2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系单元测试题 新人教A版必修2
（人教版）精品数学教学资料高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试题新人教A版必修2(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案 B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案 B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是( )A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l 异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案 D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( )A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案 B6．下列命题正确的有( )①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案 C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是( ) A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM ⊥MN.答案 A9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案 C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是( )A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 解析 排除A 、B 、C ，故选D. 答案 D11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④答案 D12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析 易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE . ∵EF 在直线B 1D 1上，易知B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ， V A －BEF ＝13×12×12×1×22＝224. ∴A 、B 、C 选项都正确，由排除法即选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知A ，B ，C ，D 为空间四个点，且A ，B ，C ，D 不共面，则直线AB 与CD 的位置关系是________．解析 如图所示：由图知，AB 与CD 为异面直线．答案 异面14．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，F ，G ，H ，如果EH ，FG 相交于一点M ，那么M 一定在直线________上．答案 BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．使△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD 与CD 的关系为________； (2)∠BAC ＝________. 解析 (1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°， ∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a . ∴BD ＝CD ＝22a . ∴折叠后BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝a .∴折叠后△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°.答案(1)BD⊥CD(2)60°16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解析如图所示：∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F 分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解 (1)点M 为PD 的中点．理由如下：连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则点O 为BD 的中点，连接OM ， ∵PB ∥平面ACM ，∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线，故点M 为PD 的中点． (2)∵PA ⊥底面ABCD ，又底面是边长为1的正方形， ∴S 正方形ABCD ＝1，S △PAB ＝S △PAD ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×1×2＝22，S △PCD ＝12×1×2＝22. 故四棱锥P －ABCD 的表面积为S ＝1＋2×12＋22＋22＝2＋ 2. 19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴AP AB ＝AN AC ＝A 1MA 1B，∴MP ∥AA 1∥BB 1， ∴面MPN ∥面BB 1C 1C .MN ⊂面MPN ，∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC ＝AN AC ＝23a 2a ＝13，NP ＝13a ，同理MP ＝23a .又MP ∥BB 1，∴MP ⊥面ABCD ，MP ⊥PN . 在Rt △MPN 中MN ＝49a 2＋19a 2＝53a . 20．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解 (1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ， 从而PQ ∥平面AC D .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △D PA 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55， 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 21．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明(1)在△ABD中，∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC ⊥平面PAB .解 (1)过A 作AE ∥CD ，根据三视图可知，E 是BC 的中点，且BE ＝CE ＝1，AE ＝CD ＝1.又∵△PBC 为正三角形，∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ，∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE .∴PA 2＝PE 2－AE 2＝2，即PA ＝ 2.正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2. (2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高PA ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32， ∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·PA ＝13×32×2＝22. (3)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC .∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2，在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2，∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形．∴AC ⊥AB .又∵AB ∩PA ＝A ，∴AC ⊥平面PAB .。
2019-2020学年高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试卷及答案
