第13章 量子力学基础
曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案
+a
= 2mω a 2 ⋅
得 a2 = （3）
π = mωπ a 2 = n h 2
代入（2） ，解出
E n = nℏω ,
积分公式：
n = 1, 2 , 3 , ⋯ a 2 − u 2 du = u a2 u a2 − u2 + arcsin + c 2 2 a
（4）
∫
2π
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用
)
[ (
) (
)
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
ℏ2 T= d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ ∫ 2m
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
（3）
w=
且能量平均值
ℏ2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ψ *Vψ , 2m
（1）
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0 a x （2）
a = 2 E / mω 2 ，
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
+a
∫ p ⋅ dx = 2 ∫
nh 2ℏn = mωπ mω
−a
1 2m( E − mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 ∫ a 2 − x 2 dx 2 −a
∫= 1, 2 , ⋯ , pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为 ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量） ， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫
∴
因而平面转子的能量
量子力学基础简答题
量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋表象下，波函数如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？9、简述定态微扰理论。
10、Stern—Gerlach实验证实了什么？11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，…，f），为什么一般地不能直接作为的零级近似波函数？15、在自旋态中，和的测不准关系是多少？16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[，]=1，，，证明：。
24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
25、自旋，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。
27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。
28、知，问能否得到？为什么？29、简述变分法求基态能量及波函数的过程。
30、简单Zeemann效应是否可以证实自旋的存在？31、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级的简并度是多少？若粒子自旋为s，问的简并度又是多少?32、根据说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。
量子力学基础
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。 区别 宏观物体：讨论它的位置在哪里 宏观物体：讨论它的位置在哪里 位置 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大 几率
波函数的性质
(1) 波函数具有归一性 粒子在整个空间出现的几率：W = ∫ dw = (2) 单值性： 单值性： (3) 连续性 (4) 有限性 波函数的统计解释(玻恩诠释 波函数的统计解释 玻恩诠释) 玻恩诠释
不确定关系
ℏ ∆X ⋅ ∆Px ≥ h ∆X ⋅ ∆Px ≥ 2 ∆t ⋅ ∆E ≥ h ℏ ∆t ⋅ ∆E ≥ 2 尔格秒)，因而在宏观 ℏ 是一个小量(1.05 × 10 −27 世界中，不能得到直接体现。
假如：X的位置完全确定，即∆X → 0 ，则粒子的 动量就完全不能确定，即∆Px → ∞ ， 假如粒子处于 Px 数值完全确定的状态时( ∆Px → 0 ) ，则无法在X方向上把粒子固定住，即X的位置是 完全不确定的。
若体系具有一系列不同的可能状态， 若体系具有一系列不同的可能状态，{Ψ1, Ψ2···}， } 则它们的线性组合Ψ=C1Ψ1,+C2Ψ2+··· 也是该体系的 则它们的线性组合Ψ 一个可能的状态。其中C 为任意复常数。 一个可能的状态。其中C1, C2 ···为任意复常数。 为任意复常数 态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律。 （而不是几率的相加律）
量子学说
