随机信号的功率谱密度
数字随机信号功率谱密度分析-基带1
数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度（PSD ）分析－基带1、形如∑a n g (t -nT 0)的基带数字信号的PSD设有随机数字信号x (t )=∑a g (t -nT )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-∞⎪其中g(t)为基带成型脉冲，其持续时间为t ∈(0,T0) 。
a n 为取值离散的平稳随机随机序列，可以为复值。
(1-1)式可以表示一般的基带随机过程。
至于（窄带）带通过程，则可用等效基带法表示为：s (t )=Re x (t )e j ωc t之后使用窄带随机过程理论来分析。
容易知道，(1-1)式所表示的随机过程是以T 0为周期的周期平稳随机过程。
要求其功率谱密度，一种方法是先求得其周期的自相关函数，然后在一个码元周期内求其平均自相关函数，再对后者求傅里叶变换。
我们这里不使用这种方法，而是直接由功率谱密度的定义来求。
下面使用定义来分析(1-1)式表示的随机信号的功率谱密度。
理论上，随机过程都是功率信号，故其功率谱密度的一般定义为：E ⎪X T (f )⎪⎪ P x (f )=lim ⎪其中X T (f)是对过程截断之后取其傅里叶变换。
E[·]表示取集平均。
按照傅里叶变换的定义：X T (f )=⎪x T (t )e -j 2πft dtx T (t)是对应的截断时间信号。
取T ＝(2N+1)T0，则(1-3)式变为P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪ ⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0因为(1-3)表示的极限存在，所以T 无论怎么趋向+∞，得到的极限都应该相等。
这里取特殊的按照T 0的倍数增长的方式, 即x T (t)的时间跨度限制为[-NT0,(N+1)T0]，当N →∞时，x T (t)就是x (t)。
于是(1-5)式可以进一步写成P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0N →+∞2N +1T ⎪0x T (t 1)e -j 2πft 1dt 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪2⎪⎪E X (2N +1) T 0(f )⎪=E ⎪x T (t )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-N ⎪x T (t 1)e-j 2πft 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪∑a g (tT 0+nT 0nT 0T 0-nT 0)ej 2πft 1∑a g (t-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]g (t 2-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]=E [∑a *n =-N Ng (t 1-nT 0)e j 2πft 1dt 1j 2πf (t 1+nT 0)T 0+mT 0=E [∑a n ⎪g (t 1)ea m ⎪g (t 2)e -j 2πf (t 2+mT 0) dt 2]把求和跟积分分离开，得E ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪N N T 0T 0⎪-j 2π(m -n ) fT 0⎪-j 2πf (t 2-t 1) *⎪=E a a e g t g t e dt 1dt 2 (1-8) ()()∑∑n m 12⎪⎪⎪0⎪0⎪⎪⎪m =-N n =-N ⎪在上式后项的积分中令变量替换t 2=t1+τ，得⎪⎪g (t )g (t )e-j 2πf (t 2-t 1)dt 1dt 2=⎪g (t 1)g (t 1+τ)dt 1e -j 2πf τd τR g (τ)e -j 2πf τd τ=ψg (f )正是g(t)的自相关函数的傅里叶变换。
随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
功率谱密度psd计算公式
功率谱密度psd计算公式功率谱密度（Power Spectral Density，简称 PSD）是在信号处理领域中一个非常重要的概念，它用于描述信号在不同频率上的功率分布情况。
那咱就来好好聊聊功率谱密度 PSD 的计算公式。
咱先从一个简单的例子说起哈。
就比如说，你在操场上跑步，你跑的速度不是一直不变的，有时候快，有时候慢。
那如果我们想知道你在不同“速度频率”下的能量消耗情况，这时候功率谱密度的概念就派上用场啦。
功率谱密度 PSD 的计算公式呢，通常可以通过傅里叶变换来推导。
对于一个连续的随机信号 x(t) ，它的自相关函数R(τ) 定义为R(τ) =E[x(t)x(t + τ)] ，其中 E 表示数学期望。
然后通过傅里叶变换，把自相关函数R(τ) 变换到频域，就得到了功率谱密度 S(f) 。
具体的公式就是S(f) = ∫_{-∞}^{+∞} R(τ) e^{-j2πfτ} dτ 。
这里面涉及到的傅里叶变换可能听起来有点复杂，但其实咱们可以把它想象成一个魔法工具，能把一个在时间域里看起来很复杂的信号，变到频率域里，让我们更清楚地看到不同频率成分的“力量”有多大。
