根轨迹法讲解和性能指标
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
第4章 根轨迹法-3(1)
0 a 1
例4-10系统的根轨迹
本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在 绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时， 都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。
27
2. 几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇） 在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系 统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数 的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时 对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时 变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线， 称为根轨迹簇。
22
它的闭环特征方程式为
开环分母-开环分子=0
D( s) K g N (s) s(s p1 ) K g (s z1 ) 0
亦即 幅值条件
N ( s) s z1 1 D( s) s( s p1 ) K g
N ( s) s z1 1 D( s) s ( s p1 ) K g
（1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和
应是偶数。
m2 （2）根轨迹的渐近线。倾角 , ( 0,1, 2, L L ) nm （3）根轨迹的出射角与入射角。
m n1 出射角 sc 360 j i i 1 j 1 m 1 n 入射角 sr 360 j i i 1 j 1
有相同阻尼比的复极点，位于同一条射线上，称为 等阻尼线。同一条阻尼线上的复极点，超调量相同。
10
等阻尼线
③ n 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。 有相同 n 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节 时间。
ts 5%
ts 2%
3
n
4
例4-10系统的根轨迹
本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在 绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时， 都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。
27
2. 几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇） 在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系 统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数 的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时 对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时 变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线， 称为根轨迹簇。
22
它的闭环特征方程式为
开环分母-开环分子=0
D( s) K g N (s) s(s p1 ) K g (s z1 ) 0
亦即 幅值条件
N ( s) s z1 1 D( s) s( s p1 ) K g
N ( s) s z1 1 D( s) s ( s p1 ) K g
（1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和
应是偶数。
m2 （2）根轨迹的渐近线。倾角 , ( 0,1, 2, L L ) nm （3）根轨迹的出射角与入射角。
m n1 出射角 sc 360 j i i 1 j 1 m 1 n 入射角 sr 360 j i i 1 j 1
有相同阻尼比的复极点，位于同一条射线上，称为 等阻尼线。同一条阻尼线上的复极点，超调量相同。
10
等阻尼线
③ n 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。 有相同 n 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节 时间。
ts 5%
ts 2%
3
n
4
自动控制原理-用根轨迹法分析系统性能
闭环极点的位置和对应的Kr值,使得系
统的性能满足要求.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
G(s)H(s)=S(S+1K)r(S+2)
即要试求确S定1,ξ闭2==n0环-0-.m5.极3>3_点±2和j0对.58应的Kr.
jω
S解3=：∑j=β31系P=j c-统So的1s--S1根ξ2=轨60迹º图如图:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
四、增加开环零极点对系统性能 的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=S(KSr+1)
系以增统降零加的低又点零根超可使点轨调使根后迹量β轨:图。角迹如较向图小:， 闭 离 快 可 整 稳G左K极的系以环 时 定都速(rs值弯 点距增统不极 间 性减太性)H，曲离离加的管点，和小近.(s既，虚.合根)怎超离改快,影=可选轴适轨虚善速调么KS响使择有r的(迹轴系性量选S(系S闭适 一零+图和的 统 。择+统1环当 定点2为)距 的调K的)r,:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
一对共轭复数极点在S平面上的分布:
s1,2=复-ξ数ω极n +点jω的n 参1-数ξ2与
系统=阶-ξ跃ω响n +应jω及d 性能指 标|s的1|=关|s系2|=为ξ(ωn)2+ωd 2 cσ(%t)===e1cω--oξβπns1/e=β--ξξc1=ω2-ξotn2ξsωs%ω-1inξnn (ω=ξtdst=+ξβω3) n
统的性能满足要求.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
G(s)H(s)=S(S+1K)r(S+2)
即要试求确S定1,ξ闭2==n0环-0-.m5.极3>3_点±2和j0对.58应的Kr.
