固体物理 36晶体比热
固体物理：3-6晶格热容的量子理论
固体热容主要来自两部分贡献
一是来源于晶格热振动，称为晶格热容； 是固体热容的主要贡献，是本节的主要讨 论内容；
一是来源于电子热运动，称电子热容； 一般贡献很小，除非在很低温度情况下。
求解CV的一般方法
固体中的热容一般指定容比热容CV， 在热力学中，
CV
(
E T
)V
其中，E是指固体的平均内能。
第一步：写出 E 的表达式； 第二步：代入公式计算CV。
j
j
e j / kBT
1
j
(
j )2 e kBT
CVj
(
dE j (T dT
)
)V
kB
kBT
j
(e kBT 1)2
（3）晶格总热容
设晶体中包括N个原子，共有3N个简谐振动模式，则
E(T )
3N
j 3N
E j (T )
CV CV j
j
其中E
j
(T
)
1 2
j
e j
j
1
CVj
(
(1 z)2 n0
讨论： 因为x ,则 D ;
kBT
T
令z
e
x
,
则
x (e x
4e x 1) 2
x 4e x (1 ex )2
x 4e x (n 1)e nx
n0
x4e x
(e x 1)2
x 4 (n 1)e (n1) x
n0
x 4 ne nx
n1
(二)Debye模型的讨论--- 低温情况
gD(
)
gl
(
)
2gt (
)
V 2 2 2
(
固体物理-固体比热容解析
经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。
困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T0时， CV 0，经典的能量均分定理无法解释。
2. Einstein模型
假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率0振动。
即： 0 const.
在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：
Heat Capacity of Solids 固体热容
固体比热的经典理论
在十九世纪，由实验得到在室温下固体的 比热是由杜隆-珀替定律给出的：
Cv 3R 3N AKB
（2.90）
热容是一个与温度和材料都无关的常数。
其中R=NAKB，NA是阿伏伽德罗常数（6.03×1023 atoms /mole）KB是玻尔兹曼常数（1.38×10-16尔 格/开，尔格是功和能量的单位1焦耳=107尔格）。
体中原子的振动采用格波的形式，频率有一个分布, Debye模型 考虑了频率分布。 （1）频率分布函g(ω)的定义
在ω—ω+dω之间的简谐振动数为ΔN，定义频率分布函数为：
g() lim N N g() 0
写出g(ω)的解析表达式就可以计算出热容量。
在－＋d之间晶格振动的模式数为
g
d
3
q
4
q2dq
Enj
n
j
1 2
j
（nj=整数）
把晶体看作一个热力学系统，在简谐近 似下引入简正坐标Qi（i=1,2…3N）来描述振 子的振动。可以认为这些振子独立的子系， 每个谐振子的的统计平均能量：
Modern Theory of the Specific Heat
of Solids 固体比热的现代理论
晶格振动与晶体的比热容
晶格振动与晶体的比热容晶体是由原子、离子或分子按照一定的空间排列方式组成的固体。
晶格振动是指晶体中原子、离子或分子在平衡位置附近的微小振动。
晶体的比热容则是用来描述晶体在吸热或放热过程中温度变化的能力。
在晶体中，原子、离子或分子围绕平衡位置做简谐振动。
这种振动可以看作是由势能和动能的交替转换所产生的。
在振动过程中，相邻粒子之间的相互作用力决定了振动频率和能量的大小。
晶体的比热容与晶格振动有着密切的关系。
正如经典统计力学所描述的，晶格振动可以用声子来描述。
声子是晶格振动的量子化描述，其能量和频率与振动的模式有关。
在晶体中，声子的能量分布具有特定的分布形式，称为声子密度。
声子密度对于晶体的热力学性质有着重要的影响。
晶体的比热容可以通过声子的热容计算得到。
由于晶体中声子的能量是离散的，所以晶体的比热容通常随温度的变化而发生变化。
根据能量守恒定律，晶体吸收或释放的热量等于吸收或释放的声子能量。
