能量信号与功率信号
能量谱
雷利定理
（非周期信号的帕塞瓦尔定理）
其中
G ( )
1
F ( j )
2
为能量谱
2 1 T a A P 2T f 2 (t )dt ( 0 ) 2 ( n ) 2 2 T 2 n 1
帕塞瓦尔定理
周期信号的功率等于各谐波分量功率之和
6
例：
sin t 2 已知信号 x(t ) t ( ) ，求： t
sin t 2 1 ( ) f 2 ( ) t
0
1 2
2
f 2 ' ( )
2
-2
(2)
1 W x (t )dt 2
2
X ( j ) d
2
1 2
0
f 2 '( )
2
1 2
1 f 2 ( ) d 3 2
2
j
2
功率信号
3
二、能量谱
能量谱
F ( j ) f (t )e
jt
dt
W f 2 ( t )dt
1 f ( t )[ 2
F ( j )e jt d ]dt
1 2
1 2
F ( j )[
f ( t )e jt dt ]d
1 P l im [ T T
T 2 T 2
f ( t ) dt]
2
信号f(t)的功率
若信号的功率为有限值，则称该信号为功率 有限信号，简称功率信号。周期信号是典型 的功率信号。
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
能量信号的自相关函数和功率信号的自相关函数
能量信号的自相关函数和功率信号的自相关函数一、 能量信号的自相关函数相关是匹配过程，而自相关则是指延迟信号与与其自身的匹配。
实值能量信号x(t)的自相关函数定义为：+∞<<∞-+=⎰+∞∞-τττdt t x t x R x )()()(自相关函数)(τx R 提供了信号与其平移τ时间后所得信号之间的关联程度的测度。
)(τx R 不是时间的函数，而是信号与其平移信号的时间间隔τ的函数。
实值能量信号的自相关函数具有以下性质：1. )()(ττ-=x x R R 函数关于零点对称；2. )0()(x x R R ≤τ 函数在原点获得最大值；3. )()(f R x x ψτ↔ 自相关函数与功率谱（PSD ）是傅立叶变换对；4. dt t x R x )()0(2⎰+∞∞-= 函数在零点的值等于信号的能量。
二、功率信号的自相关函数实值功率信号x(t)的自相关函数定义如下：+∞<<∞-+=⎰+-∞→τττdt t x t x T R T T T x 2/2/)()(1)(lim当功率信号为周期为T 0的周期信号时，上式的时间平均可以用周期T 0代替，故自相关函数可以表示为：+∞<<∞-+=⎰+-τττdt t x t x T R T T x 2/2/000)()(1)(实值功率信号的自相关函数与能量信号的自相关函数有类似的性质： 1. )()(ττ-=x x R R 函数关于零点对称；2. )0()(x x R R ≤τ 函数在原点获得最大值；3. )()(f G R x x ↔τ 自相关函数与功率谱（PSD ）是傅立叶变换对；4. dt t x T R T T x )(1)0(2/2/2000⎰+-= 函数在零点的值等于信号的功率。
能量信号与功率信号
能量信号与功率信号
能量信号和功率信号是量化和通信领域非常重要的两类信号。
它们有许多共同的特点，但也有不完全相同的性质。
了解这两类信号的概念以及它们之间的差异，有助于量化和通
信系统的设计和开发。
首先，我们要知道什么是能量信号和功率信号。
能量信号指的是能够表示能量的信号，它可以是连续的，也可以是离散的。
能量信号是一种可以被用来估算和计量它传输的能量
的信号。
而功率信号则是表示功率的信号，它是一种用来衡量某一段时间内信号传输的能
量的信号，它经常用来表示实际的有效载波或正弦波的功率。
这两类信号的传输机理也是不同的。
能量信号的传输利用信号的空间能量，而功率信
号则需要使用存储能量。
这就意味着，能量信号实际上将能量传输到另一端，而功率信号
只能储存能量，而不能传输。
能量信号和功率信号使用的信号也是不一样的，能量信号使用的信号可以是表示信号
在空间上所具有的能量的实部和虚部信号，也可以是实际的实部和虚部信号；而功率信号
则是使用实际的实部和虚部信号。
通常情况下，能量信号使用的是正弦函数的信号，而功
率信号则使用的是脉冲函数的信号。
最后，这两类信号的衰减机理也是不一样的。
能量信号的衰减是延迟衰减，而功率信
号的衰减则是频率衰减。
能量信号和功率信号的定义
能量信号和功率信号的定义
在信号处理领域，能量信号和功率信号是两种常见的信号类型，它们的定义如下：
能量信号是指在无限长的时间范围内，信号的能量有限的信号。
也就是说，能量信号的能量可以被计算出来，并且是一个有限的数值。
能量信号的能量通常用符号$E$表示，单位为焦耳（J）。
功率信号是指在有限长的时间范围内，信号的平均功率有限的信号。
也就是说，功率信号的功率可以被计算出来，并且是一个有限的数值。
功率信号的功率通常用符号$P$表示，单位为瓦特（W）。
能量信号和功率信号的主要区别在于时间范围的限制。
能量信号在无限长的时间范围内具有有限的能量，而功率信号在有限长的时间范围内具有有限的平均功率。
在实际应用中，能量信号和功率信号的区分对于信号处理和传输非常重要。
例如，在通信系统中，功率信号通常用于传输信息，因为它们的功率可以在有限的带宽内被有效地传输。
而在音频处理中，能量信号则更常用于分析和处理声音信号，因为它们可以提供有关声音的能量分布和频率特性的信息。
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
