 经过圆心O ， ∴OA ⊥AC ；又∵CO 平分∠ACB ，OE ⊥BC ，∴OE =OA ，∴BC 所在直线是小圆的切线．(2)AC +AD =BC ．理由如下： 连接OD. ∵AC 切小圆O 于点A ，BC 切小圆O 于点E ， ∴CE =CA ；∵在Rt △OAD 与Rt △OEB 中，{OA =OE OD =OB， ∴Rt △OAD≌Rt △OEB(HL)， ∴EB =AD ； ∵BC =CE +EB ，∴BC =AC +AD.(3)∵∠BAC =90°，AB =8cm ，BC =10cm ， ∴AC =6cm ；∵BC =AC +AD ， ∴AD =BC −AC =4cm ，∵圆环的面积为：S =π(OD)2−π(OA)2=π(OD 2−OA 2)，又∵OD 2−OA 2=AD 2，∴S =42π=16π(cm 2).解析： 此题考查了学生对切线的性质与判定，全等三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用能力．分析：(1)只要证明OE 垂直BC 即可得出BC 是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．(2)利用全等三角形的判定得出Rt △OAD≌Rt △OEB ，从而得出EB =AD ，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者．(3)根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．23.答案：解：(1)①设AB 的长是x 米，则AD =20−3x ，根据题意得，x(20−3x)=25，解得：x 1=5，x 2=53，当x =53时，AD =15>6，∴x =5，∴AD =5，答：AD 的长是5米；②设AB 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AD =12(20−3x +6)，根据题意得，y =12x(20−3x +6)=−32x 2+13x =−32(x −133)2+1696， 答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；(2)按图甲的方案，设AB =x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，∴S =x(20−3x)=−3x 2+20x =−3(x −103)2+1003， 当x =103时，AD =10>a ，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．解析：本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．(1)①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程；②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；(2)设AB =x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．24.答案：(1)证明：∵对称轴是直线x =1=−b 2a ，∴2a +b =0；(2)解：∵ax 2+bx −8=0的一个根为4，∴16a +4b −8=0，∵2a +b =0，∴b =−2a ，∴16a −8a −8=0，解得：a =1，则b =−2，∴ax 2+bx −8=0为：x 2−2x −8=0，则(x −4)(x +2)=0，解得：x 1=4，x 2=−2，故方程的另一个根为：−2．解析：(1)直接利用对称轴公式代入求出即可；(2)根据(1)中所求，再将x =4代入方程求出a ，b 的值，进而解方程得出即可．此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a ，b 的值是解题关键． 25.答案：解：(1)∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，且∠BAC =∠BDC ，∴2∠ACB +∠BDC =180°；(2)∵BH 是直径，∴∠BAH =90°，∴∠H +∠ABH =90°，∵AC ⊥BD ，∴∠CBD+∠BCA=90°，且∠H=∠BCA，∴∠ABH=∠CBD，∴AH⏜=CD⏜，∴AH=CD；(3)如图3，延长AO交DB于N，连接DH，作HF⊥AC于F，∵BE：DE=9：4，∴设BE=9x，DE=4x，∵AB=AC，∴AB⏜=AC⏜，且AO是半径，∴∠BAO=∠EAO，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∴∠BAO=∠EAO=∠ABO=∠DBC，∵∠DAC=∠DBC，∴∠CAO=∠CAD，且∠AED=∠AEN=90°，AE=AE，∴△ADE≌△ANE(ASA)∴DE=EN=4x，∴BN=5x，∵∠BAO=∠DAC，AB=AC，∠ABD=∠ACD，∴△ABN≌△ACD(ASA)∴CD=BN=5x，∵∠BAC=∠BDC，∠ABD=∠ACD，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AEDE=BECE，∴305x=AE4x=9xEC∴AE=24，∴CE=AC−AE=6，∴x=2，∴DE=8，BE=18，DC=AH=10，∵HF⊥AC，AC⊥DB，∠AED=90°，∴四边形HFED是矩形，∴HD=EF，HF=DE，∵AH=DC，HF=DE，∴Rt△AHF≌Rt△CDE(HL)∴AF=CE=6，∴EF=AC−AF−EC=30−12=18=HD，∴HE=√HD2+DE2=√324+64=2√97．解析：本题是圆的综合题，考查了圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．(1)由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论；(2)由余角的性质可得∠ABH=∠CBD，可得AH⏜=CD⏜，可得结论；(3)如图3，延长AO交DB于N，连接DH，作HF⊥AC于F，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求DE=8，BE=18，DC=AH=10，由矩形的性质和全等三角形的性质可求HD，由勾股定理可求解．26.答案：解：设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+5，把(2,3)代入得a×(2−1)2+5=3，解得a=−2，所以二次函数的解析式为y=−2(x−1)2+5=−2x2+4x+3，∴a=−2，b=4，c=3．解析：由于当x=1时，y有最大值为5，即抛物线的顶点坐标为(1,5)，则可设顶点式y=a(x−1)2+5，然后把(2,3)代入求出a即可．。
