18.1变量与函数(1)
沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数
第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。
3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。
18.1(2)函数的定义域与函数值
例2 如果三角形的三条边长分别为3cm、7cm、
xcm，那么三角形的周长y(cm)是x(cm)的数．写 出函数解析式并指出它的定义域．
解：函数解析式是y x 10
函数的定义域是4 x 10.
定义域不仅要考虑解析式本身有没有意义，还要考 虑是否符合实际意义．
1、已知函数y=2x+5
(1)要使代数式本身有意义． (2)对于反映实际问题的函数关系，应 使实际问题有意义．
3.求函数值的方法：
跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的 自变量的值代入函数解析式中，计算．
E
C
A
D
B
1、已知函数y=2x+5
，按要求分别进行以下操作：
输入x x … y …
y=2x+5
输出y 0.3 -0.5 … 5.6 4 …
1
-1 3
0 5
7
2、已知函数 y 输入x x y
x ，按要求分别进行以下操作：
y x
输出y 0.04 -4 … 0.2
1 1
4
0 0
2
×
对于函数y 2 x 5,自变量x可以取任意一个实数吗？ 函数y x呢？
，按要求分别进行以下操作：
输入x x y
y=2x+5
输出y …
1
-1 3
0 5
0.3 5.6
a
7
2a+5 …
如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在 定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做 当x=a时的函数值．
为了深入研究函数，我们把语句“y是x的函数”
． 记号y=f(x)来表示． 这里括号内的字母x表示自变量，括号外的字母f 表示y随着x变化而变化的规律．
沪教版(上海)八年级数学上18.1函数的概念
沪教版（上海）八年级上18.1函数的概念姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 在一张边长为 30 cm 的正方形纸片的四角上分别剪去一个边长为 x cm 的小正方形，然后将剩余部分折叠成一个无盖的长方体．则使得长方体的体积最大的 x 的取值是（）A．7B．6C．5D．42 . 根据图示的程序计算计算函数值，若输入的x值为3/2，则输出的结果为（）A．7/2B．9/4C．1/2D．9/23 . 函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≠4B．x＞4C．x≥4D．x≤44 . 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥2B．x≠2C．x=﹣1D．x=2二、填空题5 . (2018年河南省开封市中考模拟考试（4月）) 如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,则y与x的解析式是_______.6 . 如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是（写出n的取值范围）7 . 按下面的运算程序，输入一个实数，那么输出值______.8 . 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．9 . 已知函数，那么______.10 . 在函数y=中，自变量x的取值范围是．11 . 列等式表示：比b的一半小7的数等于a与b的和_____．三、解答题12 . 如图所示，用长为20的铁丝焊接成一个长方形，设长方形的一边为x，面积为y，随着x的变化，y的值也随之变化．(1)写出y与x之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？(2)用表格表示当x从1变化到9时(每次增加1)，y的相应值；x123456789y(3)当x为何值时，y的值最大？13 . 用火柴棒按下图中的方式搭图形如图所示：（1）按图式规律填空：图形标号①②③④⑤火柴棒数（2）照这样的规律摆下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？14 . 计算：15 . 出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）8元，超出3km的部分1.6元/km．