信号分析3.05 功率谱和能量谱
功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱是两种不同的谱分析方法。
功率谱（Power Spectrum）是指信号在不同频率上的功率分布。
它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的功率大小。
功率谱是对信号进行谱分析的主要方法之一，常用的谱分析工具包括傅里叶变换和自相关函数等。
能量谱（Energy Spectrum）是指信号在不同频率上的能量分布。
它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的能量大小。
能量谱是功率谱的一种特殊形式，它不考虑信号的持续时间，仅考虑信号的幅度信息。
在能量谱中，低频和高频的能量大小对结果影响较大，但是无法判断信号在不同频段上的功率大小。
因此，功率谱和能量谱之间存在一定的关系。
功率谱是能量谱的平方，即功率谱可以通过能量谱计算得到。
但是能量谱不能通过功率谱计算得到，因为能量谱不考虑信号的持续时间，无法确定功率大小。
能量谱密度与功率谱密度
能量谱密度与功率谱密度
一、能量谱密度
令为能量信号，且则的能量可以定义为
上式被称为帕什伐尔能量定理。
帕什伐尔能量定理表明一个能量信号的能量可以在时域内求解，也可以在频域内求解，并且，在时域内和在频域内求得的结果是相同的。
通常将定义为能量信号的能量谱密度。
显然，是一个偶函数。
信号的能量可以表示为
能量谱密度的物理含义为单位频带上的信号能量分布。
2.4.2 功率谱密度
设为一个功率信号，其信号作用时间在。
通常对这样信号的分析方法是将信号截短，截短后的信号可以
看作能量信号。
设则为能量信号，且设。
由功率信号的功率计算公式及能量信号帕什伐尔定理，可得
类似能量谱密度全频积分的能量，定义功率谱密度
被称为功率谱密度，表示信号在单位频带上的功率分布。
比较以上两式有
显然，且为偶函数。
信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析
§6.7 信号通过线性系统的自相 关函数、能量谱和功率谱分析
•能量谱和功率谱分析 •信号经线性系统的自相关函数
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
2
第 页
时域
前面，从
频
域
s
域
中研究了
激励
响
应
三者的关系
系统
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱 所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
X
3
一．能量谱和功率谱分析
第
页
et E j
ht rt H j H j
时域
rth t*et
频域
R j H j E j
假e定 t是能量有 et的 限能 信量 号谱 e， ， 密度 rt的能量谱 r密度
eEj2
rRj2
X
4
第
显然
页
R j2H j2E j2
所以
rH j2e
Se e j
因为
Re
Rh Rr
F h tH j F h * t H * j
所以 R r R e h t h * t R e R h
其中 R h h t h * t为系统冲激响应的自相关函数。
X
H j 2
Sr r
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与 H j 2的乘积。
同样，对功率信号有
SrH j2Se 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与 H j 2
的乘积。
X
5
二．信号经线性系统的自相关函数 第 页
由
rH j2e
SrH j2Se
得
r H j H * j e
S r H j H * j S e
信号分析3功率谱和能量谱
7 页
X
2 T
Lim
T 2
FT ( jw) T 则
2
dw
定义 : 功率谱 ( w) Lim 1 P 2
FT ( jw) T
( w)dw
功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,功 率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率 X
第
作业: 3-30 3-32 3-42
X
第
三功率信号的功率谱
ET
6 页
对功率有限信号 f (t ), 如截取一个周期 f T (t ), 其能量为:
f T2 (t )dt
T 2 T 2
f 2 (t ) d t
信号f (t )的平均功率表示为 : 1 P Lim T T
T 2 T 2
1 f (t ) d t 2
5 页
E G ( )d
1 G ( ) F 2 ( j ) 2
说明：
表示单位频率下的信号能量。 1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积 2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关. 通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域 中的分布情况，以便正确选择电路和系统的通 频带，充分利用信号的能量。
E 况下的具体体现; 能量既可在时域中计算，也可在频域中计算，且只与 幅频谱有关，而与相频谱无关.时域和频域能量守恒. X
1
F ( j )d
2
0
F ( j )d
2
频域法
第
能量谱:
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
信号分析3.05功率谱和能量谱
一．周期信号的功率谱 （离散谱）
第 页
描述功率信号在频域中随ω分布情况
瞬时功率
p(t)
Ri2 (t)
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1tn
[1 T
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn
Fn
3) Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。可
绘单边谱也可绘双边谱. 4)功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛性，
能量主要集中在低频段 。
X
3
二．非周期信号的能量谱
第
（连续谱）页
时域中：E
f
2 (t)dt
f
(t)[ 1
2
F(
j)e jtd]dt
页
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
E
G
(
)d
G() 1 F 2 ( j) 2
说明： 表示单位频率下的信号能量。
1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积
2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关.
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域
1
2
F(
j
)[
f
(t)e jtdt]d
时域法
1
2
F
(
j )F (
j )d
1
信号与系统-能量谱和功率谱
的电流，v (t )为一．能量信号和功率信号定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比，则在整个时间域内，实信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University一般周期信号为功率信号；天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University二．相关系数与相关函数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University最小，则有是能量有限的实信号。
天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University由柯西－施瓦尔茨不等式，得(2⎡⎰∞t f 的相关特性相关系数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University三．相关与卷积的比较卷积表达式：(,相关性最强R )ω[f F 相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University判断下面的信号是功率信号还是能量信号。
天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University例()(E t cos =对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有)⎤天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University周期信号自相关函数仍为周期信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University])(τF R =天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical Universityωπ(⎰∞∞-F⎪⎫≤T t ωπ(21F ⎰∞∞-R (τ)cos(1t ω的自相关函数和功率谱为功率信号)(t f 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一功率谱为:。
能量谱与功率谱.