2019-2020学年高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是()A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论一定不成立的是()A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30°BD垂直a与b,必存在平面α,使得() A.a⊂α,b⊂α B.a⊂α,b∥α,b⊥α D.a⊂α,b⊥αA,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但当a与b异面时,不存在平面α,使结论成立,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,但当a与b平行时,不存在平面α,使结论成立,D:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.其中不正确的个数是()B.2C.3D.0,我们不难发现①②③均不正确.故选C.,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥βA,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A错误;对于B,由线面垂直的性质可得,BC,若l⊥α,l∥β,应推出α⊥β,故C错误;对于D,l与β的位置关系不确定,l∥β,l⊂β,l与β相交, ,故D错误.,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BDB.ACC.AD1BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,则BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是()A.1 BC,取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF中,ED所以EF1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为()B.60°C.45°D.30°解析:如图,O为底面ABCD的中心,连接AC,BD,SO,易得SO⊥平面ABCD.所以∠OCS为侧棱SC与底面ABCD所成的角.又由已知可求得OC1,所以∠OCS=45°.ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论:。
人教版高中数学必修二第二章单元测试(二)- Word版含答案
2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列推理错误的是（ ） A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB C ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉α D ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是（ ） A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n 等于（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ）A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1D 16．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1 C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A ．AB ∥mB ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．以下结论中，错误的是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°12．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α．其中正确命题的序号是________．14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于PAB △的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点． （1）求证：AC ⊥B 1C ； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1．19．(12分)如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC ． （1）求证：BC ⊥平面P AC ．（2）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．20．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）证明：B 1C ⊥AB ；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱111ABC A B C -的高．21．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：P A∥面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE；（3）若二面角E BD C--为30°，求四棱锥P ABCD-的体积．22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E ABC-的体积．2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．故选C．2．【答案】D【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．故选D．3．【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．故选D．4．【答案】A【解析】如图，取CD的中点H，连接EH，HF．在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行，其余4个平面与EFH相交，即n＝4．又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8．故选A．5．【答案】B【解析】易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．故选B．6．【答案】A 【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，B C AC'==，所以∠B′DC＝90°．故选A．7．【答案】B【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离．故①②③都正确．8．【答案】C【解析】由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故C正确．故选C．9．【答案】D【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．故选D．10．【答案】B【解析】如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO．1sin 602ABC S =︒=11194ABC A B C ABC V S OP OP -∴=⨯==，OP ∴=213OA ==，∴tan OP OAP OA ∠=，又02OAP π<∠<，∴3OAP π∠=．故选B ．11．【答案】D【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH ． 又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A ．所以BD ⊥平面AA 1H ．又A 1H ⊂平面AA 1H ．所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，故A 正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD ．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．故选D ． 12．【答案】B【解析】A 错误．理由如下：过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，则可得BD ⊥平面ACE ，于是BD ⊥CE ，而由矩形ABCD 边长的关系可知BD 与CE 并不垂直．所以直线AC 与直线BD 不垂直．B 正确．