2015年下教师资格证科目三初级数学真题
2015年下教师资格证科目三高级数学真题答案
2015年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）参考答案及解析一、单项选择题1．【答案】A 。
解析：求多项式的公因式一般用辗转相除法。
这里用赋值法，分别令01,3,1,2x =--代入，同时得00()0,()0,f x g x ==即1x +为二者公因式。
2．【答案】B 。
解析：设曲面经矩阵A 变化后为100'0202'0033'x x x y y y z z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则'1'21'3x x y y z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩故其方程为22211(1)(2)(1)123x y z -+-+-=，选B 。
3．【答案】D 。
解析：样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分，按一定方式从总体中抽取的若干个体，用于提供总体的信息及由此对总体作统计推断。
样本的平均值称样本均值，在数理统计中，常常用样本均值来估计总体均值。
样本越大从总体中提取的信息就越多，对总体的代表性就越好。
这里取的两组数据都是随机的，因此均值不一定相等。
4．【答案】B 。
解析：取1n a n =，11n b n=-，lim 0,lim 1n n n n a b →∞→∞==，0＜1，而1110a b =>=，2212a b ==，因此B 的结论不正确。
5．【答案】B 。
解析：由向量积的性质可得，⨯⨯⨯(a +c)b =a b +c b ，故选B 。
6．【答案】C 。
解析：由已知得级数的收敛半径为131lim 331nn n n r n +→∞==+，又当13x =时级数11n n∞=∑发散，当13x =-时级数11(1)n n n ∞=-∑收敛，故选C 。
7．【答案】A 。
解析：第一次数学课程改革发生在20世纪初，史称“克莱因-贝利运动”。
英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。
2015数三真题与解析
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 T T 【详解】 Q e1 , e3 , e2 e1 , e2 , e3 0 0 1 P 0 0 1 ， Q 0 0 1 P 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 T T T T f x Ax y PAPy y 1 y 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 2 T 1 1 所以 Q AQ 0 0 1 P AP 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
1 n 设S Xi X n 1 i 1
2
2
， 则 S 一 定 是 总 体 方 差 的 无 偏 估 计 ， 所 以 E ( S ) m (1 ) ， 从 而
2
2
n E X i X i 1
( n 1) D( X ) m( n 1) (1 )
2
故应该选择（B） ． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9． lim
ln(cos x ) x 0 x2 ln(cos x ) tan x 1 lim ． 2 x 0 x 2x 2
【详解】 lim
x 0
10．设函数 f ( x ) 连续， ( x ) 【详解】 ( x ) 所以 (1)
2 2 2 2
f ( x, y )dxdy
D
（A）
2015年下半年教师资格统一考试《初中数学》真题及答案解析
2015年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题(初级中学）二、简答题。
（共5题，每题7分，共35分）9.一条光线斜射在一水平放置的平面上,入射角为π/6,请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程。
若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周,求出旋转曲面的方程。
【参考答案】以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图：则入射光线所在直线过原点且在yoz 坐标面上，所以入射光线的直线方程为y y Z 336tan==π，而反射光线与入射光线关于z 轴对称,所以反射光线的直线方程为y Z 33-=，而此时法线为z 轴，故将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，即是绕z 轴旋转一周,则得出旋转曲面的方程是将反射光线的直线方程中的y 改成22y x +±,得到方程为2233y x Z +±=。
