第10章电磁场的量子化
量子力学中的量子力学力学与电磁场
量子力学中的量子力学力学与电磁场在量子力学中，量子力学力学（Quantum Mechanics, QM）是研究微观粒子在给定势能场中行为的理论。
电磁场作为一种重要的物理场，与量子力学力学有着密切的联系。
本文将探讨量子力学力学与电磁场之间的关系。
1. 原子的电磁场相互作用原子是由带电粒子组成的系统，而电磁场是由电荷运动产生的。
在原子中，电子绕原子核运动，形成了电流，从而产生了磁场。
同时，电子的运动也受到外加电磁场的影响。
根据经典电动力学和量子力学的基本原理，原子在电磁场中的运动可以用量子力学力学来描述。
2. 量子力学力学方程量子力学力学方程是描述微观粒子在给定势能场中运动的方程。
其中，著名的薛定谔方程描述了单个粒子在势能场中的行为。
对于带电粒子来说，薛定谔方程需要考虑电磁场对粒子的作用。
这可以通过加入电磁势能项来实现。
3. 光与量子力学力学光是一种电磁波，也是由许多光子组成的粒子流。
在光与物质相互作用的过程中，需要考虑电磁场与物质之间的相互作用。
量子力学力学提供了解释光与物质相互作用的理论。
例如，光的吸收和发射过程可以通过量子力学力学的跃迁理论来解释。
4. 电磁场与粒子的统计性质在量子力学力学中，粒子的状态可以用波函数来描述。
而波函数的演化过程需要考虑电磁场的作用。
对于多个粒子系统，如气体或凝聚态物质，电磁场的存在对粒子的统计性质产生了影响。
例如，波函数的演化方程中包含了粒子的交换对称性，即玻色子和费米子的统计性质。
5. 电磁场的量子化根据量子力学的原理，电磁场也可以进行量子化。
在量子电动力学中，电磁场被视为由光子组成的粒子流。
而光子的行为可由量子力学力学方程描述。
电磁场的量子化理论为解释光与物质相互作用提供了重要的工具。
总结起来，量子力学力学与电磁场之间存在着紧密的联系。
在量子力学力学中，电磁场的存在对粒子的行为产生了重要的影响。
同时，电磁场的量子化理论也为解释光与物质相互作用提供了重要的理论基础。
2019人教版高中物理新教材目录
2019人教版高中物理新教材目录必修一第一章运动的描述1.质点参考系2.时间位移3.位置变化快慢的描述－速度4.速度变化快慢的描述－加速度第二章匀变速直线运动的研究1.探究小车速度随时间变化的规律2.匀变速直线运动速度与时间的关系3.匀变速直线运动位移与时间的关系4.自由落体运动第三章相互作用1.重力与弹力2.摩擦力3.作用力和反作用力4.力的合成和分解5.共点力平衡第四章运动和力的关系1. 牛顿第一定律2.实验探究加速度与力和质量的关系3.牛顿第二定律4.力学单位制5.牛顿运动定律的应用6.超重和失重必修2第五章抛体运动1.曲线运动2.运动的合成与分解3.实验：探究平抛运动的特点4.抛体运动的规律第六章圆周运动1.圆周运动2.向心力3.向心加速度4.生活中的圆周运动第七章万有引力与宇宙航行1.行星的运动2.万有引力定律3.万有引力理论的成就4.宇宙航行5.相对论时空观和牛顿力学的局限性第八章机械能守恒定律1.功与功率2.重力势能3.动能和动能定理4.机械能守恒定律5.实验：验证机械能守恒定律必修三第九章静电场及其应用1.电荷2.库仑定律3.电场电场强度4.静电的防止与利用第十章静电场中的能量1.电势能和电势2.电势差3.电势差与电场强度的关系4.电容器的电容5.带电粒子在电场中的运动第十一章电路及其应用1.电源和电流2.导体的电阻3.导体电阻率的测量4.串联电路和并联电路5.实验：练习使用多用电表第十二章电能能量守恒定律1.电路中的能量转化2.闭合电路的欧姆定律3.实验：电池电动势和内阻的测量4.能源与可持续发展第十三章电磁感应与电磁波初步1.磁场磁感线2.磁感应强度磁通量3.电磁感应现象及应用4.电磁波的发现及应用5.能量量子化选修一第一章动量守恒定律1.动量2.动量定理3.动量守恒定律4.实验：验证动量守恒定律5.弹性碰撞和非弹性碰撞6.反冲现象火箭第二章机械振动1.简谐运动2.简谐运动的描述3.简谐运动的回复力和能量4.单摆5.