第21讲 随机变量及其分布、期望与方差

第21讲 随机变量及其分布列、期望与方差
【知识梳理】
1. 离散型随机变量的分布列
(1) 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量； (2) 随机变量X
具有性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1. 2. 如果随机变量X 的分布列为
其中0<p<1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的0-1分布(或两点分布)． 3. 超几何分布列
在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝r}
发生的概率为P(X ＝r)＝C r M ·C n －
r
N －M
C n N
(r ＝0，1，2，…，l )，其中l ＝min{n ，M}，且n ≤N ，M
≤N ，n
4. 如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发
生k 次的概率是P(X ＝k)＝C k n p k q
n －k
，其中k ＝0，1，2，3，…，n ，且q ＝1－p. 称随机变量X 为二项分布，记作X ～B(n ，p)．
5.条件概率
一般地，事件B 发生的条件下A 发生的概率为()(|)()
P AB P A B P B .（或通过事件空间
的改变来计算）
6. 相互独立事件
(1) 对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 相互独立． (2) 若A 与B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3) 若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4) 若P(AB)＝P(A)P(B)，则A 、B 相互独立． 7. 均值
(1) 若离散型随机变量ξ
则称E(ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为ξ的均值或数学期望，简称期望． (2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3) 数学期望的性质：E(c)＝c ，E(a ξ＋b)＝a E ξ＋b(a 、b 、c 为常数)．
8. 方差
(1) 若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x 1，x 2，…，x n 且这些值的概率分别是p 1，p 2，…，p n ，则称：V (ξ)＝(x 1－E(ξ))2p 1＋(x 2－E(ξ))2p 2＋…＋(x n －E(ξ))2p n 为ξ的方差．
(2) σ＝Vξ，叫标准差．
(3) 随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．
(4) 方差的性质：a 、b 为常数，则V(a ξ＋b)＝a 2V （ξ）. 9. 若ξ～0-1分布，则E(ξ)＝p ，V (ξ)＝p(1－p)． ξ～B(n ，p)，则E(ξ)＝np ，V (ξ)＝np(1－p)． ξ～H(n ，M ，N)， 则E(ξ)＝
nM N ，V (ξ)＝2()()
(1)
nM N M N n N N ---． 【典例分析】
类型一 随机变量的概率分布、超几何分布
例1（1）设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝k
15(k ＝1，2，3，4，5)，则P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝________. （2）口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出
5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．
（3）设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________．
（4）某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为________．
例2随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为ξ.求ξ的分布列．
例3已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X 为取出的次数，求X 的概率分布列．
例4 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
(1) 求取出的4个球均为黑球的概率；
(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
(3) 设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．
类型二 事件的独立性与二项分布
例5（1）省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x 饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x 饮料的概率是________． （2）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率___． （3） 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．
（4）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是____． 例6 A 高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试．在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中．若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序．考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过．某中学学生甲参加A 高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为34，每道程序中得优、良、中的概率分别为p 1、1
2
、p 2. (1) 求学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率；
(2) 设ξ为学生甲在三道程序中获优的次数，求ξ的分布列．
例7.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3) 记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．
类型三 随机变量的期望及方差
例8（1）某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在1h 内平均占线10min ，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X 的数学期望为________．
（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，则E(X)＝________，V(X)＝________.
（3）某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击数X 的均值为________．(填数字) （4）随机变量X 的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，若E(X)＝1
3
，则方差V(X)的值是________．
（5） 一高考考生咨询中心有A 、B 、C 三条咨询热线．已知某一时刻热线A 、B 占线的概率均为0.5，热线C 占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________．
例9 某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．(1) 求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；
(2) 若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．
例10.某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝2
3，乙的命中率为P 2，在射击比赛
活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．
(1) 若P 2＝1
2
，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
(2) 计划在2013年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E(ξ)≥5，求P 2的取值范围．。