（1）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元?（2）佳佳付车费16元，那么出租车行驶了多少km?（3）直接写出车费y(元)与行驶路程x(km)之间的关系式．(其中x≥3)·16 . 某商店用元第一次购进一批服装，售完后又用元购进同样的服装，件数是第一次件数的倍，第二次比第一次每件贵了元.（1）商店两次共购进服装多少件？（2）第一次以元/件很快销售完毕，第二次也以同样的价格销售，最后还剩件，然后又以折的价格很快售完，请问该商店第二批服装的盈亏情况如何？17 . 利用等式的性质解一元一次方程（1）2x-3=9 （2）-x+2=4x-7（3）4x+2=x （4）18 . 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存18元，争取超过小张．请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？参考答案一、单选题1、2、3、4、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、。
函数的概念—教学设计及专家点评(获奖版)
上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十八章18.1函数的概念（1）设计说明一.教学内容及其解析本节课是上海市初中数学课本（上海教育出版社）八年级第一学期第十八章《正比例函数和反比例函数》第一节正比例函数的第一课时，主要内容是函数及其相关概念.函数是数学中重要的基本概念之一，也是一种重要的思想方法. 它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型. 在上海的初中数学课程中，对函数概念的描述，是用变量之间的依存关系定义的，即函数的“变量说”. 到了高中阶段，函数再以集合观点来描述，函数被定义成两个数集之间的映射，要求“集合A 中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”，从而完善“变量说”的表达，进入“对应说”阶段. 之所以初中以运动观点来描述函数概念，主要是它直观、感性，贴近生活，学生易于理解、接受，而且“变量说”也是函数思想的根本. 高中函数概念的表述，这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的. 高中阶段学习的函数概念是初中阶段所学函数概念的深化与提高，这也是《课程标准》中要求知识与技能呈螺旋式上升规律的体现. 正如弗赖登塔尔指出的：“函数概念的出现，要比正式的定义早得多，也自然得多. 我们‘能够’甚至‘必须’运用实际中出现的函数概念，而不必先去生造或定义函数. 在学生接触了许多函数，已经能作出函数以后，再让他们去归结出什么是函数，这才是数学活动的范例. 这种新的基本概念的创造，才能明显地表现出活动水平的提高.”本单元内容的安排，先举例讲述数量以及变化过程中的常量和变量，接着描述函数的概念；然后，研究正比例函数和反比例函数，以它们为载体，帮助学生初步感知变量数学，体会研究函数的基本路径和方法；在学生具体研究正比例函数和反比例函数的基础上，进一步整理函数的表示法，讨论生活实际中的函数问题，深化对函数的理解. 本单元知识结构图如下：本节课先引发学生思考反映不同事物变化过程的一些实际问题，给出变量、常量的概念；然后体会变量之间的联系，围绕函数概念的形成，采用“背景—分析—归纳”的方式引入概念，在师生充分交流的基础上，归纳得到函数的概念，揭示其核心是“变量之间的关系”；随后通过例题帮助学生知道刻画依赖关系的三种常用表达方式，系统地呈现了函数概念，有利于学生基础知识和基本技能的初步掌握，体现“实践—理论—再实践”的认知规律.二.教学目标及其解析基于对教学内容的思考，将本节课的教学目标设置如下：从实例出发，在具体情境中体会数量在生活中的作用，能区分变量与常量；通过分析问题情境中变量之间的联系，从中理解确定的依赖关系的含义，建立函数及其相关概念.经历“背景—分析—归纳—定义—辨析—应用”的函数概念形成过程，在不同问题情境中，初步领会函数思想，体会用数学的视角思考问题，用数学的语言阐述观点，用数学的方法解决问题，积累数学探究的基本经验；初步体验观察、分析、归纳等数学实验研究的方法和利用图像、表格整理数据、获取信息的方法，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理、数据分析等能力.在数学学习和问题解决中，发展主体意识和团队合作的精神；认识数学来源于生活又反作用于实践，体会辩证唯物主义观点；了解我国现实国情、新时代特色社会主义建设成就，增强爱国主义热情和民族自信心.