高中数学选修2-1 立体几何中的向量方法课件集(5课时) 人教版
1 1 1 1 OG OC CG ( AB AD ) CC1 (a b ) c . 2 2 2 2 1 1 1 ∴ A 1O BD (c a b ) (b a ) c(b a ) (a b ) (b a ) 2 2 2 2 1 2 1 c b c a (b a ) (| b |2 | a |2 ) 0 2 2 同理 A1O OG 0. ∴ A1O ⊥ BD , A1O ⊥ OG .又B D OG O ,
求平面ABC的单位法向量。
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
4、法向量的运用
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂 直、夹角等位置关系。
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则
这样,点O与向量 a , b 不仅可以确定平面 的位置,还可以具体表 示出 内的任意一点
α
P
b o a
类似于直线的方向向量，还可以用平面的 法向量表示空间中平面的位置 l
法向量：如果表示向
量a的有向线段所在直线垂 直于平面α，则称这个向 量垂直于平面α，记作 α a⊥α，如果a⊥α ，那么向 量a叫做平面α的法向量 问题：法向量如何确定平面的位置？
分析:平面法向量与两平面位置关系,
∥ u ∥v; ⊥ u ⊥v
据此可判断两平面的位置关系
①垂直②平行③相交(不垂直)
例1 (3)设 u 是平面 的法向量, a是直线 l 的方向向 量,根据下列条件判断 与 l 的位置关系:
① u (2,2, 1), a (3,4,2) ② u (0,2, 3), a (0, 8,12) ③ u (4,1,5), a (2, 1,0)
分析:直线方向向量与平面法向量关系和直 线与平面位置关系,
l ∥ a ⊥ u; l ⊥ a ∥u
据此可判断直线和平面的位置关系
① l 或l ∥ ②垂直③相交(斜交)
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
∴ MN ∥ 平面A1 BD 1 1 又 MN n ( , 0, ) (1, 1, 1) 0,∴ MN ⊥ n 2 2
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 1 1 ∵ MN C N C M C B C1C 法2: 1 1 1 1 2 2
a A
给定一点A和一个向量a,那么，过点A,以向 量a为法向量的平面是完全确定的。
例：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),
设平面的法向量为n （x，y，z）， 则n AB，n AC （x，y，z） (2, 2,1) 0，（x，y，z） (4,5,3) 0, 1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1 1 3 n ( , 1,1),| n | 2 2 1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
P
A
2、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上 一个定点A以及一个定方向确定。
P
a
B
A
AP t AB
这样,点A和向量 a 不仅可以 确定直线l的位置,还可以具体 表示出l上的任意一点.
3、平面的法向量
空间中平面的位置可以由 内两条 相交直线来确定。 OP xa yb
l ⊥ a ∥ u a ku ；
⊥ u ⊥ v u v 0.
典型例题
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 分析:证明线面问题,可利用三 种方法:一是证明 MN与平面 A1BD的法向量垂直;二是在 平面A1BD内找一向量与MN
面面平行
∥ ห้องสมุดไป่ตู้ u ∥ v u kv .
注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合。
用向量运算处理垂直问题
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
线面垂直
面面垂直
l ⊥m a ⊥b ab 0；
(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系 都可),用空间向量表示问题中涉及的点、线、面;
(2)通过向量运算处理平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.
补充作业： 如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 , AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
线线平行
线面平行
l ∥ m a ∥ b a kb ；
l ∥ a u a u 0 ；
面面平行
∥ u ∥ v u k v.
注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合。
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则
3.2立体几何中的向量方法(一)
-----直线的方向向量与平面的法向量
上一节,我们把向量从平面推广到空间,并 利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节 我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点、直线、 平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间 向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、 平面的位置用向量表示出来.
1 1 ( D1 A1 D1 D ) DA1 , 2 2
D!
N A!
C! M
∴ MN ∥ DA1 ,∴ MN ∥ 平面A 1B D
1 DA DD 法3:∵ MN C N C M 1 2 2
1 1 1 1 1
B!
