代入单球面折射成像公式
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医用物理学答案第09
f1 =
1 ×5.55 =16.65 mm 4 −1 3
4 f1 = 3 ×5.55 = 22.2 mm 4 −1 3
视网膜上月球的像的大小为 15tan1°=0.26mm 9-5 将折射率为 1.50,直径为 10cm 的玻璃棒的两端磨成凸的半球面, 左端
的半径为 5cm 而右端的半径为 10cm.两顶点间的棒长为 60cm,在左端顶点左方 20cm 处有一物(在光轴上).（1）作为右端面的物是什么？（2）右端面的物距为 多少？（3）此物是实的还是虚的？（4）最后所成的像在何处？ 解:（1）根据题意可知左端面的像作为右端面的物 （2）已知n 1 =1, n 2 =1.5, u=20cm, r 1 =5cm, d=60cm代入单球面成像公式得
对于凹透镜u 2 =10cm−20cm=−10cm， f 2 =−40cm，代入薄透镜成像公式得
1 1 1 + = − 10 v 2 − 40 v 2 = 13.3cm
9-12 把一物放在会聚透镜前方适当距离处时,像落在离透镜 20cm 处的屏
幕上.现将一发散透镜放在会聚透镜与屏幕中间,我们发现,为了得到清晰的像必 须把屏幕向离开透镜的方向移远 20cm.这发散透镜的焦距是多少？ 解 : 一 物经 会 聚 透 镜 所成 的 像 作 为 发散 透 镜 的 物 , 此物 距 u 2 = −10cm ， v 2 =30cm代入薄透镜成像公式得
第九章 9-1
几何光学习题解答
一只坛子装了 100.0cm 深的甘油， 观察者观察坛底好像提高了 32.5cm，
求甘油的折射率. 解：由题意知n 2 =1，u=100cm，v=-67.5cm，r = ∞，代入单球面成像公式得
n1 1− n1 1 + = ∞ 100 − 67.5
单球面折射成像公式及其应用_张家乐
ｖ ＝８．０ｃｍ 所 成的像点的位置在Ａ 点正上方８．０ｃｍ 处，即
Ｂ 点正上方１６．０ｃｍ 处．
— ５３ —
２０１６年第３期 物理通报 竞赛与物理专题研修
（２）当容器内装满折射 率 为 １．３０ 的 液 体 时，根
据单球面折射成像公式得
ｎ１ ｕ
１ 公式推导 如图１，设其中折射球面的球心为 Ｃ，球面 两 侧
θ（ＰＢ 为近轴光线，θ很小），它以入射角ｉ１ 射到 球 面 上的Ｂ 点，以折射角ｉ２ 折射进入另一介质，并与主光 轴交于 Ｐ′ 点．此时我们可将 Ｐ 和Ｐ′ 分别称之为物
櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆
脱太阳的束缚，脱离 太 阳 系 运 动 到 太 阳 系 之 外 的 宇 矛盾．
宙空间．
真 理 的 探 求 是 一 个 过 程 ，要 坚 持 真 理 ，但 要 看 清
量变引 起 质 变，发 射 速 度 的 改 变 引 起 人 造 天 体 真理成立的条件，任 何 客 观 真 理 都 是 绝 对 性 和 相 对
小 角 度 ，式 （１１）、（１４）、（１５）可 写 为
ｎ１θ ＝ｎ２φ
（１６）
θＣＤ ＝αＢＣ
（１７）
φＣＤ ＝βＣＥ 由 式 （１６）、（１７）可 得
（１８）
（ ） α＋θ＝φ
１＋ＣＤ ＢＣ
ｎ２ ｎ１
＝１．０７φ ＞φ
所 考 虑 的 光 线 是 发 散 的 ，故 所 成 的 像 为 虚 像 ．由
后所成的像点的位置在 Ｃ 点 正 下 方 ２６．２５ｃｍ 处 或
在 Ｂ 点正下方２０．０ｃｍ 处．
２．１．２ 利用单球折射成像公式解答 （１）当容器内未 装 任 何 液 体 时，根 据 单 球 面 折
1单球面折射公式
f = 1 = 1 - 1 = 7.5D
f 0.12 1.2
即配戴焦度为7.5D的凸透镜。
32
3、散光眼
散光眼的角膜表面不是球 面，其角膜的各个方向子 午线的半径不相等，点物 发出的光线经角膜折射后 不能形成一清晰的点像， 既散光眼为非对称折射系 统。右图表示散光眼的角 膜及其成像。