10.求证：非齐次性方程组⎩⎨⎧'='+'=+cy b x a cby ax 有唯一解，当且仅当向量),(),,(b b n a a m '='=线性无关【参考答案】证明：（1）当非齐次性方程组⎩⎨⎧'='+'=+c y b x a cby ax 有唯一解时，假设向量),(),,(b b n a a m '='=线性相关，则m k n =，即a k b ka b '='=,，原方程组可化为⎩⎨⎧'=+=+ckby kax cby ax 当kc c ='时，非齐次线性方程组无穷多解，与方程组有唯一解矛盾；当kc c ≠'时，非齐次线性方程组无解，与方程组有唯一解矛盾。
所以),(),,(b b n a a m '='=线性无关。
（2）当向量),(),,(b b n a a m '='=线性无关时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛''b a b a 可逆，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-c c b a b a y x 1，即⎩⎨⎧'='+'=+c y b x a cby ax 有唯一解。
初中数学科目三教资试卷
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1. 下列不属于初中数学课程内容的是：A. 函数与方程B. 平行四边形C. 概率与统计D. 古典物理知识2. 在一次数学竞赛中，甲、乙、丙三人得分分别为90分、85分、80分，则他们的平均分为：A. 85分B. 83分C. 82分D. 81分3. 下列关于三角形外角定理的说法正确的是：A. 一个三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和B. 一个三角形的外角等于它相邻的两个内角之和C. 一个三角形的外角等于它不相邻的两个内角之差D. 一个三角形的外角等于它相邻的两个内角之差4. 下列关于圆的性质，正确的是：A. 圆的直径等于半径的两倍B. 圆的周长等于直径的三倍C. 圆的面积等于半径的平方乘以πD. 圆的面积等于直径的平方乘以π5. 下列关于不等式的性质，正确的是：A. 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变B. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变C. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向不变D. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向改变6. 下列关于二次函数的性质，正确的是：A. 二次函数的图像是开口向上的抛物线B. 二次函数的图像是开口向下的抛物线C. 二次函数的图像是水平直线D. 二次函数的图像是斜直线7. 下列关于幂的运算，正确的是：A. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$B. $a^m \div a^n = a^{m-n}$C. $(a^m)^n = a^{mn}$D. $(a^n)^m = a^{n^m}$8. 下列关于直角坐标系中点的坐标，正确的是：A. 第一象限的点坐标为（-x，-y）B. 第二象限的点坐标为（x，y）C. 第三象限的点坐标为（-x，y）D. 第四象限的点坐标为（x，-y）9. 下列关于一元一次方程的解法，正确的是：A. 换元法B. 因式分解法C. 分式方程法D. 平移法10. 下列关于二次方程的解法，正确的是：A. 分式方程法B. 因式分解法C. 平移法D. 平行线法11. 下列关于不等式组的解法，正确的是：A. 分式方程法B. 因式分解法C. 平移法D. 消元法12. 下列关于函数的定义域，正确的是：A. 函数的定义域为所有使得函数有意义的实数B. 函数的定义域为所有使得函数有意义的正实数C. 函数的定义域为所有使得函数有意义的负实数D. 函数的定义域为所有使得函数有意义的非负实数13. 下列关于函数的值域，正确的是：A. 函数的值域为所有使得函数有意义的实数B. 函数的值域为所有使得函数有意义的正实数C. 函数的值域为所有使得函数有意义的负实数D. 函数的值域为所有使得函数有意义的非负实数14. 下列关于一次函数的图像，正确的是：A. 图像是经过第一、二、三象限的直线B. 图像是经过第一、二、四象限的直线C. 图像是经过第一、三、四象限的直线D. 图像是经过第二、三、四象限的直线15. 下列关于二次函数的图像，正确的是：A. 图像是开口向上的抛物线B. 图像是开口向下的抛物线C. 图像是水平直线D. 图像是斜直线16. 下列关于三角形的面积计算，正确的是：A. 三角形的面积等于底乘以高除以2B. 三角形的面积等于底乘以高除以3C. 三角形的面积等于底乘以高除以4D. 三角形的面积等于底乘以高除以517. 下列关于平行四边形的面积计算，正确的是：A. 平行四边形的面积等于底乘以高除以2B. 平行四边形的面积等于底乘以高除以3C. 平行四边形的面积等于底乘以高除以4D. 平行四边形的面积等于底乘以高除以518. 下列关于梯形的面积计算，正确的是：A. 梯形的面积等于上底加下底乘以高除以2B. 梯形的面积等于上底加下底乘以高除以3C. 梯形的面积等于上底加下底乘以高除以4D. 梯形的面积等于上底加下底乘以高除以519. 下列关于圆的周长计算，正确的是：A. 圆的周长等于直径乘以πB. 圆的周长等于半径乘以πC. 圆的周长等于直径除以πD. 圆的周长等于半径除以π20. 下列关于圆的面积计算，正确的是：A. 圆的面积等于直径的平方乘以πB. 圆的面积等于半径的平方乘以πC. 圆的面积等于直径除以πD. 圆的面积等于半径除以π二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）21. 若一个数的平方等于4，则这个数是______和______。