实验：用单摆测重力加速度6.受迫振动共振第三章机械波1.波的形成2.波的描述3.波的反射折射和衍射4.波的干涉5.多谱勒效应第四章光1.光的折射2.全反射3.光的干涉4.用双缝干涉测光的波长5.光的衍射6.光的偏振和激光选修二第一章安培力与洛伦兹力1.磁场对通电导线的作用力2.磁场对运动电荷的作用力3.带电粒子在匀强磁场中的运动4.质谱仪与回旋加速器第二章电磁感应1.楞次定律2.法拉第电磁感应定律3.涡流电磁阻尼和电磁驱动4.互感和自感第三章交变电流1.交变电流2.交变电流的描述3.变压器4.电能的输送第四章电磁振荡与电磁波1.电磁振荡2.电磁场与电磁波3.无线电波的发射和接收4.电磁波谱第五章传感器1.认识传感器2.常见传感器的工作原理及应用3.利用传感器制作简单的自动控制装置选修3第一章分子动理论1.分子动理论的基本内容2.实验：油膜法测油酸分子的大小3.分子运动速率分布规律4.分子动能和分子势能第二章气体固体和液体1.温度和温标2.气体的等温变化3.气体的等压变化和等容变化4.固体5.液体第三章热力学定律1.功热和内能的改变2.热力学第一定律3.能量守恒定律4.热力学第二定律第四章原子结构和波粒二象性1.普朗克黑体辐射理论2.光电效应3.原子的核式结构模型4.氢原子光谱和玻尔的原子结构模型5.粒子的波动性和量子力学的建立第五章原子核 1.原子核的组成2.放射性元素的衰变3.核力与结合能4.核裂变与核聚变5.基本粒子。
高中物理【电磁波的发现及应用 能量量子化】教学资源
高中物理【电磁波的发现及应用能量量子化】教学资源一电磁场1．电磁场：变化的电场和磁场总是相互联系的，形成不可分割的统一的电磁场。
2．麦克斯韦电磁场理论(1)变化的磁场产生了电场。
(2)变化的电场产生了磁场。
二电磁波及其应用1．电磁波：变化的电场和变化的磁场交替产生，由近及远地向周围传播，空间就存在电磁波。
2．电磁波的速度：麦克斯韦指出了光的电磁本质，他预言电磁波的速度等于光速。
3．电磁波的实验证实：赫兹通过实验捕捉到了电磁波，证实了麦克斯韦的电磁场理论。
4．电磁波谱(1)电磁波的波长、频率、波速的关系：c＝λf。
(2)在真空中，电磁波的速度c＝3.0×108 m/s。
(3)按电磁波的波长或频率大小的顺序把它们排列起来就是电磁波谱。
(4)电磁波谱的排列：按波长由长到短依次为无线电波、红外线、可见光、紫外线、X 射线、γ射线。
5．电磁波的能量及电磁波通信(1)电磁波是一种物质，而且具有能量。
(2)移动电话、互联网也是利用电磁波来传输信息的。
(3)电磁波的传输：既可以通过有线传播，也可实现无线传播。
三能量量子化1．热辐射(1)定义：我们周围的一切物体都在辐射电磁波，这种辐射与物体的温度有关，所以叫作热辐射。
(2)特点：当温度升高时，热辐射中波长较短的成分越来越强。
2．黑体(1)定义：如果某种物体能够完全吸收入射的各种波长的电磁波而不发生反射，这种物体就叫作黑体。
(2)特点：①黑体不反射电磁波，但是却可以向外辐射电磁波。
②黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与它的温度有关。
3．能量子(1)普朗克的假设：振动着的带电微粒的能量只能是某一最小能量值ε的整数倍。
(2)能量子：这个不可再分的最小能量值ε叫作能量子。
(3)能量子公式：ε＝hν，其中ν是电磁波的频率，h称为普朗克常量，h＝6.626×10－34 J·s。
(4)光子：光本身就是由一个个不可分割的能量子组成的，频率为ν的光的能量子为hν。
储庆昕高等电磁场讲义 第十章
第10讲 等效原理与感应定理10.1 等效原理电磁场问题的解是由方程和边界条件决定的。
也就是说，如果保持区域中的源分布、媒质分布以及区域边界上的边界条件不变，则场分布不变。
这些便是电磁场等效原理的基础。
唯一性定理告诉我们，只要知道了所规定区域v 中的源、媒质及包围该区域的闭合曲面s 上的切向电场或切向磁场则该区域中的场唯一确定。
这里并未提及区域v 外的源和媒质的分布情况。
