一元二次方程的根与系数的关系PPT免费课件下载
1
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
则 =_ − _
; = −
_.
3. 设1 , 2 是方程 2 + 4 − 3 = 0的两个根，则
1 2
=
3 2
−2 −2×
1
−2
1
−2
=
13
4
× −2 =
13
−
2
典例分析 知识升华
例题4
已知方程 3 2 + − 8 = 0 的一个根是3，求它的另一个根及 的值.
解：设方程 2 + − 8 = 0的两个根分别是1 、 2 ，其中1 = 3
由根与系数的关系，得
8
1 ∙ 2 = 3 2 = −
−
() 1 + 2 = ___
,
1 ∙ 2 = _ − __，
2
2
1 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2 = _ _
3
2
(1 − 2 )2 = (1 + 2 )2 − _ 41 __=
_
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例分析 知识升华
例题3
已知1 ，2 是一元二次方程 2 2 + 3 − 1 = 0两个根，不解方
证明：
2
− + 2 − 4 − − 2 − 4
1 ∙ 2 =
×
2
2
2 − 2 − 4
=
42
4
= 2
4
=
发现猜想 探究新知
定理：
如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0)的两
个根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 =
才能应用根与系数的关系.
课堂小结 分层作业
必做题
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）
（1）2 − 3 + 1 = 0
（2）32 − 2 = 2
（3）22 + 3 = 0
选做题
（4）32 = 1
2.已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____
.
3.设1 、 2 是方程 2 2 + 4 − 3 = 0的根，利用根与系数的关
1 ∙ 2
与之间关系 与之间关系
−
−
−
发现猜想 探究新知
猜想： 如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0) 的两
个根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 = − ， 1 ∙ 2 = .
证明：
1
− + 2 − 4 − − 2 − 4
如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0)的两个
根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 = − ， 1 ∙ 2 = .
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成
一般形式.
3.要特别注意，当且仅当 2 − 4 ≥ 0 时，方程才有实数根，
系，求下列各式的值：
1
1 + 1 2 + 1
2
2 1
+
1 2
谢 谢
2
1
= =2
将原方程整理为：2 2
− 3 − 5 = 0
−3
3
1 + 2 = − = − =
2
2
−5
5
1 ∙ 2 = = = −
2
2
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
学以致用 深化理解
例题2
已知1 , 2 是方程 2 − 4 + 1 = 0的两个实数根，试求1 2 + 2 2 的值.
3.方程 2 + 3 + 2 − 1 = 0的两根互为倒数，试求的值.
课堂练习 巩固提升
试一试 4.方程2(1)210求满足什么条件时,方程的两根
互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解:(1)24(21)265
①∵两根互为相反数
③∵方程一根为0,
数 学 公 开 课
一元二次方程的根与系数的关系
创设情境 引入新课
解方程并填写下表：
两个根
方 程
两根之和
两根之积
−
1
2
1 + 2
2 − 3 − 10 = 0
−2
5
−
−
2 − 6 + 8 = 0
2
4
2 2 + 9 − 5 = 0
1
2
−5
−
猜想：
观察上表，你有什么发现？
1 + 2 =
+
2
2
− + 2 − 4 − − 2 − 4
=
2
−2
=
2
=−
发现猜想 探究新知
猜想： 如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0)的两
个根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 = − ， 1 ∙ 2 = .
1
1
2
1
程试求：（1） + ；（2） + .
1
2
1
2
解：由根与系数的关系可知
3
1 + 2 = − ,
2
1
1 ∙ 2 = −
2
1
1
1 + 2
3
1
（1）
+ =
= −
÷ −
=3
1 2
1 2
2
2
2
（2）
1
1
+
2
=
1 2 +2 2
1 2
=
1 +2 2 −21 2
3
8
∴ 2 = −
9
8
又 ∵ 1 + 2 = 2 + (− ) = −
9
3
10
∴=−
3
8
答：方程的另一个根是− ，
9
=
10
− .
3
课堂练习 巩固提升
试一试
1.已知一元二次方程的 2 2 − 9 + = 0的一个根为1 ，则方程
的另一根为_
__， =_ __.
2.若关于的方程2 2 ＋5＋＝0的一个根是－2，求它的另一个根及的值.
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
则 =_ − _
; = −
_.
3. 设1 , 2 是方程 2 + 4 − 3 = 0的两个根，则
1 2
=
3 2
−2 −2×
1
−2
1
−2
=
13
4
× −2 =
13
−
2
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例题4
已知方程 3 2 + − 8 = 0 的一个根是3，求它的另一个根及 的值.
