标架与坐标

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教学内容§1.5标架与坐标一、空间中的标架与坐标系的有关概念1.标

教学内容§1.5标架与坐标一、空间中的标架与坐标系的有关概念1. 标架仿射标架（简称为标架）：是指空间中的一个定点O ，连同三个不共面的有序向量 321,,e e e 的全体，记为{O ；321,,e e e }。

笛卡尔标架：{O ；321,,e e e }，其中321,,e e e 都是单位向量。

笛卡尔直角标架（简称为直角标架）：{O ；321,,e e e }，其中321,,e e e 都是单位向量，且两两垂直。

注：笛卡尔标架，直角标架是特殊的标架。

2. 左手标架与右手标架根据标架中321,,e e e 的相互关系，标架分左手标架与右手标架所谓右手标架入图所示，它的特征是：将右手的拇指和食指分别指向1e 和2e 的方向时中指的方向与3e 的方向在由1e 和2e 所在平面的同一侧。

3. 空间向量的坐标取定标架{O ；321,,e e e }，r为空间向量，因321,,e e e 不共面，eeeOeeeO所以由定理 1.4.3 知，r 可分解为321,,e e e 的线性组合： r=321e z e y e x ++，这里x,y,z 是唯一确定的一组有序实数，上式中的x,y,z 叫做r 关于标架{O ；321,,e e e }的坐标或分量，记作r {x,y,z}或{x,y,z}。

4．空间中点的坐标：取定标架{O ；321,,e e e }，设P 为空间中的点，OP 叫做点P 的向径，向径OP 关于标架{O ；321,,e e e }的坐标x,y,z 叫做P 关于标架{O ；321,,e e e }的坐标，记为P(x,y,z)或(x,y,z)。

5. 坐标系定义：取定标架以后，由向量（点）的坐标概念可知，全体向量（点）的集合与全体有序三数组有一一对应关系，这种一一对应关系叫空间向量（点）的一个坐标系。

常用表示：显然，空间坐标系由标架{O ；321,,e e e }，因此空间坐标系也用标架{O ；321,,e e e }来表示，这时O 称为坐标原点，321,,e e e 称为坐标向量。

标架与坐标

e3
P
{
}
{
}
r
e1
O
{
}
e2
x, y , z 叫做点 P 关于标架 o; e1 , e2 , e3 的坐标, 记作 P ( x, y, z ) 或 ( x, y, z ) .
一一对应 → 有序三数组 ( x, y, z ) , 空间矢量 OP 或点 P ⎯⎯⎯⎯
{
}
3. 空间坐标系
空间坐标系 o; e1 , e2 , e3
x2 − x1 x3 − x1 x4 − x1
y2 − y1 y3 − y1 y4 − y1
x1 z2 − z1 x z3 − z1 = 0 .或 2 x3 z4 − z1 x4
y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
1 1 1 1
= 0.
(4).线段的定比分点坐标
= λ PP2 ,则称点 P 把线段定比分点的概念:对于有向线段 P 1 1P 2 (P 1 ≠ P 2 ) ,如果点 P 满足 PP
x= x1 + λ x2 y + λ y2 z + λ z2 , y= 1 , z= 1 1+ λ 1+ λ 1+ λ
z
= λ PP2 证明: ∵ PP 1 PP = OP − OP 1 1 PP2 = OP2 − OP
∴ OP − OP 1 = λ OP 2 − OP ,
e1
x
P 1
P
P2
e3
(
)
同理, y =
1 1 ( y1 , y2 , y3 ) , z = ( z1 , z2 , z3 ) 3 3
e1
x
e2
⎛ x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3 ⎞ 所以 ΔP , , 1P 2P 3 的重心坐标为 ⎜ ⎟. 3 3 3 ⎝ ⎠