事实上，区域v 外的源对区域v 内的场的贡献已包含在曲面s 上的切向电场或切向磁场中。
区域v 外不同分布的源只要在闭合曲面s 上产生相同的切向场，在区域v 内产生的场也相同。
等效的概念是这样表述的：在区域v 外具有不同源分布和媒质分布，而在区域v 内源分布和媒质分布相同的一些电磁场问题如果在区域v 内具有相同的场分布，则对区域v 内而言这些电磁场问题是等效的。
考虑如图10-1(a) 所示的场问题。
(a) (b)图10-1 等效原理 (a) 原问题(b) 等效问题曲面s 将区域分成两部分v 1和v 2。
原问题在s 上满足() ()n H H nE E a a a a ⨯-=⨯-=⎧⎨⎪⎩⎪ 00 （10-1） 即在s 上不存在源。
将（10-1）写为n H nH n E nE a a a a ⨯=⨯⨯=⨯⎧⎨⎪⎩⎪ （10-2） 虽然在数学上（10-2）只是（10-1）变化而来的恒等式，似乎很无聊，但反映的物理内含是不同的。
（10-1）表示的是区域v 1和v 2的交界面边界条件，而（10-2）表示的是包围区域v 1或v 2的闭合曲面的切向场边界条件。
sM J1Ja a H E, 2v 1M2Jnˆ 2Ms1va a H E ,b b H E ,2vs J J nˆ 2Ms1va a H E ,2J如果人为地令区域v 1中场为 E b 、H b ，而v 2中源、媒质和场分布保持不变，如图10-1(b) 所示。
设在曲面s 上() ()n H H J nE E M a b sa b s ⨯-=⨯-=-⎧⎨⎪⎩⎪ （10-3） 式中， J s 和M s 分别表示在曲面s 上区域v 1和v 2中的切向磁场和电场的差值。
量子光学华师
量子信息科学； 冷原子物理。
由于篇幅所限，本章对量子光学只作选择性的介绍：已相当成熟且自成体系的内容不予 介绍（如第二部分内容）；虽然基本或活跃但占篇幅较大的内容不予介绍（如第一部分中的 阻尼的量子理论、第五部分中的冷原子物理、以及第四部分中的大部分内容）。另外，我们 不一定按上列次序进行介绍，有些内容将穿插进行。在本章最后，我们将给出各部分的参考 文献，以供有兴趣的读者参考。
k
k
k
k
（2）算符的表象变换
∑ Fmn ( B) = Bm F Bn = Bm Ak
k ,l
Ak F Al
∑ ( ) Al Bn = Smk Fkl A Sn*l
k ,l
即 F ( B) = SF ( A) S +
表明算符在不同表象的变换为相似变换。
4． 幺正变换的性质
用U （unitary）代替 S 表示幺正矩阵，带‘号和不带‘号分别表示不同的表象。
3
量子光学
—— Mars
量子力学（QM）基础
一、QM 的历史背景
1900，Planck，黑体辐射，能量量子化： ε = hν
1905，Einstein, 光电效应，光量子——光子
E = hν ， p = h λ （ p = E c = hν c = h λ ）
1913， Bohr, 原子光谱和原子结构，定态、；量子跃迁及频率条件：
则测量力学量 A 得到相应的本征值 An ，测量后系统仍处于本征态 ψ n ；若系
∑ 统处于任意态 ψ = cn ψ n ，则测量力学量 A 时以概率 cn 2 得到本征值 n
An ，若测量得到本征值 An ，则测量后系统塌缩到相应的本征态 ψ n 。
量子光学第一讲
自由空间中的场模为连续无穷多变量场模。 如何离散化行波场？
Dr. Shutian Liu @ HIT
11
自由空间中电磁场的行波展开
引入归一化体积：边长为 L 的立方体。与光腔的不同点：不存在任 何真实的边界条件；立方体内电磁场仍是行波模。行波场满足如下周 期性边界条件： E (r, t ) = E (r + Li, t )
ql = pl .
Dr. Shutian Liu @ HIT 7
电磁场按简正模展开
展开系数：
pl (t ) = − ε0 ∫ E ( r, t ) ⋅ El ( r)dV ,
V
ql (t ) =
µ0 ωl
∫
V
H ( r, t ) ⋅ Hl ( r)dV .