理由：翻折到点A 在平面BCD 内的射影恰好在直线BC 上时，平面ABC ⊥平面BCD ，此时由CD ⊥BC 可证CD ⊥平面ABC ，于是有AB ⊥CD ．故B 正确． C 错误．理由如下：若直线AD 与直线BC 垂直，则由BC ⊥CD 可知BC ⊥平面ACD ，于是BC ⊥AC ，但是AB <BC ，在△ABC 中∠ACB 不可能是直角．故直线AD 与直线BC 不垂直．由以上分析显然D 错误．故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】④【解析】①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面或者垂直；③a 可能与α内的直线异面或垂直．14．【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 15．【答案】①③【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ， 这是不可能的，故②错；1·2PCD S CD PD =△，1·2PAB S AB PA =△，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ， 故AE 与BF 共面，④错． 16．【答案】a >6【解析】由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥面P AE ，∴DE ⊥AE ．易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则A B B EC E C D=，即33xa x =-．∴290x ax +=-， 由0∆>，解得a >6．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】平行，见解析．【解析】直线MN ∥平面A 1BC 1．证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1．∴MN ∉平面A 1BC 1． 如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵11112N D O C ∥，1112M D B C ∥，∴1NO MB ∥．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC ．∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥B 1C ． （2）连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD ．如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1．又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1．∴AC 1∥平面CDB 1． 19．【答案】（1）见解析；（2）存在，见解析．【解析】（1）证明∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ． 又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ．（2）∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ． 又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ． ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角．20．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO ． 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB ．（2）解 在平面BB 1C 1C 内作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD ． 在平面AOD 内作OH ⊥AD ，垂足为H ．由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC ． 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC ．因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD =．由于AC ⊥AB 1，所以11122OA B C ==．由OH ·AD ＝OD ·OA，且AD =OH ．又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC， 故三棱柱111ABC A B C -． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3P ABCD V -=． 【解析】（1）证明 连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A ． ∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE ． （2）证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC ． 又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE ．（3）解 取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点， ∴EF 为POC △的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴EF ⊥BD ． ∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥面EFO ，∴OE ⊥BD ． ∴∠EOF 为二面角E BD C --的平面角，∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF中，1124OF OC AC ===，∴·tan 30EF OF =︒，∴2OP EF ==．∴2313P ABCD V a -=⨯． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）V =． 【解析】（1）证明在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB ． 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1． （2）证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =． 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE ．（3）解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC，所以AB == 所以三棱锥E －ABC的体积1111·12332ABC V S AA ==⨯⨯=△．。
高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题+答案
第二章直线与平面得位置关系测试题一、选择题1、设,为两个不同得平面,l,m为两条不同得直线，且l,m,有如下得两个命题:①若∥,则l∥ｍ;②若l⊥m,则⊥、那么( )、Ａ、①就就是真命题,②就就是假命题ﻩＢ、①就就是假命题,②就就是真命题C、①②都就就是真命题ﻩﻩD、①②都就就是假命题2、如图,ＡBＣD－A１Ｂ1Ｃ1D１为正方体,下面结论错误．．得就就是（)、A、ＢD∥平面CB1D１B、ＡC1⊥ＢDC、ＡC1⊥平面CB1Ｄ1D、异面直线AＤ与ＣB1角为60°(第2题)3、关于直线m,n 与平面,,有下列四个命题:①m ∥,n ∥且∥，则m∥ｎ;ﻩﻩ②m ⊥,n ⊥且⊥,则m⊥n;③m ⊥，n ∥且∥,则ｍ⊥ｎ; ④m ∥,n ⊥且⊥,则m∥n、其中真命题得序号就就是( )、A、①②ﻩB、③④ﻩﻩＣ、①④ﻩﻩﻩＤ、②③4、给出下列四个命题:①垂直于同一直线得两条直线互相平行②垂直于同一平面得两个平面互相平行③若直线l1,ｌ2与同一平面所成得角相等,则l1，ｌ2互相平行④若直线l１,l2就就是异面直线，则与l1,l2都相交得两条直线就就是异面直线其中假．命题得个数就就是( )、A、1ﻩﻩﻩB、2ﻩﻩﻩﻩC、3 ﻩﻩD、4５、下列命题中正确得个数就就是( ）、①若直线l 上有无数个点不在平面内,则ｌ∥②若直线l与平面平行,则ｌ与平面内得任意一条直线都平行③如果两条平行直线中得一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行,则l与平面内得任意一条直线都没有公共点A、0个ﻩB、1个ﻩﻩC、2个ﻩﻩﻩD、3个6、两直线l１与ｌ２异面,过l1作平面与ｌ２平行，这样得平面( )、A、不存在ﻩB、有唯一得一个ﻩＣ、有无数个ﻩﻩﻩＤ、只有两个7、把正方形ABCＤ沿对角线AC折起,当以Ａ,Ｂ,C,D四点为顶点得三棱锥体积最大时,直线BＤ与平面ABC所成得角得大小为( )、Ａ、９０°ﻩB、60°ﻩＣ、4５°ﻩﻩD、30°８、下列说法中不正确得．．．．