21.3-二次根式的加减(2)-
21.3.3二次根式的加减
21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）×解：（）÷÷-例2．计算32（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2））=）2-2=10-7=3三、巩固练习课本P 20练习1、2．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=+x b a-x a b -=+ =（x+1）=4x+2∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计2(1)x x +-2(1)x x+-x b a-x a b -一、选择题1．的值是（ ）． A ．．C ．．2）．A ．2B ．3 C．4 D ．1二、填空题1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题1．化简 2．当时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识20323232031221．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．ACD2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如与也是互为有理化因式．________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1；（2）； （3（44．其它材料：如果n=________=_______．答案:一、1．A 2．D二、1．．-24 3．2 4．三、1．原式＝==-）2=== 2（2x+1）∵+1 原式＝2（+3）+6.=22222(1)()21x x xx+++⨯+2(1)(1)1x x xx++++。
二次根式的加减法
5、借助计算器计算下列各题：
(1) 11 2 (2) 1111 22 (3) 111111 222 (4) 11111111 2222
（5）仔细观察上面几题及其计算结果，你能发现 什么规律？并计算：
6、用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数
1 1 1 1 1, , , , , 2 3 19 20
4
1
4
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2 3 6 (2). 3 3 8 (3).( 48 27) 3
1 1 2
24 2 3
2
(2) 2 ( 3 5)
(3)( 80 40) 5
1 (4) 3 (1 15) 3 5
§21.3 二次根式的 加减（2）
2、什么是同类二次根式？
化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次 根式。
判断复习题中的二次根式 哪些是同类二次根式?
练、议：
1.下列各组二次根式哪些是同类二次根式？ ① ②
63, 28, 3
40, 20, 10 1 ③ 12, 27, 3 ④ 5 8 , 45, 16
x
2 2 3 解：
12
1 x
12
27
1 2 2 9 x x x 3 x 2 1 9x x x 3 x 2 x x x
4 3 3 3 2
4 33 33 2
18 二次根式的加减实 质是合并同类二次 根式．
(5) 27 12 3
计算
（ 1 ）（ 2 3） ( 2 5)
(2)（ 5 3） ( 5 3)
（3）（ 3 2 5）
21.3 二次根式的加减(第2课时)
48 1 4 6) 27
2 2
5)Βιβλιοθήκη 21 2 分析说明：○中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。○中补充完全平方公式应 用. 归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完
全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若 x= 2 1 ,则 x2+x+1= 2.已知 x 3 2 , y 3 2 ， 求 1
九年级数学上册教案 课题：21.3 二次根式的加减 教学内容： 21.3 知识 技能 教学 目标 过程 方法
备课人：杨贤
情感 态度 重点 难点 教学 准备
二次根式的加减(第 2 课时) 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算 与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算． 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算 的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的 一致性以及数式通性. 2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整 式的运算的联系. 培养学生的类比运用意识
y x x y
; 2 2 x
6 xy 2 y
2
的值. ⊥ ABCD 的面 积.