jω
S解3=：∑j=β31系P=j c-统So的1s--S1根ξ2=轨60迹º图如图:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
四、增加开环零极点对系统性能 的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=S(KSr+1)
系以增统降零加的低又点零根超可使点轨调使根后迹量β轨:图。角迹如较向图小:， 闭 离 快 可 整 稳G左K极的系以环 时 定都速(rs值弯 点距增统不极 间 性减太性)H，曲离离加的管点，和小近.(s既，虚.合根)怎超离改快,影=可选轴适轨虚善速调么KS响使择有r的(迹轴系性量选S(系S闭适 一零+图和的 统 。择+统1环当 定点2为)距 的调K的)r,:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
一对共轭复数极点在S平面上的分布:
s1,2=复-ξ数ω极n +点jω的n 参1-数ξ2与
系统=阶-ξ跃ω响n +应jω及d 性能指 标|s的1|=关|s系2|=为ξ(ωn)2+ωd 2 cσ(%t)===e1cω--oξβπns1/e=β--ξξc1=ω2-ξotn2ξsωs%ω-1inξnn (ω=ξtdst=+ξβω3) n
13.根轨迹
控制系统的三个基本性能指标是：稳定性、准确性(令人满意的稳态精度)和满意的动态响应。
已知系统传递函数，劳斯-胡尔维茨判据会告诉我们系统是否稳定(利用劳斯-胡尔维茨判据可以判断系统是否稳定)。
如果系统是稳定的，可以确定在不同类型输入作用下的稳态精度。
要确定动态响应得性质，我们需要知道特征方程的根在s平面的位置。
遗憾的是，通常情况下，特征方程式不可分解的，而且往往是高阶的。
根轨迹方法是确定特征方程根的位置的一种图形方法，根据这个方法，可以确定任意一个参数例如增益或时间常数从0到无穷变化时的根的变化。
根轨迹，（不仅可以判断系统是否稳定，还可以给出系统的稳定性的度量。
）不仅提供了系统是不是稳定的信息，也提供了系统的稳定性的度量，是另外一种描述系统动态特性的方法。
如果系统是不稳定的或者其动态响应不令人满意，根轨迹给出了提高响应品质的一种可能的方法，并且根轨迹能够很方便的定性描述出任何此类变化的影响。
角度和幅值准则一个无延迟的系统传递函数可以化简为如下多项式的比值。
根轨迹可以用如下方式推广：将特征方程D(s)表示成一个整数单位和一个新的多项式的比值之和。
特征方程可以写成如下形式：其中K是我们感兴趣的参数。
-z1,-z2，L是开环零点，-p1,-p2是开环极点。
K和s是独立的，且不必出现在多项式Z(s)和P(s)。
KZ(s)/P(s)的形式是重要的，这些极点和零点可能是实根或共轭复根。
注意在计算根轨迹时，（2-3A-2）式中的S的系数应为1。
零点是令Z(S)等于零时的S的值，零点用O来表示。
令N(s)等于零得到的这个零点一般不是闭环零点。
也可能是闭环零点，但不一定。
极点是令P（S）等于零时S的值，用X 来表示。
Sn项表示n个极点，所有等于零且位于S平面的原点处。
特征方程的一个根被定义为令D(s)等于零时S的值，用符号W表示。
若S是一个复变量，且零极点也是复数。
KZ(s)/P(s)是一个复函数，并且，可以按向量来处理，该向量有一个幅值和角度。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
第八章 根轨迹法
nm =3
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实 轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无 穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向 角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式 该式的分子是开环极点之和减零点之 和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。 又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成 即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实 轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无 穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向 角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式 该式的分子是开环极点之和减零点之 和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。 又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成 即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。
根轨迹法讲解和性能指标
根轨迹在[s]平面上的分支数等于闭环特征方程 式的阶数n。也就是说根轨迹的分支数与系统闭环 极点数目相同。
26
因系统特征方程式的某些系数是系统开环 根轨迹增益K 的函数，所以当 K在0~∞之间连续 变化时，系统闭环特征方程式的某些系数也随之 连续变化，因此，闭环特征根的变化也是连续的， 根轨迹也是连续的。
23
规则1 ：起点和终点 根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时 方程的根就是它的n个开环极点，当K→∞时方程 的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终 点是根轨迹的特殊点。
当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 正好终止于m个开环零点。
24
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞的 点，要K→∞只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,…,m)， 二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
11
系统开环传递函数通常可以写成零极点达式：
m
K1 (s zi )
图4-4 实轴上的根轨迹
29
这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的 某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或 共轭极点（如p2，p3）对应的相角（如θ2，θ3）之和 均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影 响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、 极点，对试验点s0，其左边实轴上任一开环零、极点 对应的相角（如θ4,φ3）均为0，其右边实轴上任一开 环零、极点对应的相角（如θ1,φ1,φ2）均为1800。所 以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零极点总数 必须是奇数。
26
因系统特征方程式的某些系数是系统开环 根轨迹增益K 的函数，所以当 K在0~∞之间连续 变化时，系统闭环特征方程式的某些系数也随之 连续变化，因此，闭环特征根的变化也是连续的， 根轨迹也是连续的。
23
规则1 ：起点和终点 根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时 方程的根就是它的n个开环极点，当K→∞时方程 的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终 点是根轨迹的特殊点。
当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 正好终止于m个开环零点。
24
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞的 点，要K→∞只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,…,m)， 二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
11
系统开环传递函数通常可以写成零极点达式：
m
K1 (s zi )
图4-4 实轴上的根轨迹
29
这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的 某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或 共轭极点（如p2，p3）对应的相角（如θ2，θ3）之和 均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影 响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、 极点，对试验点s0，其左边实轴上任一开环零、极点 对应的相角（如θ4,φ3）均为0，其右边实轴上任一开 环零、极点对应的相角（如θ1,φ1,φ2）均为1800。所 以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零极点总数 必须是奇数。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
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6
图4-2 根轨迹图
7
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数) 发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称为系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量 可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为 可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹（典型根 轨迹）。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参 量根轨迹。