当晶体吸收热量时，声子的能量增加，晶格振动的能量增加，使晶体的温度升高。
当晶体释放热量时，相反的过程发生，晶格振动的能量减少，使晶体的温度降低。
晶体的比热容是一个复杂的问题，在不同温度范围内可能表现出不同的行为。
例如，在高温下，晶体的比热容通常接近于经典极限值，可以用经典统计力学进行计算。
而在低温下，声子的量子效应开始显著，晶体的比热容则会受到量子效应的影响。
由于晶格振动和晶体的比热容之间的紧密联系，研究晶格振动对于理解晶体的热力学性质具有重要的意义。
通过实验手段可以测量晶体的比热容，从而了解晶体的热传导性质和热稳定性。
同时，理论模拟和计算方法也可以用来研究晶体的比热容，从而揭示晶体的微观机制和热力学行为。
总之，晶格振动是晶体中原子、离子或分子振动的基本行为，与晶体的比热容密切相关。
研究晶格振动和比热容有助于深入理解晶体的热力学性质，并为制备和应用新型晶体材料提供理论指导和实验基础。
(文章字数：479字)。
14、固体比热(杨)
i
i
k BT
i n( i , T ) ( 4) 1
n( i , T ) e
1
i k BT
(5) 1
表示温度为T时，振动模式为ω 的声子的平均数目。
§3.6 晶格振动热容理论
第7页
把晶体看成一个热力学系统，晶体中有N个原子，每个原子有3个自
E Cv T V
E
固体的平均内能。 §3.6 晶格振动热容理论
第1页
固体的内能由两部分组成： 一部分内能与温度无关：例如，在简谐近似下，原子在平衡位置时 的相互作用势能； 另一部分内能与温度有关。对比热有贡献的是依赖温度的内能。 绝缘体：与温度有关的内能是晶格振动能量。 金属: 与温度有关的内能由两部分组成，即晶格振动能量和价电子
布函数。
ω m ：最大的角频率，又称截止频率。 截止频率是波矢的函数，可以在波矢空间求出模式密度的表达式。
§3.6 晶格振动热容理论
第9页
平均能量可以写成：
E
比热可写成：
m
0
D( )d (8) 1
e
k BT
E cV T V
m
e k BT k B k BT kBT 2 D( )d (9) (e 0 1)
dn 3 2 D( ) V 3 ( 20 ) 2 d 2 vp
于是振动能量和比热分别为：
E
m
e k BT
0
3 V D( )d 2 3 2 v p 1
2
m
0
3 d ( 21) k BT e 1
3 V E CV T V 2 2 v 3 p
固体物理讲义讲义教程
《固体物理学》第二章晶格振动和固体比热第二章晶格振动和固体比热晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题：用最近邻原子间简谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子。
2-1、绝热近似和简谐近似绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以把离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
简谐近似：r 设一维单原子晶体的布喇菲格子的格矢为R ，那么第n 个格点原子的位置r r r r矢量为：Rn na a 为基矢。
令第n 个原子相对其平衡位置Rn 的瞬时位置由与时r r r r间相关的矢量Sn 给出。
那么原子的瞬时位置为：rn Rn Sn 。
晶体的总势能应该为所有原子相互作用势能之和忽略均匀电子云产生的常1 r r势能项。
静态格点时的总势能：U 0 ∑ u0 Rn Rn ，u x 表示一维原子链中2 n n距离为x 的两原子的相互作用能。
1 r r 1 r r r r 考虑晶格振动时的总势能：U ∑ urn rn 2 ∑ u Rn Sn Rn Sn 2 n n nn 这时势能与动力学变量Sn有关，如果Sn是个小量，将势能U在平衡值U0附近1作泰勒展开：f r a f r a f r a 2 f r ...... 。