R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f2 源自R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f
2
若 f (t)为实数,上式可写成
R(0) f 2(t)d t 1 F ( ) 2 d
2
2
F( f ) d f ……帕塞瓦尔方程
并取 T
可以得到：
R( ) 1 S( )e j d
2
S( ) R( )e j d
即
S( ) FR( )
R( ) F 1p( )
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 是一对傅里叶变换．
例6-6-1
求余弦信号 f (t) E cos(1t) 的自相关函数和功率谱.
f (t)为功率信号, 所以自相关函数为:
R(
)
lim
T
1 T
T
2 T
2
f (t)f (t )dt
E2
lim T T
T
2 T
cos(1t) cos
1(t
)
d
t
2
E2
lim T T
T
2 T
cos(
1t
)
cos(
1t
)
cos
(1
)
2
sin(1t) sin(1 ) d t
E2 2
cos(1 )
求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对 傅里叶变换,所以功率谱为:
6.7
§6.6 能量谱与功率谱
能量谱与功率谱
1.能量谱
由相关定理知
FR( ) F( ) 2
信号与系统 §4.6 能量谱和功率谱
• 帕斯瓦尔关系Parseval’s Relation • 能量谱 • 功率谱 •能量谱和功率谱分析
■
第1页
一．帕塞瓦尔关系Parseval’s Relation
E f (t) 2 d t 1 F ( j)
■
第2页
二．能量谱密度（能量谱）
T
1 T
fT (t) * fT (t)
▲
■
第4页
定义
功率谱指单位频率的信号功率，记为P(ω)
在频带df内信号的功率为P(ω) df，因而信号 在整个频率范围的总功率
P P(ω)
df 1
2
P(ω)
d
因此
P(ω)=
lim | FT (j) |2
T
T
R(τ) ←→P(ω)
维纳-欣钦关系
式
功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。
令
fT(t)
f
(t
)
0
t t
T 2
T 2
则 f (t) 的平均功率为：
fT (t) FT (j)
P lim 1
T T
T
2 T
2
f
2 (t) d t
1 2π
lim | FT (j) |2
T
T
d
R( )
lim
1
T T
T 2 T 2
fT
(t
)
fT
(t
)
d
t
lim
• 定义 能量谱指单位频率的信号能量，记为E(ω)
在频带df内信号的能量为E(ω) df，因而信号 在整个频率范围的总能量
E
E(ω)
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F(
j)e jtd]dt
1
2
F(
j
)[
f
(t)e jtdt]d
时域法
1
2
F
(
j )F (
j )d
1
2
F 2 ( j)d
E
f
2 (t)dt
1
F 2 ( j)d
0
频域法
这是帕色瓦尔定理在傅氏变换情况下的具体体现;
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1t
)dt
n
n
Fn[T1
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn Fn
n
n
Fn
2
F02 2 Fn 2 n1
第六节 功率谱和能量谱
第 1
页
1.在频域有两种方法描述信号的特征： 幅频和相频特性 能量谱和功率谱
2.对周期信号:平均功率在时域和频域的关系
3.对时限非周期信号:能量在时域和频域的关系
X
一．周期信号的功率谱 （离散谱）
第 2
页
描述功率信号在频域中随ω分布情况
瞬时功率
p(t)
Ri2 (t)
A0 2
1 2
An2
X
P 1
T
T 0
fT 2 (t) d t
时域法
第
频域法
3
页
Fn 2
n
F02
2 Fn 2
n1
A0 2
1 2
n1
An2
表明：
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
1)周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值
的平方和；
2)功率可在时域中计算，也可在频域中计算。
3) Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。可
绘单边谱也可绘双边谱. 4)功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛性，
能量主要集中在低频段 。
X
二．非周期信号的能量谱
第
（连续谱）页4
时域中：E
f
2 (t)dt
f
(t)[ 1
能量既可在时域中计算，也可在频域中计算，且只与幅
频谱有关，而与相频谱无关.时域和频域能量守恒.
X
第
能量谱:
5 页
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
E
G
(
)d
G() 1 F 2 ( j) 2
ET
f
2 T
(t
)dt
T
2 T
f 2 (t) d t
2
信号f (t)的平均功率表示为:
Lim Lim P
T
1 T
T
2 T
2
f 2 (t) d t
1
2
T
FT ( jw) 2 dw T
定义 : 功率谱(w) Lim FT ( jw) 2
则
说明： 表示单位频率下的信号能量。
1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积
2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关.
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域
中的分布情况，以便正确选择电路和系统的通
频带，充分利用信号的能量。
X
第
三功率信号的功率谱
6 页
对功率有限信号f (t), 如截取一个周期fT (t), 其能量为:
T
T
P 1
(w)dw
2
功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,功
率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率 X
第
作业:
7 页
3-30 3-32 3-42
X