能量量子化(能量子)的观点违背日常生活经 验，当时没有被人接受，而普朗克本人也 踌躇不前。 其实，从这个假说出发，如果再向前一步 ，就可以得出电磁场能量具有不连续性的 结论，甚至可以得出电磁场包括光在内还 有粒子性的结论，但他没有迈出这关键的 一步。
物理化学-量子力学基础
04 量子力学的应用
量子计算
量子计算
量子计算机
利用量子力学原理进行计算，具有经典计 算无法比拟的优势，如加速某些算法、实 现更高级别的加密等。
利用量子比特作为计算基本单位，能够实 现并行计算，大大提高计算效率。
量子算法
量子纠错码
基于量子力学原理设计的算法，如Shor算 法、Grover算法等，能够解决经典计算机 无法有效解决的问题。
不确定性原理
总结词
指在量子力学中，无法同时精确测量某些对立的物理量，如位置和动量、时间和能量等。
详细描述
不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，它表明微观粒子的某些物理量无法同时被精确测量。这是因为测量 一个物理量可能会对另一个物理量产生干扰，从而影响其测量精度。这一原理限制了人们获取微观粒子精确信息 的可能性。
量子态和叠加态
总结词
量子态是指微观粒子所处的状态，可以 用波函数来描述；叠加态是指一个量子 系统可以同时处于多个状态的叠加。
VS
详细描述
在量子力学中，微观粒子的状态由波函数 来描述。波函数是一个复数函数，其模方 的物理意义是粒子处于某个状态的概率幅 。当一个量子系统可以同时处于多个状态 时，这些状态被称为叠加态。叠加态是量 子力学中的基本概念之一，它解释了微观 粒子的一些奇特性质，如干涉和纠缠等。
利用量子力学原理设计的错误纠正码，能 够提高量子计算机的稳定性。
量子通信
01
02
03
04
量子密钥分发
利用量子力学原理实现密钥分 发，能够保证通信的安全性。
量子隐形传态
利用量子纠缠实现信息传输， 能够实现无损、无延迟的通信
。
量子雷达
利用量子力学原理实现探测， 能够探测到传统雷达无法探测
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
量子力学基础概念
量子力学基础概念量子力学是描述微观世界的一门物理学理论，它以粒子和波的二重性以及不确定性原理为基础，揭示了微观粒子行为的奇特性质。
本文将介绍量子力学的基础概念，包括波粒二象性、量子叠加态、测量和不确定性原理等。
一、波粒二象性在经典物理学中，粒子和波被视为相互排斥的概念。
然而，在量子力学中，微观粒子既可以表现出粒子特性（如位置和动量），又可以表现出波特性（如干涉和衍射）。
以光子为例，光子既可以被看作具有能量和动量的粒子，也可以被看作是具有波长和频率的电磁波。
这种波粒二象性在量子世界中普遍存在，对于其他微观粒子（如电子和中子）同样适用。
二、量子叠加态量子叠加态是量子力学中的一个重要概念。
它表示一个量子系统处于多个可能状态的叠加，并且在测量之前不存在确定的状态。
例如，一个电子可以同时处于自旋向上和自旋向下的叠加态，直到进行自旋测量时才会坍缩到一个确定的状态。
量子叠加态的存在使得量子计算和量子通信等领域具有了巨大的发展潜力。
通过灵活地利用量子叠加态，科学家们可以设计更高效的算法和更安全的通信协议。
三、测量在量子力学中，测量是一个关键的概念。
量子测量可以得到关于量子系统性质的信息，但也会导致量子态的坍缩。
测量结果是随机的，而且无法准确预测。
根据量子力学的统计解释，我们只能计算出测量结果出现的概率，并不能准确预测某个具体结果。
这与经典物理学的确定论观念有很大不同。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，由海森堡提出。
它表明，在量子系统中，无法同时精确测量两个共轭变量，如位置和动量、能量和时间等。
不确定性原理的数学表达方式是：∆x∆p ≥ h/2，其中∆x表示位置的不确定度，∆p表示动量的不确定度，h是普朗克常数。
这意味着我们无法同时精确测量一个粒子的位置和动量，只能通过牺牲其中一个的精确度来获取另一个的信息。
不确定性原理的存在说明了量子力学的概率性质，也限制了人们对微观世界的观测和理解。
结论量子力学是揭示微观粒子行为的基本理论，其中涉及到许多奇妙的概念，如波粒二象性、量子叠加态、测量和不确定性原理等。
量子力学入门概念
量子力学入门概念1. 量子力学的起源20世纪初，人们对微观世界的探索逐渐深入，经典物理学无法完全解释微观粒子的行为。
在这个时候，量子力学诞生了。
量子力学是研究微观粒子的理论物理学分支，奠定了整个现代物理学的基础。
它的诞生标志着经典物理学迈向现代物理学的新纪元。
2. 波粒二象性在量子力学中最重要的概念之一就是波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子的性质，又可以表现出波的性质。
例如，光既可以被看作是一束光子（粒子），也可以被看作是一束电磁波（波）。
这种波粒二象性颠覆了人们对物质本质的传统认识，是量子力学理论的核心之一。
3. 不确定性原理量子力学引入了著名的海森堡不确定性原理。
该原理指出，在测量一个微观粒子的位置和动量时，无法同时准确知道它们的数值。
换言之，在量子尺度上，测量过程会对系统本身造成干扰，从而导致位置和动量无法同时确定。
这种不确定性原理挑战了经典物理学对测量过程的传统理解。
4. 玻恩统计与费米-狄拉克统计玻恩和费米、狄拉克分别提出了两种描述微观粒子行为的统计方法：玻恩统计和费米-狄拉克统计。
其中，玻恩统计适用于玻色子（如光子），而费米-狄拉克统计适用于费米子（如电子）。