3.如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC,AD AB,AB=1,BC=CD=2, 求 四 边 形
三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a ,b,c,设 p = a 角形的面积为 S=
p p a p b p c
b c 2
, 则三
21.3 二次根式的加减(2)
1 1 2 a 3 3 2 x , 75 , , , 3x , 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
彗眼识真:
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
下列计算哪些正确，哪些不正确？ 下列计算哪些正确，哪些不正确？
3+
2 =
5
（不正确 不正确） 不正确 （不正确 不正确） 不正确 不正确） （不正确 不正确 （正确 正确） 正确 不正确） a = 0（不正确）
( )
= 2 −(2 )（155 22− = −13 − 2 2
2
+ 3） (
( 3 )) − ( 3 ) 5 5−
=
= 5−3= 2
2
2
解：原式= 3 + 2 × 3 × 2 5 + 2 5
= 9 + 12 5 + 20 = 12 5 + 29
（3）（3 + 2 5）
2
( ) 观察题目的特点
是否能应用 乘法公式
a+ b =a b
a − b = a −b
a a +b a = (a+b) a
1 3a − 2 2a = a −
1 ⑸ 3
计 算 解：原式
1 1 − 48 − 10 0.08 32 − 3 3 2
= 4 2 − 3− 2 3−2 2
= 4 2 − 3−2 3+2 2 = 6 2 −3 3
2 2
解二：a − ab + b
2 2
2 2
[( 3 + 2 )− ( 3 − 2 )] + ( 3 + 2) ( 3 − 2) = (2 2 ) + 1 = 8 + 1 = 9
21.3 二次根式的加减 达标训练(含答案)
21.3二次根式的加减 达标训练一、基础·巩固·达标1．下列根式，不能与48合并的是（ ）A.12.0B.18C.311 D.75-2．计算：2145051183-+.3.计算：(5+62)(62－5).4．计算：(1)628-⨯； (2)2510⨯；(3)(6－1)2； (4)(3+1)(3－1).5．计算：1435-⨯（精确到0.001）.6．化简：（1）|23||32||21|-+-+-; （2）｜a －b ｜+｜b －c ｜+｜c －a ｜（c >b >a ）.7．如果一个长方形的长是27 m,宽是12 m ，长方形的周长是多少？ (3≈1.732，结果精确到0.1)8．设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身. 化简式子mcd+（a +b ）m －|m |.9．已知实数x ,y ,z 满足｜4x －4y +1｜+z y +231+z 2－z +41=0,求(y +z )·x 2的值.二、综合·应用·创新 10．已知x +x 1=2+10，求x 2+21x的值.11.已知一个直角三角形的两直角边的长是（3+5） cm 和（5－3） cm ，求这个直角三角形的周长和面积.12．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若a +b =2，则ab ≤1；（2）若a +b =3，则ab ≤23；（3）若a +b =6，则ab ≤3. 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a +b =9，则ab ≤ .13．如图21－3－2所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长，EF 的长，△AEH 的面积.图21－3－2三、回顾·热身·展望14．江苏宿迁模拟 下列运算中错误的是（ ）A.632＝⨯B.2221＝C.252322＝+D.32322--＝）（15．化简253-时，甲的解法是：252525253253++-+-＝））（（）（＝，乙的解法是：25252525253+--+-＝））（（＝，以下判断正确的是（ ）A.甲的解法正确,乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确 16．已知a －b =23－1,ab =3，则(a +1)(b －1)的值为( )A.－3B.33C.22D.－22 17．已知x =3－2,那么x +x1的值等于( ) A.23 B.－23 C.22 D.－22 18．下列各式正确的是（ ）A.323222++＝B.32533523）＝（++C.12151215121522-⋅+-＝D.212214＝ 19．计算:（2+1）（2－1）= . 20．计算：12315520⋅-÷+）（.参考答案一、基础·巩固·达标1．下列根式，不能与48合并的是（ ）A.12.0B.18C.311 D.75- 提示：将二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同才能合并.3575,3511001212.0,3448-=-===，故选B. 答案： B 2．计算：2145051183-+. 提示：二次根式加减运算时,可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 解:()282219222292145051183=-+=-+=-+. 3.计算：(5+62)(62－5).提示：利用乘法公式进行计算.