标架与坐标

课时教学实施方案课程：解析几何授课班级：13信本1班授课学期：2013-2014学年2学期复习提问：1•向量的线性组2. 向量的线性相关、线性无关3. 向量共线、共面与向量线性组合的关系4. 向量共线、共面与向量线性相关的关系约5分钟新课引入：前面向量的表示是°或万，那么有没有其他的方法表示向量呢？约5分钟讲解新课：一、标架与坐标的概念标架就是空间一点和三个不共面向量组成的全体.坐标是在一个标架下，如果向量尸=疋】十）迭十疋3,此时这里的就叫做向量F 的坐标.约15分钟二、空间坐标系空间坐标系包括：坐标原点Q 坐标轴：x 轴，y 轴，z 轴，坐标面: xOy 面，面，zOx 面，卦限（八个）约15分钟三、利用坐标作向量的运算在这一部分主要讲述了向量的坐标表示、向量的加减法、向量与数量的乘法的坐标运算、向量共线与共面的条件的坐标表达式以及定比分点的坐标.约55分钟教学进程设计复习提问:1.向量的线性组合2.向量的线性相关、线性无关3.向量共线、共面与向量线性组合的关系4.向量共线、共面与向量线性相关的关系新课引入前面向量的表示是a或那么有没有其他的方法表示向量呢？前面我们己知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量來线性表示，于是在空间中任取一点0,再引出三个不共面的矢量盒迢，.那么空间中任何矢量戸可由爲,色，$线性表示，即r = xe1 + ye2 + % (1)并且这里的x, y, z是唯一的一组有序实数.所以就有了本节所学的概念.讲解新课：一、标架与坐标的概念标架的概念空间中一点0与三个不共面的向量可,乙，可的全体，叫做空间中的T T T一个标架.记做0©心启；如果也，乙都是单位向量，那么阳£可叫做笛卡尔标架；如果g,可两两互相垂直，那么［o.ZZe］叫做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，可叫做仿射标架.对于标架［oZZeV如果可，爲，可间的相互关系和右手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做右旋标架或称右手标架.如果可，乙，可间的相互关系和左手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架.坐标的概念定义1在”=.馅十）运2十疋3式中，叫做向量戸关于标架T T T ）〈。

第一章向量与坐标

y1 y2 y3 y4
z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1 0 或 x4 x1 y4 y1 z4 z1
2
x3 x4
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
① 5x 3y a ② 3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .

2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
1. 设 m 3 i 5 j 8 k , n 2 i 4 j 7 k , p 5 i j 4 k , 求向量 a 4 m 3 n p 在 x 轴上的投影及在 y
2×① －3×② , 得
解:
x 2 a 3 b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
例3. 已知两点
及实数 1, 如图所示
在AB直线上求一点 M , 使
解: 设 M 的坐标为
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
a b (a x bx , a y by , a z bz )
定理1.5.3 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积。 a ( a , a , a ),
为实数， ( a , a , a ) a x y z
x y z
二、利用坐标作向量的线性运算
9
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

解析几何-吕林根-课后习题解答一到五

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？（1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。

曲线坐标系和自然局部标架

3.1. 曲线坐标系和自然局部标架
1
第3章曲线坐标张量分析
连续介质逐空间点处的质量密度, 电荷密度, 温度等, 或速度, 加速度, 电场强度, 磁场强度等, 构成了以空间点的坐标xi 或位置矢量r为自变量的标量值或矢量值函数. 这类以xi 或 r为自变量的函数, 在物理上常常称作为场(field). 类似地, 可以定义更高阶的张量场, 如二阶的应力场和应变场, 四阶的弹性张量场等等. 张量分析研究张量场的微分, 导数, 积分等规律. 例如, 描述电磁场运动规律的Maxwell方程组为 ∇ · D = 4πϑ （库仑定律） 4π J （安培定律） ∇×H = c 1 ∂B (法拉第定律） ∇×E = − c ∂t ∇×B = 0 其中D和E分别为电位移和电场强度矢量场, B和H分别为磁感应和磁场强度矢量场, ϑ是电荷密度, c是光速, J是电流矢量场. 上面的Hamilton导数算子∇, 在笛卡儿坐标系{x, y, z }及相应的坐标单位方向{i, j, k}下有 ∇=i ∂ ∂ ∂ +j +k ∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
在曲线坐标系{xi }中, 保持x2 和x3 不变, 仅变化单参数x1 , 则位置矢量r (x1 , x2 , x3 )的集合 2 3 在空间形成一条曲线: 称作为x1 -坐标曲线. 过空间任何一点(x1 0 , x0 , x0 )有三条坐标曲线 ¡ ¢ ¡ 1 2 3¢ ¡ 1 2 3¢ 3 r x1 , x2 , 0 , x0 , r x0 , x , x0 , r x0 , x0 , x
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 2 3 3 r x1 , r x1 , x2 , r x1 , x2 , x3 0, x , x 0, x 0 .
3.1.2 自然基矢