2 r r r r r r 取r Rn Rn a Sn Sn 1 r r 1 r r r r 1 r r r rU ∑ u0 Rn Rn 2 ∑ Sn Sn u0 Rn Rn 4 ∑ Sn Sn 2 u0 Rn Rn .... 2 n n nn nn 我们忽略高阶项，只保留二阶项第一项非零校正项，那么势能近似为：1 r r r r U U 0 ∑ S n S n 2 u0 Rn Rn 4 n n 上述近似称为简谐近似。
固体物理学基础晶体的热物性与热传导
固体物理学基础晶体的热物性与热传导固体物理学是研究物质内部结构、性质和相互作用的学科，而热物性和热传导是固体物理学中重要的研究内容之一。
本文将从晶体的热物性和热传导两个方面进行探讨。
一、晶体的热物性热物性是指物质在热学过程中表现出来的特性，包括热容、热导率等。
对于固体而言，晶体是研究的重点之一。
1. 晶体的热容晶体的热容指的是单位质量晶体在温度变化时所吸收或释放的热量。
晶体的热容与晶格结构、晶体的化学成分和温度等因素密切相关。
不同晶格结构的晶体在热容上表现出不同的特性。
2. 晶体的热导率晶体的热导率是指单位面积的晶体在单位时间内传导的热量。
晶体的热导率同样与晶格结构、晶体的化学成分和温度等因素有关。
晶体的热物性研究对于深入了解固体的热学性质和热传导过程具有重要意义，对于热电材料的开发和利用也具有重要的指导作用。
二、晶体的热传导热传导是指物质内部热能的传递过程，包括导热、辐射和对流等方式。
晶体的热传导主要是通过晶格中的原子振动传递的。
1. 热导率与材料的热传导性能热导率是评价材料热传导性能的重要指标之一。
固体晶体的热导率与晶格结构、晶体的化学成分和温度等因素密切相关。
2. 热导率与晶体的结构晶体的结构对热导率具有重要影响。
例如，对于一维链状结构的晶体，由于振动在链方向上传递，其热导率较高；而对于二维层状结构或三维立方结构的晶体，由于振动在多个方向上传递，其热导率较低。
3. 热导率的控制与应用研究和控制晶体的热导率对于热电材料的开发和应用具有重要意义。
通过控制材料的晶格结构和杂质等因素，可以调节和改善材料的热导率，提高热电转换效率。
总结：本文通过对固体物理学基础晶体的热物性和热传导的探讨，可以看出晶体的热物性与热传导是相互关联的。
研究晶体的热物性和热传导具有重要的科学意义和应用价值，对于热电材料及其他相关领域的发展具有指导作用。
1500字以上。
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质
注意：
（1）振子并不是组成固体的真实粒子，振子的振动代表简正坐标 的振动，并不是真实粒子的振动。格波的振动频率—简正坐标振 动的圆频率。 （2）简正变换的物理实质可以作以下解释： N个独立粒子——3N个无相互作用的简谐振子。 固体中每一个粒子受到其它N-1个粒子的作用。当作用力近似为 简谐力时，可将固体看成近似由3N个谐振子组成。条件： （a）简谐力近似，若不是，则格波不独立——声子由湮没，产生 （b）简正坐标的振动——集体运动的描述。
事实上：
晶格动力学的发展是在研究热学性质中建立起来的。 晶格动力学是固体物理学中的重要组成部分。晶格动力学 的前身就是比热理论。 从固体比热的发展阶段看： * 从Einstein模型 ，Debye模型，——格波模型，最后形成 晶格动力学，并用来进一步处理其它问题。 * 关于固体比热的研究，不单是解决固体比热的问题。而 是具有更重要的意义。 * 为使比热理论值与实验值相符合，能对固体晶格运动方 式有比较正确的认识，提出一些模型，而这些认识模型成 为固体许多领域的重要基础。 比如：声子的概念，元激发 概念等。在固体物理学的其他领域有更广泛的应用。 结论：晶格振动与固体的力、热、声、光、电、磁等各种性 质有着密切的关系。
mi i
Qi i2Qi 0
a
j
ij
Q j aij A sin( i t )
由此可见，全部原子都以一种频率运动，差别仅在于振幅和 相位的不同. 而且每个原子的真正位移是各种简正振动的叠加。 也可以这样理解：N个原子的热振动可看作是一个有３N个独 立简谐振动的叠加系统，系统总能量是３N个相互独立的谐振子的 能量和，即可以把N个粒子组成的相互作用能为V的固体看成是相 互独立的3N个谐振子的集合。
3-4 晶体的比热
2 .与德拜模型比较
低温下D/T>>1，式（3－76）
Cv＝9 NK B T3 x 4e x
x
3 D
D /T
0
e
1
2