解:()()()1252456256262522-=-=-=-+. 4．计算：(1)628-⨯； (2)2510⨯；(3)(6－1)2； (4)(3+1)(3－1). 提示：根据ab b a =⋅(a≥0,b≥0)与bab a =(a≥0,b>0)可求. 解：（1）264616628628-=-=-=-⨯=-⨯.（2）52525025021052510====⨯=⨯. （3）()()62716261622-=+-=-.（4）()()()2131313132=-=-=-+.5．计算：1435-⨯（精确到0.001）.提示：可借助计算器，但精确要求应严格执行，不应忽略. 解：5×3－14=15－14=3.873－3.742=0.131. 6．化简：（1）|23||32||21|-+-+-;（2）｜a －b ｜+｜b －c ｜+｜c －a ｜（c >b >a ）. 提示：先去绝对值符号，再化简. 解：（1）∵2>3>2>1，∴｜1－2｜+｜-23｜+｜3－2｜=2－1+23-+2－3=1. （2）∵c>b>a ，∴|a －b|+|b －c|+|c －a|=（b －a ）+（c －b ）+（c －a ）=2c －2a.7．如果一个长方形的长是27 m,宽是12 m ，长方形的周长是多少？ (3≈1.732，结果精确到0.1)提示： 长方形的周长=2(长+宽).解：长方形的周长为2(27+12)=2(33+23)=103≈10×1.732≈17.3（m ）. 8．设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简式子mcd+（a +b ）m －|m |.提示：∵a 与b 互为相反数，∴a+b=0.又∵c 与d 互为倒数，∴cd=1. 又∵m 的倒数等于它本身，∴m=±1. 解：当m=1时，m cd +(a+b)m －｜m ｜=11+0×1－1=0;当m=－1时，mcd+(a+b)m －｜m ｜=－1+0×－1－1=－2.9．已知实数x ,y ,z 满足｜4x －4y +1｜+z y +231+z 2－z +41=0,求(y +z )·x 2的值. 提示：从｜4x －4y+1｜≥0,z 2y +≥0,z 2－z+41=(z －21)2≥0出发，可利用非负性求解.有限个非负数之和为零，则每一个数都为零. 解：把已知等式化为｜4x －4y+1｜+31z 2y ++(z －21)2=0, ∵|4x －4y+1|≥0，z 2y +≥0,(z －12)2≥0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+-.021,02,0144z z y y x ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=214121z y x∴(y+z)·x 2=1612121412=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-.二、综合·应用·创新 10．已知x +x 1=2+10，求x 2+21x的值. 提示：由x 2+21x 与x+x1的关系求值. 解：221x x +=(xx 1+)2－2=(102+)2－2=14+410－2=12+410. 答案：12+41011.已知一个直角三角形的两直角边的长是（3+5） cm 和（5－3） cm ，求这个直角三角形的周长和面积.提示：由勾股定理求出斜边的长,再求三角形的周长;两直角边乘积的一半就是三角形的面积. 解：斜边的长是()()142563102831028355322==-++=-++,直角三角形的周长是 (3+5)+(5－3)+214=10+214 (cm)； 面积是21(3+5)(5－3)=21(25－3)=11(cm 2). 12．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若a +b =2，则ab ≤1；（2）若a +b =3，则ab ≤23；（3）若a +b =6，则ab ≤3. 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a +b =9，则ab ≤ . 提示：根据规律可以看出ab ≤2ba +，所以若a+b=9，则ab ≤29.答案：9213．如图21－3－2所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长，EF 的长，△AEH 的面积.图21－3－2提示： 由正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形EFGH 的面积是25平方厘米，容易得到AD ＝7 cm,EF ＝5 cm ，然后得到△AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE ，即可求出△AEH 的面积. 解：∵ 正方形ABCD 面积为49 cm 2，∴AD ＝7 cm.∵ 正方形EFGH 的面积是25 cm 2, ∴ EF ＝5 cm.又∵ 四边形ABCD 是正方形， AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE , ∴ △AEH ≌△DHG ≌△CGF ≌△BFE . ∴ S △AEH ＝41（49－25）=6 cm 2. ∴ AD ＝7 cm,EF ＝5 cm , S △AEH =6 cm 2. 三、回顾·热身·展望14．江苏宿迁模拟 下列运算中错误的是（ ）A.632＝⨯B.2221＝C.252322＝+D.32322--＝）（提示：可通过运算找出错误答案.()2332322-=-=-.故选D.答案： D 15．