线性规划习题课
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
线性规划习题课
2x1 + 2x2≤ 450 此时，最优解变为：x1** = 150 x2** = 75 最大值：z** = 105000(元) 车间3的对偶价格为(105000-103000)/10=200
Solution
(5)从（2）中的图可以看出，目标函数的斜率在约束1和约束3的直线斜率
500
如果产品II的利润为400不变，有 即当产品I的利润取值范围为[400,∞]；
c1 400
1
400
c1
习题
1.用单纯形法求解
目标函数 约束条件
max z x1 2x2 x3 x1 x2 x3 12, 2x1 x2 x3 6, x1 3x2 9, x1, x2 , x3 0.
由此可知：车间2的能力还有剩余，剩余540-210=330； 车间4的能力也有剩余，剩余300-285=15；
在这个线性规划中称为松弛变量。
Solution
(4)车间2和车间4的能力有剩余，对偶价格为0；
车间1：设车间1的能力增加10单位，即第一个约束条件为
2x1≤ 310 此时，最优解变为：x1** = 155 x2** = 65 最大值：z** = 103500(元) 车间1的对偶价格为(103500-103000)/10=50
车间
ⅠⅡ
限制
1
2
0
300
2
0
3
540
3
2
2
440
4
1.2 1.5
300
利润 500 400
Solution
解：产品Ⅰ生产x1件，产品Ⅱ生产x2件。z为利润函数，建立线性规划模型 目标函数： max z = 500x1 + 400x2 约束条件： 2x1≤ 300 3x2≤ 540 2x1 + 2x2≤ 440 1.2x1+1.5x2≤ 300 x1,x2 ≥ 0 每个约束条件上加上一个松弛变量si，此线性规划模型的标准型为： 目标函数： max z = 500x1 + 400x2+ 0s1+0s2+0s3+0s4 约束条件： 2x1+s1=300 3x2+s2=540 2x1+2x2+s3=440 1.2x1+1.5x2+s4=300 x1,x2,s1,s2,s3,s4 ≥ 0
第二章 线性规划习题课
单位成本
甲 乙 丙 丁
1 2 1 1
(元／吨) 5 6 7 8
3. 约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160 2x1 +4 x0单位；B种药物恰好200单 位，C种药物不超过180单位， 且使原料总成本最小。
3x1 ＋ x2 + x3 +2 x4 ≤180 x1、x2 、x3 、x4 ≥0
解：设总利润为z，
max z = 4 x1 + 10 x2 + 3 x3 － 2 x4 2 x1 + 3x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 24 －4x2 +x3 + x4 = 0 x3 ≤5 x1、x2 、x3 、x4≥ 0
A、B产品销量为x1、x2，
产品C的销售量为x3 ， 报废量为x4，则：
0 x 7 0 x 8 100 1 x 7 0 x 8 100 3 x 7 4 x 8 100 0
Ⅵ Ⅶ Ⅷ
方
案 长度m 2.9 2.1 1.5 合计
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
2 0 1
7.3 0.1
1 2 0
1 1 1
1 0 3
7.4 0.0
0 3 0
x1 +
2x1
x2 + 2x3 +
+ 2x3
x4≤ 30
≤ 34
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52 25x1 + 20x2 ＝ 200 40x3 + 20x4＝ 400
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
第01-03章线性规划(2)
三、建立线性规划模型的步骤：
确定决策变量； 确定决策变量； 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等 式表示； 式表示； 用决策变量的线性函数表示目标， 用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求 极大（Max）还是极小（Min） 极大（Max）还是极小（Min）； 根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负 性
方 案1 方 案2 方 案3 方 案4 方 案5 方 案6 方 案7 方 案8 2.9 m 1 2 0 1 0 1 0 0 2.1 m 0 0 2 2 1 1 3 0 1.5 m 3 1 2 0 3 1 0 4 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6.0 合 计 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 剩 料 余 头
2.LP问题的典式 2.LP问题的典式 Z=CX → Z= CBXB+CNXN AX=b → BXB+NXN=b X≥0 XB=B-1b - B-1NXN Z= CB(B-1b- B-1NXN)+CNXN = CB B-1b+ (CN- CB B-1N)XN IXB + B-1NXN = B-1b
cj→ cB XB x2 x5 x6 cj － zj
。。。。
3 b 8/3 x1 2/3 -4/3 5/3 -1/3
5 x2 1 0 0 0
4 x3 0 5 4 4 ……….