2020-2021学年江苏省南通市如东县九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年江苏省南通市如东县九年级上学期期中考试
数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，则配方后所得的方程为（）A．（x+3）2＝10B．（x+3）2＝8C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣3）2＝8 3．下列事件是随机事件的是（）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
4．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 5．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交于BC的中点D，过点D作直线EF与⊙O 相切，交AC于点E，交AB的延长线于点F．若△ABC的面积为△CDE的面积的8倍，则下列结论中，错误的是（）
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2021年江苏省南通市如东县中考数学一模试卷(附答案详解)
2021年江苏省南通市如东县中考数学一模试卷1.|−2|的值是()A. −2B. 2C. 12D. −122.下列计算中，正确的是()A. a+3a=3a2B. a4−a3=aC. a⋅a2=a3D. a5÷a=53.在平面直角坐标系中，将点P(1,−2)绕原点旋转180°，得到的点Q的坐标为()A. (−1,2)B. (−1,−2)C. (1,2)D. (1,−2)4.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠COE=65°，则∠BOD为()A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°5.已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000785米，将0.000000785用科学记数法表示为()A. 0.785×10−6B. 0.785×10−7C. 7.85×10−6D. 7.85×10−76.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为()A. 16πB. 20πC. 36πD. 40π7.下列条件中，能判定▱ABCD是矩形的是()A. AC=BDB. AB⊥BDC. AD=BDD. AC⊥BD8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为()A. √33B. 12C. √3D. 29.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8.动点E与动点D同时从点C出发，点D沿线段CB以1单位长度/秒的速度运动，点E沿线段CA以2单位长度/秒的速度运动，当其中一个点到达端点时，另一个点也停止运动．以CE，CD 为边作矩形CDFE，若设运动时间为x秒(0<x≤4)，矩形CDFE与△ABC重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()A. B.C. D.10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE=√3，则CD+EF的最小值为()A. 3√32−12B. 3−√32C. 1+√3D. 311.√4=______．12.四边形ABCD内接于⊙O，∠A=80°，则∠C=______ ．13.分解因式：m2n−4mn+4n=______．14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=______度．15.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？若设现在平均每天生产x台机器，根据题意，则可列方程为______．16.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作FG⊥BC于点G，若DEEC =23，则FGAB的值为______．17.若x1，x2是方程x2=2x+2021的两个实数根，则代数式x1(x12−2x1)+2021x2的值为______．18.在平面直角坐标系xOy中，点A(m,n)，点B(n,m)，其中m>n>0.若m2n+4√3n=mn2+4√3m，∠AOB=30°，则△AOB的面积为______．19.计算：2(m−1)2−(2m+3)(2m−3)．20.解方程：xx+1=2x3x+3+1．21.在2020年线上授课期间，小美、小丽和小林为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A(享受美食)、B((交流谈心)、C(室内体育活动)、D(听音乐)和E(其他方式)五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小美抽取60名男生居家减压方式统计表(单位：人)表2：小丽随机抽取10名学生居家减压方式统计表(单位：人)表3：小林随机抽取60名学生居家减压方式统计表(单位：人)根据以上材料，回答下列问题：(1)小美、小丽和小林三人中，______抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，若根据该同学调查的数据进行估计，该校九年级学生中利用听音乐方式进行减压的人数共约______人；(2)对(1)中所填同学以外的其他两位同学的抽样调查方法各提一条改进建议．22.已知直线l1与x轴，y轴分别交于点A(−4,0)，B(0,8)．(1)求直线l1的解析式；(2)若直线y=−x与直线l1交于点C，求△AOC的面积．23.(1)如图1，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC.求证：∠A=∠D．(2)如图2，按以下步骤画图：①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；③连接OC，OD，CD.