解释能量信号与功率信号
能量信号与功率信号是信号处理中的两个重要概念，主要区别在于其能量和功率的特性。
能量信号：
定义：在所有时间上总能量不为零且有限的信号。
特点：是一个脉冲式信号，通常只存在于有限的时间间隔内。
非周期的确定性信号为能量有限信号。
举例：若信号能量有限，即0<E<∞，且P=0，则称此信号为能量信号。
功率信号：
定义：如果信号的功率是有限的，则为功率信号。
功率信号的能量为无限大，它对通信系统的性能有很大影响，决定了无线系统中发射机的电压和电磁场强度。
特点：功率有限信号的功率大于零且有限，能量无限。
无限时间的周期信号为功率有限信号。
举例：若信号功率有限，即0<P<∞，且E趋近于∞，则称此信号为功率信号。
总之，能量信号和功率信号的主要区别在于其能量和功率的特性。
能量信号的能量是有限的，而功率信号的功率是有限的但能量是无限的。
在实际应用中，需要根据具体的信号特性来确定其属于哪种类型的信号。
关于功率谱和频谱的区别
（1）信号通常分为两类：能量信号和功率信号；
（2）一般来讲，能量信号其傅氏变换收敛（即存在），而功率信号傅氏变换通常不收敛，当然，若信号存在周期性，可引入特殊数学函数（Delta）表征傅氏变换的这种非收敛性；（3）信号是信息的搭载工具，而信息与随机性紧密相关，所以实际信号多为随机信号，这类信号的特点是状态随机性随时间无限延伸，其样本能量无限。
换句话说，随机信号（样本）大多属于功率信号而非能量信号，它并不存在傅氏变换，亦即不存在频谱；
（4）若撇开搭载信息的有用与否，随机信号又称随机过程，很多噪声属于特殊的随机过程，它们的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。
对于这样的随机过程，自相关函数蜕化为一维确定函数，前人证明该确定相关函数存在傅氏变换；
（5）能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息；幅度谱的平方（二次量纲）又叫能量谱（密度），它描述了信号能量的频域分布；功率信号的功率谱（密度）描述了信号功率随频率的分布特点（密度：单位频率上的功率），业已证明，平稳信号功率谱密度恰好是其自相关函数的傅氏变换。
对于非平稳信号，其自相关函数的时间平均（对时间积分，随时变性消失而再次退变成一维函数）与功率谱密度仍是傅氏变换对；
（6）实际中我们获得的往往仅仅是信号的一段支撑，此时即使信号为功率信号，截断之后其傅氏变换收敛，但此变换结果严格来讲不属于任何“谱”（进一步分析可知它是样本真实频谱的平滑：卷积谱）；
（7）对于（6）中所述变换若取其幅度平方，可作为平稳信号功率谱（密度）的近似，是为经典的“周期图法”；
（8）FFT是DFT的快速实现，DFT是DTFT的频域采样，DTFT是FT的频域延拓。
人们不得已才利用DFT近似完成本属于FT的任务。
若仅提FFT，是非常不专业的。
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第
说明
, ① 自相关在t 0时, 相关性最强 R0最大。
13 页
。 ② 若f1 t 与f 2 t 为实偶函数, 则卷积与相关完全相同
③ 相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步 骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。
四．相关定理
若已知 则 若
第
14 页
F f1 (t ) F1 ( ) F f 2 (t ) F2 ( )
F R12 ( ) F1 ( ) F2* ( )
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ),
F f (t ) F ( )
F ( )
2
则自相关函数为
F R( )
说明
第
15 页
1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于 其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之 积。 2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。
数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。 物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。
第 5 页
1．相关系数12
由两个信号的内积所决定：
12
f (t ), f (t )
1 1
f1 ( t ), f 2 ( t ) f 2 ( t ), f 2 ( t )
1 2
f 1 ( t ), f 2 ( t ) f 1 (t )
P0
E
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
第
一般规律
一般周期信号为功率信号。 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
4 页
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
二．相关系数与相关函数
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
11 页
相关函数：