这些统计方法为我们解释微观世界中粒子组成和行为提供了重要参考。
5. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了微观粒子的运动规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观粒子的波函数，从而推断出其在空间中的分布和运动状态。
薛定谔方程的提出极大地推动了人们对微观世界的认识和探索。
6. 量子纠缠量子纠缠是量子力学中一个令人费解但又不可忽视的现象。
当两个量子系统发生纠缠后，它们之间将建立一种特殊的联系，即使它们在空间上相隔甚远，改变一个系统中粒子的状态都会立刻影响到另一个系统中相关粒子的状态。
这种非局域关联关系挑战了我们对现实世界本质的理解。
7. 量子力学在科技领域应用除了在基础物理学中具有重要地位外，量子力学还在科技领域有着广泛应用。
量子力学基础
23.03.2020
17
% 1
R°H
1
n12
1 n22
R° 为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
莱曼系（Lyman） n1=1 n2 =2，3... 远紫外区 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ，
Hδ为可见区，其 余为近紫外区 帕邢系（Paschen） n1=3 n2 =4，5... 近红外区
23.03.2020
10
Ek 0 ν0
23.03.2020
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。
23.03.2020
电子的波性是和微 粒行为的统计性联
系在一起的。
29
原子和分子中的电子其运动具有波性， 其分布具有几率性。原子和分子的运 动可用波函数描述，而电子出现的几 率密度可用电子云描述。
23.03.2020
30
3.不确定关系（测不准原理）
测不准原理是由微观粒子本质特性决定的。 1927年海森堡（ （Heisenberg）提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动 量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。
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一、填空题13-T 光子的能量和动量，质能关系11、波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量E =；质量m =；动量p =.(已知h=6.63×10-34J ·s)答案：J151099.1-⨯kg 321021.2-⨯1241063.6--⋅⋅⨯s m kg 13-T 光子的能量和动量，质能关系22、能量和一个电子的静止能量相等的光子的频率是Hz ，波长是，动量是答案：1010235.1⨯oA0243.0122s m kg 1073.2--⋅⋅⨯13-T 光的波粒二象性3、普朗克的量子假说揭示了微观粒子的特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的性，光电效应证明了光的性。
答案：能量的量子化粒子粒子13-T 不确定关系4、如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横向速率大于答案：1301005.1--⋅⨯s m 13-T 波函数的统计意义15、波函数的统计的统计解释：。
答案：波函数的模方代表波所描述的粒子在空间的几率密度13-T 波函数的统计意义22(,)r t ψ 的含义是。
答案：t 时刻粒子在r 处附近的单位体积中出现的几率13-T 波函数6、将波函数在空间各点的振幅增大到3倍，则粒子在空间的分布概率。
答案：不变二、选择题13-X 一维无限深势阱中的粒子能级1、在量子力学中,一维无限深势阱中的粒子可以有若干个态,如果势阱的宽度缓慢地减少至某一较小的宽度,则下列说法中正确的是（）A ）每一能级的能量减少；B ）能级数增加；C ）相邻能级的能量差增加；D ）每个能级的能量不变.答案：C13-X 微观粒子具有波粒二象性2、微观粒子不遵守牛顿运动定律，而遵守不确定关系，其原因是（）A)微观粒子具有波粒二象性；B ）测量仪器精度不够；C ）微观粒子质量太小；D ）微观粒子线度太小。
答案：A13-X 黑体辐射和绝对黑体13、下列物体哪个是绝对黑体（）A ）不辐射可见光的物体；B ）不辐射任何光线的物体；C ）不反射可见光的物体；D ）不反射任何光线的物体。
答案：D13-X 黑体辐射和绝对黑体24、关于黑体辐射的实验规律叙述正确的有（）A)随着温度的升高，各种波长的辐射强度不变；B)随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动；C)黑体热辐射的强度与波长无关；D)黑体辐射无任何实验。
答案：B 13-X 光的性质5、一般认为光具有如下性质（）A ）不论在真空还是介质中的速度都是c ；B ）它的静止质量为0；C ）它的动量为2/c h ν；D ）它有动量和能量，但没有质量。
答案：B 13-X 光电效应16、证明光具有粒子性的是（）A ）光的干涉；B ）光的衍射；C ）光电效应；D ）光的偏振答案：C 13-X 光电效应27、用绿光照射金属钾时恰能发生光电效应，在下列情况下仍能发生光电效应的是（）A ）用红光照射，而且不断增加光的强度；B ）用较弱的红外线照射；C ）用黄光照射，且照射时间长；D ）只要入射光的波长小于绿光的波长，就可以发生光电效应。