化简253-时，甲的解法是：252525253253++-+-＝））（（）（＝，乙的解法是：25252525253+--+-＝））（（＝，以下判断正确的是 （ ） A.甲的解法正确,乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C.甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 提示：可通过计算进行判断.答案： C16．已知a －b =23－1,ab =3，则(a +1)(b －1)的值为( )A.－3B.33C.22D.－22提示：可通过计算进行判断，(a+1)(b －1)=ab －a+b －1=ab －(a －b)－1=()31132311323-=-+-=---. 答案： A17．已知x =3－2,那么x +x1的值等于( ) A.23 B.－23 C.22 D.－22 提示：可直接代入求值. ()()3223232323231231=++++-=-+-=+x x .故选 A.答案：A18．下列各式正确的是（ ）A.323222++＝B.32533523）＝（++C.12151215121522-⋅+-＝D.212214＝ 提示：判断是否正确,要看化简的过程,22329214,3523,13943222===+=+不能合并与.故选 C . 答案： C19．计算:（2+1）（2－1）= .提示：运用乘法公式进行计算.解:（2+1）（2－1）=（2）2－12=2－1=1. 20．计算：12315520⋅-÷+）（. 提示：把整式乘除的方法运用到二次根式的计算中,使计算更方便. 解：()12315520⋅-÷+()123151520⨯-⨯+==2+1－2 =1.。
21.3 二次根式的加减(课件)华东师大版数学九年级上册
第一课时 二次根式的加减
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归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：
+
；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
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方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
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考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
返回目录
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.
九年级数学上册21.3二次根式的加减“五区分”平方根与算术平方根素材新人教版
平方根与算术平方根的不同平方根与算术平方根是中学数学中两个十分重要的、也是最容易混淆的概念，稍不注意，就会出现类似：“49的平方根是7”，“ 64=±8”，“ 81的平方根是±9”的错误.为了避免类似错误发生，下面将这两个概念之间的联系与区别解读如下：一、 从定义的不同来看如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根.换句话说，若2x =a,则x 就叫做a 的平方根.例如，9)3(,9322=-=，所以，3与-3都是9的平方根是±3.正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.例如，93.总之，若2x a =,则x =x 里的a ≥0）二 、从运算的结果不同来看一个正数有两个平方根,它们互为相反数；一个正数的算术平方根是一个正数;0的平方根与算术平方根都是0；负数没有平方根与算术平方根.由此可见,平方根包括了算术平方根.例如,16的平方根是±4 4.三非负数a 例如, 25±表示25的平方根,即25=±,即525=.遇到开方，就必须涉及到平方根和算术平方根.例如，已知362=x 求x 的值，的平方根是多少？由此求出636±=±=x ；又如，已知一个正方x .因为正方形的边长不能为负数，所以，这里是求36的算术平.一般而言，对于2(0)x a a =≥，若x 不附于任何实际意义，则x 取平方根；若0x ≥，则x 取算术平方根.五 、从两个概念的应用不同来看如求的平方根 .此题包含了两层意思: (1)16的算术平方根，即4=；（216的算术平方根4的平方根，即2=±.因此，±2”才正确.a的平方根，它涉及到平方根与算术平方根两个概念，解题时必须认真区分.。
21.3 二次根式的加减 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
A.
B. 12
C. 15
D. 30
典例导思
6. 计算：
（1）（ － ）×
解：原式＝（4 －5
＝－
＝－2.
×
；
）×
典例导思
（2） ×
− ＋ +
；
解：原式＝ －2 ＋1＋2 ＋5
＝ ＋6.
（3）（ － ）÷ －（ ＋1）（ －1）.
及乘法公式可以简化运算.
知识导航
注意：（1）判断同类二次根式前一定要先化简成最简
二次根式；
（2）计算的结果如果有二次根式一定要化简成最简二
次根式.
典例导思
题型一 同类二次根式
下列各组二次根式，是同类二次根式的是
（ D ）
A. 与
B. . 与
C. 与－2
D. 与
典例导思
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） （ ＋ ）；
解：原式＝ × ＋ ×
＝3 ＋2 .
典例导思
（2）
＋
−
解：原式＝
＋
＝ ×2 ＋ × −
＝
＋1.
