信号与系统实验五 WTT

实验五 连续时间LTI 系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用；2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI 系统的时域响应；3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系；4、掌握用MA TLAB 对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法。

二、实验原理拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段，对于当∞→t 时信号幅度不衰减或增长的时间信号，其傅里叶变换不存在，但我们可以用拉普拉斯变换来分析它们。

连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换定义为：⎰∞∞--=dt e t s st )(f )(F ，其中s=ωδj +,若以δ为横坐标（实轴），ωj 为纵坐标（虚轴），复变量s 就构成了一个复平面，称为s 平面。

显然，F(s)是复变量s 的复函数，为了便于理解和分析随s 的变化规律，我们可以将F(s)写成：)(|)(F |)(F s j es s ψ=,其中 |)(F |s 为复信号F(s)的模，而)(s ψ为F(s)的相角。

1、拉普拉斯变换及MATLAB 的实现（1）利用matlab 符号运算功能实现拉普拉斯变换如果连续时间信号f(t)可用符号表达式表示，则可直接调用MATLAB 的laplace 函数来实现其单边拉普拉斯变换。

调用laplace 函数的命令格式为：①L=laplace(F) : 输入参量F 为连续时间信号f(t)的符号表达式，输出参量L 为返回默认符号自变量s 的关于F 的拉普拉斯变换的符号表达式。

②L=laplace(F,v)：输入参量F 为连续时间信号f(t)的符号表达式，输出参量L 为返回默认符号自变量v 的关于F 的拉普拉斯变换的符号表达式。

例：5-1 已知f(t)=e -tsin ωt ,求f(t)的拉氏变换在command 窗口输入以下命令：>>syms t w ; %定义时间符号变量>>F=exp(-t)*sin(w*t); %定义连续时间信号的符号表达式>>L=laplace(F) %计算拉普拉斯变换的符号表达式(2)利用matlab 符号运算功能实现拉普拉斯逆变换MATLAB 为用户提供实现信号拉普拉斯逆变换的专用函数ilaplace 。

调用ilaplace 函数的命令格式为：①F=ilaplace(L) :输入参量L 为连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的符号表达式，输出参量F 为返回默认符号自变量t 的关于符号表达式L 的拉普拉斯逆变换f(t)的符号表达式。

②F=ilaplace(L ，w) :输入参量L 为连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的符号表达式，输出参量F 为返回默认符号自变量w 的关于符号表达式L 的拉普拉斯逆变换f(t)的符号表达式。

例：5-2 已知1)(22+=s s s F ,求F(s)的拉氏反变换 在command 窗口输入以下命令：>>syms s; %定义复变量s>>L=s^2/(s^2+1); %定义拉普拉斯变换(像函数)的符号表达式>>F=ilaplace(L) %计算拉普拉斯逆变换（3）部分分式展开设连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换为若M<N,此项为零 真分式部分分式展开 有理多项式对于复频域F(s)可以应用MATLAB 的residue 函数求出F(s)部分分式展开的系数及其极点位置后，可得到其拉普拉斯逆变换f(t)。

调用residue()函数的命令格式为:[r,p,k]=residue(num,den)：式中，r 为包含F(s)所有部分分式展开系数r i (i=1,2,..N)的列向量，p 为包含F(s)所有极点位置的列向量，k 为包含F(s)部分分式展开的多项式的系数k j (j=1,2,…,M-N)的行向量，若M<N ，则k 返回为空阵。

num 和den 分别为F(s)的分子多项式和分母多项式的系数。

例 5-3：设有函数 5s 456s )(s s 232++++=s s F ，试展开部分分式 在command 窗口输入以下命令：>>num=[1,6,5];>>den=[1,4,5,0];>>[r,p,k]=residue(num,den)将系数与极点配对可得F(s)的部分分式展开形式：s1j 2s j j -2s j )s (F +++++-=2、拉普拉斯变换曲面图与傅里叶变换之间的关系（1）拉普拉斯变换曲面图的MATLAB 实现MATLAB 为拉普拉斯变换三维曲面图的可视化表现提供了便捷的方法和工具。

用matlab 绘制拉普拉斯幅度曲面图的过程如下：① 定义两个向量x 和y 来确定绘制曲面图的复平面横坐标（实轴）和纵坐标（虚轴）的范围。

② 调用meshgrid 函数产生包含绘制曲面图的s 平面区域所有等间隔取样点的复矩阵s 。

③ 计算复矩阵s 定义的各样点处信号拉普拉斯变换F(s)的函数值，并调用ads 函数求其模sk p r p a j N M 0j j N 1i i i N 1i i M 0j j j s )-s (s )s (B )s (A )(∑∑∏∑-====+-===s F的大小。

