已知线性规划问题
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。
同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。
此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。
在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。
总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
§2.1 线性规划问题
§2.1 线性规划问题1、线性规划问题举例例2.1.1 某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表2.1.1所示，试制订总利润最大的生产计划解、每天生产三种产品的数量，分别设为321,,x x x ，则321453max x x x ++15003221≤+x xs .t . 8004232≤+x x2000523321≤++x x x 0,,321≥x x x例 2.1.2 运输问题一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库 2,1;=i A i ，发送到零售点 4,3,2,1;=j B j ，仓库 i A 能供应的产品数量为 2,1;=i a i ，零售点 j B 所需的产品的数量为 4,3,2,1;=j b j 。
假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库 i A 运一个单位产品往 j B 的运价为 ij c 。
问应如何组织运输才能使总运费最小？解、从仓库i A 运往j B 的产品数量 设为4,3,2,1,2,1;==j i x ij m i n ∑∑==2141i j ij ij x c2,1;4321==+++i a x x x x i i i i i s .t .4,3,2,1;21==+j b x x j j j 4,3,2,1,2,1;0==≥j i x ij2、线性规划模型（1）一般形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥+=≥++==+++++=q j x qj x m p i b x a x a x a p i b x a x a x a t s x c x c x c z j j i n in i i i n in i i nn ,...,2,1;,...,2,1;0,...,1;,...,2,1;..min 221122112211无限制ΛΛΛn j x j ,...,2,1;=为待定的决策变量，),,,(21n c c c c Λ=为价值向量，n j c j ,...,2,1;=为价值系数，),...,,(21m b b b b =为右端向量，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 为系数矩阵。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
运筹学练习参考答案
线性规划问题1、某工厂生产I 、II 、III 三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工。
已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见（（2） 产品III 每件的利润增加到多大时才值得安排生产；（3） 如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1，4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。
解：（1）设x 1，x 2，x 3分别为I 、II 、III 三种产品的产量，z 表示利润。
该问题的线性规划模型为：用单纯形法求上述线性规划问题。
化为标准形式：123123123123123max 10641001045600..226300,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩123456123412351236max 1064000 1001045 600.. 226 3000,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪≥=所以最优解为x * =(100/3，200/3，0，0，0，100)T ，即产品I 、II 、III 的产量分别为：100/3，200/3，0；最优解目标函数值z * =2200/3（2）设产品III 每件的利润为c 3产品III 每件的利润增加到20/3时才值得安排生产。
（3）设x 7为新产品的产量。
177711028(,,0)420333B c c B P σ-⎛⎫⎪=-=-=>⇒ ⎪ ⎪⎝⎭值得投产 1775/31/60112/31/604020131P B P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥'==-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎝⎭()1333333335/66,10,01/620/3020/34B B c C B P c C P c c c σ-'=-=-⎛⎫⎪=-=-≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以最优解为x * =(100/3，0，0，0，0，200/3)T ，即产品I 的产量：100/3，新产品的产量：200/3；最优解目标函数值z * =2600/3 2、已知下列线性规划问题：12312312312312363336022420..33360,,0maxz x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ 求：（1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；解：（1）将原问题划为标准形得：123456123412351236max 6330003 60224 20..333 600,1,2,,6j z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =-+++++++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪≥=⎩最优解为x * =(15，5，0，10，0，0)T 最优解目标函数值z * =75 非基变量的检验数<0, 为唯一最优解. （2）该问题的对偶问题为：123123123123123min 6020603236233..433,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥⎩对偶问题的最优解：y* =(0，9/4，1/2)3、已知线性规划问题： 求：（1）用图解法求解； （2）写出其对偶问题；（3）根据互补松弛定理，写出对偶问题的最优解。
运筹学
1. 用单纯形法求解下述问题，并指出问题的解属于哪一类。
2. 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出解属于哪一类3. 已知线性规划问题：（a ）写出其对偶问题；（b ）已知原问题最优解为X*=（1,1,2,0）。
试根据对偶理论，直接求成对偶问题的最优解。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤+-≤++-++=3,2,117220441322..46max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x z ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+≤+≥++++=3,2,105421823..54max 32121321321j x x x x x x x x x t s x x x z j 123412412343413min 86362336..220(1,,4)j z x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =+++⎧++≥⎪+++≥⎪⎪+≥⎨⎪+≥⎪⎪≥=⎩4.已知线性规划问题其最优解为x 1=-5,x 2=0,x 3=-1.（a ）求k 的值；（b ）写出并求其对偶问题的最优解。
5.对于下述线性规划问题已知最优解中的基变量为x 3,x 1,x 5,且已知求：根据上述信息确定三种资源各自的影子价格6.已知线性规划问题当t 1=t 2=0时，求解得最终单纯形表如下表所示：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,064..22min x x x kx x x x x x t s x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤++++≤++++≤++++++++=)5,,1(0)3(180323)2(270234)1(1803332..93648max 54321543215432154321 j x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z j 资源资源资源⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103239613112713121423131()⎪⎩⎪⎨⎧=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03..00max 225323222121214313212111543322111 j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a t s x x x c x c x t c z j12311121321222312(b)确定其对偶问题的最优解；(c)当t 2=0时，t 1在什么范围内变化上述最优解不变；(d)当t 1=0时，t 2在什么范围内变化上述最优解不变。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
《运筹学》试题及答案(六)
值下降为 0
14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。
映的关系和客观事物的内在联系。
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产 A、B、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量 以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250 和 100 件，最大月 销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为 250，280 和 120 件。 问如 何安排生产计划，使总利润最大。
B 使 Z 更小
C 绝对值更大
DZ
绝对值更小
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D
A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不
等式要求
13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在 D 集合
中进行搜索即可得到最优解。
A基
B 基本解
C 基可行解
D 可行域
A．基可行解的非零分量的个数不大于 mB．基本解的个数不会超过 Cmn 个 C．该
问题不会出现退化现象 D．基可行解的个数不超过基本解的个数 E．该问题的基
是一个 m×m 阶方阵
4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能 ABCD
A．无有限最优解 B．有有限最优解 C．有唯一最优解 D．有无穷多个最优
本
解
为
基
可
行
解
9.线性规划问题有可行解，则 A
A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解
D无
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。