散光眼的眼球纵向子午线半径最短，横向子午线的半径最长， 其它方向子午线半径介于二者之间。使得远处的平行光线经 角膜折射后，不能在一点成像。常把一点物看成一条很短的 线条，这就使他看物体时感到模糊不清。
n-n2 1 + 1 = (n -1)( 1 - 1 )
r2 u v
r1 r3 2
二、薄透镜组合
两个或两个以上薄透镜组成的共轴系统， 称为薄透镜组合，简称透镜组。
4
透镜组的成像公式：
二、薄透镜组合
1+1= 1 + 1 u v f1 f2
当υ=∞时，对应的u值即为透镜组的等效焦
距f，则
1= 1+ 1
复习
1、单球面折射公式
n1 + n2 = n2 - n1
2、光焦度 u u
r
f = n2 - n1
r
3、焦距
f1
=
n1 n2 - n1
r
f2
=
n2 n2 - n1
r
1
4、单球面折射成像的高斯公式 ：
f1 + f2 = 1
uu
5、 共轴球面系统：逐次成像法
2
6、 薄透镜公式
n1+ n2= n - n1 u v r1
于远视眼的近点较正视眼远些，因此，远视眼在看 眼前较近的物体时，所选择的凸透镜必须将此 物体的虚象成在远视眼的近视点处。
f 0.12 1.2
即配戴焦度为7.5D的凸透镜。
32
3、散光眼
散光眼的角膜表面不是球 面，其角膜的各个方向子 午线的半径不相等，点物 发出的光线经角膜折射后 不能形成一清晰的点像， 既散光眼为非对称折射系 统。右图表示散光眼的角 膜及其成像。
散光眼的眼球纵向子午线半径最短，横向子午线的半径最长， 其它方向子午线半径介于二者之间。使得远处的平行光线经 角膜折射后，不能在一点成像。常把一点物看成一条很短的 线条，这就使他看物体时感到模糊不清。
n-n2 1 + 1 = (n -1)( 1 - 1 )
r2 u v
r1 r3 2
二、薄透镜组合
两个或两个以上薄透镜组成的共轴系统， 称为薄透镜组合，简称透镜组。
4
透镜组的成像公式：
二、薄透镜组合
1+1= 1 + 1 u v f1 f2
当υ=∞时，对应的u值即为透镜组的等效焦
距f，则
1= 1+ 1
复习
1、单球面折射公式
n1 + n2 = n2 - n1
2、光焦度 u u
r
f = n2 - n1
r
3、焦距
f1
=
n1 n2 - n1
r
f2
=
n2 n2 - n1
r
1
4、单球面折射成像的高斯公式 ：
f1 + f2 = 1
uu
5、 共轴球面系统：逐次成像法
2
6、 薄透镜公式
n1+ n2= n - n1 u v r1
于远视眼的近点较正视眼远些，因此，远视眼在看 眼前较近的物体时，所选择的凸透镜必须将此 物体的虚象成在远视眼的近视点处。
单球面反射和折射
5. 特例
（1）球面反射
n n'
1 1 2 p p' r
平行光线入射，p ，代入物像公式 1 1 2 得 pf'' 2r 2r，f ' 此时对应的像点叫焦点（fpocusp）' r 焦点到顶点的距离— 焦距（focal length）
物像公式为
11 1 p p' f '
（Gauss公式）
1.5 1.0
(8) (1)
1.2
,即成正立、放大的实像。
总的横向放大率
1
2
3
0.5 (
1) 1.2 3
为20cm和15cm，薄透镜折射率为1.5，在凸面 镀银。在球面前方40处的主轴上置一高为1cm 的物，求像的位置和成像的性质。
[解]（1）P经凹球面折射成像：
p1=-40cm，n=1.0，n’=1.5，r1=-20cm，代入
n' n n'n p1' p1 r1
1
np1 ' n' p1
1 2
,
1.5 1.0 0.5 p1' 40 20
三、傍轴球面折射的物象关系式
nn'n (u(' u in)) unn('(n'('niu'))') n
p
u
i o
n' h i' c u '
p'
u h p'
r
p
p'
u h p
h
n n nn
