二次量子化方法
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
二次量子化的哈密顿量
二次量子化的哈密顿量二次量子化是量子力学中的一种重要方法，用于描述多粒子系统的相互作用和运动。
它是在二次量子化框架下，通过引入产生算符和湮灭算符来重新表述系统的哈密顿量，从而更加方便地进行计算和分析。
在二次量子化中，我们将系统的基态视为真空态，并引入湮灭算符和产生算符来描述系统中的粒子数目和激发态。
湮灭算符a_i可以将第i个粒子湮灭，而产生算符a_i†可以将第i个粒子产生。
这种描述方式使得我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
在二次量子化框架下，系统的哈密顿量可以表示为湮灭算符和产生算符的线性组合。
例如，对于一个自由粒子系统，其哈密顿量可以写成：H = ∑_i ε_i a_i† a_i其中，ε_i表示第i个粒子的能量。
这个哈密顿量描述了自由粒子系统中粒子的能量和粒子数目之间的关系。
对于相互作用系统，其哈密顿量可以写成：H = H_0 + H_int其中，H_0表示系统的自由哈密顿量，描述了粒子的动能和势能；H_int表示相互作用哈密顿量，描述了粒子之间的相互作用。
在二次量子化中，我们可以通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述这两部分哈密顿量。
通过二次量子化的方法，我们可以方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
例如，在处理费米子系统时，我们可以引入费米算符来描述系统的基态和激发态，并通过对这些算符进行代数运算来得到系统的物理性质。
二次量子化的方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述多粒子系统的相互作用和运动，还可以用于研究物质的凝聚态性质、相变行为等。
通过二次量子化的方法，我们可以更加深入地理解量子力学中的多粒子现象，并为实验和理论研究提供了重要的工具。
总之，二次量子化是量子力学中一种重要的描述多粒子系统的方法。
它通过引入湮灭算符和产生算符来重新表述系统的哈密顿量，从而方便地处理多粒子系统的相互作用和运动。
二次量子化方法在凝聚态物理、量子场论等领域有着广泛应用，并为我们深入理解量子力学中的多粒子现象提供了重要的工具。
量子力学中的量子场论与二次量子化
量子力学中的量子场论与二次量子化在量子力学的发展历程中，量子场论和二次量子化是非常重要的概念和方法。
量子场论是一种描述微观粒子行为的理论框架，而二次量子化则是将量子力学的基本概念扩展到多粒子体系的方法。
本文将介绍量子场论的基本知识和二次量子化的概念，以及它们在量子力学研究中的应用和意义。
一、量子场论1.量子场的概念在经典物理学中，物质和场是分开考虑的，而在量子场论中，物质和场被统一起来考虑。
量子场是一种能量和动量在空间中传播的物理场，它可以看作是许多谐振子的集合。
量子场论通过对场算符的量子化来描述不同种类的粒子。
2.量子场算符量子场算符是量子场论的基本工具，它们可以创造和湮灭粒子。
对于费米子，如电子，量子场算符是具有反对易关系的费米子算符；对于玻色子，如光子，量子场算符是具有对易关系的玻色子算符。
3.场的量子化量子场理论将经典的场理论量子化，通过将经典场变量替换为动量和哈密顿算符的算符形式，从而得到了量子场的描述。
量子场的量子化过程涉及到将场展开为一组谐振子模式，而这些模式称为量子场的模式展开。
二、二次量子化1.多粒子态和Fock空间二次量子化是将量子力学的基本概念推广到多粒子体系的方法。
在二次量子化中，多粒子态由一系列粒子的量子数来描述，而不再是单个粒子的波函数。
Fock空间是用于描述多粒子态的数学空间，它由一系列单粒子态的张量积构成。
2.产生算符和湮灭算符二次量子化中，使用产生算符和湮灭算符来操作多粒子态。
产生算符可以将系统中没有粒子的态变为有一个粒子的态，而湮灭算符则将有一个粒子的态变为没有粒子的态。
这两个算符满足一系列对易或反对易关系。
3.二次量子化的物理意义二次量子化的方法可以更方便地描述多粒子体系的行为，例如，可以通过产生算符和湮灭算符来计算多粒子态的能量、动量等守恒量。
此外，二次量子化还是研究粒子之间相互作用和散射等过程的重要工具。
三、应用和意义1.量子场论在粒子物理中的应用量子场论是研究基本粒子物理学的重要工具，例如，量子电动力学(QED)是量子场论的一个重要分支，用于描述电磁相互作用。
二次量子化方法
4
•
•
3 i1
( xi
(
)
xi
)
•
t
3 i1
(xi )
xi
将上式带入动力学方程可得
S t2 dt t1
dx
t
•
3
i1
xi
((xi
)
)
0
5
由于 任意，所以上式可得出
3
t• i1xi ((xi))0
我们引入广义坐标相联系的广义动量
(x,t)
•
6
•
场的哈密顿密度 (x,,t)
总的哈密顿量
H dx
系统的动力学 方程
•
•
•
3 i 1
xi
(
( xi
)
)
7
薛定谔波场的量子化
薛定谔方程
2
•
•
2 (x ,t) V (x ,t) (x ,t) i (x ,t)
2 u
为经典场的波动方程，但它是一个复数场，所以又存在
22Vi•
2u
本证函数集
a(x)k(x)
1 eikx
15
利 用 的 正 交 归 一 性
a
(
x
)
(x)dx