再比如说，想象一下你听音乐的时候，那些高音低音，其实就相当于不同的频率成分。
功率谱密度就是告诉我们高音和低音分别有多大的“能量”。
在实际应用中，比如在通信系统里，我们需要知道信号在不同频率上的功率分布，来评估系统的性能。
如果功率谱密度在某些频率上太高，可能就会造成干扰；如果太低，可能信号就传不远。
还有在地震学中，通过分析地震波的功率谱密度，我们可以了解地震的能量在不同频率上的分布，从而更好地研究地震的特性和预测可能的危害。
对于工程师们来说，计算功率谱密度就像是在解谜。
他们得处理一堆复杂的数据，运用各种数学工具和算法，才能得到准确的结果。
总之，功率谱密度 PSD 的计算公式虽然有点复杂，但它在很多领域都有着极其重要的作用，帮助我们更好地理解和处理各种信号。
双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度
实验一 双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度1.1 功率谱密度简介平稳过程的任何一个非零样本函数的持续时间为无限长，显然都不满足绝对可积和总能量有限的条件。
因此，它的傅里叶变换不存在即没有频谱函数。
所以我们用功率谱密度来表述其频谱特性。
随机过程的任一实现是一个确定的功率型信号。
而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为：2()()limT f T F P Tωω→∞=式中，()T F ω是f(t)的截短函数()T f t 对应的频谱函数。
f(t)是平稳随机过程()t ξ的一个实现。
而随机过程某一个实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应该看作是任一实现的功率谱密度的统计平均，即2()()[()]lim T fT E F P E P Tξωωω→∞== 虽然该式给出了平稳随机过程的功率谱密度，但我们通常都不利用这个式子来计算功率谱。
我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换。
对于平稳随机过程，也有类似的关系，即()()j P R ed ωτξωττ∞--∞=⎰和1()()2j R P ed ωτξτωωπ∞-∞=⎰对于平稳随机过程我们通常先求出其自相关函数再利用上式求出其功率谱密度。
1.2 实验要求1.了解平稳随机信号功率谱的概念及计算方法；2.利用matlab 仿真不同占空比，等概、非等概双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度；3.分析不同型号的功率谱密度中包含的频谱分量，有无直流分量和定时分量信息。
实验源代码：生成tongyuan1函数，duty为占空比，probability为概率function x=tongyuan1(duty,probability)f=10; %模拟信号的频率fs=500;Len=10000; %离散信号的总采样点数N=fs/f; %每个周期内的采样点数%模拟信号的生成和离散信号的采样x=zeros(1,Len); %方波矩阵初始化for i=0:Len-1;x(i+1)=(square(f*2*pi*i/fs,duty)+1)/2;%生成长度为Len的方波end;u=rand(1,Len/N);%将等概率波形变成不同概率波。
随机信号分析__2.3功率谱密度
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(
随机信号名词解释
随机信号名词解释一、定义随机信号是指在任何时间都无法确定其确切值的信号。
这种信号的值是随机的，即每个样本函数都是不同的，且遵循某种统计规律。
二、特点1.随机性：随机信号的值是不确定的，其具体取值无法事前预测。
2.统计规律性：尽管随机信号的每个样本函数是不同的，但它们遵循一定的统计规律。
这些规律可以通过概率论和统计学进行描述。
3.功率谱密度：随机信号的功率谱密度是一种描述信号中各种频率分量所占的能量比例的函数。
三、产生方式随机信号可以通过自然现象或人为生成的方式产生。
例如，大气噪声、机械振动、电子噪声等都可以作为随机信号的来源。
此外，也可以通过模拟或数字方式生成具有特定统计特性的随机信号。
四、频谱分析频谱分析是研究随机信号的一个重要手段。
通过对随机信号进行频谱分析，可以了解信号中各个频率分量的能量分布情况，从而更好地理解和处理该信号。
五、相关函数相关函数是描述随机信号之间时间关联性的函数。
如果两个信号在某一时刻之前的值相同或相似，则可以说这两个信号在该时刻是相关的。
相关函数在信号处理、系统分析和物理测量等领域中有着广泛的应用。
六、随机过程随机过程是随机信号的扩展，它不仅考虑单个样本函数的随机性，还考虑多个样本函数之间的相互关系。
随机过程在概率论、统计学、通信工程、金融数学等领域中有着广泛的应用。
七、信号处理对于随机信号的处理，常用的方法包括滤波、预测、估计和编码等。
这些方法可以帮助我们从大量的随机信号中提取有用的信息，或者对信号进行有效的传输和存储。
八、应用领域随机信号在许多领域中都有着广泛的应用，如通信、雷达、声呐、地震学、气象学、经济学等。
在这些领域中，我们需要处理大量的随机信号数据，并从中提取有用的信息。
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
随机振动psd rms计算公式
随机振动psd rms计算公式
随机振动的功率谱密度（PSD）是描述随机信号频谱特性的重要参数，而均方根（RMS）值则表示了信号的有效值。