p' p r
物像关系式
r
定义 光焦度
Φ n'n r
球面镜成像公式
球面镜成像公式
球面镜成像公式是用于计算光线通过球面镜后所形成的像的位
置和大小的公式。
在球面镜成像中，物体与球面镜的距离、物体的大小、球面镜的曲率半径和折射率等因素都会对成像产生影响。
对于一个物体在球面镜前方的情况，其像的位置和大小可以用如下公式计算：
1. 对于凸球面镜：
1/f = (n-1) * (1/R1 - 1/R2)
其中，f代表焦距，n代表介质的折射率，R1和R2分别是球面镜两侧的曲率半径。
像距p可以使用以下公式计算：
1/p + 1/q = 1/f
其中，q代表像距。
像的大小可以使用以下公式计算：
h2/h1 = -q/p
其中，h1和h2分别代表物体和像的大小。
2. 对于凹球面镜：
1/f = (n-1) * (-1/R1 - 1/R2)
像距p和像的大小h2/h1的公式与凸球面镜相同。
球面镜成像公式在光学实验和光学仪器设计中有着广泛的应用，对于理解光学原理和优化光学系统具有重要意义。
- 1 -。
医用物理学 几何光学习题解答
第十一章 几何光学一、内容概要【基本内容】1. 单球面折射公式r n n p n p n 1221'-=+ （1）近轴条件（2）符号规定：凡是实物、实像的距离，p 、'p 均取正值；凡是虚物、虚像的距离, p 、'p 均取负值；若是入射光线对着凸球面，则r 取正值，反之，若是入射光线对着凹球面，则r 取负值．2. 单球面折射焦距 r n n n f 1211-=r n n n f 1222-= 3．折射面的焦度 rn n Φ12-=或2211f n f n Φ== 4. 单球面折射成像的高斯公式（近轴）1'21=+p f p f 5．共轴系统成像规则 采用逐次成像法，先求出物体通过第一折射面后所成的像I 1，以I 1作为第二折射面的物，求出通过第二折射面后所成的像I 2，再以I 2作为第三折射面的物，求出通过第三折射面所成的像I 3，依次类推，直到求出最后一个折射面所成的像为止．6. 薄透镜成像（1）成像公式 )11('112100r r n n n p p --=+ （2）焦距公式 12100)]11([---=r r n n n f （3）空气中 121)]11)(1[(---=r r n f （4）高斯公式 fp p 1'11=+7. 薄透镜组合 21111f f f += 或 21ΦΦΦ+= 8. 厚透镜成像 采用三对基点作图9. 透镜的像差远轴光线通过球面折射时不能与近轴光线成像于同一位置，而产生像差，这种像差称为球面像差．物点发出的不同波长的光经透镜折射后不能成像于一点的现象，称为色像差．10. 简约眼 生理学上常常把眼睛进一步简化为一个单球面折射系统，称为简约眼.11. 能分辨的最小视角视力1= 最小视角以分为单位．例如医学视力表，最小视角分别为10分，2分，1分时，其视力分别是0.1，0.5，1.0．标准对数视力表，规定 θlg 5-=L ，式中视角θ以分为单位．例如视角θ分别为10分，2分，1分时，视力L 分别为4.0，4.7，5.0．12．近视眼和远视眼 当眼睛不调节时，平行入射的光线，经折射后会聚于视网膜的前面，而在视网膜上成模糊的像，这种眼称为近视眼，而成像在视网膜后，这样的眼称为远视眼．11. 放大镜的角放大率 fy f y a 2525//==12. 显微镜的放大率 （1）理论放大率 2'2'2525f y y y f y M ⋅=⋅= 其中y y /'为物镜的线放大率（m ），2/25f 为目镜的角放大率（a ） （2）实际放大率 21212525f f s f f s M =⋅= 式中s 为显微镜与目镜之间的距离；f 1为物镜的焦距；f 2为目镜的焦距。
单球面折射成像
一、符号规则（2）
• 角度： 一律以锐角来ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量，规定顺时针为正，
