初等数学研究

初等数学研究与数学发展的关系

高登胜

（四川省南充市嘉陵一中南充 637005）

摘要：初等数学是数学的一个重要分支，它和我们的整个数学发展有何关系？本文试图从数学史的角度加以认识，希望能给大家带来一点启示。

关键词：初等数学研究数学发展关系

数学是一门基础学科，它的发展有其自身的特点，其发展过程众说纷纭。数学发展史的分期虽有各种不同意见，但按数学发展主流可作如下分期：

第一，数学萌芽时期（公元前600年以前）；

第二，初等数学时期（公元前600 年到17世纪中叶）；

第三，变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）；

第四，近代数学时期（19世纪20年代到20世纪40年代）；

现代数学时期学时期（20世纪40年代以后）。

数学萌芽时期，主要指四大文明古国（埃及、巴比伦、中国、印度）在远古积累数学知识的时期。

数学是在哪里开始出现的？M.克莱因在《古今数学思想》一书中写道：数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在公元前600年到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的。但在更早期的一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽。在这些原始文明社会中，有好些社会只能分辨一、二和许多，并没有更多的数学知识；有些则知道并且能够运算大的整数。还有一些能够把数作为抽象概念来认识，并采用特殊的字来代表个别的数，引入数的记号，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数量。也可以发现他们知道四

则运算，不过仅限于小的数；并且具有分数的概念，不过只限于11

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之类，而且是用文字

表达的。此外，古人也认识到最简单的几何概念如直线、圆和角。也许值得一提的是，角的概念想必是从观察到人的大小腿（股）或上下臂之间形成的角而产生的，因为在大多数语言中，角的边常是用股或臂的字来代表的。例如在英文中，直角三角形的两边叫两臂。在这些原始文明中，数学的应用只限于简单交易，田地面积的粗略计算，陶器上的几何图案，织在布上的花格和记时等方面。

这一时期的主要特点是：（1）数学开始作为一门独立学科；（2）数学解决生活与农业生产上的计算和测量问题，与实践直接有关；（3）形成了初步的算术与几何，对数和形的认识还未脱离实物形象和具体经验；（4）在四大文明古国出现了一些简单的数学方法。如印度的进位记数法，古埃及纸草书及巴比伦楔形文字记载的算术与几何的一些简单算法，我国汉代《周髀》中记载有西周时期用“矩”来测量的方法。

初等数学时期又可分为三段：第一段主要研究古希腊各学派的数学成就；第二段前期以亚历山大学派的三大数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯为代表，后期以海伦、梅勒劳斯、帕普斯、托勒密、丢番都为代表；第三段主要研究印度数学、阿拉伯数学及文艺复兴前的欧洲数学。与此同时，中国传统数学（又称中国古算）也取得了举世瞩目的成就，形成了

几个鲜明的特点：

一是讲求实用。中国古算是为了天文、经济、军事和文化等的实际需要而产生并发展起来的。大多数古算典籍是按实际问题归类，并以题解的形式写成的。中国古算家研究数学主要着眼于解题，并重视实际效果。

二是机械化算法体系。中国古算以计算为主，并使用算筹（用竹子或骨做成的条状器具）为算器。由于使用筹算，必然导致“位值制记数法”的形成，用筹码的不同“位置”来表示不同的“数值”，再结合十进制，不仅解决了当时从实际提出的数值计算问题，筹算本身也发展成一套内容十分丰富的“筹式演算体系”。利用筹码的各种相对位置排列成的“筹式”，可以用来表达比例、线性方程组、高次方程，等等。再利用“筹式”中筹及其位置的变化，即可求解关于比例、线性方程组和高次方程等问题。可以说中国古算是一种位置化数学。它根据算筹简单、易用的特点，有时利用对称性，有时利用循环性等，将演算程序设计得十分巧妙而简捷，尤如现代计算机的“程序语言”。

三是构造性和可计算性。由于中国古算的目标是对准“实用”，手段是使用算器，所以与此配合的理论自然带有“构造性”和“可计算性”的特色。当今的数学理论可分为两大派：一派是公理化体系学派，一派是“构造性”主义学派。针对现代数学来说，公理化方法和构造性方法是不可截然分开的。正如著名数学家韦尔所说：“现代数学研究的很大部分，是建立在构造方法与公理方法的一种巧妙融合之上的”。中国古算的构造性与可计算性，应当与古希腊的公理化体系门当户对，对数学的发展都起了重要作用。