就就是( )、A、空间中,一组对边平行且相等得四边形一定就就是平行四边形B、同一平面得两条垂线一定共面C、过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D、过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直９、给出以下四个命题：①如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线得一个平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行②如果一条直线与一个平面内得两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,那么些两个平面互相垂直其中真命题得个数就就是( )、A、４B、3 ﻩC、2 ﻩD、１10、异面直线a,b所成得角６０°,直线ａ⊥c,则直线b与c所成得角得范围为( )、A 、[30°，９０°］B 、[60°，90°] ﻩC 、[30°,６0°]Ｄ、[30°,120°] 二、填空题１1、已知三棱锥P －ＡBC 得三条侧棱PA ,PB ,PC 两两相互垂直,且三个侧面得面积分别为S 1,S ２,S ３，则这个三棱锥得体积为 、１2、Ｐ就就是△A ＢC 所在平面外一点，过P 作P Ｏ⊥平面，垂足就就是O ，连PA ,ＰB ,P Ｃ、(1)若P Ａ=PB ＝PC ,则O 为△AB Ｃ 得 心； (2)PA ⊥PB ,PA ⊥P Ｃ，PC ⊥ＰＢ,则Ｏ就就是△AB Ｃ 得 心;(３)若点P 到三边ＡB ,B Ｃ,CA 得距离相等,则O 就就是△AB Ｃ 得 心;(4)若ＰA =PB ＝PC ,∠C ＝90º，则O 就就是ＡＢ边得 点; （5)若ＰA ＝PB ＝PC ，AB =AC ,则点Ｏ在△ABC 得 线上、 13、如图,在正三角形ABC 中,D ，Ｅ,F 分别为各边得中点,G ，H ,I ,J 分别为ＡF ,A Ｄ,BE ,DE 得中点,将△A ＢC 沿DE ,ＥＦ,ＤF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角得度数为 、14、直线ｌ与平面所成角为３0°,l ∩＝A ,直线m ∈,则m 与ｌ所成角得取值范围 就就是 、15、棱长为1得正四面体内有一点Ｐ,由点P 向各面引垂线,垂线段长度分别为ｄ1,d 2,d 3,d 4，则d 1+ｄ2+d ３+d ４得值为 、1６、直二面角-l －得棱上有一点A ,在平面,内各有一条射线AB ，ＡＣ与ｌ成45°,AB ,AC，则∠ＢA Ｃ＝ 、三、解答题17、在四面体A ＢＣD 中,△ABC 与△DBC 都就就是边长为4得正三角形、J(第13题)(1)求证:BC ⊥ＡD ;（２)若点D 到平面AB Ｃ得距离等于3,求二面角Ａ-BC －D 得正弦值；(3)设二面角Ａ-ＢC －D 得大小为,猜想为何值时,四面体A -B ＣD 得体积最大、(不要求证明)１8、 如图,在长方体ABC Ｄ—A １Ｂ１C 1D 1中,ＡB ＝2,BB 1＝BC =1,E 为D 1C 1得中点，连结E Ｄ,ＥＣ,E Ｂ与DB 、(1)求证:平面EDB ⊥平面EB Ｃ; (２)求二面角E －DB －C 得正切值、19*、如图,在底面就就是直角梯形得四棱锥Ｓ－ABCD 中,A Ｄ∥B Ｃ,∠ABC =90°, SA ⊥面A ＢCD ，S Ａ＝A Ｂ＝BC =1,AD =、(1)求四棱锥Ｓ—ABCD 得体积;(２）求面ＳCD 与面S ＢA 所成得二面角得正切值、 （提示:延长 ＢA ,CD 相交于点 E ,则直线 SE 就就是 所求二面角得棱、）ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ(第１9题）20*、斜三棱柱得一个侧面得面积为10,这个侧面与它所对棱得距离等于６,求这个棱柱得体积、（提示:在 AA １ 上取一点 P ,过 P 作棱柱得截面，使 AＡ1 垂直于这个截面、）ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ (第2０题)ﻬ第二章 点、直线、平面之间得位置关系参考答案一、选择题(第18题)(第17题)1、Ｄ解析:命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n,l,m,且ｌ∥n,ｍ⊥n,则ｍ⊥l,显然平面不垂直平面，（第1题）故②就就是假命题;命题①显然也就就是假命题，2、D解析:异面直线AＤ与ＣB１角为４5°、3、D解析:在①、④得条件下，m，n得位置关系不确定、4、Ｄ解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D、5、B解析:学会用长方体模型分析问题,A1A有无数点在平面ABCD外,但AA１与平面ＡBCD相交，①不正确;A１Ｂ1∥平面AＢＣD,显然A1B1不平行于BD，②不正确;A１B1∥AＢ,A1B1∥平面AＢCD,但AB平面ABCD内,③不正确;l与平面α平行,则l与无公共点，l与平面内得所有直线都没有公共点,④正确,应选Ｂ、(第5题)6、Ｂ解析:设平面过l１，且l２∥，则l1上一定点P与l2确定一平面,与得交线l３∥l2，且l3 过点P、又过点Ｐ与l2平行得直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1与l３得平面就就是唯一得,即过l1且平行于l2得平面就就是唯一得、7、C解析:当三棱锥D－ABＣ体积最大时,平面DAC⊥ＡBC,取AC得中点O,则△DBＯ就就是等腰直角三角形,即∠ＤＢO=45°、8、Ｄ解析:A、一组对边平行就决定了共面；Ｂ、同一平面得两条垂线互相平行，因而共面;C、这些直线都在同一个平面内即直线得垂面;D、把书本得书脊垂直放在桌上就明确了、9、Ｂ解析：因为①②④正确,故选B、１0、Ａ解析:异面直线,所成得角为60°，直线⊥，过空间任一点P，作直线a’∥a,ｂ’∥ｂ, c’∥c、若ａ’,b’,ｃ’共面则b’与ｃ’成30°角,否则’与’所成得角得范围为(30°，90°],所以直线b与c所成角得范围为[30°,90°] 、二、填空题11、、解析:设三条侧棱长为a,b,ｃ、则ab=S1，bc＝S2,ca＝S３三式相乘:∴ a2 b2 c2=S1Ｓ2S３,∴ ａｂｃ＝２、∵ 三侧棱两两垂直，∴ V＝abc·=、12、外,垂,内,中，BＣ边得垂直平分、解析:（１)由三角形全等可证得Ｏ为△ABC 得外心;(2)由直线与平面垂直得判定定理可证得,O 为△ABC 得垂心；(3)由直线与平面垂直得判定定理可证得,Ｏ为△AＢC 得内心；(4)由三角形全等可证得,O 为AB 边得中点；(5）由(１)知,O 在ＢＣ边得垂直平分线上,或说O 在∠BＡＣ得平分线上、13、６０°、解析:将△ABC沿DE,EF,DＦ折成三棱锥以后,GH与IJ所成角得度数为60°、１４、［30°,90°]、解析：直线l与平面所成得30°得角为m与l 所成角得最小值，当m在内适当旋转就可以得到l⊥m,即m与l所成角得得最大值为９0°、１5、、解析：作等积变换：×（d１＋ｄ２＋d3+ｄ4)=·h,而h＝、1６、６0°或120°、解析:不妨固定AB,则AC有两种可能、三、解答题17、证明：(1)取ＢC中点O,连结ＡO,DO、∵△ＡBC，△BCD都就就是边长为4得正三角形,∴AO⊥ＢC，DO⊥BC,且ＡO∩DO=O，∴BC⊥平面AOＤ、又AD平面ＡOD,∴BC⊥AD、(第17题)解:(2)由(1)知∠AOＤ为二面角A-BC－D得平面角,设∠AOD=,则过点Ｄ作DE⊥AＤ，垂足为E、∵BC⊥平面ADO，且BC平面AＢC,∴平面ADO⊥平面AＢＣ、又平面ADＯ∩平面ＡBC＝AO,∴DE⊥平面ABC、∴线段DE得长为点D到平面AＢC得距离,即DＥ=3、又DO＝BD＝2,在Rｔ△DＥO中,sin=＝,故二面角A－BC-D得正弦值为、（3)当＝9０°时,四面体ＡBCD得体积最大、18、证明:(1)在长方体AＢCD－Ａ1B1C1Ｄ１中,AB=2,ＢB1=BC=１,E为Ｄ1C１得中点、∴△DD１E为等腰直角三角形,∠D１ED=４5°、同理∠C１EC＝45°、∴，即DE⊥EC、在长方体ABＣD－中，BC⊥平面，又ＤE平面,∴ＢC⊥DE、又,∴DE⊥平面EBC、∵平面ＤEB过ＤE,∴平面DＥＢ⊥平面EBC、(2)解:如图,过Ｅ在平面中作EO⊥DC于O、在长方体ＡBCD-中,∵面ＡBＣD⊥面,∴ＥＯ⊥面AＢCD、过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF,∴EF⊥ＢD、∠ＥＦO为二面角Ｅ-ＤB-C得平面角、利用平面几何知识可得OF=, （第１8题)又OE=1,所以，tan EFO＝、19*、解：(1）直角梯形ABCD得面积就就是M底面=＝,∴四棱锥S—ABCD得体积就就是V＝·ＳA·Ｍ底面=×1×=、(2)如图,延长ＢA，ＣD相交于点E,连结ＳE,则ＳE就就是所求二面角得棱、∵AD∥BC,ＢC＝２AD,∴ＥＡ=AＢ＝SA,∴SＥ⊥SB∵SA⊥面ＡBCＤ,得面ＳＥＢ⊥面EBC,EB就就是交线、又BC⊥EB,∴BC⊥面SＥB,故SB就就是SC在面SEB上得射影,∴CS⊥SＥ,∠ＢSC就就是所求二面角得平面角、∵SB＝=，ＢC＝1,BC⊥SＢ,∴tan∠BSＣ=, ﻩﻩﻩﻩ(第19题)即所求二面角得正切值为、20*、解:如图,设斜三棱柱ABＣ—Ａ1Ｂ1C1得侧面BB１C１C得面积为1０,A1A与面BB１C1C得距离为6,在AA1上取一点P作截面PＱR，使ＡA1⊥截面PQR,AＡ1∥ＣC1，∴截面PＱR⊥侧面BB1Ｃ1C，过P作PＯ⊥QR于O,则PO⊥侧面BＢ１C1Ｃ,且PO＝６、∴V斜＝S△PＱR·AA1＝·QＲ·ＰO·AA1ﻩﻩﻩ=·PO·QR·BB1=×10×６=30、(第20题)。