教学重点：分析变化过程中变量之间的联系，从中理解确定的依赖关系的含义，建立函数及其相关概念.教学难点：归纳提炼函数的概念、理解函数的意义.三.学生学情分析函数概念是初中阶段最难理解的概念之一，一方面它有高度的抽象性，另一方面，变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待问题，具有辩证思维特征.1本节课采用借班上课的形式，教学对象是八年级学生. 学生过去研究过数、量、字母表示数，这些都是一元变量，期间也涉及了几个变量之间的关系（如：运算律、公式等），但没有系统地学习过两个变量之间的关系. 函数关系是特殊的对应（依赖）关系.在初识阶段，分析两个变量之间的关系时，学生往往侧重它们的内在逻辑联系，因此，在教学设计中，以教材提供的概念形成过程和素材及贴近学生的生活实例为依据，特别注意以实例为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的线索和阶梯，其中特别注重典型实例、表格和图像等的直观作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导，1摘自《注重学生思维参与与感悟的函数概念教学》章建跃以帮助学生感悟函数概念的本质属性：两个变量间确定的依赖关系. 函数关系的研究，对分析和应用现实世界普遍存在的变量之间的关系有着非常重要的作用，所以，函数的概念教学要从系统地研究变量之间关系的必要性入手，突出函数关系的特征.另外，在表述中常采用“y是x的函数”，这从字面语意上看y是函数，但变量之间的关系才是函数的本质，这是学生很容易混淆的，所以设计了“温度变化”、“入园人数”等以图像、表格形式呈现的实例帮助学生感受函数概念的本质.四.教学策略分析根据上述分析，我制定了如下教学策略：教学策略1：创设情境，初步感知，促体验函数与现实生活的联系非常密切. 本节课以实际问题贯穿始终，在函数概念的引入、抽象、概括等各环节中，创设了丰富的、生活化的问题情境，以具体的实例为载体化解函数概念的抽象性，引导学生初步感知变量间的联系，体验确定的依赖关系.教学策略2：经历变化，抽象提炼，促理解概念形成是从实例出发，通过观察、归纳、抽象、概括出事物的某类本质属性，并通过提出各种假设加以验证. 本节课对于函数概念的学习，需要经历从具体到抽象的过程，先提供了“轨道高度”、“抛篮球”两个实例，利用信息技术（幻灯片动态演示、几何画板软件模拟、短视频嵌入等）动态地呈现问题情境中的变化过程，引导学生进行分析，通过数学抽象，逐步形成函数的有关概念，随后通过“天气变化”、“入园人数”两个实例，突出函数的本质属性是两个变量间“确定的依赖关系”，剥离“用数学式子表示”这一非本质属性.教学策略3：整体思考，把握内涵，促衔接本节课是本单元的起始课，后续还将进一步学习正、反比例函数和函数的表示方法.在本节课中，问题的呈现形式有文字、图像、表格，有意识地使用了这些不同的表现形式，这样的编排一方面有助于突出函数概念的本质属性是两个变量间“确定的依赖关系”，进而形成对函数概念较深刻的认识；另一方面也为后面继续学习函数的三种表示方法进行了适当的准备.教学策略4：问题探究，初识价值，促发展通过具体问题为载体的探究活动：借助信息技术来模拟“电动车行驶”实验，探究电动车电池剩余电量与行驶路程的关系，尝试用三种常用的方式来刻画这种关系. 在模拟实验的活动中，尝试应用函数的观点来观察、分析、解决问题，在此过程中加深对函数知识的理解，积累基本活动经验，初步感受函数在刻画运动变化规律中的作用，领会用函数的思想研究事物的一般方法；启发学生“由数想形，由形助数”，激发学生的创新思维，增进直观想象、数学抽象等核心素养的形成和发展，逐步学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.教学技术支持：板书支持：为了有效实现教学目标，我设计了如下板书：信息技术支持：为了更好支持学习活动，我制作了教学课件，将信息技术与课程内容有机整合，发挥信息技术在解决学生数学学习困难上的作用：（1）函数概念具有高度的抽象性，因此本节课借助信息技术直观呈现具体实例的变化过程，为概括数学概念提供具体背景支持，如通过动态演示“轨道高度”的变化过程来认识常量与变量；又如短视频呈现“抛篮球”“温度变化”等实例，使变化过程变得“可视化”、“连续性”，以有序的变化过程帮助学生理解“确定的依赖关系”.（2）以往教学中难以呈现的课程内容可以通过技术在课堂上呈现，如“电动车行驶”实验，通过几何画板的模拟将实验搬入了课堂，在用数学解决实际问题时，利用信息技术呈现实验模拟、数据收集、数据处理、数据分析等过程，借此学生尝试进行探究活动.