若AB=4，求△COD的面积．24.有三把不同的钥匙A，B，C和两把不同的锁D，E，其中钥匙A只能打开锁D，钥匙B只能打开锁E，钥匙C不能打开这两把锁．(1)随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是______；(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？25.已知菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12，点E，F分别在边AD，AB上，将△AEF沿着直线EF折叠，使得点A落在G点．(1)如图1，若点G恰好落在AC上，且CG=3，求DE的长；(2)如图2，若点G恰好落在BD上，且BG=3，求DE的长．26.已知抛物线y=x2+2mx+m2−1(m是常数)．(1)求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标(可用含m的代数式表示)；(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移(2m−1)个单位长度，若平移后的抛物线与x轴没有公共点，且当x≤0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；(3)已知A(1,1)，B(3,1)，若该抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．27.在平面直角坐标系xOy中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x轴，y轴的距离中的最大值等于点N到x轴，y轴的距离中的最大值，则称M，N两点互为“等距点”.例如：点P(2,2)与点(−2,−1)到x轴，y轴的距离中的最大值都等于2，它们互为等距点．已知点A的坐标为(1,3)．(1)在点B(0,−2)，C(−3,2)，D(4,3)中，点______与点A互为“等距点”；(2)已知直线l：y=kx+4k+1．①若k=1，点E在直线l上，且A，E两点互为“等距点”，求点E的坐标；②若直线l上存在点F，使得A，F两点互为“等距点”，求k的取值范围；(3)若⊙N的圆心为(n,2)，半径为2，⊙N上恰有三个点是点A的“等距点”，直接写出n的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵−2<0，∴|−2|=2．故选：B．根据绝对值的性质作答．本题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C【解析】解：A.a+3a=4a，该选项不正确，不符合题意；B.a4和a3不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；C.a⋅a2=a3，该选项正确，符合题意；D.a5÷a=a4，该选项错误，不符合题意．故选：C．分别计算各选项即可．本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，考核学生的计算能力，牢记这些法则是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵将点P(1,−2)绕原点O旋转180°后，得到的对应点Q，∴点Q和点P关于原点对称，∵点P的坐标为(1,−2)，∴点Q的坐标是(−1,2)．故选：A．根据题意可得，点P和点P的对应点Q关于原点对称，据此求出Q的坐标即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，中心对称等知识，解题的关键是利用中心对称的性质解决问题，属于中考常考题型．4.【答案】D【解析】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°；又∵∠COE=65°，∴∠AOC=∠AOE−∠COE=25°，∴∠BOD=∠AOC=25°(对顶角相等)．故选：D．根据垂直的定义求得∠AOE=90°；然后根据余角的定义可以推知∠AOC=∠AOE−∠COE=25°；最后由对顶角的性质可以求得∠BOD=∠AOC=25°．本题考查了垂线、对顶角与邻补角．注意，此题中隐含着已知条件“∠AOE=90°”．5.【答案】D【解析】解：0.000 000 785=7.85×10−7．故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，∵把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，∴所得的几何体的全面积为：底面半径为4，母线长为5的圆锥侧面和半径为4的圆的面积之和，故π×4×5+π×42=36π．故选：C．利用圆锥侧面积公式和圆的面积公式求出即可．此题主要考查了圆锥的侧面积公式和勾股定理的应用，根据已知得出几何体的组成部分是解题关键．7.【答案】A【解析】解：A、∵▱ABCD中，AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故选项A符合题意；B、▱ABCD中，AB⊥BD，不能判定▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、▱ABCD中，AD=BD，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：设BG与AC交于点F，如图，∵AB=BH=2，BF//CH，∴BF是△AHC的中位线．∴BF=12CH=1.5，AF=FC=12AC=2.5．∵BF//CH，∴△BFE∽△DEC．∴BFCD =FECE．设FE=x，则CE=2.5−x．∴1.51=x2.5−x．解得：x=1.5．∴BF=FE=1.5．∴∠BEF=∠FBE．∴tan∠AEB=tan∠GBD．在Rt△BGD中，tan∠GBD=GDGB =24=12．∴tan∠AEB=tan∠GBD=12．故选：B．由于BF是△AHC的中位线，BF=12CH=1.5，AF=FC=12AC=2.5；利用△BFE∽△DEC，可得BFCD =FECE，设FE=x，求得CE=1，FE=BF，可得∠BEF=∠FBE，在Rt△BGD中，可求tan∠AEB=tan∠GBD=24=12．本题主要考查了解直角三角形，三角形的中位线，三角形的相似的判定与性质．通过计算得出∠BEF=∠FBE，在Rt△BGD中，通过计算tan∠GBD得出结论，体现数学中的转化的思想方法．