反之为负。 1. 起始轴和转动方向：
U、U ’ —— 由光轴起转到光线； I（入射角）、I ’ （折射角） —— 由光线起 转到法线；
符号规则的应用：
符号规则的意义：
• 可使某种情况下推出的公式普遍使用于各种情况。
符号规则会直接影响公式的形式，而应用一定 形式的公式时就必须遵守一定的符号规则。否则， 由于符号弄错了，即使公式和运算都正确，而其 所得的结果仍然是错误的。
屈光力和焦距的关系
n ' n • F= r
n′r f ′=
n′－ n
nr f =－
n′－ n
Fn'nn' n r f' f
Fn'nn' n r f' f
• f’>0时，像方焦点位于球面顶点右边， 为 实焦点，反之，f’<0时，为虚焦点。
• 焦距或屈光力的正负决定了折射面对光 束的会聚或发散特性
• F>0时，会聚；F<0时，发散，故凹透镜 度数为负，凸透镜度数为正
单球面成像的不完善性
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小， 则这些角度的正弦值可近似地用弧度值 来代替，并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时，其他各量均用相应小写 字母来表示。
当u角很小，光线很靠近光轴，这样的光线 称为近轴光线（或称傍轴光线）。近轴 光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
符号规则的应用意义及注意点：
• 光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则 表示该几何量的方位。
• 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 • 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的
单球面反射和折射成像规律的分析
２ 单球 面 成 像 的基 本 理 论 ：
依 据几 何光 学的基 本原理 ， 近轴近 似下 ， 球 在 单 面反 射和 折射成 像 都可 归 结 为单 球 面 折射 成 像 ， 反 射可作 为折 射 ｎ ＝ ｎ的特 殊 情形 ， 面 只讨 论 单 球 ＝ ＝ 下 面折射 成像 的规 律 。从 费马原理 或光 的折 射定律 出 发 ， 近轴 近似下 ， 用 新 笛卡 尔 坐标 ， 以推 知 单 在 采 可
依 据 Ｉ ＝ Ｉ ／Ｉ 可得 Ｉ ＞ １ 为放 大 Ｇ Ｉ Ｉ， ｆ Ｘ Ｉ ， ｐ
的像 。
像 距 像 的虚 实
０＜ ｓ ｆ ＜ 虚 像
ｓ Ｏ ＞ 实像 正立
进行 了分 析 ， 对其 规律进 行 了归纳 和总结 。
３ 单 球 面 成像 的性 质 分 析
物体经 光学 系统 成像后 的性质 主要包括像 的虚 实、 正立和 倒立 、 放大 和缩小 。实像 是 由实 际光线汇 聚 而成 的 ， 虚像 是 由实 际光 线 的 反 向延长 线 汇 聚而 成 的 。对 于单球 面反 射 ， 由于 入射 光 线和 反 射光 线 都 在镜 面 的 同一 侧 ， 而 当像 和 入射 光线 在 镜 面的 因
旦 一
Ｓ ｒ
（） １
Ｓ
其中 ， ｎ和 ｎ分别 为 折 射前 后 两种 介 质 的 折 射
率 ， 和 ｓ分别 为物 距和像 距 ， 为球 面 的曲率半 径 。 ｓ ｒ 依据 焦距 的定义 可得 像方焦 距和 物方 焦距分 别
为：
ｆ： １ ｒ ， ＿
ｎ — ｎ
ｆ 一 ＝
义， 当放大 率为正 时 ， 像和 物 的方 向相 同 ， 正立 的 为 像， 当放大率 为负 时 ， 像为倒 立的像 。对于像 的放大 和缩小 ， 当放 大率 的 绝 对值 大 于 １时 ， 放 大 的像 ， 为 当放大率 的绝对值 小 于 １ ， 时 为缩小 的像 。下 面 ， 分 四种 情形对 单球 面成像 的性质 进行分 析 。