解：设方程 2 + − 8 = 0的两个根分别是1 、 2 ，其中1 = 3
由根与系数的关系，得
8
1 ∙ 2 = 3 2 = −
−
() 1 + 2 = ___
,
1 ∙ 2 = _ − __，
2
2
1 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2 = _ _
3
2
(1 − 2 )2 = (1 + 2 )2 − _ 41 __=
_
_
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例题3
已知1 ，2 是一元二次方程 2 2 + 3 − 1 = 0两个根，不解方
证明：
2
− + 2 − 4 − − 2 − 4
1 ∙ 2 =
×
2
2
2 − 2 − 4
=
42
4
= 2
4
=
发现猜想 探究新知
定理：
如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0)的两
个根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 =
才能应用根与系数的关系.
课堂小结 分层作业
必做题
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）
（1）2 − 3 + 1 = 0
（2）32 − 2 = 2
（3）22 + 3 = 0
选做题
（4）32 = 1
2.已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____
.
3.设1 、 2 是方程 2 2 + 4 − 3 = 0的根，利用根与系数的关
1 ∙ 2
与之间关系 与之间关系
−
−
−
发现猜想 探究新知
猜想： 如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0) 的两
个根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 = − ， 1 ∙ 2 = .
证明：
1
− + 2 − 4 − − 2 − 4
如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0)的两个
根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 = − ， 1 ∙ 2 = .
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成
一般形式.
3.要特别注意，当且仅当 2 − 4 ≥ 0 时，方程才有实数根，
系，求下列各式的值：
1
1 + 1 2 + 1
2
2 1
+
1 2
谢 谢
2
1
= =2
将原方程整理为：2 2
− 3 − 5 = 0
−3
3
1 + 2 = − = − =
2
2
−5
5
1 ∙ 2 = = = −
2
2
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
学以致用 深化理解
例题2
已知1 , 2 是方程 2 − 4 + 1 = 0的两个实数根，试求1 2 + 2 2 的值.
3.方程 2 + 3 + 2 − 1 = 0的两根互为倒数，试求的值.
课堂练习 巩固提升
试一试 4.方程2(1)210求满足什么条件时,方程的两根
互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解:(1)24(21)265
①∵两根互为相反数
③∵方程一根为0,
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一元二次方程的根与系数的关系
创设情境 引入新课
解方程并填写下表：
两个根
方 程
两根之和
两根之积
−
1
2
1 + 2
2 − 3 − 10 = 0
−2
5
−
−
2 − 6 + 8 = 0
2
4
2 2 + 9 − 5 = 0
1
2
−5
−
猜想：
观察上表，你有什么发现？
1 + 2 =
+
2
2
− + 2 − 4 − − 2 − 4
=
2
−2
=
2
=−
发现猜想 探究新知
猜想： 如果一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0，∆≥ 0)的两
个根分别是1 、 2 ，那么1 + 2 = − ， 1 ∙ 2 = .
1
1
2
1
程试求：（1） + ；（2） + .
1
2
1
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解：由根与系数的关系可知
3
1 + 2 = − ,
2
1
1 ∙ 2 = −
2
1
1
1 + 2
3
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（1）
+ =
= −
÷ −
=3
1 2
1 2
2
2
2
（2）
1
1
+
2
=
1 2 +2 2
1 2
=
1 +2 2 −21 2
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∴ 2 = −
9
8
又 ∵ 1 + 2 = 2 + (− ) = −
9
3
10
∴=−
3
8
答：方程的另一个根是− ，
9
=
10
− .
3
课堂练习 巩固提升
试一试
1.已知一元二次方程的 2 2 − 9 + = 0的一个根为1 ，则方程
的另一根为_
__， =_ __.
2.若关于的方程2 2 ＋5＋＝0的一个根是－2，求它的另一个根及的值.
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一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件1人教版
归纳：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实
b c 数根是x ，x 那么x +x = 例应3用：一已元知二方次程方程的根与系1数关系的时两2，个实数根 1 2
a a 解：设方程
的两个根
，x1·x2=
口答下列方程的两根之和与两根之积。
两个根的；
口答下列方程的两根之和与两根之积。
了新解人一 教元版二九次年方级程数的学根上与册如系2数果1 一关元系一二，次能元方进程行二简单次应用方；程x2+px+q=0的两个根是x1，x2
分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
求证： x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
x1 x2 x1x2 2 2
返回
例2： 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2 kx 6 0 的两个根
分别是 x1 、x2
所以：x1 • x2 2
即：
x2
3 5
由于 x1 x2 2
得：k=-7
，其中
x2
6 5
( 3) 5
x1
X1×X2=k+2 2= 4
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 当k=4时， △＜0
K2- 2(k+2）=4
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优秀课件
(1)x2-2x-1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
(2) 2x2 - 3x +12 =0 x1+x2=
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2= x1x2=0 x1x2= -
例1:方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2 不解方程，求下列代数式的值：
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+2=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；
当b2-4ac≥0时有两个根：
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b -
b2 4ac 2a
则x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac - 2b b
一元二次方程的根与系数的关系
-.