（3）数学中存在复杂的数据处理，如“电动车行驶”问题中，用图来刻画两个变量间的确定的依赖关系时，通过几何画板“绘制表格”功能代替机械性的描点过程，提高效率，使学生有更多的时间用于数学的实质性思考，同时培养学生的现代技术意识.板书与课件能直观、有效地帮助学生逐步形成概念，随着学生的思维同步展开，构建了有利于学生抽象概念的教学情境.五.教学过程设计1. 创设情境，引入新课【师生活动1】观看《纪念天宫二号》视频.【设计意图】通过天宫二号实例，感知数学来源于生活；了解我国现实国情、新时代特色社会主义建设成就，增强爱国主义热情和民族自信心.请阅读海报，你可以获得哪些信息？海报上是如何描述天宫二号的特征的？【师生活动2】学生先独立阅读海报，尝试获取信息；随后通过“描述天宫二号的特征”这一对话活动，发现需要用“数”和“单位”来描述，从而引出数量的概念：数与度量单位合在一起就是数量；再配以具体例子进一步体会“可以用数量来描述事物的特征”.【设计意图】体会用数量描述事物的特征，引起学生对数量的关注.2. 活动探究，形成概念问题1如果在平面内将地球抽象成一个圆，飞行器抽象成一个点，设想飞行器绕地球飞行，（1）其飞行的轨道是什么图形？（2）假设轨道高度为x千米，那么轨道周长y是多少千米？【师生活动1】将实际问题在平面内抽象成数学图形，引导学生利用已有知识（圆的周长公式）找出轨道周长与轨道高度的关系；通过多媒体演示改变轨道高度，直观感受飞行器所在的绕地飞行轨道大小随之改变，归纳常量与变量的概念.【设计意图】运用多媒体技术帮助学生直观感受变化过程中存在的两类量：常量与变量，进而归纳常量与变量的概念.学生在活动中初步感受“变化而变化”，引出本节课需要研究的主题.【师生活动2】辨析：下列数量中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）2018年期间，你的体重G（千克）；（2）某次汽车匀速行驶时，行驶的速度v（米/秒）；（3）昨天，某气象站测得的室外温度T（摄氏度）；（4）篮球抛出后至落地的这段时间内，篮球离地面的高度h（米）.【设计意图】通过辨析进一步明晰常量和变量的概念.追问：篮球抛出后至落地的这段时间内，篮球离地面的高度h（米）与什么变量有关？【师生活动3】根据生活经验，说出影响篮球离地面的高度h的变量.【设计意图】体会变量之间处处有联系.问题2 一次抛出篮球后，设篮球离手时间t（秒）时，球离地面的高度为h（米），（1）在这个过程中，h与t有关系吗？（2）t的值确定时，h的值能确定吗？【师生活动4】①短视频演示篮球抛出到落地的过程，即时显示离手时间及篮球离地高度.学生通过观察变化过程，体会h 随着t的“变化而变化”、“确定而确定”.②回顾：飞行器飞行高度变化的过程，轨道周长y（千米）与飞行器的轨道高度x（千米）之间的关系. 【设计意图】通过师生共同讨论，分析问题中一个变量的变化对另一个变量变化的影响，感受变量之间“确定的依赖关系”，初步形成函数的概念，体会函数解析式可以刻画“确定的依赖关系”.问题3下图是某一天气象站测得的该地区气温变化情况：（1）时间t和温度T是变量吗? 温度T和时间t有确定的依赖关系吗？（2）时间t的取值范围？【师生活动5】①多媒体演示：短视频演示绘制图的过程，将图形从左到右描点呈现.②引导学生对该变化过程进行类似上面两个变化过程的变量关系分析，归纳函数的完整概念并板书. 【设计意图】学生感受变量的取值随研究背景的限定而有范围，完善函数概念；体会到图也可以刻画“确定的依赖关系”，突出函数的本质属性，剥离“用数学式子表示”这一非本质属性.问题4 某场馆2018年十一长假期间测得的入馆人数统计表如下：日期和当天入馆人数是变量吗？入馆人数是日期的函数吗？说说你的理解.【师生活动6】引导学生说出“日期”和“当天入馆人数”两个变量间的联系，体会表格也可以刻画变量间“确定的依赖关系”.【设计意图】利用函数的概念判断一个变量是否是另一个变量的函数，巩固函数概念；体会用表刻画变量间“确定的依赖关系”，进一步突出函数的本质属性；归纳三种常用的刻画确定依赖关系的方式，为本单元学习函数的三种表示方法做铺垫.【师生活动7】阅读课本，圈划概念，互相交流.【设计意图】在课本上圈划概念，养成良好的学习习惯；规范语言，梳理函数的相关概念.3. 模拟实验，增进理解问题5 老师准备十一期间开着一辆电动汽车去A地旅游，但担心去的路上电动车的电量是否足够，路途中间是否需要找充电站充电？因此，老师希望知道：这辆电动汽车的剩余电量与行驶的路程有什么关系？说说你的理解？模拟实验一辆电动汽车匀速行驶的过程，汽车蓄电池原有电量30（千瓦时），观察实验过程并思考：（1）设汽车行驶的路程为x（千米），电池剩余电量为y（千瓦时），y是x的函数吗？（2）如何刻画y与x的函数关系？