第3章31信号的能量和功率

➢“非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
第3章
3.1信号的能量和功率
能量信号与功率信 号
x(t)
连续信号能量
2
dt
离散信号能量
E lim
T 2
x(t) 2 dt
T T 2

x(n) 2

能量信号与功率信号
信号的功率 信号能量在整个时间范围
傅里叶生平
➢ 1768年生于法国 ➢ 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
➢ 1822年发表“热的分 析理论”著作，奠定 傅立叶级数的理论基 础。
➢ 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
傅立叶的两个最主要的贡献——
➢“周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和”——傅里叶的第一个主要 论点
第3章 频域分析
正交信号的能量特性
t2 x(t) 2 dt t1
t2 t1
x1(t) x2 (t) 2 dt

t2 t1

x1
(t
)

x2
(t
)
x1
(t
)

x2
(t
)*
dt

t2 t1
x1(t) 2 dt
t2 t1
x2 (t) 2 dt
t2 t1
x1 (t ) x2* (t )dt

c1
t2 t1
x1(t)xk*
(t)dt

c2
t2 t1
x2
(t)xk*
(t)dt
L
ck
t2 t1
xk
(t)xk*
(t)dt
根据函数正交的定义,可以求出各分量的系数
ck
t2 t1
x(t ) xk*
(t)dt
t2 t1
xk
(t ) xk*
(t)dt

t2 t1
x(t ) xk*
(t)dt
A1
A1
cos

A1 A2
AC212 A2
Ae
C12
AA22
误差矢A1量 最小的几
何解 Ae
A2
C12


A1 A2
A2
2


A1A1 A2 AA2e A2A2

Ae
A2
C12 A2
A1

Ae A2
C12 A2
C12 A2
C12 A2
第3章 频域分析 用复信号x2(t)来逼近复信号x1(t)，即
t2 t1
i
(t) j
(t)dt

0
(i j)
t2 t1
i
(t
)i
(t)dt

Ki
则此函数集称为正交函数集
第3章 频域分析
复变函数的正交函数集
如果在区间(t1,t2)内，复变函数集{gr(t)}(r=1,2,…,n) 满足一下关系
t2 t1
gi
(t
)
g
* j
(t
)dt

0
的平均值 P lim 1
T 2
x(t) 2 dt
T T
T 2
P 1
T
2
x(t) dt
T0
连续周期信号
P 1 N 1 x[n] 2 N n0 离散周期信号
能量信号与功率信 号
能量信号 能量为有限值的信号。能量信号 的功率一定为零。一切具有有限 值的时限信号必为能量信号。
Ck应如何选取才能得到最佳近似？
第3章 频域分析
常见的完备正交函数系
三角sin函tt020数T0系ct,o：s,ns1in, c0kots0st,0itn, cmo在s2时0t0间t,dL区t,间co0s(tk0, t0（t0,L所T,si有)n m0tT，, n）20
Exk
第3章 频域分析
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第3章 频域分析
3-1；3-2
作业

t2 t1
x1* (t ) x2
(t)dt
t2 t1
x1 (t ) x2* (t )dt

0
t2 t1
x2 (t)x1*(t)dt

0
教材上的 一种定 义
Ex Ex1 Ex 2
第3章 频域分析
正交函数集
如果在区间( t1 , t2)内，实函数集{φr(t)}(r =1,2,…,n)， 满足一下关系
x(t) C12 sin t
2
x(t) sin tdt
C12
0
2 sin 2 tdt
0

1 π


sin tdt
0
2
sin
tdt


4 π
C12
t2 t1
x1 (t ) x2
(t)dt
t2 t1
x22 (t)dt
x(t) 4 sin t
2
dt
lim 1
T2
et
2
dt lim{
1
[eT
eT ]}
T T T 2
T 2T
第3章 频域分析
正交矢量－相互垂直的两个矢量 A1
两个矢量A1和A2，若想用C12A2近似A1，有
Ae A2
A1 C12 A2 Ae
C12 A2
A1 A2 A1 A2 Ac1os
第3章 频域分析
正交函数x1(t)、x2 (t)、L , xk (t)线性组合构成的信号
x(t) c1x1(t) c2x2 (t) L ck xk (t)
x(t)的能量Ex

c1 2 Ex1

c2
E 2 x2
L

ck
E 2 xk
t2 t1
x(t ) xk* (t )dt
t1
t1
第3章 频域分析
例 设方波信号x(t)如下图所示，试用正弦信号 sin t 在区间
(0,2π ) 内近似表示方波信号，并使能量误差最小。
解 方波信号 1
x(t) 1
(0 t π ) (π t 2π )
x(t )
4/
1
2
O
t
1
在区间 (0,2π ) 内，信号x(t)表示为 4 /
功率信号 功率为有限值的信号。功率信号 的能量为无限大，而具有有 限值的周期信号是功率信号。
当信号的功率为无限大时，则它既不是能量 信号，也不是功率信号。
例3-1 判断下列信号是能量信号还是功率信号。
(1)x1(t) Asin(0t )
(2)x2 (t) ce j0t
(3)x3 (t) et
引言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信
号 f (t)，或者说，信号f (t) 用完备的正交函数集来
展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
t0 T t0
sin
n0t
s in
m0t
dt

0T2
(m n) (m n)
t0
t0
T
cosn0t

cosm0t

dt

0T2
(m n) (m n)
虚指数函数系：虚指数函数 e jk0t ，k 0,1,2,
在时间区间 (t0,t0 T) 内是一个完备正交函数集。
x2 (t) 2
dt

c
2
(3)x3 (t) et
E lim T
T2 T 2
x3 (t) 2
dt
lim T 2 et 2 dt lim{ 1 [eT eT ]}
T T 2
T 2
P lim 1 T T
T2 T 2
x3 (t)
x1(t) C12 x2 (t) xe (t) C12 x2 (t) t1 t t2
使误差信号能量或平均功率最小的C12的最佳值为
C12
t2
x1
(t
)
x
* 2
(t)dt
t1
t2
x2
(t
)
x
* 2
(t)dt
t1
两复信号在t1和t2区间内正交的条件为
t2 x1(t)x2* (t)dt t2 x1* (t)x2 (t)dt 0
(i j)
t2 t1
gi (t)gi*(t)dt

Ki
则此复变函数集为正交函数集
第3章 频域分析
用完备正交函数系逼近信号
可用一系列函数的和逼近x(t)，xe(t)→0。
x(t) C11(t) C22 (t) C33(t) xe (t)
问题：1，2，3 应如何选取？即它们应具备什么条件？
(1)x1(t) Asin(0t )
E1
T0 0
x1(t) 2 dt
T0 0
A2sin 2
(0t +
)dt
A2
T0 0
1 2
[1-cos(20t
+
)]dt

A2 2 T0
E

lim
n
nE1