9.【答案】A【解析】解：当0≤x≤2时，如题干图，y=CE⋅CD=2x⋅x=2x2，该函数为开口向上的抛物线；当2<x≤4时，如下图，设DF、EF分别交AB于点H、G，则BD=BC−CD=4−x，则HD=BDtanB=(4−x)×84=8−2x，则HF=DF−DH=CE−DH=2x−(8−2x)=4x−8，则GF=2x−4，则y=S五边形CDHGE =S矩形CDFE−S△GHF=2x⋅x−12×(2x−4)(4x−8)=−2x2+16x−16，该函数为开口向下的抛物线，故选：A．分0≤x≤2、2<x≤4两种情况，通过画图确定矩形CDFE的位置，进而求解．本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，确定函数表达式是本题解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2//AB，且C1C2=√3，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，∵C1C2//DE，C1C2=DE，∴四边形C1DEC2是平行四边形，∴C1D=C2E，又∵CC1关于AB对称，∴CD=C1D，∴CD+EF=C2F，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=√3BC=2√3，∴CN=√3，AN=3，过C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N=CN=√3，∴C2M//C1N，C1C2//MN，∴MN=C1C2=√3，∵∠MEC2=∠AEF，∠AFE=∠C2ME=90°，∴∠MC2E=∠A=30°，，C2M=1，C2E=2，在Rt△C2ME中，ME=√33∴AE=AN−MN−ME=3−√3−1=2−√3，∴EF=1−√3，2∴C2F=2+1−√32=3−√32．故选：B．首先△ABC是含有30°角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为AB=4，AC= 2√3.因为D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，求CD+EF的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求C关于AB的对称点C1，作C1C2//AB.构建平行四边形C1DEC2，作C2F⊥AC于F，交AB于E.利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系．此题考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：∵22=4，∴√4=2．故答案为：2如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．12.【答案】100°【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=80°，∴∠C=180°−∠A=100°．故答案为：100°．由四边形ABCD内接于⊙O，∠A=80°，根据圆的内接四边形的对角互补，即可求得答案．此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意圆的内接四边形的对角互补定理的应用是解此题的关键．13.【答案】n(m−2)2【解析】解：m2n−4mn+4n，=n(m2−4m+4)，=n(m−2)2．故答案为：n(m−2)2．先提取公因式n，再根据完全平方公式进行二次分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．14.【答案】30【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=12(180°−∠A)=12×(180°−40°)=70°，∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70°−40°=30°．故答案为：30．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．15.【答案】450x−50=600x【解析】解：设设现在每天生产x台，则原来可生产(x−50)台．依题意得：450x−50=600x．故答案为：450x−50=600x．根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．16.【答案】38【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠FEC，∴△FAB∽△FCE，又∵DEEC =23，∴ECBA =35=CFAF，又∵FG⊥BC，∴△FGC∽△ABC，∴FGAB =FCAC，∵CFAF =35，∴FCAC =38，故答案为：38．先根据AB//CD，利用两角相等求证△FAB∽△FCE，利用相似比得出CFAF的比值，再通过求证△FGC∽△ABC即可推出FGAB的值．本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通过求证两组相似三角形利用相似比进行转换是解题的关键．17.【答案】4042【解析】解：∵x1，x2是方程x2=2x+2021的两个实数根，∴x1+x2=2，x12−2x1=2021，则原式=2021x1+2021x2=2021(x1+x2)=2021×2=4042．故答案为：4042．根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12−2x1=2021，x1+x2=2，代入原式=2021(x1+x2)=2021×2=4042．本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．18.【答案】4【解析】解：∵m2n+4√3n=mn2+4√3m，∴m2n−mn2+4√3n−4√3m=0，mn(m−n)−4√3(m−n)=0，(m−n)(mn−4√3)=0，∵m>n>0，∴m−n≠0，∴mn−4√3=0，∴mn=4√3①，如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，作AG⊥y轴于G，过点B作BC⊥y轴于C，∵点A(m,n)，点B(n,m)，∴OD=OC=m，AD=BC=n，在△AOD和△BOC中，{OD=OC∠ADO=∠BCO=90°AD=BC，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴∠AOD=∠BOC，∵∠AOB=30°，∠COD=90°，∴∠BOC=30°，∴tan30°=BCOC =nm=√33，∴m=√3n②，由①和②得：n2=4，∵S△AOB=S梯形ABCG +S矩形AGOD−2S△BOC=12(m+n)(m−n)+mn−2×12mn=12m2−12n2=32n2−12n2=4．