5
系统闭环传递函数为：
C (s) G (s)
K
Φ (s)=R (s)=1+ G (s)=s(s+ 1)s (+ 2)+ K
该系统的闭环特征方程为：
s3+3s2+2s+K =0
如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从0向 变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制 为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K从0向 变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当 0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数，当K>0.385 时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0<K<6闭环系 统一定稳定。可见，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与 开环增益K的关系。
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj)
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
s pj
K1
j1 m
s zi
i1
m
n
(szi)(spj)(2q1)
i1
j1
q0,1,2,...
（4-9）
（4-10）
12
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可 以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各 点对应的根轨迹增益K值。
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
11
系统开环传递函数通常可以写成零极点表达式：
Байду номын сангаас
m
K1 (s zi )
G(s)=KG0(s)，显然，K的变动只影响幅值条件不
影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点满
足同一个相角条件，K变动，而相角条件是不变
的。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在s平
面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的
曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根
轨迹上任一点的K值。
传递函数的零极点表示，根轨迹的概 念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规 则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定 性分析系统性能指标随系统参数变化的趋 势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。
3
线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环 系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统 的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调 整开环增益是改变闭环极点的常用办法。
1948年伊万斯(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的 闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连 续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹， 如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根 据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可 以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
8
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K从0到变化时出根轨迹的条数； （3）判断该系统在K取值在何范围时处于过阻尼、
临界阻尼和欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从
( s 1 4 ) s 1 ( s 1 2 ) ( s 1 6 .6 )
( 2 . 5 j 2 . 5 ) ( 1 . 5 j 2 . 5 ) ( 0 . 5 j 2 . 5 ) ( 5 . 1 j 2 . 5 )
≈ 4 － 5 1 2 － 7 1 － 826 = － 1 80
而计算系统闭环性能指标；或反之；
9
4.1.2 根轨迹绘制的基本条件
传统的根轨迹法是不直接求解特征方程的，它
创造了一套行之有效的办法——图解加计算的手工
绘图法。如今，尽管手工绘制根轨的一些繁琐技艺
已经没有多大价值，但是，它所发掘出来的根轨迹
基本规律，无论用哪种方法作图都是适用的。
今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的
4
§4.1 根轨迹的基本概念
4.1.1 什么是根轨迹
图4-1所示负反馈控制
K
C(s)
系统，设其开环传递函数
+
s(s+1)(s+2)
—
为：
G(s)H(s)=s(s+1K )(s+2) （４－图１ 4-1）反馈控制系统
该系统的开环特征方程为：
s(s+1)s(+2)=0
解得系统开环极点为：
s1=0，s2=―1 ，s2=―2
满足相角条件，S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。13
（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K1值。
K1
s1
(s12) (s16.6) (s14)
1.5j2.50.5j2.55.1j2.5
2.5j2.5
11.94
14
根轨迹法研究的是系统可变参数对闭环极点
的影响，最常见的可变参数就是开环增益K。令
根轨迹法讲解和性 能指标
1
内容提要
根轨迹是一种图解法，它是根据系统的 开环零极点分布，用作图的方法简便地确定 闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而 对系统的特性进行定性分析和定量计算。
根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的 基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图 确定闭环极点及系统性能指标。
2
知识要点
事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制
根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是
每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开
始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应
解特征方程的根就在s平面上绘出根轨迹。
10
如图所示系统 ，其闭 环系统特征方程为
1＋G(s)H(S)=0
或
G(S)H(S)=―1
【例1】单位反馈系统的开环传递函数为:
G(s) K1(s4) s(s2)(s6.6)
试检验S1= -1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如 果是，则确定与它相对应的K1值是多少。 解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上。
p1=0，p2= -2，p3= -6.6， z1= -4
（2）将s1坐标带入相角条件：
图4-2 根轨迹图
7
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数) 发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称为系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量 可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为 可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹（典型根 轨迹）。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参 量根轨迹。
5
系统闭环传递函数为：
C (s) G (s)
K
Φ (s)=R (s)=1+ G (s)=s(s+ 1)s (+ 2)+ K
该系统的闭环特征方程为：
s3+3s2+2s+K =0
如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从0向 变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制 为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K从0向 变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当 0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数，当K>0.385 时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0<K<6闭环系 统一定稳定。可见，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与 开环增益K的关系。
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj)
j 1
此时幅值条件和相角条件分别为：
n
s pj
K1
j1 m
s zi
i1
m
n
(szi)(spj)(2q1)
i1
j1
q0,1,2,...
