新人教A版2020学年新教材高中数学章末质量检测二含解析

章末质量检测(二) 一元二次函数、方程和不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B.a c >b c⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎪⎬⎪⎫ab >0a >b⇒a 2b <ab 2解析：A 项，c ＝0时不成立；B 项，c <0时不成立；C 项，因为a >b ，ab <0，所以a ab <b ab，即1b <1a，正确；D 项，因为a >b ，ab >0，所以a ·ab >b ·ab ，即a 2b >ab 2，不成立．答案：C2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥b D ．a ≤b解析：a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x ) ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b . 答案：C3．已知b <2a,3d <c ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．2a －c >b －3d B ．2ac >3bd C ．2a ＋c >b ＋3d D ．2a ＋3d >b ＋c解析：由于b <2a,3d <c ，则由不等式的性质得b ＋3d <2a ＋c ，故选C. 答案：C4．设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3解析：由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. 答案：D5．若α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π<α－β<πB ．－π<α－β<0C ．－π2<α－β<π2D ．－π2<α－β<0解析：从题中－π2<α<β<π2可分离出三个不等式：－π2<α<π2 ①，－π2<β<π2 ②，α<β ③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－π2<－β<π2 ④，根据同向不等式的可加性，可得－π<α－β<π.由③式得α－β<0，所以－π<α－β<0.答案：B6．设A ＝b a ＋ab，其中a 、b 是正实数，且a ≠b ，B ＝－x 2＋4x －2，则A 与B 的大小关系是( )A ．A ≥B B ．A >BC ．A <BD ．A ≤B解析：因为a ，b 都是正实数，且a ≠b ， 所以A ＝b a ＋a b >2b a ·ab＝2，即A >2， B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2＝－(x －2)2＋2≤2， 即B ≤2，所以A >B . 答案：B7．已知关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，则b －c 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．9 D ．－9解析：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}， ∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，∴由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5.∴b －c ＝－4－(－5)＝1.故选A. 答案：A8．已知a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b .则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为α＋β＝a ＋1a＋b ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1b ·(a ＋b )＝1＋1＋1＋b a ＋a b ≥5.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．答案：C9．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D．3∶2∶1 解析：∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.答案：B10．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：方法一 由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.方法二 由题设易知a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥2 2.答案：C11．若不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2或a ≤－3 B ．a >2或a ≤－3 C ．a >2 D ．－2<a <2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2>0，且Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，42－4(a ＋2)(a －1)<0.解得a >2.答案：C12．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥(1＋a )2≥9，∴a ≥2，即a ≥4，故正实数a 的最小值为4.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是________． ①1a <1b②ab <b 2③－ab <－a 2④－1a <－1b解析：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，故①不成立；ab ＝2>b 2＝1，故②不成立．因为a <b <0，所以－ab －(－a 2)＝－a (b －a )>0，所以－ab >－a 2，故③不成立．选④.答案：④14．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，问：该厂日产量________时，日获利不少于1 300元？解析：由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300， 化简得x 2－65x ＋900≤0， 解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元． 答案：20件至45件15．已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：x 2＋y 2≥(x ＋y )22＝12.当且仅当x ＝y 时等号成立．当x ＝0或x ＝1时，x 2＋y 2取最大值，为1.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，116．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________． 解析：由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1. 答案：－1<a <1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)比较x 2＋3与3x 的大小(其中x ∈R )．解析：因为(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0，所以x 2＋3>3x .18．(12分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2x －6≤1，6x 2－x －1>0.解析：3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2,6)，6x 2－x －1>0⇒(3x ＋1)(2x －1)>0⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以原不等式组的解集为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6.19．(12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解析：(1)由题意，知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.所以不等式2x 2＋(2－a )x －a >0， 即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ， 则b 2－4×3×3≤0，所以－6≤b ≤6.20．(12分)正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解析：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.21．(12分)如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6.S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )y .∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二 由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋总长最小．22．(12分)已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1.(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0. 解析：(1)当a ＝12时，有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)因为不等式f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，当0<a <1时，有1a>a ，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a； 当a >1时，有1a<a ，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}．。