故答案为：4．先将等式m2n+4√3n=mn2+4√3m变形后，将左边分解因式，可得mn−4√3=0，则mn=4√3①，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOD≌△BOC(SAS)，最后根据S△AOB=S梯形ABCG +S矩形AGOD−2S△BOC可得结论．本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形全等的性质和判定，三角形和四边形的面积，解方程组等知识，在求三角形面积时，用到了和差法，它是求不规则图形面积常用的方法，应熟练掌握．19.【答案】解：原式=2(m2−2m+1)−[(2m)2−32]=2m2−4m+2−(4m2−9)=2m2−4m+2−4m2+9=−2m2−4m+11．【解析】利用完全平方公式及平方差公式进行解答．此题考查了平方差公式，熟记平方差公式及完全平方公式是解题的关键．20.【答案】解：方程两边都乘3(x+1)，得：3x−2x=3(x+1)，解得：x=−32，经检验x=−32是方程的解，∴原方程的解为x =−32．【解析】本题的最简公分母是3(x +1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．21.【答案】小林 180【解析】解：(1)小林同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小美同学调查的只是男生，不具有代表性，小丽同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．600×1860=180(人)，答：该校九年级学生中利用听音乐方式进行减压的人数共约180人．故答案为：小林，180人；(2)小美：只调查男生数据，不能代表九年级学生的情况，还应对女生进行调查； 小丽：只调查10名同学，样本不容易具有代表性，应适当增大样本容量．(1)小美同学调查的只是男生，不具有代表性，小丽同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差，只有小林最符合；用总人数乘以利用听音乐方式进行减压的人数所占的百分比即可得出答案；(2)根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行解答． 本题考查样本估计总体的统计方法，理解选取样本的原则是正确判断的前提． 22.【答案】解：(1)设直线l 1：y =kx +b ，A(−4,0)，B(0,8)代入得{−4k +b =0b =8， 解得{k =2b =8， ∴直线l 1的解析式为y =2x +8；(2)由题意得，{y =2x +8y =−x ，解得{x =−83y =83，∴C(−83,83 )，∴S△AOC=12×4×83=163．【解析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得两条直线的交点是解题的关键．23.【答案】(1)证明：如图所示：∵∠ACB=∠1+∠ACE，∠DCE=∠2+∠ACE，∠1=∠2，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，{CA=CD∠ACB=∠DCE CB=CE，∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴∠A=∠D．(2)解：如图2中，连接AC，BD．由作图可知，AC=OA=OC=BD=OD=OB，∴△AOC，△BOD都是等边三角形，∴∠AOC=∠BOD=60°，∴∠COD=60°，∴△COD是等边三角形，∴S△COD=√34×22=√3．【解析】(1)根据SAS证明△ACB≌△DEC即可．(2)证明△COD是等边三角形，即可解决问题．本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．24.【答案】13【解析】解：(1)随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是13，故答案为：13；(2)画树状图如图：共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，∴一次打开锁的概率为26=13．(1)直接由概率公式求解即可；(2)画树状图，共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．25.【答案】解：(1)连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABD=12∠ABC=60°，∠AOB=90°，AC=2AO，在Rt△AOB中易得到AO=6√3，AC=12√3，∵菱形ABCD中，AD=DC，∴∠DAC =∠DCA ，∵点A 与点G 关于EF 轴对称，∴AE =EG ，∴∠DAC =∠EGA ，∴∠DCA =∠EGA ，∴EG//DC ， ∴DE AD =CG AC ，∴DE12=312√3，∴DE =√3．(2)∵菱形ABCD 中，∠ABC =120°，∴AD =AB ，∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∠EDG =∠FBG =60°，又由翻折可得∠EGF =∠A =60°，又∠EGB =∠EGF +∠FGB =∠DEG +∠EDG ，∴∠FGB =∠DEG ．∴△DEG∽△BGF ， ∴DEBG =DGBF =EGFG ，设DE =x ，则EG =AE =12−x ，∴x 3=9BF =12− x FG ， ∴BF =27x ，FG =36−3 xx ， 又AB =AF +BF =FG +BF =12，∴27x +36−3xx =12，解得：x =215，即DE=21．5【解析】(1)由折叠知AE=EG，得出∠DAC=∠EGA，从而有∠DCA=∠EGA，得到EG//DC，通过平行线分线段成比例即可；(2)由题意可得△DEG∽△BGF，设DE=x，则EG=AE=12−x，借助相似表示出BF，FG的长，再根据AB=12，列出方程解决问题．