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r
n2 n1 n n1 n2 n
s' s r1
r2
n n1 n2 n
r1
r2
焦
距
f ' n'r n'n
f nr n'n
f ' f r 2
f ' n2 f n1
单球面折射 高斯公式 f ' f 1
s' s
单球面反射 11 1 s' s f '
5. 共轴球面系统的组合
f ' f1' f2 f1' f2 d
p f1' d f1' f2 d
Hale Waihona Puke p' f2d f1' f2 d
空气中薄透镜的组合
d ( f1' f2 ')
f ' f1' f2 ' f1' f2 ' f
f1' f2 'd
1.0 n n 1.0 . 14.6 20 r
解得：r＝－76.84毫米
2.物与像相距为1米，如果物高4倍于像高，求凹面镜 的曲率半径，并作出光路图．
解: 题中给出是凹面镜，r 0，又知物高４倍于像
高，即||=1/4，所以应有两种情况．
（１） 当=＋1/4
ns s 1
Q
nds 0 注意对极值的正确理解。
p
由此得出的光的可逆性原理，及透镜成 像的等光程性。
2. 单球面折射、反射及薄透镜的成像公式
单球面折射 单球面反射
薄透镜
物象关系 n' n n'n s' s r
光 焦 度 n'n r
1 1 2 s' s r 2n
p f1' d f 1 d
p' f2d f 2' d
几何光学的作图法求像
M
P
F
M F P
P F
H
H
K ´ K´ F´
P´
习题选讲
1. 在报纸上放一个平凸透镜，眼睛通过透镜看报纸， 当平面在上时，报纸的虚像在平面下13.３毫米处， 当凸面在上时，报纸的虚像在凸面下14.6毫米处．若 透镜的中央厚度为20毫米，求透镜的折射率和凸球面 的曲率半径．
ns1 n' s
1.0 (30) 1.5 (40)
1 2
第二次反射成像，以Ｏ2为原点，向右为正．物距 为－30cm，像距S2，曲率半径r２=－15cm，代入 球面反射成像公式，得
11 2 .
s2 30 15
s2 10cm,
第二次成像的横向放大率为
2
s2 s1
40cm
奇妙的光现象
法线
Ｃ
Ｆ 实像
虚物
（2） =－1/4 ，则
ns ns
s，s
1 4
即 s＝4s．这说明物像位于凹面镜的同侧．由于物
像之间距离为1000毫米，故可得出像距|s|=333.3毫
米． 若以s=333.3毫米，s=1333.3毫米代入，则得r0，
不合题意．
若用s=-333.3毫米， s=-1333.3毫米代入，可 求得凹面镜的曲率半径为r=-533.3毫米．此种情 况是实物成实像。
ns s 4
即 s＝－4s．这说明物像分居于凹面镜的两侧．由
于物像之间距离为1000毫米，故可得出像距|s|=200
毫米．凹面镜成像公式为
1 12 s s r
若以s=200毫米，s=-800毫米代入，则得r0，
不合题意．
若用s=-200毫米， s=800毫米代入，可求得凹 面镜的曲率半径为r=-533.3毫米．此种情况是虚 物成实像 。 这种情况的光路图如下图所示
(n 1)( 1 1 )
r1 r2
f ' f 1
1
(n)(
1 r1
1 r2
)
横向放大率
s'
s
x' f
f' x
4. 共轴球面系统的基点和基平面
主点： 节点：
1
1
主平面
焦点与焦平面 几种简单系统的基点的位置：
1 单球面折射系统 2 单球面反射系统 3 薄透镜
第三章 几何光学
习题课
主讲人 杜泉 / 谌晓洪
第
1. 几何光学基本定律与费马原理
三
2. 单球面折射、反射的成像公式
章
主
3.薄透镜的物象公式及横向放大率
要
4. 共轴球面系统的基点和基平面
内
容
5. 共轴球面系统的组合
1. 几何光学基本定律与费马原理
光的独立传播定律，反射定律，折射定律，
直线传播定律，费马原理等。
40cm
O1 O2