可得算符展开式是逆变换关系
a (x) (x,t)dx ba (t)
a(x) (x,t)dx ba (t)
16
利用变换关系和算符对易关系得出
b a (t ), b (t )
0
b
a
(t )
这里将外势场视为实数场
8
拉氏密度
i
2
V
2u
拉氏密度需要将它代入拉式方程中得到上面的薛定谔方程
高量12--二次量子化
21
§31 产生算符和消灭算符
§31-1 定义
讨论B表象，以单粒子算符B的本征矢量{|b>}为基础。
一、产生算符a+(b)
首先定义一个什么粒子都没有的状态|0>（真 空态），从而确定了一个n=0的一维空间R0。定义 一个算符a+(b)，用它来得出n=1,2,3,…等系统的B 表象的基矢：
22
a b 0 1;b a b 1; b 2 2;bb a b 2; b b 3 3;bb b a b n; b b b n 1 n 1;bb b b
这正是Pauli不相容原理。
8
3. 并不是在基矢中 b , b ,, b 分别取一切值 的都是不同的基矢，其中有不少基矢实际上 是相同的，例如对三粒子系统，对称的 |3;b1b2b3>和|3;b1b3b2>是相同的基矢，而反对 称的|3;b1b2b3>和|3;b1b3b2>则相差一个负号，
3
1
b
2
3
b
1
2
b
3
2
b
1
1
b
2
3
b
3; b b b A 1 (1) p P b 3! P b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
)
b
1
2
3
1 (b 3!
2
1
2
3
b
1
3
2
b
2
1
3
b
b
3
b
二次量子化
16
同样地，对于Fermi子,结合Pauli 原理， 脱离表象后，
n 1, n 1...n 1... 11...1...
... ...
为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
17
Bose子体系
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose子，脱离q表象，有
(ni 1)nk fik
二次量子化形式
Fˆ f a a
28
由q表 象过渡至粒子数表象，求其矩阵元与上面比较：
_
首先， F ...nk ...ni... F ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ... 利用粒子数算符性质
f ...nk ...ni... n ...ni...nk ...
f n
对非对角元，
^
...(nk 1)...(ni 1)... F ...ni...nk ...
... ...
k1(qN ) k N (qN )
A k1... kN
(q1...qN
)
1 N!
P
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
二次量子化
1 p P[ (q1 ) (q2 )... N (qN )] N! p
P－置换算符 p 1 是置换P的奇偶性。
斯莱特（slater）行列式
19
(q1 ) (q2 ) ... (qN ) 1 (q1 ) (q2 ) ... (qN ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N! (q1 ) (q2 ) ... (qN )
＝ (q1, q2 qi q j qN )
则 ―反对称波函数 A（当两粒子交换，波函数反号， 即处于反对称态）
11
s A ？以N=2,N=3为例： 如何构造 ，
(q1, q2 ), (q2 , q1 ) N=2 有2个量子态：
1 (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 对称波函数： (q1 , q2 ) 2
n1 个粒子处于 1 态； n 2 个粒子处于 2 态……。 但它不可能告诉你，哪一个粒子处于 1 态，那
一个粒子处于 2 态，等等。
4
注意：全同性原理只是说全同粒子不可区分，不可编号，
但并不是说它们的量子态不可区分。例如：氢原子中电
子的波函数用 n,l , m, ms 表示，n,l ,m,m s 四个量子数
(q1 )
(q1 )
(q2 ) (q2 ) (q3 ) (q3 )
18
推广：在坐标表象中，N个全同费米子的归一化的 量子态：
(q1 ) 1 (q1 ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N ! (q1 )
(q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN )
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•
•
3 i 1
( xi
)
(
xi )
•
t
3 i 1
( xi
)
xi
将上式带入动力学方程可得
S t2 dt t1
dx
t
•
3 i 1
xi
(
( xi
)
)
0
由于 任意，所以上式可得出
3
t
•
i1
xi
( (
)0 xi )
我们引入广义坐标相联系的广义动量
本证函数集
a (x) k (x)
1 eik x
利用的正交归一性 a (x) (x)dx
可得算符展开式是逆变换关系
a (x) (x, t)dx ba (t)
a (x) (x, t)dx ba (t)