2019_2020学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元质量测评(含解析)新人教A版必修2
第二章单元质量测评对应学生用书P53 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，图中点、线、面的位置关系用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n答案 A解析点、线、面的位置关系，点与线和面的关系用∈，∉，线与平面的关系用⊂，⊄，所以题图中点、线、面的位置关系表示为“α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A”，故选A．2．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．重合答案 C解析 如图所示，连接BD ，EF ，FG ，GH ，HE ，EG ，HF ，由E ，F ，G ，H 是空间四边形ABCD 四边的中点，有EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，EG 与FH 是对角线，故选C ．3．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有且只有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 如图，和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在的直线，当BC 与l 平行时，直线AC ，AB 都满足条件．故选B ．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 D解析 如图，过点M 作ME∥DN 交CC 1于点E ，连接A 1E ，则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ，则A 1M ＝32a ，ME ＝54a ，A 1E ＝414a ，所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2，所以∠A 1ME ＝90°，即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°． 5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线答案 C解析垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确．6．从平面α外一点P引平面α的垂线PO和斜线PA，PB，已知PA＝8，PB＝5，且OA∶OB ＝4∶3，则点P到平面α的距离是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析设OA＝4k，则OB＝3k．在Rt△POA中，PO2＝PA2－OA2＝64－16k2．在Rt△POB 中，PO2＝PB2－OB2＝25－3k2．所以64－16k2＝25－3k2，所以k2＝3，所以PO2＝16，PO＝4．7．在直三棱柱(侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( )A．30° B．45° C．60° D．90°答案 C解析本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1与BD1所成的角为60°．8．设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A．4π B．8π C．16π D．12π答案 D解析 由题意知，三棱柱的底面所在的截面圆的直径2r ＝22，则球的半径R ＝22＋12＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选D ．9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为( )A ．12B ．13C ．33D ．23 答案 C解析 如图，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ． ∵AC＝2，其余各棱长都为1， ∴BF⊥CD，AD⊥CD，∴EF⊥CD． ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2．∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝EF BF ＝33．10．已知正四棱柱(底面为正方形侧棱垂直底面)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A ．1010 B ．15 C ．31010 D ．35答案 C解析 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 连接A 1B ，过E 作EF⊥A 1B ，交A 1B 于F ． ∵A 1D 1綊AD 綊BC ，∴A 1D 1綊BC ， ∴四边形A 1BCD 1为平行四边形， ∴A 1B∥CD 1，∴∠A 1BE 是异面直线BE 与CD 1所成的角或其补角． 设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，则AE ＝A 1E ＝a ，∴BE＝2a ，A 1B ＝5a ， 在Rt△A 1AB 中，sin∠AA 1B ＝AB A 1B ＝a 5a ＝55， 在Rt △A 1EF 中，sin∠AA 1B ＝EF A 1E， ∴EF＝a·55＝55a ． ∴在Rt△BFE 中，cos∠A 1BE ＝BFBE＝2a2－⎝⎛⎭⎪⎫55a 22a＝31010．11．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )答案 A解析解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ．故选A．解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A．12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA ＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是( )A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N－ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF D．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF答案 C解析连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF．由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错误；若在A1C1上存在点N，则V N－ADF＝V D－AFN，当N与C1重合时，V D－AFN取最小值为36，故B错误；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF．又∵AD⊥平面CB1，CM⊂平面CB1，∴AD⊥CM．∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF．∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确．过C1作C1G∥FA交AA1于点G．若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G．又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G．∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错误．