第一次折射成像，以O1为原点，向右为正，物距 为S＝－40cm，物方折射率为１.0，像方折射率为 １.5，r1=－20cm，代入单球面折射成像公式，得
1.5 1.0 1.5 1.0 . S1 40 20
解得第一次成像的像距为：S1＝－30cm
横向放大率为
1
解：人眼看到的是字透过透镜 成的像．第一种情况，字在球 面的顶点，此次成像物、像重 合．字再经过平面折射成像， 物距为－20毫米，像距为-13.3 毫米，由成像公式，得
报纸
解得：
1.0 n 0 13.3 20
n 1.5
第二种情况，字仅通过单球面折射成像，物距为 －20毫米，像距为－14.6毫米，成像公式为
第二种情况的光路图如下
法线
实物
Ｃ
Ｆ
实象
两种情况所得到的凹面镜的曲率半径相同
3.一个新月形状的薄凸透镜，由折射率 n=1.5的玻 璃制成．半径为15厘米的后表面镀铝，半径为20厘 米的前表面正前方40厘米处的光轴上，有一高1厘 米的实物．试求最后像的位置、大小和虚实．
解：薄透镜厚度不计， 如图所示，O1 O2距离 可视为零．物经系统 P 三次成像．
10 30
1 3
第 距三为次－折10c射m成，像像，距以为ＯS´1．为物顶方点折，射向率右为为1正.5．，物像 方折射率为1.0，曲率半径为－20cm．代入成像 公式，得
1.0 1.5 1.0 1.5 s 10 20
第三次成像横向放大率为
s 8cm
3
薄透镜
f ' f 1 s' s
牛顿公式 xx' ff ' xx' f 2
xx' ff '
横向放大率 ns'
n' s
s'
s
n1s'
n2 s
x' f
f' x
3. 空气中的薄透镜（n1＝n2＝1）
11 1
物象关系
s' s f '
光焦度
焦距
1.5 (8) 1.0 (10)
1.2
系统的总放大率为：
1
2
3
1 2
( 1) 1.2 3
0.2.
因此，系统最后成像高为
y y 0.2 1 0.2cm.
系统最后成像的位置在镜前８cm处，是一缩小 的、倒立的实象.
P
O1 O2
P´
n2 n1 n n1 n2 n
s' s r1
r2
n n1 n2 n
r1
r2
焦
距
f ' n'r n'n
f nr n'n
f ' f r 2
f ' n2 f n1
单球面折射 高斯公式 f ' f 1
s' s
单球面反射 11 1 s' s f '
5. 共轴球面系统的组合
f ' f1' f2 f1' f2 d
p f1' d f1' f2 d
Hale Waihona Puke p' f2d f1' f2 d
空气中薄透镜的组合
d ( f1' f2 ')
f ' f1' f2 ' f1' f2 ' f
f1' f2 'd
1.0 n n 1.0 . 14.6 20 r
解得：r＝－76.84毫米
2.物与像相距为1米，如果物高4倍于像高，求凹面镜 的曲率半径，并作出光路图．
解: 题中给出是凹面镜，r 0，又知物高４倍于像
高，即||=1/4，所以应有两种情况．
（１） 当=＋1/4
ns s 1
Q
nds 0 注意对极值的正确理解。
p
由此得出的光的可逆性原理，及透镜成 像的等光程性。
2. 单球面折射、反射及薄透镜的成像公式
单球面折射 单球面反射
薄透镜
物象关系 n' n n'n s' s r
光 焦 度 n'n r
1 1 2 s' s r 2n
p f1' d f 1 d
p' f2d f 2' d
几何光学的作图法求像
M
P
F
M F P
P F
H
H
K ´ K´ F´
P´
习题选讲
1. 在报纸上放一个平凸透镜，眼睛通过透镜看报纸， 当平面在上时，报纸的虚像在平面下13.３毫米处， 当凸面在上时，报纸的虚像在凸面下14.6毫米处．若 透镜的中央厚度为20毫米，求透镜的折射率和凸球面 的曲率半径．
ns1 n' s
1.0 (30) 1.5 (40)
1 2
第二次反射成像，以Ｏ2为原点，向右为正．物距 为－30cm，像距S2，曲率半径r２=－15cm，代入 球面反射成像公式，得
11 2 .