§1.5 标架与坐标

§1.5 标架与坐标一、空间坐标系1. 空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序矢量, , 的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O;,}. 如果, , 都是单位矢量，那么{O;,,}叫做笛卡尔标架；, , 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，{O;,,}叫做仿射标架.2. 对于标架{O;,,}，如果, , 间的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做右旋标架或称右手标架；如果, , 间的相互关系和左手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架. 如图1-16.3. 表达式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量关于标架{O;,,}的分量或称为坐标，记做{x, y, z}或{x, y, z}.4. 对于取定了标架{O;,,}的空间中任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架{O;,,}的分量x, y, z叫做点P关于标架{O;,,}的坐标，记做P (x, y, z)或(x, y, z).5. 当空间取定标架{O; ,, }之后，空间全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x, y, z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间矢量或点的一个坐标系. 空间坐标系也常用{O;,,}来表示，此时点O叫做坐标原点，,, 都叫做坐标矢量.6. 由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.二、平面坐标系1. 约定用{O;}表示直角坐标系，以后在讨论空间问题时所采用的坐标系，一般都是空间右手直角坐标系.2. 过点O沿着三坐标矢量, , 的方向引三轴Ox, Oy, Oz,可以用这三条具有公共点O的不共面的轴Ox, Oy, Oz来表示空间坐标系，记做O—x y z，此时点O叫做空间坐标系的原点，三条轴Ox, Oy, Oz都叫做坐标轴，且依次叫做x轴，y轴和z轴，每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做xOy平面，yOz平面与xOz平面. 三坐标平面把空间划分为八个区域，每一个区域都叫做卦限.3. 平面上一个定点O, 连同两个不共线的有序矢量, 的全体，叫做平面上的一个标架，记做{O;,}，如果, 都是单位矢量，那么{O;,}叫做笛卡尔标架；与相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，{O;,}叫做仿射标架.4. 对于标架{O;,}，将绕O旋转，使的方向以最近的路径旋转到与的方向相合时，如果旋转方向是逆时针的，则这种标架叫做右旋标架或称右手标架；如果旋转方向是顺时针的，则这种标架叫做左旋标架或称左手标架. 如图1-17.5. 表达式＝x＋y中的x, y叫做矢量关于标架{O;,}的分量或称为坐标，记做{x, y}或{x, y}.6. 对于取定了标架{O;,}的平面上的任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架{O;,}的分量x, y叫做点P关于标架{O;,}的坐标，记做P(x, y)或(x, y).7. 当平面上取定标架{O;,}之后，平面上全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序数对x, y的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做平面上矢量或点的一个坐标系. 平面坐标系也常用{O;,}来表示，此时点O叫做坐标原点，, 都叫做坐标矢量.8. 由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.15. 约定用{O;,}表示直角坐标系, 在讨论平面问题时所采用的坐标系，一般都是平面右手直角坐标系.9. 过点O沿着坐标矢量, 的方向引二轴Ox, Oy,可以用这二条具有公共点O的不共线的轴Ox，Oy来表示平面坐标系，记做O－x y，此时点O叫做平面坐标系的原点，Ox 叫做x轴，Oy叫做y轴. 两坐标轴把平面分成四个区域，每一个区域都叫做象限.例1. 在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.解：可按照“关于哪轴对称，哪轴不动，其余变号”的方法去考虑，有M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)，M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)，M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)，M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)，M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c).类似考虑P (2,－3，－1)即可.例2. 已知矢量, , 的分量如下：(1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.解:(1) 因为＝0,所以, , 三矢量共面, 由于, 的对应坐标成比例，即//，但，故不能将表成, 的线性组合.(2) 因为＝0,所以, , 三矢量共面.由于, 的对应坐标不成比例，即，故可以将表成, 的线性组合.设＝λ+μ, 即 {0, 5, 6}＝λ{1, 2, 3}+μ{2, －1, 0}从而由此解得λ＝2，μ＝－1,所以＝2－.例 3.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.证明：设四面体A1A2A3A4,A i对面重心为G i, 欲证A i G i交于一点(i＝1, 2, 3, 4).在A i G i上取一点P i，使＝3, 从而＝，设A i (x i, y i, z i)(i＝1, 2, 3, 4)，则G1,G2,G3,G4,所以P1(,,)≡P1(,,).同理得P2≡P3≡P4≡P1，所以A i G i交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.作业题：1. 指出坐标满足下列条件的点(x, y, z)在空间的位置.(1)x＝y； (2)y z<0; (3)x y z<0.2. 平行于z轴的矢量有什么特点？平行于x轴和y轴的矢量又分别有什么特点？3. 已知线段AB被点C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，试求这个线段两端点A与B 的坐标.。