教资科三初中数学试卷答案
一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列选项中，不属于实数的是（）A. -2B. √4C. πD. √-1答案：D2. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则 x + 1 的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：D3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 圆D. 长方形答案：C4. 在直角坐标系中，点 P(2, -3) 关于 x 轴的对称点的坐标是（）A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A5. 若一个长方体的长、宽、高分别为 4cm、3cm、2cm，则它的体积为（）A. 24cm³B. 36cm³C. 48cm³D. 60cm³答案：A6. 下列函数中，y = 2x - 1 是（）A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 无穷函数答案：A7. 在一次函数 y = kx + b 中，k 和 b 的符号关系是（）A. k > 0, b > 0B. k < 0, b < 0C. k > 0, b < 0D. k < 0, b > 0答案：C8. 若等腰三角形的底边长为 6cm，腰长为 8cm，则该三角形的面积为（）A. 24cm²B. 30cm²C. 32cm²D. 36cm²答案：B9. 下列命题中，正确的是（）A. 所有的偶数都是整数B. 所有的整数都是自然数C. 所有的质数都是奇数D. 所有的奇数都是质数答案：A10. 若a² = b²，则 a 和 b 的关系是（）A. a = bB. a = -bC. a = ±bD. a 和 b 不确定答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 在直角坐标系中，点 A(1, 2) 到原点的距离为 __________ cm。
教师资格考试初中数学学科知识与教学能力试题【科目三】模拟卷（9）及答案解析
教师资格考试初中数学学科知识与教学能⼒试题【科⽬三】模拟卷（9）及答案解析中⼩学教师资格考试数学学科知识与教学能⼒试题（初级中学）模拟卷（9）⼀、单项选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案字母按要求涂⿊。
错选、多选和未选均⽆分。
1.下列选项中运算结果⼀定为⽆理数的是（）A.有理数与⽆理数的和B.有理数与有理数的差C.⽆理数与⽆理数的和D.⽆理数与⽆理数的差2.在空间直⾓坐标系中，由参数⽅程22cos sin sin 2x a ty a t z a t===，()02t ≤≤π所确定曲线的⼀般⽅程是（）A.22x y az xy+=??=?B.24x y az xy+=??=?C.22222x y a z xy+==D.22224x y az xy+==3.已知空间直⾓坐标与球坐标的变换公式为cos cos cos sin sin x y z ρθ?ρθ?ρθ=??=??=?，ρ?θππ??≥0-π<≤π-≤≤ ?22??，，，则在球坐标系中，3θπ=表⽰的图形是（）A.柱⾯B.圆⾯C.半平⾯D.半锥⾯4.设A 为n 阶⽅阵，B 是A 经过若⼲次初等⾏变换后得到的矩阵，则下列结论正确的是（）A.=A B B.≠A BC.若0=A ，则⼀定有0=BD.若0>A ，则⼀定有0>B 5.已知12111()(1)()(21)!n n n f x x n ∞--==-π-∑，则()1f =（）A.1-B.0C.1D.π6.若矩阵1114335x y -??= --A 有三个线性⽆关的特征向量，2λ=是A 的⼆重特征根，则（）A.22x y =-=，B.11x y ==-，C.22x y ==-，D.11x y =-=，7.下列描述为演绎推理的是（）A.从⼀般到特殊的推理B.从特殊到⼀般的推理C.通过实验验证结论的推理D.通过观察猜想得到结论的推理8.《义务教育数学课程标准（2011年版）》从四个⽅⾯阐述了课程⽬标，这四个⽅⾯是（）A.知识技能数学思考问题解决情感态度B.基础知识基本技能问题解决情感态度C.基础知识基本技能数学思考情感态度D.知识技能问题解决数学创新情感态度⼆、简答题（本⼤题共5⼩题，每⼩题7分，共35分）9.⼀次实践活动中，某班甲⼄两个⼩组各20名同学在综合实践基地脱⽟⽶粒，⼀天内每⼈完成脱粒数量（千克）的数据如下：甲组57，59，63，63，64，71，71，71，72，7575，78，79，82，83，83，85，86，86，89。
教师资格证科目三真题