dx
式中的积分上限可近似取为无穷大，则积分 成为 /T x 4e x x 4e x 4 4
B
0
e
x
1
2
dx＝
0
e
x
1
2
dx ＝
15
(3-77)
随着温度的升高，各格波的平均声子数会增多。 温度足够高时，所有格波都已充分激发。
此时(略去零点能)晶体振动能
U=
K BT · ω BT i ＝3NSK i 1 i
3 NS
该结果也表明3NS个格波均激发，每 个格波的能 量均为KBT。 求Cv关心的是内能 U 与温度T的关系，现在 U 与 无关，即不同频率的格波的能量相同，所以如 何设的分布已无关紧要。 另外，一般情况下，光学格波的范围较窄，在讨 论光学格波时可近似设＝ E 。
§3 .4晶体的比热
一．概述 定容比热的定义为单位质量的物质在 定容过程中，温度升高一度时，系统内能 的增量，即
U U C lim ＝ T 0 T V T V
晶体的运动能量包括晶格振动能量Ul和 电子运动能量Ue,这两种运动能量对比热 的贡献分别以Cυl (晶格比热)和Cυe(电子比 热)来表示。除极低温下金属中的电子比 热相对较大外，通常Cυl >> Cυe,所以本章 仅讨论晶格比热Cυ＝Cυl＝C。
(3-68)
∴关键和难点是求出
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dq间隔内的振动模式数为:
L dq 2π
~ d 间隔内的振动模式数为：
n 2 L dq d 2π d
(因子2是因为一个对应于正负两个波矢q，即一个对应
两个振动模式。)
2
aq
sin m2
m
sin
aq 2
q
d
dq
m
a 2
cos
aq 2
1/ 2
m
a 2
1
2 2
m
a 2
2 m
2
1/ 2
n 2 L dq d 2π d
每一支格波的 振动模式数
体积元：dv dsdq
dq：两等频面间的垂直距离,
qx
ds：面积元。
体积元包含的波矢数目：
VC (2π)3
dsdq
n
Vc
2π3
频率为和
d的等频率面间的体积
n
Vc
2π3
dsdq
由梯度定义知: d qqdq
代入上式得
n
Vc
2π3
ds
q q
d
Vc
2π3
ds
s q q
3N i 1
1 2
i
E(T ) E0
CV
E T
i
kB
3N i 1
e
i
e
kBT
kBT
1
2
i
kBT
2
对于宏观晶体,原胞数目N很大，波矢q在简约布里渊区中
有N个取值，所以波矢q近似为准连续的，频率也是准连续的。
上式可以用积分来表示：
E
m
0
e
kBT
1
1
2
( )d
E(T )
m
其中m是最高频率，又称截止频率。
(2)计算
包含在
~
d
内的振动模式数为：n
( )d
因为频率是波矢的函数，所以我们可以在波矢空间内求出模
式密度的表达式。
VC 波矢 (2π)3 密度
两个等频率 面间的体积
两个等频率面 间的波矢数
晶格总的模
式密度 ( )
qy ds
dq
每一支格波的模
式密度 ( ) n ( )d
0
e kBT
1
( )d
E0
m 1
02
( )d
( )d 表示在 ~ d 间的振动模式数。
CV
m 0
kB
e e
kBT 2
kBT 1
kBT
2
(
)d
3.频率分布函数(模式密度) (1)定义: 单位频率间隔内的振动模式数。
(
)
lim
0
n
设晶体有N个原子,则 m ( )d 3N 0
第六节 晶体的比热
本节主要内容： 3.6.1 晶体比热的一般理论 3.6.2 晶体比热的爱因斯坦模型 3.6.3 晶体比热的德拜模型
§3.6 晶体的比热
晶体比热的实验规律 (1)在高温时，晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子的个
数, kB=1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量) ；
(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。
1 2
f
E
T
E
T
2
E
eT
e
E
T
12
爱因斯坦比热函数。
爱因斯坦温度E如何确定呢？
选取合适的E值，使得在比热显著改变的温度范围内，理
论曲线与试验数据相当好的符合。