标架与坐标

小结：这一节开始涉及到坐标系和坐标的问题，是我们以后研究问题的
基础，本节重点是向量的坐标运算，以及定比分点公式，熟练运用坐标
对向量进行计算，能够利用坐标判断向量的共线和共面.
布置作业：习题 1-5 5,7,8
OP OP1 (OP2 OP)
从而
OP
OP1
OP2
,
所以 x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .
1
1
1
1
推论：设 Pi xi , yi , zi i 1,2，那么线段 P1P2 的中点坐标是
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2
推论三个点 A（ x1 , y1 , z1 ），B（ x2 , y2 , z2 ）和 C（ x3, y3, z3 ）共线的充要条件是
x2 x1 y2 y1 z2 z1
x3 x1 y3 y1 z3 z1
定理 3
三个非零矢量
a
X1,
Y1,
Z1,
b
X
2
,
Y2
,
Z
2
和
c
X
3
,
Y3
,
4. 向量共线、共面与向量线性相关的关系
约 5 分钟
新课引入：
前面向量的表示是
a
或
a
，那么有没有其他的方法表示向量呢？
约 5 分钟
讲解新课：
一、标架与坐标的概念
标架就是空间一点和三个不共面向量组成的全体.
坐标是在一个标架下，如果向量 r =xe1+ye2 +ze3 ，此时这里的 x, y, z 就
பைடு நூலகம்
由标架 O, e1, e2 就可以确定平面上的一个坐标系，记作 O, e1, e2 ,

1.5 标架与坐标

yoz面 Ⅳ xoy面 Ⅶ Ⅷ
z
zox面
Ⅱ
o
y Ⅰ
Ⅵ Ⅴ
x
空间直角坐标系共有八个象限
1.5.2
向量的坐标
1. 给定空间任意向量 a ,则
a xe1 ye2 ze3 , 且 x, y, z唯一.
一一对应 a ( x, y, z) x, y, z 依次称为 a 在仿射坐标系 [O; e1, e2 , e3 ]
练习 Ceva（切瓦定理）设点 P, Q, R 分别内分三角形ABC的边AB, BC, CA
，，证明：成定比，
三线AQ, BR, CP共点 = 1.
A
P M B (1, 0) Q C
(0, 1)
(0, 0)
R
Ceva（1647-1734）意大利数学家
条件是 l1
l2 m2
m1
0.
• 推论 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 )
三点共线的充要条件是
x2 x1 x3 x1
y2 y1 x2 y3 y1 x3
x1
y1 1 y2 1 0. y3 1
7. 向量共面（仿射坐标系）定理1.5.5 a( X1 ,Y1 , Z1 ), b ( X 2 ,Y2 , Z2 ), c ( X 3 ,Y3 , Z3 ) 三向量共面的充要条件是
解利用习题1.4 第6(2)题的结论，可得重心坐标
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 , , . 3 3 3
P 1
z
M2
P3
M1
G
M3
P2

解析几何(第四版吕林)-根课后答案

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在矢量OA 、、 OC 、、、 OF 、、BC 、CD 、、EF 和FA 中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中，相等的矢量对是：图1-1 .DE OF CD OE AB OC FA OB EF OA 和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝. 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC , 则在∆BAC 中，21AC. KL 与AC 方向相同；在∆DAC 中，21AC . 与方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与方向相同，所以KL ＝NM .4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB 、; (2) AE 、; (3) 、EG ;(4)、GF ; (5) 、CH .[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？（1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5=C[解]：（1）,-=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2(∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, ,可以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。

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（2）用向量的坐标进行向量的线性运算
定理1.5.2 两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和.
定理1.5.3 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积.