【师生活动】①媒体演示：短视频演示电动车的行驶过程，直观呈现电池电量的变化情况.引导学生利用函数的概念来描述两个变量之间的关系.②小组讨论：你能用什么方式来刻画y与x的关系？如何呈现？③交流分享：几何画板模拟电动车的行驶过程，将行驶路程与电池电量的具体数值直接呈现.【设计意图】再次经历探究两个变量间的函数关系的过程，巩固函数的相关概念；进一步体会刻画确定的依赖关系的三种常用方式，并初步感受三种刻画方式的优点和局限性；学生通过经历实验、采集数据列表、描点法画图、分析表与图、寻找规律、尝试得出函数解析式的过程，积累数学探究的活动经验，体会函数思想，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理、数据分析等能力.4. 自主小结，知识梳理【设计意图】梳理知识，明晰函数的概念，进一步体会学习函数的价值.5. 布置作业，目标检测1、精读书本P52-55页，加深对课堂内容的理解；2、完成练习册18.1（1）.【设计意图】检测目标的达成情况.六.课堂教学目标检测目标检测是测量学生学习水平和衡量教师教学效果的有效手段，所以我在教学行进过程中和课后，设置了基于本节课教学目标和单元规划的检测题，如：教学过程中的问题5（具体见上文）；再如课后作业第5题：德国著名心理学家艾宾浩斯（1850年~1909年）对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下相关数据：他又根据上表绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线.观察这条曲线，回答：（1）在这一变化过程中，有哪两个变量？它们之间是否存在确定的依赖关系？其中一个变量是另一个变量的函数吗？为什么？（2）你从图中发现怎样的规律？对你的学习有什么启示？【设计意图】本题用表和图来刻画函数关系，意在检测学生对于依赖关系和函数概念的掌握情况；随后设计了一个开放性的问题，意在检测学生“用数学”的意识及能力，以下评价标准可供参考：第一层级（合格）：问题（1）解答正确；第二层级（良好）：问题（1）解答正确；问题（2）能读出变化趋势，描述大致的变化规律，能较清楚地介绍自己的学习启示；第三层级（优秀）：问题（1）解答正确；问题（2）能读出变化趋势，准确、完整地描述变化规律，能清晰地介绍自己的学习启示.上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十八章函数的概念点评稿朱费迪老师是上海市宝钢新世纪学校的一位优秀青年教师，她执教的《函数的概念》是上海教育出版社初中数学八年级第一学期第十八章第一节内容。
八年级下册数学配套练习册答案人教版(2019)
八年级下册数学配套练习册答案人教版（2019）第18章函数及其图象§18.1变量与函数（一）一、选择题. 1.A 2.B0.8x2x 3. y二、填空题. 1. 2.5，x、y 2.101.（123.6x2. y100010）三、解答题. 1. y8x§18.1变量与函数（二）一、选择题. 1.A 2.D9x4x，0361 2. 5 3. y二、填空题. 1. x10，50030的整数 2. （1）yx0.5x，01520）三、解答题. 1. y（x（2）810元§18.2函数的图象（一）一、选择题. 1.B 2.A二、填空题. 1. x ，三，四 2. （-1，-2） 3. -7，4三、解答题. 1. 作图（略），点A在y轴上，点B在第一象限，点C 在第四象限，点D在第三象限； 2. （1）A（-3，2），B（0，-1），C（2，1）（2）6§18.2函数的图象（二）一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 5.99 2. 20 3. （1）100 （2）甲（3）10米/秒，8米/秒8x5x，040三、解答题. 1. （1）40 （2）8，5 （3）y2. （1）时间与距离（2）10千米，30千米（3）10点半到11点或12点到13点§18.2函数的图象（三）一、选择题. 1.C 2.D二、填空题. 1. 3 2. 12分钟 3. y三、解答题1. （1）体温与时间（2）：4 （2）作图略xx，042.（1）y§18.3一次函数（一）一、选择题. 1.B 2. B2.6x23. y3，m二、填空题. 1. （1）、（4）, （1） 2. m13或5x，（2）390元； 2. 240三、解答题. 1. （1）y§18.3一次函数（二）2t)2 212 18 24 时间t（h） 6一、选择题. 1.A 2. C 体温（℃）39 36 38 36 1(201 3. 0, 3 33 2. 