对于大多数固体材料， E在100 ~300k的范围内。
3.高低温极限讨论
(1) 高温时，当T>> E时，
f
E
T
E
T
2
2 L
1
d
2π
a 2
2 m
2
1/ 2
2L πa
2 m
2
1 / 2 d
(
)
2N π
(
2 m
2
)1 /
2
(法二)
一维单原子链只有一支格波，且 2
m
sin aq 2
m
sin
aq 2
3n 1
Vc
2π3
ds
s q q
(式中m为截止频率)
L 对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为 2π
q
3n
1
Vc
2π3
ds
s q q
例1：证明由N个质量为m、相距为a的原子组成的一维单原
子链的模式密度
( )
2N π
(
2 m
2 )1/
2
证明：(法一) 一维单原子链
2 sin aq
m2
m
sin
aq 2
π q π 共有N个值
a
a
(q) N Na L
2π / a 2π 2π
qx
半径为q。
q c
Vc 4πq2 2π 3 c
Vc
2π3
4π
c c
2
Vc 2
2π2 c3
3.6.2 晶体比热的爱因斯坦模型
1.模型 (1)晶体中原子的振动是相互独立的；
(2)所有原子都具有同一频率。
设晶体由N个原子组成，因为每个原子可以沿三个方向振动，
共有3N个频率为的振动。
2.计算
(1)比热表达式
3N
E Ei
i 1
Ei
ni
1 2
i
E
3N
i 1
ni
1 2
i
3N n
1
2
3N
e kBT
1
1 2
1 n
e kBT 1
CV
E T
3 NkB
e kBT
e
kBT
2
1
kBT
2
3 Nk Bf E
kBT
3Nk
Bf
E
T
CV
3
Nk
B
f
E
T
通常用爱因斯坦温度E代替频率，定义为kB E= ，
E
eT
e
E
T
2
1
E
T
2
(1
E
1 ) (1
E
)2
2T
2T
E
T
2
E
e
T
E
eT
e
E
2T
eE
2T
2
ex 1 x x2 x3 2! 3!
E
2
T
E
1
E
2
1
2T 2T
CV
3
Nk
Bf
E
T
3NkB
(2)低温时，当T<< E时，
f
E
T
E
T
2
E
eT
e
E
T
下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。
3.6.1 晶体比热的一般理论
晶体的定容比热定义为：
CV
E T
V
E ---晶体的平均内能
CV CVa CVe
晶格振动比热 晶体电子比热
通常情况下， CVe CVa 本节只讨论晶格振动比热。
1.杜隆--珀替定律(经典理论)
根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶
Ei
ni
1 2
i
ni是频率为i的谐振子的平均声子数：
ni
1
i
e kBT 1
第i个谐振子的能量为：
Ei
i
i
e kBT 1
1 2
i
晶体由N个原子组成，晶体中包含3N个简谐振动，总振
动能为
E
3N
Ei
i 1
3N i 1
i
e
i
kBT
1
1 2
i
3N i 1
i
i
e kBT 1
体有N个原子，则总自由度为： 3N。
E 3NkBT
CV
E T
V3 Nk BFra bibliotek它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆--珀替定律。
低温时经典理论不再适用。
2.晶格振动的量子理论 晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中
原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的
能量都是量子化的。 第i个谐振子的能量为：
m
a 2
cos
aq 2
Na
1/ 2
m
a 2
1
2 2
m
a 2
2 m
2
1/ 2
( ) L 2 2π q
L 2π a 2
2
2 m
2
1/ 2
2N π
(
2 m
2 )1 /
2
例2：三维晶体， cq 其中c为常量，求 ( )
解:
Vc
2π3
ds
s q q
qy
在波矢空间，等频率面为球面，球