腔内所含的电磁能量 H c 为 1 H c = ∫ (µ0 H2 + ω0 E2 )dV 2 V ∞ ∞ 1 2 2 2 = ∑ ( pl + ωl ql ) = ∑ H l l 2 l 1 H l = ( pl2 + ωl2ql2 ) 频率为 ωl 的一个谐振子的能量 2 腔内的电磁场可视为一组无耦合的离散的辐射振子（谐振子）的无穷 集合，用 l 或 kl 标记第 l 个谐振子。
Dr. Shutian Liu @ HIT 4
经典电磁场
利用矢势和标势表示电磁场的目的是将场矢量 E 和 B 用一个变量表 示。一般矢势 A 和标势 V ( r) 通过某些规范可与场量 E 和 B 一一对 应。对于库仑规范，要求： ∇⋅A = 0 将场分解成横向场和纵向场两部分，后者只与标势 V (r) 有关，在无 源空间中，标势 V (r) = 0 无源场只是电磁波的横向场部分，由 A 唯一地确定
B = µ0 H = ∇ × A, E=−
正则量子化与量子场论
第三章 正则量子化与量子场论到目前为止，我们所涉及的场都是经典场，即场量是描述相应粒子的几率波函数。
经典场论的不足之处主要包括两方面：一是克莱因-戈登场存在负能与负几率的困难，二是经典场不能描述粒子的产生与湮灭现象，为了克服这两方面的困难，人们将经典场量子化，由此得到了量子场。
人们通常采用的量子化方法有两种。
一是正则量子化，另一种是路径积分量子化，在这里我们将采用正则量子化方法。
3.1 正则量子化如前所述，我们所涉及的经典场称为拉格朗日场，正则量子化，就是把拉格朗日形式的场，变成正则形式进行量子化。
为了便于理解这个过程，我们先讨论力学系统的量子化。
1. 一个自由度力学系统的正则量子化在拉格朗日力学中，描述力学系统的运动规律是拉格朗日方程。
0=∂∂-∂∂qL dt d q L（1）其中)(t q 是广义坐标，)(t q是广义速度。
())(),(t q t q L 是拉格朗日函数。
在哈米顿力学中，描述力学系统的运动规律是哈米顿运动方程。
p H q∂∂= ，qH p ∂∂-=（3）其中)(t q 称为正则坐标。
qLt p ∂∂=)( （4）称为正则动量。
L qp H -= （5）称为哈米顿函数。
这些内容我们在分析力学中已经学过。
正则量子化，就是把正则坐标)(t q 和正则动量)(t p 都看作算符,并满足正则对易关系。
[]i t p t q =)(),(，[]0)(),(=t q t q（6） []0)(),(=t p t p ，[]0)(),(=t qt q（7）其中对易关系[]BA AB B A -=,，由量子力学知：[]pH i q H ∂∂-=,，[]qH i p H ∂∂=,这样哈米顿运动方程（3）可改写为：[]q H i q,= ，[]p H i p ,= （8）2. n 个自由度力学系统的正则量子化在拉格朗日力学中，广义坐标与广义速度各有n 个，即：)(t q i ，)(t qi ，i=1,2,……n ，拉格朗日运动方程为：0=∂∂-∂∂i i qL dt d q L ，i=1,2,……n.（9）拉格朗日函数为()i i qq L ,, i=1,2,……n. 提到哈米顿力学，正则坐标与正则动量各有n 个，即：)(t q i ，)(t p i ，i=1,2,……n 。
量子力学中的规范场与场的量子化
量子力学中的规范场与场的量子化量子力学是描述微观世界行为的一种理论框架，而规范场理论是量子力学中的重要组成部分。
规范场理论研究的是一类具有规范对称性的场，其中最著名的就是电磁场。
本文将介绍规范场的概念以及场的量子化过程。
一、规范场的概念规范场是一种具有规范对称性的场，其物理量在规范变换下保持不变。
规范对称性是指在场的变换下，物理量的变化可以通过引入一个规范变换来抵消。
以电磁场为例，电磁场的规范对称性可以通过引入电磁势的规范变换来实现。
在电磁场中，电磁势的规范变换可以写为A' = A + ∇Λ，其中A是电磁势，Λ是一个任意的标量函数。
尽管电磁势的数值发生了变化，但电场和磁场的物理量并未改变，因此电磁场具有规范对称性。
二、场的量子化场的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在量子力学中，物理量的测量结果是离散的，而经典场论中的场是连续的。
因此，为了描述微观世界的行为，需要将场量子化。
场的量子化可以通过正则量子化方法实现。
正则量子化方法是将场的坐标和动量视为算符，满足一定的对易关系。