本题主要考查了菱形的性质、翻折变换以及相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟记翻折前后对应线段相等、对应角相等是解决问题的关键．26.【答案】解：(1)y=x2+2mx+m2−1=(x+m)2−1，∴抛物线的顶点坐标是(−m,−1)；当y=0时，x2+2mx+m2−1=0，即(x+m)2−1=0，解得x1=1−m，x2=−1−m，∴抛物线与x轴的交点坐标是(1−m,0)与(−1−m,0)，(2)∵y=(x+m)2−1，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移(2m−1)个单位长度可得：y=(x+m−2)2−1+2m−1=(x+m−2)2+2m−2=x2+2(m−2)x+m2−2m+2，∵平移后的抛物线与x轴没有公共点，∴△=[2(m−2)]2−4(m2−2m+2)<0，解得：m>1，∵当x≤0时，y随x的增大而减小，∴对称轴x=−(m−2)≥0，解得：m≤2，∴m的取值范围：1<m≤2；(3)令y=x2+2mx+m2−1=1，解得：x1=−m+√2，x2=−m−√2，∴M1(−m+√2,1)，M2(−m−√2,1)，若该抛物线与线段AB只有一个公共点，则M1在线段AB间或M2在线段AB间，∴1≤−m+√2≤3或1≤−m−√2≤3，解得：√2−3≤m≤√2−1或−3−√2≤m≤−1−√2，∴m的取值范围：√2−3≤m≤√2−1或−3−√2≤m≤−1−√2．【解析】(1)方程x2+2mx+m2−1=0的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标，用顶点坐标公式直接求出顶点坐标；(2)先由平移的性质求出平移后的函数解析式，再根据△<0和x≤0时，y随x的增大而减小求出m的取值范围；(3)先求出令y=1求出x1和x2，再根据若该抛物线与线段AB只有一个公共点求出m的取值范围．本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，图像的平移、交点坐标等知识，关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，平移后函数解析式的求法．27.【答案】C【解析】解：(1)∵点A(1,3)到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是C．故答案为：C；(2)①当k=1时，直线l的解析式为y=x+5，设E(x,x+5)，令|x|=3，则x=3或−3，若x=3，则E(3,8)，不符合题意，舍去，若x=−3，则E(−3,2)，点E与点A是“等距点”，令|x+5|=3，则x=−2或−8，若x=−2，则E(−2,3)，点E与点A是“等距点”，若x=−8，则E(−8,−3)，不符合题意，舍去，综上所述，E(−3,2)或(−2,3)；②∵y=kx+4k+1=k(x+4)+1，∴x=−4时，y=1，即直线l经过定点(−4,1)，若直线y=kx+4k+1过点(−3,3)，则k=2，若直线y=kx+4k+1过点(−3,−3)，则k=−4；结合图形可得−4≤k≤2．(3)如图2，G，H，M三点为点A的“等距点”，∴M(3,2)，∴N(1,2)，即n=1．如图3，G′，H′，M′三点为点A的“等距点”，∴M′(−3,2)，∴N(−1,2)，即n=−1．如图4，P、Q、K三点为点A的“等距点”，过点N作NL⊥PK于点L，∵P(3,3)，NP=2，NL=1，∴PL=√NP2−NL2=√22−12=√3，∴N(3−√3,2)，即n=3−√3．如图5，P′、Q′、K′三点为点A的“等距点”，过点N作NL⊥P′K′于点L，∵P′(−3,3)，NP′=2，NL=1，∴P′L=√NP2−NL2=√22−12=√3，∴N(−3+√3,2)，即n=−3+√3．综上所述，n的值为1，−1，−3+√3，3−√3．(1)根据“等距点”的定义即可得出答案；(2)①先得出直线l的解析式为y=x+5，设E(x,x+5)，再根据“等距点”的定义建立方程求解即可；②由y=kx+4k+1=k(x+4)+1，可得直线l经过定点(−4,1)，再结合图形即可得出答案；(3)根据题意画出图形，结合图形即可得出答案．本题主要考查了一次函数图象的性质以及圆的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．。
九年级数学上册2020-2021学年度第一学期九年级期末学业水平质量检测含答案
2020—2021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项）1．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=. 使△ADE与△ACB一定相似的是A．①②B．②③C．①③D．①②③2. 如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点. 如果∠ACB=45°，那么AB的长为A．πB．2πC．3πD．4π3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为A．1 B．12C．14D．154．如图，数轴上有A、B、C三点，点A、C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，如果点A、B、C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，那么原点O的位置应该在A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点5. 如图，P A和PB是⊙O的切线，点A和点B为切点，AC是⊙O的直径. 已知∠P=50°，那么∠ACB的大小是A．65°B．60°C．55°D．50°6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为80米．如果设河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是A．1802xx=+B．180xx=+C．802xx=+D．803xx=+cCBA7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛， 要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同. 上述说法中，正确的序号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x 是 A ．