s2 30 15
s2 10cm,
第二次成像的横向放大率为
2
s2 s1
40cm
奇妙的光现象
法线
Ｃ
Ｆ 实像
虚物
（2） =－1/4 ，则
ns ns
s，s
1 4
即 s＝4s．这说明物像位于凹面镜的同侧．由于物
像之间距离为1000毫米，故可得出像距|s|=333.3毫
米． 若以s=333.3毫米，s=1333.3毫米代入，则得r0，
不合题意．
若用s=-333.3毫米， s=-1333.3毫米代入，可 求得凹面镜的曲率半径为r=-533.3毫米．此种情 况是实物成实像。
ns s 4
即 s＝－4s．这说明物像分居于凹面镜的两侧．由
于物像之间距离为1000毫米，故可得出像距|s|=200
毫米．凹面镜成像公式为
1 12 s s r
若以s=200毫米，s=-800毫米代入，则得r0，
不合题意．
若用s=-200毫米， s=800毫米代入，可求得凹 面镜的曲率半径为r=-533.3毫米．此种情况是虚 物成实像 。 这种情况的光路图如下图所示
(n 1)( 1 1 )
r1 r2
f ' f 1
1
(n)(
1 r1
1 r2
)
横向放大率
s'
s
x' f
f' x
4. 共轴球面系统的基点和基平面
主点： 节点：
1
1
主平面
焦点与焦平面 几种简单系统的基点的位置：
1 单球面折射系统 2 单球面反射系统 3 薄透镜
第三章 几何光学
习题课
主讲人 杜泉 / 谌晓洪
第
1. 几何光学基本定律与费马原理
三
2. 单球面折射、反射的成像公式
章
主
3.薄透镜的物象公式及横向放大率
要
4. 共轴球面系统的基点和基平面
内
容
5. 共轴球面系统的组合
1. 几何光学基本定律与费马原理
光的独立传播定律，反射定律，折射定律，
直线传播定律，费马原理等。
40cm
O1 O2
第一次折射成像，以O1为原点，向右为正，物距 为S＝－40cm，物方折射率为１.0，像方折射率为 １.5，r1=－20cm，代入单球面折射成像公式，得
1.5 1.0 1.5 1.0 . S1 40 20
解得第一次成像的像距为：S1＝－30cm
横向放大率为
1
解：人眼看到的是字透过透镜 成的像．第一种情况，字在球 面的顶点，此次成像物、像重 合．字再经过平面折射成像， 物距为－20毫米，像距为-13.3 毫米，由成像公式，得
报纸
解得：
1.0 n 0 13.3 20
n 1.5
第二种情况，字仅通过单球面折射成像，物距为 －20毫米，像距为－14.6毫米，成像公式为
第二种情况的光路图如下
法线
实物
Ｃ
Ｆ
实象
两种情况所得到的凹面镜的曲率半径相同
3.一个新月形状的薄凸透镜，由折射率 n=1.5的玻 璃制成．半径为15厘米的后表面镀铝，半径为20厘 米的前表面正前方40厘米处的光轴上，有一高1厘 米的实物．试求最后像的位置、大小和虚实．
解：薄透镜厚度不计， 如图所示，O1 O2距离 可视为零．物经系统 P 三次成像．
10 30
1 3
第 距三为次－折10c射m成，像像，距以为ＯS´1．为物顶方点折，射向率右为为1正.5．，物像 方折射率为1.0，曲率半径为－20cm．代入成像 公式，得
1.0 1.5 1.0 1.5 s 10 20
第三次成像横向放大率为
s 8cm
3
薄透镜
f ' f 1 s' s
牛顿公式 xx' ff ' xx' f 2
xx' ff '
横向放大率 ns'
n' s
s'
s
n1s'
n2 s
x' f
f' x
3. 空气中的薄透镜（n1＝n2＝1）
11 1
物象关系
s' s f '
光焦度
焦距
1.5 (8) 1.0 (10)
1.2
系统的总放大率为：
1
2
3
1 2
( 1) 1.2 3
0.2.
因此，系统最后成像高为
y y 0.2 1 0.2cm.
系统最后成像的位置在镜前８cm处，是一缩小 的、倒立的实象.
P
O1 O2
P´