教师资格证科目三真题一、选择题（每题2分，共20分）1. 教育心理学认为，学生在学习过程中，通过观察、模仿他人的行为，从而在没有外界压力的情况下，逐渐习得新行为的过程被称为：A. 观察学习B. 条件反射C. 社会学习D. 行为塑造2. 根据皮亚杰的认知发展理论，儿童在7至11岁之间通常处于哪个发展阶段？A. 感觉运动阶段B. 前运算阶段C. 具体运算阶段D. 形式运算阶段3. 教育评价的主要目的是：A. 选拔和淘汰学生B. 促进学生全面发展C. 为教师提供教学反馈D. 所有上述选项4. 以下哪项不是教育心理学研究的内容？A. 学习动机B. 学习策略C. 教学方法D. 学校管理5. 根据布鲁纳的学习理论，学习的本质是：A. 行为的改变B. 认知结构的构建和重组C. 知识的积累D. 技能的掌握二、简答题（每题10分，共30分）6. 简述维果茨基的社会文化理论对教育实践的影响。
7. 描述马斯洛的需求层次理论，并解释其在教育领域的应用。
8. 解释什么是元认知，并举例说明元认知策略在学生学习过程中的作用。
三、材料分析题（每题25分，共50分）9. 阅读以下材料，分析其中涉及的教育心理学原理，并提出相应的教学建议。
材料：小明是一名初中生，最近在学习上遇到了困难。
他发现自己在数学科目上的成绩一直不理想，尝试了多种学习方法，但效果都不明显。
老师建议他参加课外辅导班，但小明担心这会占用他参加体育活动的时间。
10. 阅读以下材料，分析学生的心理发展特点，并提出如何根据这些特点进行有效的教学设计。
材料：小华是一名小学五年级的学生，她对学习有着浓厚的兴趣，尤其喜欢科学和艺术。
然而，她在学习过程中经常分心，注意力不集中，导致学习效率不高。
四、论述题（共30分）11. 论述现代教育技术在教学过程中的应用，并探讨其对提高教学效果的潜在影响。
五、案例分析题（共20分）12. 假设你是一名中学教师，你的班上有一名学习成绩优异但性格内向的学生。
2015年下教师资格证科目三初级数学真题答案
称图形，平行四边形是中心对称图形。正多边形当边数为奇数时是轴对称图形，当边数为偶数时既 是轴对称图形又是中心对称图形。
二、简答题
9． 【参考答案】 以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图：
则 入 射 光 线 所 在 直 线 过 原 点 且 在 y Oz 坐 标 面 上 ， 所 以 入 射 光 线 的 直 线 方 程 为
2015 年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学）参考答案
一、单项选择题
1 x x' 2 0 x 2 x x ' 2 则 1． 【答案】B。解析：设曲面经矩阵 A 变化后为 ，故 0 3 y 3 y y ' y 1 y ' 3
2 2 2 2 2 x2 y2 ， 得到方程为 z 3 x y , 即z 3( x y )
ax by c 有唯一解时，假设向量， m ( a， a ) ， ax by c
ax kay c n (b， b) 线性相关，则 n km ，即 b ka ， b ka ，原方程组可化为 ax kay c a c 时，非齐次线性方程组有无穷多解，与方程组有唯一解矛盾； a c a c 当 时，非齐次线性方程组无解，与方程组有唯一解矛盾， a c 所以 m ( a， a )， n (b， b) 线性无关。
构造辅助函数 g ( x) f ( x) f (a ) 验证可得 g (a) g ( x a) ba
又 因 为 函 数 g ( x) 在 闭 区 间
a，b
上 连 续 在 开 区 间（a，b）内 可 导 ， 且
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B． α β
C． α β
D．不能确定
和余式为（
） 。 B． 2 x 2 x 3, 2 x 1
A． 2 x 2 x 1, 2 x 3
C． 2 x 2 x 3, 2 x 4 6．函数级数 A． ( 1 ， 1)
D． 2 x 2 x 1, 0 ） 。 C． [ 1 ， 1) D． [ 1 ， 1] ） 。
n n
C．若 lim a n a ， lim bn b ，且 a b ，则对任意正整数 N， an bn
n n
D．若对任意的整数 n，有 an bn ， lim a n a ， lim bn b ，且 b 0 ，则 a 0
n n
2 0 2 2 ，则 A 将空间曲面 ( x 1) ( y 2) 4 变成（ 0 3
B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 ） 。
） 。
， 2， 3 则下列结论不正确的是（ 2．已知数列 an 与数列 bn ， n 1
n n
A．若对任意的正整数 N，有 an bn ， lim an a ， lim bn b ，且 b 0 ，则 a 0 B．若 lim a n a ， lim bn b ，且存在正整数 N，使得当 n N 时， an bn 则 a b
17． 《义务教育数学课程标准（2011 年版） 》关于平行四边形的性质的教学要求是：探索并证明 平行四边形的性质定理——平行四边形的对边以及对角相等。请基于该要求，完成下列教学设计任 务： （1）设计平行四边形性质的教学目标； （6 分） （2）设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程； （12 分） （3）设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的数学思想方法。 （12 分）