计算随机振动的PSD RMS值可以使用以下公式：
1. 对于离散信号：
PSD RMS = sqrt(Σ(P_i Δf))。
其中，P_i 为频率分量的功率谱密度值，Δf 为频率间隔。
2. 对于连续信号：
PSD RMS = sqrt(∫(S(f) df))。
其中，S(f) 为频率的功率谱密度函数，对频率进行积分。
另外，对于有限持续时间的信号，还需要考虑窗函数的影响。
常用的窗函数包括汉宁窗、汉明窗等，计算时需要将信号乘以窗函数以减小频谱泄漏的影响。
在实际工程中，通常会使用数值计算软件如MATLAB、Python等来进行PSD RMS值的计算。
通过对信号进行傅里叶变换，并结合上述公式，可以比较方便地得到随机振动的PSD RMS值。
此外，还需要注意信号的采样频率和信号长度对PSD RMS值的影响。
较高的采样频率和较长的信号长度有助于提高计算结果的准确性。
综上所述，计算随机振动的PSD RMS值需要考虑信号的离散或连续特性、窗函数的影响以及采样频率和信号长度等因素，通过适当的数学公式和计算工具可以得到准确的结果。
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随机信号的功率谱密度估计和相关函数随机信号的功率谱密度估计和相关函数1．实验目的了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作用。
⒉实验原理随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。
对功率谱密度的估计又称功率谱估计。
1.线性估计法（有偏估计）：线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。
包括自相关估计、自协方差法、周期图法。
2.非线性估计（无偏估计）：非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。
包括最大似然法、最大熵法⒊实验任务与要求1. 所有功能均用matlab仿真。
2. 输入信号为：方波信号+n(t)，方波信号信号基频1KHz，幅值为1v，n(t)为白噪声。
3. 编写自相关估计法、自协方差法、周期图法、最大似然法、最大熵法的matlab 程序。
正确的运行程序。
4. 必须用图示法来表示仿真的结果。
对几种功率谱估计的方法进行比较分析，发现它们各自有什么特点？。
5. 按要求写实验报告。
4.Matlab程序如下：生成输入信号：clear;fs=1024;%设采样频率为1024n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;%因方波频率F=1000HZ所以角频率W=2000piX1n=square(W*n);%方波信号X2n=randn(1,N);%白噪声信号xn=X1n+X2n;%产生含有噪声的信号序列XNsubplot(3,1,1)plot(n,xn);xlabel('n')ylabel(‘输入信号’)%绘输入信号图（1）.周期图法：fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;N=256;%傅里叶变换的采样点数256Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;f=(0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),%转成DB单位xlabel('频率/HZ'),ylabel('功率谱/db'),title('周期图法');（2）.相关函数法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%输入信号m=-100:100[r,lag]=xcorr(xn,100,'biased')%求XN的自相关函数R，biased为有偏估计lag为R 的序列号subplot(3,1,2)hndl=stem(m,r);%绘制离散图，分布点从-100—+100set(hndl,'Marker','.')set(hndl,'MarkerSize',2);ylabel('自相关函数R(m)')%利用间接法计算功率谱k=0:1000;%取1000个点w=(pi/500)*k;M=k/500;X=r*(exp(-j*pi/500).^(m'*k));%对R求傅里叶变换magX=abs(X);subplot(3,1,3)plot(M,10*log10(magX));xlabel('功率谱的改进直接法估计')（3）.自协方差法：clear all;fs=1000;n=0:1/fs:3;P=2000*pi;y=square(P*n);xn=y+randn(size(n));%绘制信号波形subplot(211)plot(n,xn)xlabel('时间（s）')ylabel('幅度')title('y+randn(size(n))')ymax_xn=max(xn)+0.2;ymin_xn=min(xn)-0.2;axis([0 0.3 ymin_xn ymax_xn]) %使用协方差法估计序列功率谱p=floor(length(xn)/3)+1;nfft=1024;[xpsd,f]=pcov(xn,p,nfft,fs,'half'); %绘制功率谱估计pmax=max(xpsd);xpsd=xpsd/pmax;xpsd=10*log10(xpsd+0.000001); subplot(2,1,2)plot(f,xpsd)title('基于协方差的功率谱估计') ylabel('功率谱估计（db）') xlabel('频率（HZ）')grid on;ymin=min(xpsd)-2;ymax=max(xpsd)+2;axis([0 fs/2 ymin ymax])（4）.