5x二、填空题. 1. y13x三、解答题. 1. ；两条直线平行 2. y§18.3一次函数（三）一、选择题. 1.C 2. D二、填空题. 1. -2，1 2. （-2，0），（0，-6） 3. -23x，218三、解答题. 1. （1）（1，0），（0，-3），作图略（2）3 2. （1） y6 （2）作图略，y的值为6x0§18.3一次函数（四）一、选择题. 1.B 2.B二、填空题. 1. 第四 2. > 13. mb（图略）2，（2）a1 （2） -2 2. （1） x三、解答题. 1. （1）m §18.3一次函数（五）一、选择题. 1.D 2.C2 3. -2， 2x5 2. 答案不，如：y7x二、填空题. 1. y5 2. （1）（4，0）（2）yx三、解答题. 1. y§18.4反比例函数（一）6 2一、选择题. 1.D 2.B 3x，反比例 xx620 2. 1 3. y（2）点B在图象上，点C不在图象上，理由（略） x3三、解答题.1. （1）yx二、填空题. 1. y32. （1）y（2）§18.4反比例函数（二）一、选择题. 1.D 2.D二、填空题. 1. 第一、三；减小 2. 二，第四 3. 221 ， x2y2 2. （1）y三、解答题.1. （1）-2 （2）y1§18.5实践与探索（一）。
18.1函数的概念精编版
时间 刚记忆完 20分钟后 1小时后 9小时后 1天后 2天后
记忆量 100%
58.2% 44.2% 35.8% 32.7% 27.8%
（1）在这一变化过程中，有哪两个变量？ 它们之间是否存在确定的依赖关系？其中 一个变量是另一个变量的函数吗？
存在，某班支援灾区的捐款数是该班学生个人捐款平均数的函数。
例题1：气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行 如下转化：y 9 x y是32不是x的函数？为什么？
5 解：在把摄氏度转化为华氏度的过程中，华氏度y随着 摄氏度x的变化而变化；
由 y 9 x 32 ，当x取一个值时，y的值也随之确定，
存期x 三月 利率y() 3.10
六月 3.30
一年 3.50
二年 4.40
三年 5.00
五年 5.50
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利 率y是如何变化的。是否存在确定的依赖关系？
在以上变化过程中存在着两个变量x和y，当x取 定一个值, y的值随之确定。
我们就说y是x的函数.x是自变量
1、某校学生总人数1200,某天实际到校的学生人 数n与学生的出勤率p是两个变量.试说明p是n的 函数,并写出这个函数解析式.
8 T(C)
6
4
2
时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t(时)
-2
-4
在以上变化过程中存在着两个变量t和T,对于时间t每
取一个值,温度T就有一个确定的温度
பைடு நூலகம்
我们就说T随着t的变化而变化.温度T是时间t的函数.t是自变量
18.1变量与函数(2)课件
3.写出下列各问题中的关系式 并指出其中的常量与变量 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量 写出下列各问题中的关系式 并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长 与半径 的关系式 圆的周长C与半径 的关系式; 圆的周长 与半径r的关系式 (2)火车以 千米 时的速度行驶 它驶过的路程 千米 和所 火车以90千米 时的速度行驶,它驶过的路程 千米)和所 火车以 千米/时的速度行驶 它驶过的路程s(千米 用时间t(时 的关系式 的关系式; 用时间 时)的关系式 (3)n边形的内角和 与边数n的关系式 边形的内角和S与边数 的关系式. 边形的内角和 与边数 的关系式
及三角形内角和为180度，可以得到关于x,y的二元 及三角形内角和为180度 可以得到关于x,y的二元 180 x,y 一次方程： + =180 一次方程：2x+y=180 方程变形为： 方程变形为：
y=180－2x (0<x<90) －
利用变量之间的关系列出方程, 利用变量之间的关系列出方程 再把方程变形,从而求出两个变量之 再把方程变形 从而求出两个变量之 间的函数关系. 间的函数关系
6
试一试： 试一试：看谁的眼光准
判断下列变量关系是不是函数？ 例1 判断下列变量关系是不是函数？
(1)等腰三角形的面积与底边长 等腰三角形的面积与底边长. 等腰三角形的面积与底边长 (2)关系式 ＝± x 中, y是x的函数吗 关系式y 的函数吗? 关系式 是 的函数吗 判断是不是函数, 判断是不是函数,我们可以看它的数学 式子中的变量之间是否满足函数的定义. 式子中的变量之间是否满足函数的定义.