（4-9）
（4-10）
12
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可 以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各 点对应的根轨迹增益K值。
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
11
系统开环传递函数通常可以写成零极点表达式：
Байду номын сангаас
m
K1 (s zi )
G(s)=KG0(s)，显然，K的变动只影响幅值条件不
影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点满
足同一个相角条件，K变动，而相角条件是不变
的。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在s平
面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的
曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根
轨迹上任一点的K值。
传递函数的零极点表示，根轨迹的概 念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规 则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定 性分析系统性能指标随系统参数变化的趋 势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。
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线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环 系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统 的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调 整开环增益是改变闭环极点的常用办法。
1948年伊万斯(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的 闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连 续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹， 如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根 据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可 以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
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利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K从0到变化时出根轨迹的条数； （3）判断该系统在K取值在何范围时处于过阻尼、
临界阻尼和欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从
( s 1 4 ) s 1 ( s 1 2 ) ( s 1 6 .6 )
( 2 . 5 j 2 . 5 ) ( 1 . 5 j 2 . 5 ) ( 0 . 5 j 2 . 5 ) ( 5 . 1 j 2 . 5 )
≈ 4 － 5 1 2 － 7 1 － 826 = － 1 80
而计算系统闭环性能指标；或反之；
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4.1.2 根轨迹绘制的基本条件
传统的根轨迹法是不直接求解特征方程的，它
创造了一套行之有效的办法——图解加计算的手工
绘图法。如今，尽管手工绘制根轨的一些繁琐技艺
已经没有多大价值，但是，它所发掘出来的根轨迹
基本规律，无论用哪种方法作图都是适用的。
今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的
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§4.1 根轨迹的基本概念
4.1.1 什么是根轨迹
图4-1所示负反馈控制
K
C(s)
系统，设其开环传递函数
+
s(s+1)(s+2)
—
为：
G(s)H(s)=s(s+1K )(s+2) （４－图１ 4-1）反馈控制系统
该系统的开环特征方程为：
s(s+1)s(+2)=0
解得系统开环极点为：
s1=0，s2=―1 ，s2=―2
满足相角条件，S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。13
（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K1值。
K1
s1
(s12) (s16.6) (s14)
1.5j2.50.5j2.55.1j2.5
2.5j2.5
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根轨迹法研究的是系统可变参数对闭环极点
的影响，最常见的可变参数就是开环增益K。令
根轨迹法讲解和性 能指标
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内容提要
根轨迹是一种图解法，它是根据系统的 开环零极点分布，用作图的方法简便地确定 闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而 对系统的特性进行定性分析和定量计算。
根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的 基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图 确定闭环极点及系统性能指标。
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知识要点
事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制
根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是
每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开
始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应
解特征方程的根就在s平面上绘出根轨迹。
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如图所示系统 ，其闭 环系统特征方程为
1＋G(s)H(S)=0
或
G(S)H(S)=―1
【例1】单位反馈系统的开环传递函数为:
G(s) K1(s4) s(s2)(s6.6)
试检验S1= -1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如 果是，则确定与它相对应的K1值是多少。 解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上。
p1=0，p2= -2，p3= -6.6， z1= -4
（2）将s1坐标带入相角条件：