D
C
1 1 A B ( DB BA) ( D1 A1 A1 D ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 DB DA1 ( BA DA) DB DA1 BD DA1 0 BD 2 2 2 2 2 2 2
∴ A1O ⊥ 平面GBD
变式： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中， A ' C AB ', 求证：BC ' AB '
C
C' A'
B'
底面是正三角形，AA ' 底面ABC，
B A
小结
1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问 题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同 时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的 定理. 2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:
D! N A! B! C! M C B
D A
平行;三是证明 MN 可以用平面 A1BD中的两不共线向量线性 表示.
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
思考
如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个 定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空 间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量),能 确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一 个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?
1、点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点， 那么空间中任意一点P的位置就可以用 向量OP来表示。我们把向量OP称为 点P的位置向量。
3.2立体几何中的向量方法(二)
-----利用向量解决平行与垂直问题
用向量运算处理平行关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 线面平行
l ∥ m a ∥ b a kb ； l ∥ a u a u 0 ；
分析:直线方向向量与直线位置关系,
l1 ∥ l2 a ∥ b; l1 ⊥ l2 a ⊥ b
据此可判断两直线的位置关系
①平行②垂直③相交或异面
例1 (2)设 u‚ v分别是平面 ‚ 的法向量,根据下列条件 判断 与 的位置关系: 1 ① u (1, 1,2), v (3,2, ) ②u (0,3,0), v (0, 5,0) 2 ③ u (2, 3,4), v (4, 2,1)
B1
C1
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD得 交点,G为CC1的中点,求证A1O⊥平面GBD
D! C!
B! G D O A B C
证明:设 A1 B1 a, A1 D1 b, A1 A c,则
A!
a b 0, b c 0, a c 0.
1 1 ∵ A1O A1 A AO A1 A ( AB AD ) c (a b ) 2 2 BD AD AB b a
人教版高中数学选修2-1：3.2《立体几何中的向量方法》课件(精品)
于是 v 同时是、的一个法向量
∥.
2020/7/25
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证 ：如图所示, 建立 Z
空间直角坐标系. A(6,0,0), 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
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练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
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2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0
P
A
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例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
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3.2.2 立体几何中的向量方法 ——平行关系
2020/7/25
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
一. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
2020/7/25
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
Z
解1 立体几何法
P
E
2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法课件(21张)-优质PPT课件
内在联系，从而可以用向量方法解决立
体几何问题.
2.立体几何研究的基本对象是点、直
线、平面以及由它们组成的空间图形.为
了用空间向量解决立体几何问题，首先
必须把点、直线、平面的位置用向量表
示出来，然后再建立相应的解题原理.
3.上一节所学习的内容是空间向量的基 础知识，如何利用这些基础知识解决立 体几何中的实际问题，是本节学习的主 体内容.
探究（一）：空间点、线、面的向量表示
1、在空间中，取定点O作为基点，可以
用什么方法表示空间任意一点P与点O的
相对的位置？
P
O
向量 OP 称为点P的位置向量
2、过空间一点A可以作无数条直线，其 中以某非零向量a为方向向量的直线有几 条？如何用向量式表示？
a P
A
AP ta
3、过空间不同两点A、B的直线如何用向 量式表示？
βv
u α
α⊥β u⊥v u·v＝0.