利用变换关系和算符对易关系得出
ba (t ), b (t ) 0
ba
(t
)
,
b
V dx (x)x (x)
b a
b
V
其中矩阵元
V
dx
(
x)V
(
x)
动力学方程
二次量子化中的力学量是通过场算符来构造的，如果一次量子化中采用薛定谔绘景， 那么二次量子化采用海森堡绘景
F t
1
i
F
(t
),
H
以算符是运动方 程为例
(x,t)
t
1
i
( x, t ),
H
(t)
量子场的哈密顿算符 H (t) dx (t)H (x) (t)
( x, t )
•
•
场的哈密顿密度 (x, , t)
总的哈密顿量
系统的动力学 方程
H dx
•
•
•
3 i 1
xi
( (
xi
) )
薛定谔波场的量子化
薛定谔方程
2
2
(x, t)
V
•
(x, t)
(x, t)
•
i
(x, t)
2u
为经典场的波动方程，但它是一个复数场，所以又存在
2
2
V
•
i
0
2u
找到拉式密度，得出相应的正则动量和哈密顿量
正则动量 哈密顿密度
(x,t)
•
i
(
x,
t
)
0
•
2
V
2u
总哈密顿量
H dx dx ( 2 2 V )
2u
薛定谔波场的量子化
采用正则量子化的方法对薛定谔波场进行量子化 其中要求广义坐标和正则动量满足下面对易关系
海森堡动力学方程化简为
i
( x, t )
H (x)
( x, t )
t
i
(
x)
坐标算符
二次量子化中的算符是由量子力学中的坐标算符平均值转换而来
x dx (x)x (x,)
粒子数表象
x
b a
b
x
其中x
dx
(
x)
x
(
x,
)
计算只有一个态指标i的坐标期望 b 0
a
x
0
bi
b a
b
bi
0
x
xii
dx
i
(
x)
x
i
(
x)
和量子力学中结果相同
外场中粒子化波场中的势能算符
场的量子化方法
使力学量变成算符的量子化手续称为一次量 子化，使波场量子化手续称为二次量子化。
场的拉氏形式和哈密顿形式
为了对波场采用量子化手续，需要建立场的场的拉氏 和哈密顿形式 。对于实数波场，我们通过广义速度， 和梯度，考虑到连续，我们引入拉格朗日密度
场的作用量
S t2 Ldt t2 dt
n (x)dx
b a
b
粒子数密度期望
假设 b 0 a
(x) (x) (x)
b a
b
(x)
0
b i
b a
b
b i
0
0 (i bi b )(i bi b ) 0
因为 0 b 0 和 b 0 0 化简上式
(x)
0
0
ii
(x)
ii (x)
i
(
x)
•
dx ( , , )
t1
t1
•
描写场的变换分为随时间变化的广义速度 (x, t) 和随空间变化的梯
度 (x, t) ，进而引入了拉格朗日密度
根据最小作用量原理，场的实际运动满足下列极值
.
S 0, ( (x,tt ) (x,tt ) 0)
场的动力学方程
S t2 dt dx t1
(t
)
0
ba
(t )
, b
(t
)
a
量子化波场的哈密顿算符公式
H
dx
( 2
2
V
)
2u
ba b
dx
( x)(
2
2u
2
V
)
(
x)
H ba b H
其中H
dx
(x)(
2
2u
2
V
)
(
x)
二次量子化中的力学量
一次量子化理论中概率密度和粒子数密度，以及所有力学量 的平均值都变成了算符，这种算符就是二次量子化中的力学量。
H
dx
(
2
2
V )
的算符性，所以是二次量子化
的算符。
转化到粒子数表象
为了引入粒子数表象，我们取了正交完全函数集，将场算符展开
( x, t ) ba (t )a ( x)
a
( x, t )
ba
(t
)
a
(
x)
a
a (x)可取一次量子化理论中一单粒子力学量算符的
概率密度和粒子数密度
(x) (x) (x) dx (x) (x x,) (x,)
二次量子化中它变成了算符
(x) (x) (x) dx (x) (x x,) (x,)
在粒子数表象中可表示为
(x)
b a
b
(x)
注： (x)
dxa
(
x)
(
x
x,
)
(
x,
)
a
(
x)
(
x,
)
总概率
( x, t),
(
x,
,
t
)
0
( x, t),
(
x
,
,
t
)
0
( x, t),
(
x
,
,
t
)
i
(x
x, )
利用正则动量公式
( x, t )
•
i
可将上面对易关系转换为
( x, t),
(
x
,
,
t
)
0
(
x,
t
),
(
x
,
,
t
)
0
( x, t),
(
x
,
,
t
)
(x
x, )
由于场量 已转换为算符，所以总的哈密顿量也变成了算符
其中H (x)=( 2 2 V（x,t）)
2u
将哈密顿算符带入运动方程中
i
t
dx,
(x,
t)
,
(x,
,
t
)H
(x,
)
(x,
,
t
)
dx, (x x, )H (x, ) (x, ,t)
将哈密顿算符代人运动方程
i (x,t)
t
dx,
(x
, t ),
(
x
,
,
t
)
H
(
x)
(
x,
,
t
)
dx, (x x, )H (x) (x,,t)
•
i
2u
这里将外势场视为实数场
拉氏密度
i 2 V
2u 拉氏密度需要将它代入拉式方程中得到上面的薛定谔方程
V
,
•
i V
•
i
,
0
2
2
,
( xi ) 2u xi ( xi ) 2u xi
对于
i
•
(
x,
t
)
2
2
(
x,
t
)
V
(
x,
t)
(
x,
t
)
0
2u
对于
2
2
V