1
函数
一般地,在一个变化过程中有两个变 一般地 在一个变化过程中有两个变 如果对于x的每 一个值, 都有唯 量x与y,如果对于 的每 一个值 y都有唯 与 如果对于 与它对应,那么就说 一的值与它对应 那么就说x是自变量, 是 一的值与它对应 那么就说 是自变量 y是 因变量, 的函数. 因变量 此时也称 y是x的函数 是 的函数
第18章函数及其图像
第18章函数及其图象山东省诸城市皇华镇郝戈庄初中王绪版本：华师版初二数学（八年级）（下）课题： 18.1 变量与函数第1课时学习目标：1.初步学会从图形（或图象）、表格中获取有用信息．2.了解常量、变量、函数的意义，了解函数的三种表示方法．3.能够列出简单问题的函数解析式．并会指出实际问题中的常量，变量，自变量，因变量，谁是谁的函数？教学过程：导学：思考大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？如一天的温度与时间，年利率与存期，波长与频率，圆的面积与半径。
百度图片 1/tkc009a/xueke/z_shuxue/images/42.jpg2/p/20110719/20110719213411-542070877.jpg3/wzym/0208/g20208/g2wlh031.files/image004.jpg4/vrw/sc/sctx/397215763664.jpg一、学一学：自学课本24 —26页问题1——问题4，完成课本上提出的问题并总结：（1）在这个变化过程中，任选时刻t的一个确定值，温度T有几个值和这个时刻相对应？（2）问题2中任取存期x的一个确定的值，年利率y有几个值与它对应？（3）独立完成问题3、问题4，思考归纳：①在上述问题中分别涉及几个可以取不同值的量（变量）？把它们一一说出来。
涉及几个始终保持不变的量（常量）？分别说出来。
归纳：根据你的理解，用自己的语言表述什么是变量？什么是常量？②对于其中一个量的每一个取值，另一个量总有几个值与其相对应？归纳：根据你的理解，用自己的语言表述什么是函数？什么是自变量？什么是因变量?（2）试指出上面四个问题中的自变量与因变量，以及常量。
（3）观察问题1，2，3，4你总结一下函数有几种表示法？他们分别是，，。
二、试一试：小明为了表示爷爷吃过晚饭后，出门散步、报亭看报、回家的过程，绘制了爷爷离家的路程S(米)与外出的时间（分）之间的关系图（如图17-1-3所示），请根据这个关系图回答下列问题．百度图片 /20100526/3535453_094631024011_2.jpg（1） 这个关系图反映了哪几个变量之间的关系？（2） 任取变量t 的一个值，变量S 有几个值与它对应，变S是t 的函数吗？(3) 报亭离爷爷家多远？爷爷在报亭看了多长时间的报？(4) 爷爷出门、返回的平均速度分别是多少？三、练一练：写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的变量与常量。
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大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究 这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来 刻画各种运动变化.
先看什么叫变量?
(1) 你坐过摩
天轮吗？你 坐在摩天轮 上时,随着时 间t的变化,你 离开地面的 高度h是如何 变化的？
h（米）
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
以上各个问题中都出现了可以取不同数值的量.
像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量, 叫做变量.
什么叫函数呢?
问题1
这张图 告诉我们 温度 哪些信息? 8 T(C)
6 4 2 0 2
下图是某地一天的气温变化图,看图回答： ①这天的2时30分、9时和14时的气温分别为少？任 意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． ②这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ ③这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时 段的气温在逐渐降低？
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上 一点的高度h（米）之间的关系。
根据上 图填表
t/分 h/米
0
3
1
11
37
5
11
··· ··· ··· ···
汽车行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化
(3) 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行使的 路程S(千米)与行驶的时间t(时)之间有怎样的关系?
t（时间） 1
2 120
3 180
4 240
5
6
… …
s（路程）
60
300 360
S = 60t
刻画摩天轮转动过程的量是时间t和高度h,高度h 随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值． 刻画汽车运动变化的量是路程S和时间t,路程S随 着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值．
一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如 x和y, 对于x的每一个值, y都有唯一的值与之对应,我 们就说x是自变量, y是因变量, 此时也称y是x的函数. 的函数的本质就是唯一确定的对应关系. 研究事物的运动变化,实际是从研究因变量与自 变量的对应关系入手的.