3、直线l和m所成的角θ与向量a，b的关
系如何？
m
b
θ
α
a
l
cos q = | a ×b | | a || b |
4、直线l和平面α所成的角θ与向量a，u 的关系如何？
l
au
θ α
sin q = | a × u | | a || u |
5、平面α和平面β所成的角θ与向量u，v 的关系如何？
PB A
AP t AB
4、设过点O的两条相交直线确定的平面 为α，如何用向量形式表示平面α内的 点P的位置？
a α Ob
P
OP ＝xa＋yb
5、若直线l⊥平面α，a为直线l的方向向 量，则向量a叫做平面α的法向量，如何 用向量形式表示过点O且法向量为a的平
《立体几何中的向量方法--空间角的计算》课件5(新人教A版选修2-1)
则可设 a =1，b
作 CE BC1于E, DF BC 于 1 F，
C1E CC1 b2 1 2 在 RtCC1 B 中， 2 EB BC a 2
1 即E分有向线段 C1 B的比为 2
2
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
2
，则B(0,1,0)
E F B D A
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
B A
D
C l
cos cos AB, CD
二、线面角：
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
思考：
O
B
A
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
2
A
n
B
n， BA
n， BA
2
B
n
结论：sin
| cos n, AB |
例二：在长方体 ABCD A B C D 中， AB= 5，AD 8, 1 1 1 1
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, ]范围内 的角； 2 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
(教师参考)高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法课件1 新人教A版选修2-1
（3）u v u v0
β
u
v
α
精选ppt
13
A E = 3 F G AE // FG 2
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
D
精选ppt
几何法呢？
EG
F
B
C Y
5
例2、 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， (1)求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
, 的法向量分别为 u, v ，则
(1) lma b ab0
l
a
b
m
精选ppt
11
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l① a//u au
l
② a ⊥ A B , a ⊥ A C
u
a
C
A
B
精选ppt
12
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
F
E
2DBDE2EA
3
3
N
A
D
2(D A D C )D E 2(D A D E ) B M
3
3
C
几何法呢？
2DC1DE 所 以 M N 、 D C 、 D E 共 面 33
但 M N 平 面 C D E 故 M N//平 面 C D E
精选ppt
10
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
DE
(人教)高中数学选修2-1【精品课件】3-2立体几何中的向量方法1
3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU预习引导学习目 标重点难 点1•方向向量与法向量(1)空间中任意一条直线I的位置可以由____________ 以及 __________ 确定，如图A是直线/上一点，向量a表示直线/的___ .(2)直线/丄a,取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的_____...... 交流1对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？课前预习导学课堂合作探究2•空间平行关系的向量表示⑴线线平行:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则1 // mu <=> .(2跡平行:设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为“，则Zc a 或I // ao o ______ .(3)面丽行:设平面的法向量分别为“”则3•空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直:设直线l,m的方向向量分别为则I _L m^=>a _L b u> .(2)线面垂直:设直线I的方向向量为平面a的法向量为"，则/丄(3)面面垂直:若平面a的法向量为平面卩的法向量为儿则a丄卩o课前预习导学课堂合作探究.......... 交流2(1)已知直线I的方向向量”=(2厂1,3),平面a的法向量v=(-6,3,-9), 则/与a的位置关系是__________ .(2)若两个不同平面％卩的法向量分别是u=(l,2,・3),y=(2，-4,・2)，则两个平面的位置关系是问题导学当堂检测一、利用方向向量和法向量判定线面的位置关系=3活动与探究问题1：如何认识直线的方向向量?问题导学当堂检测问题2：如何理解平面的法向量?问题3：如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用?问题导学当堂检测问题4：利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面位置关系的方法是什么？问题5：求平面法向量的方法是什么?问题导学当堂检测______ 例1(1)设a,b分别是不重合的直线/i,/2的方向向量,根据下列条件判断人和仏的位置关系：①“(2,3,-1), “(-6,-9,3);②“=(5,0,2)上=(0,4,0);③“=(-2,1,4),"(6,3,3).(2)设u,v分别是不同的平面a,{3的法向量，根据下列条件判断a,p 的位置关系：②“=(0,3,0),心(0,-5,0);问题导学当堂检测③“=(2,-3,4),心(4,-2,1).（3）设u是平面a的法向量皿是直线I的方向向量，根据下列条件判断a和/的位置关系：①”=（2,2,・1）,“=（・3,4,2）;②”=（0,2厂3）,“=（0厂&12）;③%=（4丄5）皿=（2,丄0）・解:⑴①••力=(2,3厂1)0=(・6,-9,3), ••“ 二・:a//b. ：1{ //12.②S(5Q2)0=(O,4,O)，••“ • b=0・•乙丄力•£丄仏・③・・"(-2 丄4)0=(6,3,3), ••“与b不共线，也不垂直.问题导学当堂检测/11与12相交或异面.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU(2)①••"(1,丄2)严(3,2,母•u• v=3-2-l =0.••“ 丄v・「a 丄卩.②•力=(0,3,0),心(0厂5,0), •3•U = --V.5:u H v. ：d p.