1 R12 ( ) lim T T 1 R21 ( ) lim T T 自相关函数： 1 R( ) lim T T
T 2 T 2
6.6
§6.5 相关
•能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 •相关定理
第
一．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
2 页
瞬时功率为
p( t ) i 2 ( t ) R
在一个周期内，R消耗的能量
E
T0 2 T0 2 T0 2 T0 2
2
f 2 (t )
2
第 6 页
由柯西－施瓦尔茨不等式，得
所以
f 2 t d t f 2 t d t f1 t f 2 t d t 1 2
1 2
若f 1 t 与f 2 t 完全一样, 12 1, 此时 2 等于零 若f 1 t 与f 2 t 为正交函数, 12 0, 此时 2最大
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
*
T 2 T 2
f 2 (t ) f 1 (t ) d t
*
T 2 T 2
f (t ) f (t ) d t
*
三．相关与卷积的比较
f1 (t ) f 2 ( t )卷积表达式： 与
f1 ( t ) * f 2 ( t )
相关系数 12从信号能量误差的角度 描述了信号f1 t 与f 2 t
12 1
的相关特性, 利用矢量空间的的内积 运算给出了定量说明。
第
2．相关函数
分如下几种情况讨论： •f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与f2(t)为实函数
7 页
f1(t)与f2(t)为复函数
•f1(t)与f2(t)是功率有限信号
R( ) R* ( )
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数：
1 R12 ( ) lim T T
T 2 T 2
10 页
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
1 T 2 R21 ( ) lim T f 2 ( t ) f1 ( t ) d t T T 2 自相关函数： 1 T 2 R( ) lim T f ( t ) f ( t ) d t T T 2
f (t ) f (t ) d t
R( ) R( )τ的偶函数
第
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数: 相关函数：
R12 ( )
9 页
f1 ( t ) f ( t ) d t
* 2
f1 (t ) f 2* ( t ) d t
f1(t)与f2(t)为实函数
f1(t)与f2(t)为复函数
第
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数定义:
R12 ( )
8 页
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
i (t )
R
v(t )
p( t ) d t R
i (t ) d t 或
2
1 E R
T0 2 T0 2
v 2 (t ) d t
平均功率可表示为
0 1 P R 2 0 i 2 ( t ) d t T T0 2
T
1 20 2 或P 2T0 v (t ) d t T0 R
f1* (t ) f 2 (t ) d t
R21 ( ) R( )
f (t ) f 2 (t ) d t
* 1 *
f (t ) f (t ) d t
* 21
f (t ) f (t )* d t
同时具有性质：
R12 ( ) R ( )
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
R21 ( )
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
可以证明：
R12 ( ) R21 ( )
当f1 (t ) f 2 (t ) f (t )时，自相关函数为
R( )
f (t ) f (t ) d t
T
第
定义
3 页
定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的 能量 E lim
T0 T0 2 T0 2
f (t ) d t
2
1 平均功率 P lim T0 T0
T0 2 T0 2
f 2 (t ) d t
讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： 0 E (有限值) 0 P (有限值)
第
12 页
f1 ( ) f 2 ( t ) d
f1 (t )与 f 2 ( t ) 相关函数表达式：
两者的关系 即
R12 ( t )
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t
R12 (t ) f1 (t ) * f 2 (t )
f 2 ( t )反褶与 f1 (t )之卷积即得f1 (t ) f 2 ( t )的相关函数R12 (t ) 与 f1 (t )与 f 2 ( t )为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
*
3.若是实偶函数 此时F2 F2 , 此时相关定理与卷积 , 定理具有相同的结果。