最大熵法fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;%分段长度256[Pxx,f]=pmem(xn,14,Nfft,fs);%调用最大熵函数pmem，滤波器阶数14 subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),title(' 最大熵法，滤波器14'),xlabel('频率HZ'),ylabel('功率谱db');（5）.最大似然法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%估计自相关函数m=-500:500;[r,lag]=xcorr(xn,500,'biased');R=[r(501) r(502) r(503) r(504);r(500) r(501) r(502) r(503);r(499) r(500) r(501) r(502);r(498) r(499) r(500) r(501)]; [V,D]=eig(R);V3=[V(1,3),V(2,3),V(3,3),V(4,3)].'; V3=[V(1,4),V(2,4),V(3,4),V(4,4)].'; p=0:3;wm=[0:0.002*pi:2*pi];B=[(exp(-j)).^(wm'*p)];A=B;%最小方差功率谱估计z=A*inv(R)*A';Z=diag(z');pmv=1./Z;subplot(2,1,2)plot(wm/pi,pmv);title('基于最大似然的功率谱估计') ylabel('功率谱幅度（db）') xlabel('角度频率w/pi')5.设计思想随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。
对功率谱密度的估计又称功率谱估计。
平稳随机信号x(t)的（自）功率谱Sxx(ω)定义为(1)式中rxx(τ)为平稳随机信号的自相关函数。
对于离散情况，功率谱表示为(2)式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。
当利用随机信号的N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为(3)可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。
按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。
线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。
非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。
周期图法是为了得到功率谱估值，先取信号序列的离散傅里叶变换，然后取其幅频特性的平方并除以序列长度N。
由于序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)具有周期性，因而这种功率谱也具有周期性，常称为周期图。
周期图是信号功率谱的一个有偏估值；而且，当信号序列的长度增大到无穷时，估值的方差不趋于零。
因此，随着所取的信号序列长度的不同，所得到的周期图也不同，这种现象称为随机起伏。
由于随机起伏大，使用周期图不能得到比较稳定的估值。
自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。
它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。
维纳-辛钦定理：随机信号的相关函数与其功率谱是一傅立叶变换对,即相关函数的傅立叶变换为功率谱,而功率谱的逆傅立叶变换为相关函数。
最大似然法原理是让信号通过一个滤波器，选择滤波器的参数使所关心的频率的正弦波信号能够不失真地通过，同时，使所有其他频率的正弦波通过这个滤波器后输出的均方值最小。
在这个条件下，信号经过这个滤波器后输出的均方值就作为其最大似然法功率谱估值。
可以证明,如果信号x是由一个确定性信号S 加上一个高斯白噪声n所组成，则上述滤波器的输出是信号S的最大似然估值。
如果n不是高斯噪声，则上述滤波器的输出是信号S的最小方差的线性的无偏估值。
最大熵法主要思想是，在只掌握关于未知分布的部分知识时，应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。
因为在这种情况下，符合已知知识的概率分布可能不止一个。
熵定义的实际上是一个随机变量的不确定性，熵最大的时候，说明随机变量最不确定，也就是随机变量最随机，对其行为做准确预测最困难。
从这个意义上讲，最大熵原理的实质就是，在已知部分知识的前提下，关于未知分布最合理的推断就是符合已知知识最不确定或最随机的推断，这是我们可以作出的唯一不偏不倚的选择，任何其它的选择都意味着我们增加了其它的约束和假设。
6.实验过程中遇到的问题及解决（1）由于采样间隔Ts=1/fs太小，故所产生信号波形难于观察，所以采用fs=1024;%设采样频率为1024。
这样产生的波形便易于观察。
（2）首次实验时，设置的fs太高，可能由于电脑配置的问题无法运行，降低了频率后，问题得以解决。
（3）对于matlab中的函数使用不熟练，不了解其中的含义及其功能。