；
−
＋ ×2
＋
×
−
典例导思
（3）
＋ ÷ －6
21.3 二次根式的加减++第2课时+课件++++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
4+
1.计算:(1) 16+ 2× 3=__________;
4-
(2)( 48- 6)÷ 3=__________;
7
(3)( 3+2)2- 48=_______.
新知要点
2.乘法公式应用:
a2-b2
(1)(a+b)(a-b)=__________;
a2±2ab+b2
(2)(a±b)2=_______________;
21.3 二次根式的加减
第2课时
课时学习目标
1.了解二次根式的加、减、乘、除四则运算法则
2.掌握二次根式的加、减、乘、除四则运算
素养目标达成
模型观念
推理能力、运算能力
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.运算顺序:
乘方
乘除
先算__________,再算__________,最后算加减.
(2)( 48+ 12-
(3)( 2-
3)2+2
1
)÷
3
3;
1
×3
3
2.
【解析】(1)原式=( )2-22=3-4=-1;
(2)原式=(4 +2
(3)原式=(Biblioteka )2-2×
)÷
× +(
=
)2+6
÷
= ;
× 2=2-2 +3+2 =5.
【技法点拨】
二次根式混合运算的四点注意
【举一反三】
1.已知x= 3+1,y= 3-1,求x2+y2的值.
21.3 二次根式的加减
21.3 二次根式的加减第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：（1x，不就转化为上面的问题吗？（2+3（2y；（2-3+5（3z；（1+2+3（4x y．=（3-2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1（2+3（2（4+8例2．计算（1）（2+解：（1）（12-3+6（2+三、巩固练习教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0 ∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=12，y=3原式=23+y当x=12，y=3时，原式=124五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．2．选作课时作业设计．第一课时作业设计 一、选择题1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．下列各式：①17有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、-2是同类二次根式的有________．2．计算二次根式________．三、综合提高题12.236-0.01）2．先化简，再求值．（-（x=32，y=27．第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标运用二次根式、化简解应用题．通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）ACQ P分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=35x2PBQ的面积为35平方厘米．===PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BC2m1m4mD解：由勾股定理，得===所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材． 三、巩固练习 教材P19 练习3 四、应用拓展例3．若最简根式3aa 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1 五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 7．2．选用课时作业设计．作业设计 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A ．．．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1n m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：）2=2-2·112反之，）2∴）2求：（1（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1+（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1解：（32例2．计算（1）（（2分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）（2+（2=2- 2=10-7=3三、巩固练习课本P20练习1、2．四、应用拓展例3．已知x ba-=2-x ab-，其中a、b是实数，且a+b≠0，分析=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=2(1)x x+-+2(1)x x+-=（x+1）=4x+2∵x ba-=2-x ab-∴b（x-b）=2ab-a（x-a）∴bx-b2=2ab-ax+a2∴（a+b）x=a2+2ab+b2∴（a+b）x=（a+b）2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P21习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．作业设计 一、选择题1 ）．A ．203．23C ．23．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1 二、填空题1．（-122的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x 2+2x+1=________．4．已知a 2b-ab 2=_________． 三、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．AC 2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如就是互为有理化因练习________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2； （3 （4．4．其它材料：如果n=．。
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你有好方法吗？
1 623 625
求值问题： 1、已知x=2- 3, 求(7+4 3)x +(2+ 3)+ 3的值。
2
2、当x= 11+ 7,y= 11- 7, 求x -xy+y 的值.