③-.w=(2,-3,4),v=(4,-2,l), •S与V不共线，也不垂直.问题导学当堂检测•5与p相交但不垂直.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测S3迁移与应用1・若直线I的方向向量为“=(1,0,2)，平面a的法向量为氏=(-2,0,-4)，则().A.l// a Bl 丄aC.lc a DI与a斜交课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测2.已知平面ot和卩的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,-2),若a丄卩，求x 的值.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测3•如图，已知点A(a,O,O),B(O,b,O),C(O,O,c),求平面ABC的一个法向量.问题导学当堂检测------------- 名師❽障----------------若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量° =(如0“1)上=@202(2)・(3)根据法向量的定义建立关于的方程组匸::二常(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量•由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向问题导学当堂检测量.问题导学当堂检测二、利用向量证明平行关系詡舌动与探究问题1:空间中有几种平行关系?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(3)面面平行①由面面平行的判定定理证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE②若能求岀平面的法向量”,儿则要证明CL// p,只需证明u//v.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测课堂合作探究当堂检测问题2：用向量法证明平行关系的方法步骤是什么?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE(4)利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现:一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测---------- 列2已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,E,F分别是BBi,DD］的中点，求证：(1)F C 1〃平面ADE\(2)平面ADE〃平面B{C X F.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测（1）设兀1=（兀1,刃忆1）是平面ADE的法向量，则W1±DA,W1丄旋，即]ni2?A = 2X1 = 0,（阳• AE = 2yi + Z] = 0, （X] = 0，，，得n 令zi=2,则yi=-l,（zi = -2y「所以切=（0,丄2）.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测因为戸珥•切=2+2=0,所以瓦；丄补又因为FC&平面ADE,所以FCi〃平面ADE.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测⑵因为GW=(2,0,0),设〃2 =(兀2丿2忆2)是平面BGF的一个法向量.由“2丄FC19n2 ^（n2• FC r = 2y2 + z2 = 0.得f 兀2 =I n2• C1B1=2X2 = 0, "2 = -2y2«令Z2=2得歹2=丄所以兀2=（0,丄2）・因为Hi=n2,所以平面ADE〃平面B X C X F.吧迁移与应用1 •在长方体ABCD-AiBiCQi 中,AB=4,AD=3,AA]=2,P,Q,R,S 分别是AA],D]C],AB,CCi 的中点•证明:PQ//RS.当堂检测2•已知正方体ABCD-AECD.求证:平面ABD〃平面BDC.令刃=1,可得平面AB'D'的一个法向量为“1=(-1,1,-1).设平面BDC 的法向量为兀2=(兀2丿2忆2)・因为 DB=(1JMDC=(OJ,1), n 2 丄 DB.令力=1,可得平面BDC 的一个法向量为兀2=（丄 1 1 ）・••阮 1 力2,:n 1 〃 “2, •••平面 4B Q ‘〃 平面n 2 • DB =兀2 + y2 = °，n 2 • DC' = y 2 + z 2 = 0.所以BDC.------------- 名師尊障----------------1 •用空间向量证明线面平行通常有两种方法:一是利用法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是利用共面向量定理•若/的方向向量是"，平面a内两个不共线向量是门和巾,则＜〃ao存在实数g 使W=ZV]+|1V2-2 •证明直线与平面平行时,还应说明直线不在平面内.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU三、利用向量证明垂直关系S3活动与探究问题1:空间中的垂直关系有哪些?当堂检测课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测②证明两个平面的法向量互相垂直.问题2：用向量法证明垂直关系的方法步骤是什么?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测(2)用向量法证明线面垂直的方法与步骤:r①设岀基向量，用基向量表示直线所在的向量②找岀平面内两条相交的向量并分别用基向量表示③分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量的数量积①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③求平面的法向量I④说明平面的法向量与直线的方向向量平行(3)用向量法证明面面垂直通常可以有两种方法:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.------- H列3如图，在正方体ABCD-A]B]C]D1中,E,F分别是B】B,DC 的中点，求证:AE丄平面AQF证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1, 则A(l,O,O),E(l,l,)A](l,O,l),Di(O,O,l),F(O,.O),•*AE =(0,1,)石殆(-1,0,0)谅=法一:设平面A\D{F的法向量为n=(x,y,z). 则)n• A1D1=O,n • D]F=O,(-x = 0，即h 解得x=0,y=2z・(严=0,课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU令Z=l,则n=（0,2,l）.又近=（0,l,|）,.w=2AE.••n〃近,即XI丄平面A X D X F.因此，AE丄平面AiDiF.法二:由于旋• AX =（0,1,|）• （-1,0,0）=0,•'AE 丄AQi・又旋•而=（0,1勻•（0,芥1）=0, ••AE丄皿••AiDiGDiF=Di,.