④ 调用mesh 函数绘出其幅度曲面图。

函数说明：[x,y] = meshgrid(x1,y1)：用来产生绘制平面图的区域，由x1，y1来确定具体的区域范围，由此产生s 平面区域。

当x=y 时，meshgrid 函数就可以写成meshgrid(x)。

mesh (x,y,z,c)：用于绘制三维网格图，一般情况下，x 、y 、z 是维数相同的矩阵。

c 省略时，matlab 认为c=z ，颜色的设定是正比于图形的高度。

surf (x,y,z,c)：用于绘制三维曲面图，各线条之间的补面用颜色填充。

view (az,el)：设置视点的函数，其中az 为方位角，el 为仰角，均以度为单位。

系统默认的视点定义为方位角-37.5度，仰角为30度。

（2）拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系根据课堂上所学的知识可知，拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系可表述为：傅里叶变换是信号在虚轴上的拉普拉斯变换，也可用下面的数学表达式表示ωωj s s H j H ==)()(即令信号拉普拉斯变换F(s)中复变量s 的实部为零（δ=0），就可以得到信号的傅里叶变换F(jw)。

从三维几何空间的角度来看，信号f(t)的傅里叶变换F(jw)就是其拉普拉斯曲面图中s 平面虚轴剖图（δ=0）所对应的曲线。

3、系统函数的零极点分布图（1）MATLAB 方法用于系统函数分析描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function ）”——H(s)：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→= 系统函数)(s H 的实质就是系统单位冲激响应（Impulse Response ）)(t h 的拉普拉斯变换。

因此，系统函数也可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st )()( 所以，系统函数)(s H 的一些特点是和系统的时域响应)(t h 的特点相对应的。

在教材中，我们求系统函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经过拉氏变换之后得到系统函数)(s H 。

假设描述一个连续时间LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 对上式两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===M k k kN k kk s X s b s Y s a 00)()(即 ∑∑====N k kk M k k k s as b s X s Y s H 00)()()( 上式告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。

根据这一特点，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。

系统函数)(s H 大多数情况下是复变函数，)(s H 可以有多种表示形式，其中零极点形式： ∏∏==--=N i iMj j p s z s k s H 11)()()(，zj （j=1,2,…,M ）为H(s)的M 个零点，pi （i=1,2,…,N ）为H(s)的N 个极点。

函数说明：r=roots (c):用于计算零、极点，其中c 为多项式的系数向量（从高次到低次），r 为根向量。

若参数为H(s)的分子多项式系数b ，则得到零点；若为H(s)的分母多项式系数a ，则得到极点。

[p,z]=pzmap(sys):也具有计算极点p 和零点z 的功能。

pzmap(sys):不带返回值，则绘制出系统的零、极点分布图。

H = freqs(num,den,w)：计算由num,den 描述的系统的频率响应特性曲线。

返回值H 为频率向量规定的范围内的频率响应向量值。

如果不带返回值H ，则执行此函数后，将直接在屏幕上给出系统的对数频率响应曲线（包括幅频特性取向和相频特性曲线）。

H = impulse(num,den,t)：求系统的单位冲激响应，不带返回值，则直接绘制响应曲线，带返回值则将冲激响应值存于向量h 之中。

例5-5 设有系统函数12s 21)s (H s s 23+++=，试画出零、极点分布图，并求系统的冲激响应和频率特性H （w ）参考程序：num=[1];den=[1,2,2,1];sys=tf(num,den);poles=roots(den)figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);title('冲激响应');[H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H));注：将鼠标移到零极点上即能显示其位置坐标。

系统函数的零极点图（Zero-pole diagram ）能够直观地表示系统的零点和极点在s 平面上的位置，从而比较容易分析系统函数的收敛域和稳定性。

（2）系统函数的极点分布与系统的稳定性和因果性之间的关系一个稳定的LTI 系统，它的单位冲激响应h(t)满足绝对可积条件，即∞<⎰∞∞-dt t h )(同时，我们还应该记得，一个信号的傅里叶变换的存在条件就是这个信号满足绝对可积条件，所以，如果系统是稳定的话，那么，该系统的频率响应也必然是存在的。