综合选C．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．答案CD∥EF解析因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD．同理可证AB∥EF，所以CD∥EF．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________．(填“平行”“相交”或“异面”)答案相交解析连接A1D，PQ，B1C，∵点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，∴PQ∥B1C．在正方体中，易知B1C∥A1D，∴PQ∥A1D，∴A1，D，Q，P共面．又∵PQ≠A1D，∴四边形A1DQP是梯形，A1P 与DQ相交．15．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β．又∵④m⊥α，∴②α⊥β．即①③④⇒②．若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α，又∵④m⊥α，∴①m⊥n．即②③④⇒①．16．在如图所示的棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是________；截得的平面图形中，面积最大的值是________．答案2 3 3 3解析截得的三角形中，面积最大的是三角形A1C1B，面积为34×(22)2＝23．截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6×34×(2)2＝33．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M＝DN＝a(0<a<2)，连接MN．(1)证明：对任意a∈(0，2)，总有MN∥平面DCC1D1；(2)当a为何值时，MN的长度最小？解(1)证明：如图，作MP∥AD，交DD1于点P，作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ．由题意得MP∥NQ，且MP＝NQ，则四边形MNQP为平行四边形．∴MN∥PQ．又∵PQ⊂平面DCC1D1，MN⊄平面DCC1D1，∴MN∥平面DCC1D1．(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，∴MN＝PQ．∵DD1＝AD＝DC＝BC＝1，∴AD1＝BD＝2．∵D 1M ＝DN ＝a ，∴D 1P 1＝a 2，DQ 1＝a2．即D 1P ＝DQ ＝a 2， ∴MN＝PQ ＝1－D 1P2＋DQ 2＝1－a 22＋a 22＝a －222＋12(0<a<2)． 故当a ＝22时，MN 的长度有最小值，为22． 即当M ，N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长度最小，此时MN 的长度为22． 18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°．(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC⊥BM，并求PMMC 的值．解 (1)在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°， 过点B 作BN 垂直AC 于点N ，则 BN ＝AB·sin∠BAC＝1×sin60°＝32， ∴S △ABC ＝12AC·BN＝12×2×32＝32．又∵PA⊥平面ABC ，∴PA 是三棱锥P －ABC 的高．∴V P －ABC ＝13×1×32＝36．(2)证明：过N 作NM∥PA 交PC 于点M ，连接BM ． ∵PA⊥平面ABC ，∴MN⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴MN⊥AC． 又MN∩BN＝N ，∴AC⊥平面BMN ． ∵BM ⊂平面BMN ，∴AC⊥BM． 此时M 即为所找的点． 在△ABN 中，易知AN ＝12AB ＝12，∴PM MC ＝AN CN ＝13．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为22的正方形，其他四个侧面都是腰长为5的等腰三角形，过棱PD 的中点E 作截面EFGH ，使截面E FGH∥平面PBC ，且截面EFGH 分别交棱PA ，AB ，CD 于点F ，G ，H ．(1)证明：EF∥GH；(2)求三棱锥F －ABD 的体积．解 (1)证明：∵平面EFGH∥平面PBC ，平面EFGH∩平面PCD ＝EH ，平面PBC∩平面PCD ＝PC ，∴EH∥PC．又E 是PD 的中点，∴H 是CD 的中点． 同理可证F ，G 分别是PA ，AB 的中点， ∴EF∥AD，GH∥AD，∴EF∥GH．(2)如图，连接AC ，设AC∩BD＝O ，连接PO ．∵底面ABCD 是边长为22的正方形，∴AC⊥BD，且AC ＝BD ＝4． ∵侧面为全等的等腰三角形，∴PO⊥AC，PO⊥BD． 又AC∩BD＝O ，∴PO⊥平面ABCD ． 在Rt△POA 中，PO ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1． 又F 为PA 的中点，∴V F －ABD ＝12V P －ABD ．又V P －ABD ＝13S △ABD ·PO＝13×12×(22)2×1＝43，∴V F －ABD ＝23．20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D⊥平面A 1BC ；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值．解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE．由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE．因为AB＝AC，所以AE⊥BC．所以AE⊥平面A1BC．连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE．因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．(2)如图，作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF．因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝2．又A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72．所以sin∠A1BF＝78．21．(本小题满分12分)△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三边分别将△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后记为A．(1)求证：AB⊥CD；(2)求平面BCD与平面ACD所成二面角的正切值．解在题图中，由A1，A2，A3三点可重合知A1B＝A2B＝2，A1D＝A3D＝5，A2C＝A3C．作DF⊥A2A3于点F，则FA3＝3⇒A3C＝A2C＝4．(1)证明：折叠后的图形如图所示，∵AB⊥AD，AB⊥AC，AD∩AC＝A，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．(2)作AE⊥CD于点E，连接BE．∵AB⊥CD ，AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥BE，则∠AEB 为平面BCD 与平面ACD 所成二面角的平面角． 在△ACD 中，AE ＝DF·AC CD ＝161717，∵AB⊥平面ACD ，∴AB⊥AE， ∴tan∠AEB＝AB AE ＝178．22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ，且BC 1⊥A 1C ． (1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)点D 在边A 1C 1上且C 1D ＝13C 1A 1，证明在线段BB 1上存在点E ，使DE∥平面ABC 1，并求此时BEBB 1的值． 解 (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴四边形ACC 1A 1是矩形． ∵AA 1＝AC ，∴AC 1⊥A 1C ． 又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1， ∴A 1C⊥平面ABC 1． ∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1． (2)当BE BB 1＝13时，DE∥平面ABC 1，在A 1A 上取点F ，使AF AA 1＝13， 连接EF ，FD ．∵C 1D C 1A 1＝AF AA 1＝BE BB 1＝13，∴EF∥AB，DF∥AC 1．∵AB∩AC1＝A，EF∩DF＝F，∴平面EFD∥平面ABC1，∵DE⊂平面DEF，∴ED∥平面ABC1．。