・AE丄平面AQFEii 移与应用1 •在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD ］的中点,O 为底面ABCD 的中心，求证:BQ 丄平面PAC.当堂检测当堂检测2•在四面体ABCD中,AB丄平面BCD,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,F 分别是AC,AD 的中点, 求证:平面BEF丄平面ABC.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE设平面BEF 的法向量〃=（x,y ，z ）,由 n •丽=0,即g,z) •(0,ya,|)=0, 有yay+|z=0=> z=-V3y ・取 y=l,得 n=(l,l<V3).•S 丄而.•••平面BEF 丄平面ABC.问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU\h • CD=(l 9l r V3) •KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测-------------- 名師尊障 ---------------1.用空间向量证明线面垂直的方法：建立空间坐标系,用坐标表示直线的方向向量并求平面的法向量, 说明平面的法向量与直线的方向向量平行;或者说明直线的方向向量与平面内任意两条相交直线垂直,即直线的方向向量与相交直线的方向向量的数量积为零.2.用空间向量证明面面垂直的方法：说明两个平面的法向量垂直或根据线面垂直来证明.当堂检测2问题导学1•已知平面a〃平面卩,n=(l,-l,l)是平面a的一个法向量，则下列向量是平面卩的法向量的是().4(1,1,1) 5.(-1,1,-1)C(-l 厂1,-1) D(l,l，-1)。
高中数学选修2-1教案 3.2立体几何中的向量方法第5课时
§3.2.5 综合问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。
由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。
【教学目标】：（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：坐标法与向量法结合.【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．【课前准备】：Powerpoint课件24BA CD=异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为0, 0,3x z y z +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩3,1,-.37EC n n==解决立体几何问题的三种方法：五、作业习题3.２ A 组9、10、 12 题；选作B 组2 , 3 题练习与测试： （基础题）1，过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =， 则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90答：B2，设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,AB 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 （ ）A ．23B ．25C ．27D ． 42答：C3，如下图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x 、y 、z 的值分别为A.x =,y =,z =B.x =,y =,z =C.x =,y =,z =D.x =,y =,z = 解析：=－,=－,=(+)=+－,=－=+－,D 1C 1B 1CDA 1==－++,=+=+ +.答案：D4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M =AN =a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析：因为正方体的棱长为a ,故面对角线A 1B =AC =a .而A 1M =AN =a ，所以M 、N 分别是A 1B 和AC 上的三等分点.在B 1B 、BC 上各取点E 、F ，使得B 1E =BF =a .则=++.但=－=－=(－)=，=－=－= (－)=，∴+= + =+=0，∴=，即MN ∥EF ，∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B（中等题）5，如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1，.求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则E （3，3，0）、C 1（0，4，2）、D 1（0，0，2）、F （2，4，0）.从而1EC ＝（－3，1，2）、1FD ＝ （－2，－4，2）所以直线EC 1与FD 1所成的余弦值为 11FD EC ||||1111FD EC •14216，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ， 则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ， ∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，∴(0,0,1),(,,1)22a aD E ，∵G 是ABD ∆的重心，5(,,)333a a G ，∴2(,,)663a a EG =-，(,,0)AB a a =-， (0,,1)AD a =--，∵EG ⊥平面ABD ，,,EG AB EG AD ⊥⊥得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠，6||EG =， 1132BE BA ==2sin EG EBG BE ∠==， （2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍， ∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD 的距离等于262||EG =． 小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍．G ED C 1B 1A 1C BAx y（难题）7，如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG= CD，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成的角的余弦；(3)求FH的长.分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图建立空间直角坐标系O－xyz,D为坐标原点O，依据已知有E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)，由·=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，得⊥，∴EF⊥B1C.