解析几何
（3）两向量共线的条件，三向量共面的条件
定理1.5.4 两个非零向量aX1,Y1, Z1,bX 2,Y2, Z2共线的
解析几何
空间的点 11 有序数组 ( x, y, z)
点M 的坐标，记为 M (x, y, z) 特殊点的表示:坐标面上点的坐标有一个为零，
坐标轴上点的坐标有两个为零.
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x,0, z)
M(x, y, z)
o x P( x,0,0)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
解析几何
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
坐标系共分八个卦限

解析几何
Ⅲ
z
Ⅱ
Ⅳ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
坐标
x
+- - + +
y
++ - - +
z
++ + + -

Ⅴ
ⅥⅦ -+--
Ⅵ
Ⅷ + -
用 O xyz 表示空间坐标系，此时点 O 叫做空间坐标系的原点，三条轴 Ox, Oy, Oz 都叫做坐标轴，并依次叫做 x 轴， y 轴， z 轴.
每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做 xOy 平面， yOz 平面与 xOz 平面.
z
e3
e1 O e2
y
x

§1.5 标架与坐标

解析几何
一、标架二、坐标三、坐标系四、向量的坐标运算

解析几何
一、标架
定义 1.5.1 空间中的一个定点 O ，连同三个不共面的有序向量 e1,e2,e3 的全体，
叫做空间中的一个标架，记做 O;e1,e2,e3 ，
充要条件是对应坐标成比例，即 X1 Y1 Z1 . X 2 Y2 Z2
证：a与b共线的充要条件是其中一个向量可由另一个
向量来线性表示，不妨设a b，于是X1，Y1，Z1 X2，Y2，Z2，即X1 X2，Y1 Y2，Z1 Z2，
所以有 X1 Y1 Z1 . X2 Y2 Z2
解析几何
注: (1) 标架{O; e1, e2, e3}中的向量 e1,e2,e3 是有顺序的，交换它
们的次序将会得到另一标架.
(2) 空间标架有无穷多个.
e3
e1 O
e2
e3
e2 O
e1
右手（旋）标架
左手（旋）标架

解析几何
二、坐标
定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O;e1, e2, e3 的

解析几何
X1 X2 X3 0 即Y1 Y2 Y3 0
Z1 Z2 Z3 0
又因为，，不全为零，
即上述齐次线性方程组有非零
X1 Y1 Z1 解，所以 X2 Y2 Z2 0

解析几何
z
z
R(0,0, z)

M(x, y, z)
k
o
i
j
x
r
o
y
x P( x,0,0)
y
Q(0, y,0)
N
以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量.

r OM OP PN NM OP OQ OR
坐标原点；向量 e1,e2,e3 都叫做坐标向量.
右手坐标系；左手坐标系；
仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系.

解析几何
约定，用 O;i, j, k 表示直角坐标系.
k
O
j
i

解析几何
过点 O 沿着三坐标向量 e1, e2,e3 的方向引三条轴 Ox,Oy,Oz ，
P
e3
r
e1
O

e2
解析几何
三、坐标系
空间取定标架 O;e1, e2, e3
空间向量 r 1－1对应三元有序数组x, y, z 空间点 P 1－1对应三元有序数组 x, y, z
这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系.
空间坐标系也常用标架 O;e1, e2, e3 来表示，这时点 O 叫做
坐标或称为分量，记做 rx, y, z 或x, y, z .
定义 1.5.3 对于取定了标架 O;e1,e2,e3 的空间中任意点 P ，向量 OP 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标，记做 Px, y, z 或 x, y, z .
如果 e1, e2, e3 都是单位向量，那么 O;e1, e2, e3 叫做笛卡尔标架；
e1,e2,e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；
在一般情况下，叫做仿射标架. P
e3 r
e1 O
e2
e3 e1 O e2
e3 e1 O e2

设 OP xi , OQ yj, OR zk. r xi yj zk
称为向量 r 的坐标分解式.

解析几何
四、向量的坐标运算
（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标
定理1.5.1 向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标.

解析几何
定理1.5.4 三个非零向量aX1,Y1, Z1,bX 2,Y2, Z2,
X1 Y1 Z1
cX3,Y3, Z3共面的充要条件是 X 2 Y2 Z2 0.
X 3 Y3 Z3
证：三向量a，b，c共面的充要条件是它们线性相关，
即存在不全为零的实数，，，使得 a b c 0，