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案解析)
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案解析）一、选择题一、选择题1．与同一平面平行的两条直线()A．平行B．相交C．异面 D．平行或相交或异面【解析】如图：故选D.【答案】D2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作()A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个【解析】若两点所在直线与平面相交，则为0个，若平行则可作1个．【答案】C3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．AB⊂α【解析】结合图形可知选项C正确．【答案】C4．以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．①③【解析】对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.【答案】D5．如果点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面()A．只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个【解析】当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.【答案】C二、填空题6．如图2121所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：图2121①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．【解析】由异面直线的定义知③④正确．【答案】③④7．如图2122，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．图2122【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.【答案】60°三、解答题8．如图219所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.图219【证明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．10．下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【解析】经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A ＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.【答案】D11．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图2110.(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．图2110【解】(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β.同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。
最新人教版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试
本章测评(用时90分钟,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A.α内所有的直线都与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内所有的直线都与a 相交D.直线a 与平面α有公共点解析:若直线a 不平行于平面α，包括直线a 与平面α相交及直线a 在平面α内，故直线a 与平面α有公共点. 答案：D2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( )A.3B.2C.1D.0解析:①错，不一定;②对③错，一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面;④错，过一个平面内任意一点作交线的垂线，不一定与交线相交. 答案：C3.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( ) A.α∥β B.α与β相交C.α与β重合D.α∥β或α与β相交 解析:不管α∥β或α与β相交，平面α内都有无数条直线与平面β平行. 答案：D4.两等角的一组对应边平行，则( )A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边也不可能垂直D.以上都不对解析:两等角的一组对应边平行，则另一组对边可能平行，也可能异面. 答案：D5.如图2-1所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是( )图2-1A.1B.2C.22D.21解析:取SA 的中点H ，连结EH 、FH.因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，在△EFH 中，应用勾股定理得EF=2.答案：B6.直线a 在平面α内，则命题（1）“若平面α平行于平面β，则直线a 平行于平面β”，命题（2）“若直线a 平行于平面β，平面α平行于平面β”，则下列判断正确的是( ) A.（1）是真命题，（2）是真命题 B.（1）是真命题，（2）是假命题 C.（1）是假命题，（2）是真命题 D.（1）是假命题，（2）是假命题 解析:直线a 在平面α内，若平面α平行于平面β,则平面α的任何一条直线包括a 平行于平面β.若直线a 平行于平面β，则平面α与平面β有可能相交. 答案：B7.长方体中，AB=AD=32，CC 1=2，则二面角C 1-BD-C 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:过C 作CE ⊥BD ，连结C 1E ，则C 1E ⊥BD,∠C 1EC 就是所求的二面角.在Rt △BCD 中，可求得CE=6，tan ∠C 1EC=33, ∴∠C 1EC=30°. 答案：A8.已知ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG 2+HF 2的值等于( )A.10B.15C.20D.25解析:ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EFGH 是平行四边形，EG 2+HF 2=2（EF 2+FG 2）=10. 答案：A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 9.a 、b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b;②过a 至少有一个平面垂直于b;③至多有一条直线与a 、b 都垂直;④至少有一个平面与a 、b 都平行.其中正确的命题是____________________.(填序号)解析:①④正确;②错，当a 、b 不垂直时，过a 不存在平面垂直于b;③错，有无数条直线与a 、b 都垂直. 答案：①④10.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 、G 、H 分别是棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点,请写出一个与A 1O 垂直的正方体的截面_____________________.(截面用给定的字母表示,不必写出全部符合条件的截面)解析:根据线面垂直的定义逐一分析,不过本题只需找到一个即可. 答案：GDB 或AFC 1H 或ED 1B 111.如图2-2所示，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD=6，则MN=______________.图2-2解析:连结AM 交BC 于E ，连结AN 交CD 于F ，连结EF ，则MN ∥EF ，EF ∥BD ，MN=.231213232==∙=BD BD EF 答案：212.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线AC,BD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD 的长为_________________. 