以标量场为例，标量场的坐标算符是ϕ(x) =a(k)e^(ik·x) + a†(k)e^(-ik·x)，其中a(k)和a†(k)分别是湮灭算符和产生算符。
这些算符满足对易关系[a(k), a†(k')] = δ(k - k')，其中δ(k - k')是狄拉克δ函数。
通过对易关系，可以推导出场的动量算符和哈密顿算符，进而得到场的量子力学描述。
三、规范场的量子化规范场的量子化是将规范场转化为量子场的过程。
在规范场中，由于规范对称性的存在，会出现场的冗余度。
为了消除这种冗余度，需要引入规范固定条件。
以电磁场为例，电磁场的规范固定条件可以选择为库伦规范或洛伦兹规范。
在库伦规范下，电磁势满足∇·A = 0；在洛伦兹规范下，电磁势满足∇·A + β∂tA = 0，其中β是一个任意的实数。
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i [q, p] i [(a a), (a a)] i[a, a ] 2
即有：
[ a, a ] 1
将 q 和 N n 的表达式(10.1.22a)和(10.1.21)代入光场的表达式(10.1.2)，有：
(10.1.23)
Ex ( z, t )
式中：
(10.1.47)
q
M
(10.1.48)
则本征函数 n ( ) q n 。 光子数态 n 的一个重要而有趣的性质是光场的平均值为零
n | Ex | n n | E0 (a a ) sin kz | n E0 n | (a a ) sin kz | n 0
10.1
光场的量子化
在研究光与物质相作用，有些现象，如激光现象必需用全量子理论才能解释。因此首先要将光场量子 化。
10.1.1
单模光场的量子化
在真空中，MKS 单位制下的麦克斯韦方程为：
244
D t B E t H
B 0 E 0
(10.1.1a) (10.1.1b) (10.1.1c) (10.1.1d) (10.1.1e) (10.1.1f)
(10.1.11)
q
H p H q
(10.1.12a)
p
(10.1.12b)
由(10.1.7)、(10.1.10)和(10.1.12)，可知，哈密顿量为：
1 H ( p 2 q 2 ) 2
作如下变换：
(10.1.13)
q M q'
p 1 p' M
(10.1.14a) (10.1.14b)
n | aa | n n | (aa 1) | n n 1
(10.1.44) (10.1.45)
由式(10.1.45)还可以看出， n 的归一化形式是
n
1 (a ) n 0 n!
(10.1.46)
容易看出是， n 是 a a 的本征态
249
aa n n n
与简谐振子一样，也可以写出本征函数在坐标表象中的表达式，引入新的变量 ，有
1 a H a 0 a 0 Ha 0 2
(10.1.34)
因此 a 的作用是把能量增加 ，将 a 连续作用 n 次，将得到的本征态称为 n ，本征值为 n ，
1 H (a ) n 0 n (a ) n 0 2
(a a ) sin kz E0 (a a ) sin kz V0
(10.1.24)
E0
V0
(10.1.25)
是一个光子的电场。 将 q , p 和 N n 的表达式(10.1.22)和(10.1.21)代入 H 的表达式(10.1.13)，有：
H
1 1 [(a a)(a a), (a a )(a a)] a a 4 2
光子数态
由于简谐振子在量子光学中的重要性，下边求出光子数算符 a 和 a 的本征态，即光子数态 n 。
H H H Ha H [aH , a ] H ( )a H
(10.1.29) (10.1.30)
因此 a H 也是能量的本征态，但本征值是 ( ) 。由于 a 使能量降低 ，所以称为湮灭算符。重复 使用湮灭算符，便得到真空态，其本征能量最低，记为 0 ，
比较(10.1.15)和上式，可得：
(10.1.20)
Nn
2 V0
(10.1.21)
与简谐振子的量子化过程一样，引入产生算符和湮灭算符 a 和 a ，它们与 q 和 p 的关系是：
q
(a a) 2 (a a) 2
(10.1.22a)
pi
(10.1.22b)
利用 q 和 p 的对易关系，并将上式代入(10.1.17)，有：
a 0 0
由式(10.1.31)和式(10.1.26)式，可求出真空态的本征能量，
(10.1.31)
1 1 H 0 a a 0 0 2 2
(10.1.32)
0
1 2
(10.1.33)
1 就称为零点能量。 2
同样可以分析 a 的作用，利用式(10.1.27b)，考虑
(10.1.27b)