3、已知a 3 1, 求a 2a a的值。
3 2Байду номын сангаас
2
2
5 1 例题：设 的整数部分为a, 5 1 1 2 2 小数部分为b,求a ab+b 的值. 2
21.1二次根式的加减（3）
练习： 1 (1) 12 0.5 18 3 1 1 1 (2)(3 147) (9 2 ) 2 27 8 (3)(2 3 3 2)( 6 2) (4)(3 2 12)( 18 2 3)
例题1： (1)( 3 2 1)( 3 2 1) (2)(2 5 3) (2 5 3)
2 2
(3)(3 10)
2005
(3 10)
2005
练习： (1)(1- 5 7)(1 5 7) (2)( 2 3) ( 2 3)
2 2
(3)(2 5)
2005
(2 5)
2006
例题2： (1) 3 2 2 3 2 2 (2 2)( 5 5) (2) (1 2)( 5 1) 1 1 (3) 1 3 3 5
2- 3 练习： 3的小数部分是a， 2 2 的倒数是b，则-a +b的值是( )
已知a-b=1+ 2，b-c=1- 2, 求 代数式a +b +c -ab-bc-ac的值。
2 2 2
寒门枭士 /wjsw/7/7864/ 寒门枭士
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们的头顶上方盘旋啾啾，久久不愿离去无数条摆尾遨游的鱼儿们寻声而来，在父子们面前的江水里聚集逗留，不断地拍起一朵朵小小的浪 花，导致一圈套一圈的粼粼水纹生成，慢慢扩散，再生成，再慢慢扩散四段儿曲儿拉完了。父子们再次久久地目视江心，默默地说：“我 们走了，继续南下去了。等着我们啊，我们返家的时候还会途经这里的。到那时，我们再见吧！”耿正从弟弟手中接过二胡，对着江心再 次拱拱手，轻轻地说：“白幺爹，等我们返家路过这里时，我一定再给您拉一段儿最好听的曲儿！”父子四人三步一回头地返回武昌镇去 了。101第四十一回 耿老爹决定离武昌|（白家不宜久借住，耿老爹决定离武昌；听完姆妈幽忧述，如梦方醒白小青。）那天晚上，耿老爹 和耿正兄妹三人在灯下商议：“这一转眼，你们白幺爹过世已经四个多月了。现在，白娘娘和小青姐姐已经能平静地过日子，需要咱们帮 着做的事情也没有多少了，我看咱父子们还是继续南下得好。你们娘娘和小青姐姐孤儿寡母的，咱们这样长期住下去不是个事儿啊！反正 这一带都很富庶，何必要非得在这武昌镇上发展呢？”耿正和耿英想一想也是，尽管小青姐和东伢子的事情已经不会再有问题了，但寡居 的娘娘和爹爹这样长期在一个锅里吃饭确实也不是个事儿。趁着现在还没有被人瓜田李下的说闲话，还是早点儿离开得好。于是，耿正说： “爹说的对，咱们还是早点儿南下吧！虽然说，娘娘和小青姐现在对咱们比以前更好了，但这样住着，我总感觉很别扭的。”耿英也说： “就是啊，咱们还是早点儿离开得好。这里总归不是咱们的家，不能老这样累害可怜的娘娘。再者说了，咱们这样住着，娘娘以后的日子 怎么办啊，她怎么再寻找自己的老来伴儿呢？”耿直则有自己的小算盘。只见他眨巴着一双很逗人喜欢的大眼睛，尽量压低嗓音说：“爹， 我也想走呢！要不，娘娘又说要我做她的伢子可咋办呀？娘娘虽然对我很好，可我是爹和娘的儿子啊！”耿老爹摸摸耿直的头，斩钉截铁 地说：“好，那咱就这么定了！明儿个吃早饭的时候，我就和你们娘娘商量刷新屋的事情。刷完家，咱爷儿们就走！”在第二天的早饭桌 上，耿老爹对乔氏说：“兄弟媳妇啊，我的身体已经完全复原了。依我看，今儿个就开始刷新家吧！等刷完了家，我想带三个娃娃再往南 边走一走呢！”乔氏和小青听了这话，都呆在那里忘了吃饭了。看耿老爹和耿正兄妹三人都停止了吃饭在等着姆妈回答呢，小青心直口快 地说：“耿伯伯，您是不是还在生我的气呢？我保证，以后不会再惹你们生气了！”乔氏也说：“不是说好了就在武昌镇上开店的嘛！这 里条件好，开个店容易发达啊！”耿老爹说：“嗨，青丫头啊，你说啥呢，伯伯怎么会生你的气！兄弟