因式分解(提公因式、公式法)
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
因式分解(超全方法)
因式分解(超全方法)因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。
一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)；3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。
下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。
练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形三、分组分解法一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)例4、分解因式：a-2ab+b-c=(a-b)(1-2b)-c练题：分解因式3、x-x-9y-3y^2 4、x-y-z-2yz综合练：1) x+xy-xy-y=(x-y)(1+x)2) ax-bx+bx-ax+a-b=2(a-b)3) x+6xy+9y-16a+8a-1=(x+3y-4a+1)^24) a-6ab+12b+9b-4a=-(2a-3b)^2四、十字相乘法。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
提取公因式和公式法
辅导学案学生姓名：__________因式，否则容易出现符号上的错误．【例题精讲】例1．把多项式分解因式时，应提取的公因式为__________①②③④例2．下列各式由左及右变形正确的是__________①②③④例3．若，则代数式的值等于__________ ．例4． (__________ )．例5．多项式的公因式是为：__________ ．例6．因式分解=__________ ．例7．的公因式是__________ ．例8．已知代数式的值是，求的值例9．若多项式则__________例10．用简便方法计算：__________ ．例11．把分解因式,某同学是这样分解的：你同意它的做法吗？如不同意，如何改正？例12．利用分解因式计算：（1）（2）．例13．将下列各式分解因式：（1）（2）；（3）；（4）；例14．把多项式因式分解，正确的是__________①②③④例15．已知，求的值【巩固练习】1．下列式子变形正确的是__________①②③④以上都不对2．把分解因式．3．多项式的公因式是__________ ．4．多项式的公因式是__________ ．5．已知：求：代数式的值．6．利用分解因式计算=__________ .7．下列各式从左到右的变形是正确的因式分解的选项为__________①②③④8．的公因式是__________①②③④9．把多项式分解因式时应提取的公因式为__________①②③④二、因式分解（公式法）【知识梳理】1．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．（1）由平方差公式反过来可得：．这个公式叫做因式分解的平方差公式．【说明】①利用平方差公式分解因式时，这个多项式一定要满足三个条件：这个多项式是两项式（或可以看成两项式）；每一项（除符号外）都是平方的形式；两项的系数异号．②因式分解时要注意最后的结果要分解到不能再分解为止．（2）由完全平方公式反过来可得：，．这两个公式叫作因式分解的完全平方公式．【说明】①利用完全平方公式分解因式时，这个多项式一定要满足三个条件：这个多项式是三项式；其中的两项是两个整式的平方和；还要有一项是这两个整式乘积的2倍．②用完全平方公式分解因式时，可以按照两数积的两倍前面的符号来选择运用哪一个完全平方公式．【注意】（1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式；（2）因式分解时，应先提取公因式然后再用公式法分解因式．【例题精讲】例1．分解因式：25（a+b）2-9（a-b）2．例2．若，则__________ ．例3．已知a、c满足2|a-2013|=2c-c2-1，求c a的值．例4．分解因式：__________例5．分解因式__________ ．例6．分解因式：__________ ．例7．如果是一个完全平方式，则的值为__________ 例8．已知，则__________ ．例9．计算：【巩固练习】1．计算：2．分解因式：__________ ．3．在实数范围内分解因式：__________ ．4．分解因式得__________①②③④5．下列多项式中能用平方差分解因式的是__________①②③④6．分解因式：9x2-12x+4．7．因式分解的结果是__________8．下列因式分解错误的是__________①②③④9．己知a，b为有理数，且a2+b2+2a+2b+2=0，试求a，b的值．10．在实数范围内因式分解：__________ ．11．已知a2+b2-8a-10b+41=0，求5a-b2+25的值．12．已知：x2+5y2-4xy-6y+9=0，求x、y的值．13．图9-55-2是用四张相同的长方形纸片拼成一个边长为大正方形，中央空白部分为边长为的小正方形，请利用图中阴影部分的面积的不同表示方法猜想一个关于的等式，并证明你的猜想。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
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精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：初一 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 C 提取公因式法 C 公式法 C 能力提升授课日期时段教学内容1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式；3. 掌握公式法分解因式.一、有关概念：1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.4.提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.5.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.提取公因式法教学目标知识点睛二、 提取公因式的步骤：“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.题型一、因式分解概念：【例】下列变形是因式分解的是 ( )A ．()()2111x x x +-=-B ．221139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭C ．()25656x x x x -+=-+D ．()()ax ay bx by a x y b x y +++=+++【巩固】判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？