i (t ) [ H , a] a a
(t ) a a
(10.1.28a) (10.1.28b) (10.1.28c) (10.1.28d)
a(t ) a(0)e a a (t ) a (0)e a
10.1.2
p2 V (r , t ) 出发，应用算子法 E i ， p i 得出薛定谔 2m t
方程(10.0.1)为一次量子化，而由 ( r , t ) 出发应用场算子的对易规则使场量子化为二次量子化。光与原子 相互作用本身就包含了场与粒子两个方面。 故只讨论由粒子得出物质波 ( r , t ) 所满足的薛定谔方程(10.01) 是不够的。还必须讨论电磁场及物质波场 ( r , t ) 的量子化，由此得出的粒子表象也是全量子化理论中常用 的表象。 电磁场的量子化是量子光学中一个重要的基本问题。人们对光亦即电磁波场的认识，是经历了一个漫 长过程。在经典力学范围内，最先有牛顿的光微粒假设，后来有惠更斯的波动学说，最后定论在 Maxwell 的光的电磁波理论。在量子力学范围内，最先有黑体辐射的简谐振子理论，后来有爱因斯坦为了解释光电 效应提出的光子学假说。如何将电磁波与光子学说统一起来，就是我们要讨论的电磁场的量子化问题。
k
则有：
， c
c2
1
0 0
Hy
令：
1 (t ) N n cos kz q 0c
(10.1.6)
p(t )
则，
(t ) q
(10.1.7)
Hy
1 p(t ) N n cos kz 0c
245
(10.1.8)
再利用方程(10.1.1b)，则有：
H y Ex 0 t z
2
(10.1.18)
如果谐振腔的截面各为 S ，长度为 L 和 sin kz 积分为：
246
S dxdy sin 2 kzdz cos 2 kzdz
0 0
L
L
1 L 2
(10.1.19)
上式代入(10.1.18)式，并注意谐振腔的体积为： V LS ，所有有：
1 1 H 0 N n V (q 2 p 2 ) 2 2
考虑 sin kz
2
(10.1.51)
1 ，因此 2
1 n | Ex2 | n E02 n 2
其中
1 2 E0 是零点振动的光强， nE02 那是 n 个光子的光强，因此 E0 就是一个光子的光场。 2
既然 n 表示有 n 个光子的态，为什么光场的平均值为零呢？这是因为，光子 n 与相位是一对测不准
(10.1.26)
这样，可以得到 H 和 a, a 的对易关系如下：
[ H , a ] [a a, a ] [a , a]a a
247
(10.1.27a)
[ H , a ] a
由海森堡方程可证明 a 和 a 分别对就于光场的正频部分与负频部分，
0
Ex t
(10.1.3)
将(10.1.2)式代入上式，可得：
这样有：
H y z
(t ) N n sin kz 0q
(10.1.4)
(t ) N n sin kzdz H y 0q
考虑到其中：
0
k
(t ) N n cos kz q
(10.1.5)
上两式代入(10.1.13)式，有：
1 1 H ( M 2 q '2 P'2 ) 2 M
(10.1.15)
上式与简谐振子的哈密顿量完全一样， M 相当于振子的质量。在简谐振子量子化时，曾引入对易关系：
[ q ' , p ' ] i
由(10.1.14)式， q 和 p 也有同样的对易关系：
Sn n ,
(10.1.40)
a n n n 1
(10.1.41)
另一方面，产生算符 a 使光子数增加一个
a n S n 1 n 1
* n a Sn 1 n 1
(10.1.42) (10.1.43)
n | aa | n | Sn 1 |2 ,
S n 1 n 1
同样， H y 的平均值也为零
(10.1.49)
n | Hy | n 0
然而，光强的平均值却不为零
(10.1.50)
n | Ex2 | n E02 sin 2 kz n | (a a )(a a ) | n E02 sin 2 kz n | aa aa a a a a ) | n 1 2 E02 sin 2 kz n 2
量，满足测不准关系，既然态 n 的光子数是完全确定的，就必然使相位完全混乱，频率为 而相位完全 混乱的电场的测量便是零。
248
(10.1.35)
因此， ( a ) 0 的能量本征值是
n
1 n n 2
因为
(10.1.36)
1 1 n | H | n n a a n n 2 2
则有
n | aa | n n
下面求出 a 和 a 作用于 n 的公式以及 n 的归一化的形式。 由式(10.1.30)可知， a 作用是使光子数减少一个，