16．某教师关于“反比例函数图象”教学过程中的三个步骤为： 第一步：复习回顾 提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内容？是如何研究的？ 第二步：引入新课 提出问题：反比例函数的图象是什么形状呢？ 引导学生利用描点法画出 y 列表：
1 的图象。 x
-3 -2 -1 -1 1 1 2 3 4 5 6 … …
n (b，b) 线性无关。
11．某飞行表演队由甲乙两队组成。甲队有喷红色雾和绿色雾的飞机组成，各 3 架。乙队仅有 3 架喷红色雾的飞机。在一次表演中，需要从甲队抽 3 架到乙队组合混合表演队，并且任意指定一 架为领飞飞机，求领飞飞机是喷绿色雾的概率。
12．阐述确定数学课程内容的依据。
13．抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面？请举例。
3．下列关系不正确的是（
） 。 B． (a + c) b = b a + b c
（a + c） b = b a + b c A．
2 2 C． （a b ） + （a b ） = a 2b 2
（a b） c=（a c）b （b c）a D．
4．为研究 7 至 10 岁少年儿童的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市 100 名 和 1000 名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为 α 、 β （单位：cm ）则 α 、 β 的大小关系为（ A． α β ） 。 5 ．若多项式 f ( x ) 2 x 7 x 8 x 7 x 8 和 g x x 3 x 4 ，则 f ( x ) g ( x ) 的商
x
……（第三步过程省略） （1）该教学过程的主要特点是什么？（8 分） （2）在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是直线，而是光 滑曲线（6 分） （3） 对于第三步的③， 如果你是该老师， 如何引导学生思考函数图象在第一象限 （或第三象限） 的变化？（6 分）
六、教学设计题（本大题 1 小题，30 分）
x
n 1
n
的收敛域为（ B． (1 ， 1]
7． 《义务教育数学课程标准 （2011 年版） 》 设定了九条基本事实， 下列属于基本事实的是 （ A．两条平行线被一条直线所截，同位角相等 B．两平行线间距离相等 C．两条平行线被一条直线所截，内错角相等 D．两直线被平行线所截，对应线段成比例
8．四个图形：相交直线、等腰三角形、平行四边形、正多边形，既是轴对称又是中心对称的有 几个（ A．1 ） 。 B．2 C．3 D．4
2015 年下半年中小学教师资格证考试 数学学科知识与教学能力试题（初中数学）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出 的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请用 2B 铅笔把答题卡上对应 题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
1．已知变换矩阵 A A．圆
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9．一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为
光线的方程。若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。
π ，请建立空间直角坐标系，并求出反射 6
10 ． 求 证 ： 非 齐 次 线 性 方 程 组 ：
ax by c 有 唯 一 解 ， 当 且 仅 当 向 量 m ( a，a) ， ax by c
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
14．叙述并证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系。
四、论述题（本大题 1 小题，10 分）
15．叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“ 2 是无理数”的教学过程 为例说明在教学中如何体现该教学原则。
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。
x
y 1 x
… …
-6
-5
-4
-
1 6
-
1 5
-1 4-1 3-1 2
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
描点。 连线：引导学生用光滑的曲线连接描点，并用计算机演示图象的生成过程。在此过程中启发学 生思考，由于 x，y 都不能为 0，所以函数图象与 x 轴、y 轴不能有交点（如下图） 。 y
O
123456