0 x4 1/3 -2/3 -2/3 -5/3
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 1 0
14/3 20/3
x2 x3 x1 cj － zj
1 0 0 0
0 1 0 0
15/41 -6/41 -2/41 -45/41
8/41 5/41 -12/41 -24/41
线性规划习题课教案
线性规划习题课教案一、教学目标1. 理解线性规划的基本概念和方法。
2. 掌握线性规划模型的建立和求解。
3. 能够应用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划概述线性规划的定义线性规划的应用领域2. 线性规划模型线性规划问题的标准形式线性规划问题的约束条件3. 线性规划的求解方法单纯形法内点法4. 线性规划的应用实例生产计划物流优化5. 线性规划的扩展整数规划非线性规划三、教学方法1. 讲授法：讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用线性规划解决问题的关键步骤。
3. 练习法：学生自主完成习题，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教案、PPT和教学资料。
2. 习题集。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引出线性规划的主题。
2. 讲解：讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例。
3. 练习：学生自主完成习题，教师进行解答和讲解。
4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用线性规划解决问题的关键步骤。
5. 总结：回顾本节课的重点内容，提醒学生注意线性规划的适用范围和求解方法的选择。
教学反思：本节课通过讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例，使学生了解了线性规划的基本知识和应用领域。
在教学过程中，要注意引导学生掌握线性规划模型的建立和求解方法，培养学生的实际问题解决能力。
也要注意线性规划的扩展内容，为学生进一步学习提供参考。
六、线性规划的单纯形法1. 单纯形法的原理和步骤基本思路迭代过程2. 单纯形法的应用实例最大化利润最小化成本七、线性规划的内点法1. 内点法的原理和步骤基本思路迭代过程2. 内点法的应用实例最大化利润最小化成本八、线性规划的应用领域1. 生产计划原材料分配产品生产调度2. 物流优化运输问题库存管理九、线性规划的案例分析1. 案例一：生产计划问题描述模型建立求解过程2. 案例二：物流优化问题描述模型建立求解过程十、线性规划的扩展1. 整数规划基本概念求解方法2. 非线性规划基本概念求解方法教学反思：通过本节课的学习，学生应该能够掌握线性规划的单纯形法和内点法，并能够应用到实际问题中。
交通分析习题课（运筹学）
习 题第二章 线性规划习题2－1 某桥梁工地需集合料3万立方米，集合料含量为：粘土含量不大于0.8％，细沙含量在5％～8％之间，粗沙含量在60％～70％之间，砾石含量在20％～30％之间，现有材料数量及单价如下表所示。
问如何配料才能使集合料的总成本费用最低？（试列出数学模型）。
2—2 将下列线性规划问题化成标准型：① 42154m ax x x x S ++=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+≤+++=+0,,,843104480334304432143432432121x x x x x x x x x x x x x x x② 4321343m in x x x x S --+=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤+-≥++=-+≤+0,0,8434040403213242132141x x x x x x x x x x x x x 2—3 用图解法求解下列线性规划问题：2152m ax x x S +=s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,8234212121x x x x x x（答案：19=*S ，()T X 3,2=*。
）2—4 用单纯形法求解下列线性规划问题 ① 321834m in x x x S ++=s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+0,,5223213231x x x x x x x（答案：15=*S ，T X ),0,5,0(=*。
） ② 432132m ax x x x x S -++=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++=++0,,,1022052153243214321321321x x x x x x x x x x x x x x （答案：15=*S ，T X )0,2/5,2/5,2/5(=*。
）第三章 特殊类型的线性规划习题3－1用表上作业法求解以下运输问题。
3－2某市区交通愿望图有三个始点和三个终点，始点发生的出行交通量a i ，终点吸引的交通量b j 及始终点之间的旅行费用如下所示。
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② A，C，E 选且只选一项： x1 x3 x5 1
③ B，D 选且只选一项： x2 x4 1
④ 选 C 必须先选 D ：
x3 1 x4 1 , 或x3 0 x4 0 或1 ,
x3 x4
于是数学模型为以下 0－1 规划：
max z 10 x1 8x2 7 x3 6 x4 9 x5
• 约束—总金额不超过限制
n
bjxj B
j 1
• 目标—总收益最大
n
max c j x j j 1
n
max c j x j j 1
n
s.t. j1 b j x j B
x
j
1,0;
j
1,2...,n
例2 一家昼夜服务的饭店，24小时中需要的服
务员数如下表所示。每个服务员每天连续工作8 小时，且在时段开始时上班。问：最少需要多少 名服务员？试建立该问题的线性规划模型。
解
用 xj 分别表示 A ，B ，C ，D ，E 的被选情况，则
1, 项目 j 被选中, x j 0, 项目 j未 被选中,
j 1, 2, 3, 4, 5
于是投资总收益期望值：
z 10 x1 8x2 7x3 6x4 9x5
约束条件：
① 资金总额限制：
6x1 4x2 2x3 4x4 5x5 15
例3 投资项目选取问题 某单位拟利用闲置资金15 万元进行对外投资，现有 5个投资项
目可供选择，所需资金及投资回报收益期望值为
项目 A B C D E
所需资金（万元） 6 4 2 4 5
收益期望值（万元） 10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
起迄时间
2----6 时 6---10 时 10--14 时 14--18 时 18--22 时 22---2 时
服务员人数 4 8 10 7 12 4
模型：
设以xj表示第j时段开始上班工作的服务员数， 则
Min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 st. x6+x14 x1+x28 x2+x310 x3+x47 x4+x512 x5+x64 xj0, xj为整数(j=1,2,---,6)
线性规划建模
例1
• 某财团有 B万元的资金，经出其考察选中 n
个投资项目，每个项目只能投资一个。其
中 年第后获j个利项c目（j 需j 投1资,2.金..,额n）为万b j元万，元问，应预如计何5
选择项目使得5年后总收益最大？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模型
• 变量—每个项目是否投资
x j 1,0 j 1,2...,n
表
A BCD 甲 15 20 9 10 乙 12 16 10 12
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5x5 15
x1 x3 x5 1 x2 x4 1
x3 x4
x j 0或1，j 1, 2,3, 4,5
练习题1、有四项工作指派给甲、乙两人完成， 每人完成两项工作．两人完成各项工作的时间 （小时）见表，怎样安排工作使总时间最少．