（1）2(3)(3)9x x x +-=- （2）42225(5)(5)m m m -=+-（3）232(3)2x x x x +-=+- （4）42242222()a a b b a b -+=-题型二、提公因式：【例】（1）2abc abd a b +- （2）155ax xy --（3）()()223x a b b a -+- （4）34256686a x a x ax -+ （5）32524491836a x a x a b -- （6）542563286a b a x ax -+（7）32524491836a x a x a x -- （8）543527321624a b a b a b -+ 例题精讲（9）()()x a b y b a -+- （10）1m m a a +-（11）()()a m n b n m --- （12）()()p x y q y x ---（13） 542646816a x a x ax -+【巩固】（1）155ax xy +； （2）155ax xy -； （3）155ax xy -+； （4）155ax xy --（5）32a a a ++； （6）1m m a a+- （7）34256686a x a x ax -+ （8）()()22x a b a b -+-【巩固】（1）23432243a b c a b c a b c +- （2）54352321624a b a b a b -+（3）876563273a a a a +-- （4）333324243234x y z x y z x y z x y z --+-（5）()()23a p q a q p --- （6）()()3226181p x p x --- （7）()()211a a a --- （8）()()()22a b a b a b -+--题型三、利用提公因式法简化计算过程：【例】计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯【巩固】利用因式分解方法计算：（1）72.56553656530.56521⨯-⨯-⨯+⨯ (2) 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1(3) 1011-5×109题型四、在多项式恒等变形中的应用：【例】不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
【巩固】已知a 2-a-4=0，求a 2-2(a 2-a+3)-21(a 2-a-4)-a 的值.【巩固】已知22437,x y -=223219x y +=，求代数式22142x y -的值．题型五、在代数证明题中的应用：【例】证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
【巩固】判断20062003433⨯-能否被321整除.【巩固】．证明:多项式ab 2(x-y)5+a 2b(y-x)5能被(a-b)整除;1. 分解因式：（1）-+-41222332m n m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222222. 计算：()()-+-221110的结果是（ ） A. 2100B. -210C. -2D. -1 3.把多项式3x mx +因式分解得()12x x x n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭时，m 、n 的值分别是 （ ） A ．11,84m n == B. 11,82m n =-= C. 11,84m n ==- D ．11,42m n =-=实战模拟4. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。
5. 证明：812797913--能被45整除。
6.求证：32000-4×31999+10×31998能被7整除。
7. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。
1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式；3. 掌握公式法分解因式.公式法教学目标一、有关概念：1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.三、 常用公式：1.平方差公式 a b a b a b 22-=+-()()2.完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()3.立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
四、使用公式法需注意：1.运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
2.用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握知识点睛公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
一、公式法【例】下列代数式中不能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )A ．214x x ++B. 221934ab a b -+ C ．()()()222244a b a b a b +--+- D. 222m mn n --【例】（1）因式分解：22182x y -=_____________________________________. （2）因式分解：32544514449n n -=_____________________________. （3）因式分解：448116x y -=__________________________________.（4）因式分解：4411256a b -+=_________________________________.【例】（1）22363ax axy ay ++； （2）532421218x x y xy -+；（3）32231212x x y xy -+； （4）()()21025x y x y +-++；（5）()()21236x y x y -+-+ （6）()()242025x y x y +-++ ；【巩固】（1）232828x y x xy ---； （2）2232ax a x a ++；（3）2369a a a --. （4）()()2256036x y x y ---+； 例题精讲（5）()()2222a bab +-； （6）()()()22222x y x y x y +--+-【巩固】把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222--二、在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用【例】已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
【巩固】已知()014222=+--+b a b a ，求()20032b a +的值．三、在几何题中的应用【例】已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
【巩固】已知c b a ,,分别为ABC ∆的三边，求证：()04222222<--+b a c b a ．四、在代数证明题中应用【例】两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
1.因式分解：x xy 324-=________。
2.分解因式：2883223x y x y xy ++=_________。
3.如果()294x y M -++是一个完全平方式，则M 等于 （ ）A.()6x y ±-B. ()12x y ±-C. ()36x y ±-D. ()72x y ±-4. 分解因式：（1）()()a a +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+- （3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-实战模拟5. 已知：x x +=-13，求x x441+的值。