4 B ．4.5C ．5D ．6二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB =4，AD =2，DE =1.5， 那么BC 的长为_________．10.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()214y x =--+的图象如图，将二次函数()214y x =--+的图象平移，使二次函数()214y x =--+的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________.11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm ，则直尺的宽度为____cm.12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a = ，b = ．13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y 美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是________________________. 图书种类 频数 频率 科普常识 210 b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他360.06x s ()y m ()182014O yx4O 1EDBCA二班一班成绩/分109876109876543201514. 如图，直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，AC 边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm 的矩形纸条， 如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC 的长 度是____cm ．15. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a ，b 的值：a =______，b =________.16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ． 作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接P A ； （2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径 作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交P A 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________． 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：(4cos30π1︒+--.18. 已知:如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC . 求证：点D 平分BC .19．如图，在□ABCD 中，连接DB ，F 是边BC 上一点，连接DF 并延长，交AB=∠A ． （1）求证：△BDF ∽△BCD ；（2）如果BD =9BC =，求ABBE的值． 图1aaP20. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是菱形外一点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形DECO 是矩形；（2）连接AE 交BD 于点F ，当∠ADB =30°，DE=2时，求AF 的长度．21．如图，直线2y x =+与反比例函数()00ky k x x=>>，的图象交于点A （2，m ），与y 轴交于点B .（1）求m 、k 的值；（2）连接OA ，将△AOB 沿射线BA 方向平移，平移后A 、O 、B 的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数()0ky k x=>的图象上时，求点O' 的坐标； （3）设点P 的坐标为（0，n ）且04n <<，过点P 作平行于x 轴的直线与直线2y x =+和反比例函数()0ky k x=>的图象分别交于点C ，D ，当C 、D 间距离小于或等于4时，直接写出n 的取值范围．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长．23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，30CAB ∠=︒，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点E （点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB =6 cm ，设A 、D 两点间的距离为x cm ，C 、D 两点间的距离为1y cm ，E 、C 两点间的距离为2y cm ． 小雪根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整； x /cm 0 1 2 3 4 5 61y /cm5.20 4.36 3.60 2.65 2.65 2y /cm5.204.564.224.244.775.606.00 （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y ），（x ，y ），并画出函数y 的图象；y 2cm6543学生选修课程条形统计图学生选修课程扇形统计图25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2. （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)；（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接 写出a 的取值范围．26. 如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG .（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________；（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF .①在图2中，依据题意补全图形； ②求证:DF =.图2图127. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在⊙C上存在一点M，使30MPC∠=︒，则称点P为⊙C的特征点．（1）当⊙O的半径为1时，如图1.①在点P1（-1，0），P2（1，P3（3，0）中，⊙O的特征点是______________．②点P在直线y b=+上，若点P为⊙O的特征点，求b的取值范围．（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A（-2，0），B（0，．若线段AB上的所有点都是⊙C的特征点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．2020—202021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 312. 150，0.3513. ()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411+-， ………………… 4分 =11+-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分 ∵OD ∥AC ，∴OD ⊥CB ，. …………………5分 ∴点D 平分BC . ………………… 6分 另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . ………………… 1分 ∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. ………………… 2分 ∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD . ………………… 3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BF BDBD BC =. ………………… 4分9=.∴5BF=. …………………5分∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB.∴CF DCBF BE=.∴45ABBE=. …………………6分20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ………………1分∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DECO是平行四边形.∴四边形DECO是矩形. ………………2分（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO OC=.∵四边形DECO是矩形，∴DE OC=.∴2DE AO==. ………………3分∵DE∥AC，∴OAF DEF∠=∠.∵AFO EFD∠=∠，∴△AFO≌△EFD.∴OF DF=. ………………4分在Rt△ADO中，tanOAADBDO∠=.∴2DO=.∴DO=………………5分∴FO=∴AF===. ………………6分方法二：∴△AFO≌△EFD.在Rt △ACE 中，AC =4，CE =OD=∴AE=∴AF =12AE. 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. ……………… 1分 ∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数ky x=中， ∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O'的坐标为（. ……………… 5分（3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .在Rt △ABD 中， ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB =. ∴6AB =. ……………… 5分 ∴3OC =. 在Rt △COF 中， ∴3sin 5OC F OF ==. ∴335OF =. ∴5OF =. ……………… 6分 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G .23. 解：（1）40，108︒； ……………… 2分 （2）条形统计图补充正确； ……………… 4分 （3）列表法或画树状图正确： ……………… 5分∴P （AC ）=126=. ……………… 6分 24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧，∴A ()10,，B ()30, 把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，y 2cm 65432∴3m a =. ……………… 2分（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ……………… 3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分 （3）32a -<-≤或2<3a ≤. ……………… 6分26. （1）BF =． ……………… 1分（2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠. ∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ……………… 5分 ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ……………… 6分 ∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF =.∴DF =. ……………… 7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F . ∴E （0，b ），F，0），OC ⊥EF .∴3tan OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==，∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分 ∴b 的取值范围是44b -≤≤． ……………… 6分 （2）∴m 的取值范围为22m -<≤. ……………… 7分。