回顾旧知
1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出 下列一元二次方程的两根和与两根积？
（1）x2+3x+2=0 （2）6x2+x-2=0 （3）2x2-3x +1=0
解法一： 设方程的另一个根为x1 由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k
解得 x2 =－3 k =－2
答:方程的另一个根是－3,k的值是－2.
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
课件-一元二次方程根与系数的关系ppt.ppt
两根为
x1, x2
,则,
x1x2ba,x1x2
c a
Байду номын сангаас
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例1.不解方程，求方程3x2+2x-9=0的两根 (1)倒数和，(2)平方和，(3)平方差.
通过求解，计算，同学们有什么新的发现？
归纳：二次项系数等于1时 (1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数. (2)两根之积等于常数项.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
一元二次方程根与系数的关系 (1).当二次项系数为 1的时候 关于x的方程 x2+px+q=0 两根为x1,x2(p,q为常数).
则：x1+x2= -p , x1x2= q
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
方程
1.
x2-2x=0
2. x2+3x-4=0
3. x2-5x+6=0
4. x2+2x-48=0
5. x2+5x-24=0
x1 x2 x1+x2 x1x2 0220 1 -4 -3 -4 2356 -8 6 -2 -48 -8 3 -5 -24
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册
；
情景导入
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在《论方程的识别与订正》一
书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚
步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.
复习回顾
大家知道方程的求根公式
x
b
b 2 4ac
.
2a
不仅表示可以由方程
的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，
x1 x 2
解：在方程 x 2－x－1＝0 中，a＝1，b＝－1，c＝－1.
b
c
∴x 1＋x 2＝－ ＝1，x 1x 2＝ ＝－1.
a
a
1
1 1 x 1＋x 2
(1) ＋ ＝
＝
＝－1.
x1 x2
x 1x 2
－1
(2)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12－2×(－1)＝1＋2＝3.
2
3 5
(2) (1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab＝1－(a＋b)＋ab＝1－ － ＝－3.
2 2
课堂练习
1．已知方程 2－5x＝x2 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2 的值为
( D )
A．5
B．－5
C．2
D．－2
课堂练习
2．若关于x的方程 x2－4x＋m＝0 有一个根为－1，则另一个根为
解：在方程 x 2＋5x－p2＝0 中，a＝1，b＝5，c＝－p2.
b
c
∴x 1＋x 2＝－ ＝－5，x 1x 2＝ ＝－p2.
a
a
∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴－5＝－p2.
解得 p＝± 5.
课堂练习
5．已知 m，n分别为一元二次方程 x2＋2x－2 021＝0 的两个实数
《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件 (共16张PPT)
一、知识要点：
1、一元二次方程的一般形
式
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2 c b 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ a 。 a
3、用根与系数关系解题的条件 是 （1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2， （1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。 （2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
提 高 练 习
3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 根的方程是X2-12X+m=0， 求m的值。
x,则
2
答：方程的另一个根是 k根的和与两根
的积各是多少?（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 x1 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + — x1 x2
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT赏析教学课件
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1x2 1+x2x=22
4
1 , (2)x1·x2= 14
,
(3)( x1 x2 ) 2 12 ,
(4)
.
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12
归纳
知1－导
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
知识点
知1－导
思考2 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
归纳
知1－导
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
（来自《典中点》）
知2－练
2 等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元
二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满 导引：足由xx1122＋＋xx2222＝＝4x，12＋则2kx的1·值x2＋为x_2_2_－k_＝_2_x1_1·_x．2＝(x1＋x2)2－2x1·x2
8.5一元二次方程的根与系数的关系 (共19张PPT)
东平县初中数学
根与系数关系
如果关于x的方程 x2 pxq0
的两根是 x1 , x2 ,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
东平县初中数学
数
方 程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2
学
2x2-3x-2=0
活
3x2-4x+1=0
动 三 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
（３）（x1- x2）2
东平县初中数学
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一 个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
东平县初中数学
1、已知方程3x2－19x+m=0的一 个根是1，求它的另一个根及m的 值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0 的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
东平县初中数学
2.设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根， 利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） (x1 1)( x2 1)
（2）
x2 x1 x1 x2
=
4ac 4a 2
=
东平县初中数学
1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + 12=0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4
东平县初中数学
利用根与系数的关系,求下列方程的两根之 和、两根之积:
(1)x2+7x+6=0 (2)2x2-3x-2=0
东平县初中数学
1、下列方程中，两根的和与两根 的积各是多少？