(2)解：=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||= =，由(1)得||==，且·=×0+×(－)+(－)×(－1)=，∴cos〈,〉==.(3)解：∵H是C1G的中点,∴H (,,),即(0,,).又F (，，0),∴FH =||==.8，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点， （1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线； （2）求点1D 到平面BDE 的距离．解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11(,,1)22F ，11(,,0)22EF =-，1(0,0,2)CC =，1(1,1,2)BD =-，∴110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=， ∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．（2）设(1,,)n x y =是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB =，(0,1,1)DE = ∴10n DB x ⋅=+=，0n DE x y ⋅=+=，(1,1,1)n =-， 点1D 到平面BDE 的距离1||233||BD n d n ⋅==FE1111D C B A DCBA。
(教师参考)高中数学 3.2.3 立体几何中的向量方法课件1 新人教A版选修2-1
u v 0,
平面精E选BppDt 平面C1BD.
13
例3、正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1,E是AA1中点， 求证：平面EBD 平面C1BD.
证明2：
E
•
精选ppt
14
夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) l,m 的 夹 角 为 ，coscosa,b
证明： 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)
EB(2,0,1)
ED(0,2,1)
E
设平面EBD的一个法向量是
u(x,y,1)
由 u E B u E D 0
得u (1 , 1 ,1) 22
平面C1BD的一个法向量是
vC A 1( 1 , 1 ,1 )
MN⊥AB, 同理 M精选Np⊥pt CD.
6
例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证明3： 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.
B(0, 0, 0) D(0,2,0) C( 3,1, 0)
Z
A
M
M( 3,1, 6) 623
N ( 3 , 3 ,0) 22
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1 为单位
正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则 Ｄ １ Ｆ D A 0 ， Ｄ １ Ｆ D E 0
则 Ｄ １ Ｆ D A ， Ｄ １ Ｆ D E ． D
人教新课标版数学高二选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(一)
l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二 利用空间向量处理平行问题 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，
用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向 量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转 化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
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合作探究
问题1 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案
问题2 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直 线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案 由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共 线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
探究点3 利用空间向量证明平行关系 例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
解析答案
(证2)明平面因AD为E∥C―1→平B1＝面(B21,C0,10F).，
设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
立体几何问题
向量 渐渐成为重要工具
(研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几
何中的应用.
引入2、复习 共线向量定理:
选修2-1课件3.2.2_立体几何中的向量方法(全面)
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
空间“距离”问题(1)
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
P
n
A
O
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的 绝对值与该法向量模长的商.
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
z
G
C
1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
空间“距离”问题(2)
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.2《立体几何中的向量方法(一)》课件
知识要点
方向向量、 法向量的运 用思考 本课小结
练习
1
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
P
P
O A
B
3
P
此方程称为直线的向量参数方程
B A
P O
4
P
O
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
5
平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在
6
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 为法向量的平面是 完全确定的.
A 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向 量 是与平面平行或在平面 内，则有
平行
垂直
夹角
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17