四是著作形式。由于上述三个特点，又带来了中国古算典籍的第四个特点：问、答、术、注、草五个字。

问：实践中提出的具体数值计算问题。

答：具体问题的具体答案。

术：解答与条目相同类型问题的普遍方法，相当于一般算法或定理。

注：说明“术”的理由，实质上就是“算法”或定理的证明。

草：依“术”进行演算的详细过程。

这种著作形式是长时间，经多代人完成的。它不象西方著作多半采用重新整理的办法，而是采用逐步加码的办法。

这一时期的主要特点是：（1）数学研究对象已经从实际事物中得到抽象，成为独立的、纯粹的研究对象，即客观事物相对静止状态下保持不变的量和形。（2）由于应用了逻辑方法（主要是演绎方法），过去积累的零乱的数学知识被整理成具有系统性的演绎体系。（3）数学引入了自己的符号系统，其表达、计算、推理和证明方法日趋完善。（4）以常量为研究对象的几何、代数、三角等分支的形成，并为中学数学的教学内容。（5）伴随着新的数学思想和方法的出现，人们开始对数学方法的总结和研究，并开始出现研究、论述数学方法的论著。如亚里士多德在其名著《工具论》中创立了形式逻辑、论述了归纳法和演绎法；欧几里得在

其著名的《原本》中创立了几何公理化的思想和方法等。

变量数学时期，人们对自然界的认识从客观事物的相对静止状态发展到探索其运动变化规律。数学研究对象出现了从常量到变量，从简单图形到复杂图形，从静态到动态的扩展。这种变化形成了一大批数学成果，产生了解析几何、微积分、微分方程论、复变函数论、实变函数论、微分几何、概率论等为数众多的数学分支学科。

这一时期的主要特点是：（1）以变量为研究对象的分析学科群的出现，使传统的几何演绎方法，让位于算术、代数的分析方法。（2）坐标法和微积分的出现，使辩证法进入了数学。（3）产生了一批杰出的数学家。如笛卡儿（R.Descartes,1596-1650）、牛顿（Newtonl-saac,1643-1727）、欧拉（Euler，1707-1783）、拉格朗日（La grange,1736-1813）。他们不仅数学研究成果卓著，而且常以哲学的方式阐述其方法论的观点。

近、现代数学时期，几何、代数、分析三大分支学科的研究对象都有飞跃的变化，向着更一般化、抽象化、多样化发展。几何由研究现实的一维、二维、三维空间发展到研究n 维空间以及非欧几何空间；代数从研究数的代数运算发展到研究抽象代数结构；数学分析从研究函数发展到研究函数的函数，即函数的关系。在此基础上，出现了拓扑学、泛函分析、逻辑代数等新的交叉学科以及诸多的数学应用学科，数学实际上已发展成为一个庞大的数学分支群。

这两个时期的主要特点是：（1）出现了各种不同的数学分支并交错发展，产生新的理论和方法。（2）数学研究的对象是定义在任意性质的元素集上的运算和关系，它们由于遵循的公理系统不同而形成不同的数学结构、分支及学科，因此，现代数学可以说是关于数学结构及模型的科学。（3）随着数学研究的长足进展，数学思想方法取得了重大突破，产生了一大批优秀成果。如罗巴切夫斯基和黎曼等人的非欧几何思想方法、伽罗华的抽象群的思想方法、柯西、维尔斯托拉斯、康托尔等人的极限与集合论的思想方法、布尔巴基的“结构”思想方法等等。

数学史告诉我们：“现代数学与它所扩展的早期数学是相连贯的”。初等数学是现代高等（专门）数学的基础，高等数学是初等数学的延伸与发展。高等数学同初等数学的关系，如同一棵大树一样，是枝干与根系的关系。俗话说，根深才能叶茂，制约了初等数学的发展，也就制约了整个数学的发展。虽然，初等数学不是高等数学领域的课题、思想、方法的唯一来源，但它却是相当重要的和不可缺少的来源（如数学中许多著名的猜想来自初等代数、初等几何、初等数论），初等数学的发展，进一步推动着高等数学的研究工作；高等数学的发展又反过来推动了初等数学向前发展。初等数学与高等数学组成数学整体，使得整个数学形成一座雄伟而又壮观的宝塔。

参考文献：

[1] [美] M.克莱因. 古今数学思想[M]（中译本）.上海科技出版社，1979

[2] 张奠宙等. 数学教育学[M] .江西教育出版社，1991

[3] 梅向明. 对今后发展中学数学教育研究的几点看法[J].中等数学，1991（6）