答案：D 13-X 光电效应38、银的红限波长为oA 2600，当受到波长oA 1810=λ的单色紫外光照射时，光电子的最大动能为（）A ）2.06eV ；B.）20.06eV ；C.）1.16eV ；D ）3.3eV 答案：A 13-X 光电效应49、用频率为v 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E k ，若改用频率为2v 的单色光照射某种金属，则逸出光电子的最大动能为（）A ）2E k ；B.）2h v -E k ；C.）h v -E k ；D ）h v +E k 。
答案：D 13-X 光电效应规律110、某金属在光的照射下产生光电效应。
要想使饱和光电流增大，则需增大照射光的（）A ）波长；B ）强度；C ）频率；D ）照射时间。
答案：B 13-X 光电效应规律211、某金属在光的照射下产生光电效应。
要增大光电子初动能的大小应增大照射光的()A ）波长；B ）强度；C ）频率；D ）照射时间。
答案：C 13-X 能级跃迁112、由氢原子理论可知，当氢原子处于n=4的激发态时，可发射（）A ）一种波长的光；B ）三种波长的光；C ）四种波长的光：D ）六种波长的光。
答案：D 13-X 能级跃迁213、氢原子从能量为E1的较高激发态跃迁到能量为E2的较低激发态，设真空中的光速为c ，则下列说法正确的是（）A ）吸收光子的波长为12/()hc E E -；B ）吸收光子的波长为12()/E E c h -；C)辐射光子的波长为12/()hc E E -;D ）辐射光子的波长为12()/E E c h -。
答案：C 13-X 不确定关系114、不确定关系式h P x x ≥∆⋅∆表示在x 方向上（）A ）粒子的位置不能确定；B ）粒子的动量不能确定；C ）粒子的位置和动量都不能确定；D ）粒子的位置和动量不能同时确定。
答案：D 13-X 不确定关系215、关于微观粒子的不确定关系，下列说法正确的是（）A)不确定关系反映了微观粒子的波粒二象性；B)不确定关系反映了测量仪器的缺陷；C)不确定关系反映了对微观粒子的测量方法不完善，需改进；D)不确定关系反映了微观粒子的能量守恒，动量不守恒。
答案：A 13-X 不确定关系316、波长5000A λ=的光沿x 轴正向传播，若光波长的不确定量310A λ-∆=，则利用不确定关系式h P x x ≥∆⋅∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为（）A)25cm;B)50cm;C)250cm ;D)500cm.答案：C三、简答题13-J 绝对黑体1、绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。
13-J 普朗克量子假设2、普朗克量子假设的内容是什么？答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。
13-J 光电效应的实验规律3、光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系；4）光电效应是瞬时的。
用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。
这都与光电效应的实验事实相矛盾。
13-J 光的波粒二象性14、怎样理解光的波粒二象性？答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。
13-J 粒子的波粒二象性25、怎样理解微观粒子的波粒二象性？答：象光一样，实物粒子也具有波粒二象性，由于在通常情况下，实物粒子的波动性不明显而被忽视了。
实物粒子也是粒子和波的统一，但粒子和波动都已不是经典意义下的概念。
通过波函数的统计解释（即几率波）将二者统一起来了。
13-J 氢原子光谱的实验规律6、氢原子光谱有哪些实验规律？答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律)11()()(~22n k R n T k T kn-=-=νk 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，. 13-J 原子的核型结构模型与经典理论的矛盾7、原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。
这些结论都与实验事实矛盾。
13-J 德布罗意波及其实验验证8、什么是德布罗意波？哪些实验证实微观粒子具有波动性？答：把与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，或叫物质波。
戴维孙和革末通过电子衍射实验证实了微观粒子的波动性。
13-J 德布罗意波9、写出德布罗意公式，并简述其物理意义。
答：德布罗意公式为h E /=ν，ph /=λ物理意义：把微观粒子的波动性和粒子性联系起来，能量和动量描述粒子性，频率和波长描述波动性。
13-J 波函数的统计解释10、波函数的物理意义是什么？答：波函数的物理意义是波函数的模方代表波所描述的粒子在空间的几率密度。
dxdydz t z y x 2),,,(ψ代表t 时刻在点),,(z y x 附近体元dxdydz dV =内出现粒子的几率。
13-J 波函数的统计解释对波函数的要求11、波函数的统计解释要求波函数必须满足哪些条件？波函数必须满足的标准条件为：有限，单值，连续。
同时在具体的物理问题中，要满足相应的边界条件。