因变量与自变量的对应关系又叫函数关系.
3.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C与半径r的关系式; (2)火车以90千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所 用时间t(时)的关系式; (3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
3.解: (1)C=2r, (2) s=90t,
2、 是常量，r和C是变量. 90是常量，t和s是变量.
相应的利率,下表是2006年8月中国工商银行 为“整存整取”的存款方式规定的年利率：
存期x 利率y() 三月 1.80 六月 2.25 一年 2.52 二年 3.06 三年 3.69 五年 4.14
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率 y是如何变化的． 在以上变化过程中存在着两个变量x和y,对于x每 取一个值, y都有唯一的值与之对应. 我们就说x是自变量, y是因变量.也称y是x的函数.
练习
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.
2.下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
年龄组(岁) 男生平均身高 (cm) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 115.4 118.3 122.2 126.5 129.6 135.5 140.4 146.1 154.8 162.9 168.2
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加? (3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是 因变量?
2.解: (1) 14岁的男学生的平均身高是146.1cm． (2)约从11岁开始身高迅速增加. (3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之 间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.
7.07
2
12.57
2.6
21.24
3.2
32.17
…
圆面积S(cm² 3.14 )
…
在以上变化过程中存在着两个变量r和S,对于r每取一个值, S都有唯一的值与之对应. 我们就说r是自变量, S是因变量.也称S是r的函数.
概括
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依 赖,密切相关.
这张图是怎样 来展示这天各时刻 的温度和刻画这天 的气温变化规律的?
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
时间 24 t(时)
-2
-4
在以上变化过程中存在着两个变量t和T,对于时间t每 取一个值,温度T都有唯一的值与之对应.
我们就说t是自变量,T是因变量.也称T是t的函数.
问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了
h（米）
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
h（米）
45
37
11
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(2)半径为R的球, 体积为V,则V与R的函数关系 式为 V＝ 4 R³ ,自变量是_____, ____是_____ 3 的函数,常量是______.
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的 半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系： r² S＝____________． 利用这个关系式,试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积,并将结果填入下表:(≈3.14)
问题4
半径l(cm)
1
1.5
(3)S=(n－2) ×180,
2和180是常量， n和S是变量.
思考:
(1)购买单价为每本10元的书籍,付款总金额 y(元),
购买本数x(本).问:
变量是______ ,常量是______,_______是自变量, ______是因变量,______是_____的函数．函数关系
式为_____________．
表示函数关系的方法通常有三种： 300000 (1) 解析法，如问题3中的f ＝ ,问题4中的
S＝πr² ,这些表达式称为函数的关系式．
(2) 列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频 率关系表．
(3) 图象法,如问题1中的气温曲线.
在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保 持不变,我们称之为常量.如问题3中的300 000,问题4中 的π等 .
收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和 千赫兹(kHz)为单位标刻的． 下面是一些对应的数：
波长(m) 频率f(kHz) 300 1000 500 600 600 500 1000 300 1500 200
细心的同学可能会发现： 与 f 的乘积是一个定值，即 f＝300 000， 或者说 f ＝ 300000 在以上变化过程中存在着两个变量和f,对于每取一个 值,f都有唯一的值与之对应. 我们就说是自变量,f是因变量. 也称f是的函数.
小结：函数的三种表示法及其优缺点
1.解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符 号的等式表示，这种表示法叫做解析法。解析法简单明了，能准确地反映整 个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复 杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系，不一定能用解析式表达出来。 2.列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系, 这种表示法叫做列表法。如平方根表、正弦函数表等。列表法一目了然， 表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接查出与它对应的 函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限 的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律。 3.图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。图象法形象直观，通过函数的 图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些 性质，例如函数有没有最大值（或最小值）？最大（小）值是多少？函数值 是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究 函数性质的有力工具。但是，由函数图象观察只能得到近似的数量关系。 在解决问题时，我们常常综合地运用这三种表示法，来深入地 研究函数的性质。