解析:若P 在α,β的同侧，由于平面α∥平面β,故AB ∥CD ，则CDABPC PA =,可求得CD=20;若P 在α,β之间，可求得CD=4. 答案：20或413.已知m 、n 是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题: ①若α⊥β,α∩β=m,n ⊥m,则n ⊥α或n ⊥β; ②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m ∥n;③若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线;④若α∩β=m,n ∥m 且n α,n β,则n ∥α且n ∥β.其中正确的命题序号是_______________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)解析:①n 与α相交或n 与β相交，不正确.③m ⊥b,b ∈α,但m 不垂直于α.∴在α内有无数条与b 垂直的直线.∴m 可以垂直α内无数条直线.∴③不正确. 答案：②④三、解答题(本大题共5小题,共51分)14.(8分)设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到A 、B 、C 的距离相等，∠BAC 为直角. 求证：平面PCB ⊥平面ABC.证明：如图所示，取BC 的中点D ，连结PD 、AD ，∵D 是Rt △ABC 的斜边BC 的中点，∴BD=CD=AD.又PA=PB=PC ，PD 是公共边， ∴∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°.∴PD ⊥BC ，PD ⊥DA ，PD ⊥平面ABC. 又PD ⊂平面PCB,∴平面PCB ⊥平面ABC.15.(10分)如图2-3所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于一点或互相平行.图2-3证明：如题图所示，设已知平面α,β,γ，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，如果l 1、l 2、l 3中有任意两条交于一点P ，设l 1∩l 2=P ，即P ∈l 1，P ∈l 2，那么P ∈α，P ∈γ，则点P 在平面α、γ的交线l 3上，即l 1,l 2,l 3交于一点,如题中(a)图；如果l 1,l 2,l 3中任何两条都不相交，那么，因为任意两条都共面，所以l 1∥l 2∥l 3,如题中（b ）图.16.(10分)如图2-4所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ∶GD=1∶2，AC∩BD =O ，求证：平面AGO ∥平面D 1EF.图2-4证明：如题图所示，设EF∩BD=H ，在△DD 1H 中，132DD DGDH DO ==， ∴GO ∥D 1H.又GO 平面D 1EF ，D 1H ⊂平面D 1EF ， ∴GO ∥平面D 1EF.在△BAO 中，BE=AE ，BH=HO ，∴EH ∥AO.AO 平面D 1EF ，EH ⊂平面D 1EF ， ∴AO ∥平面D 1EF.又AO∩GO=O ， ∴平面AGO ∥平面D 1EF.17.(11分)如图2-5所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA=AD=a.图2-5求证:（1）MN ∥平面PAD ； （2）平面PMC ⊥平面PCD. 证明：如图所示，(1)设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，由N 为PC 的中点,知EN 21DC. 又四边形ABCD 是矩形，∴DC AB. ∴EN21AB.又M 是AB 的中点， ∴EN AM.∴AMNE 是平行四边形. ∴MN ∥AE.而AE ⊂平面PAD ，NM平面PAD,∴MN ∥平面PAD.(2)∵PA=AD ，∴AE ⊥PD.又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面PAD.∴CD ⊥AE. ∵PD∩CD=D ，∴AE ⊥平面PCD. ∵MN ∥AE,∴MN ⊥平面PCD. 又MN ⊂平面PMC ， ∴平面PMC ⊥平面PCD.18.(12分)如图2-6，棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，图2-6（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面； （2）求四边形EFDB 的面积.(1)证明：如图所示，连结B 1D 1，在△C 1B 1D 1中，C 1E=EB 1，C 1F=FD 1，∴EF ∥B 1D 1，且EF=21B 1D 1.又A 1A B 1B ，A 1A D 1D ，∴B 1B D 1D. ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. ∴B 1D 1∥BD ，EF ∥BD. ∴E 、F 、D 、B 四点共面.(2)解：由AB=a ，知BD=B 1D 1=a 2，EF=a 22， DF=BE=a a a EB BB 25)2(222121=+=+，过F 作FH ⊥DB 于H ，则DH=a EF DB 422=-， ∴FH=a a a a DH DF 42316181624522222==-=-.四边形的面积为S四边形EFBD =21(EF+BD)×FH=21(a 22+a 2)×228942322321423a a a =⨯⨯=.。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
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2019-2020年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测新人教A版必修2
第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．平行或异面解析：直线a和b没有公共点，则a和b平行或异面．答案：D2．下列推理错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α解析：当l⊄α，α∩l＝A时，A∈α，故C错．答案：C3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a∥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：已知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得A∉b.过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α.答案：B4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A．有且只有一个B．至多有一个C．有一个或无数多个D．不存在解析：当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有0个．故选B. 答案：B＝2，AC＝25，则异5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1面直线BD与AC所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直答案：C6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是( )A ．1B ． 2 C.22D ．12解析：取SA 的中点H ，连接EH 、FH (图略)．因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ， 在△EFH 中，应用勾股定理得EF ＝ 2. 答案：B7.如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( ) A ．A ， M ，O 三点共线 B ．A ，M ，O ，A 1不共面 C ．A ，M ，C ，O 不共面 D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A ，C ，C 1，A 1四点共面， 所以A 1C ⊂面ACC 1A 1.因为M ∈A 1C ，所以M ∈面ACC 1A 1，又M ∈面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在面ACC 1A 1与面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线，故选A. 答案：A8．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④D ．①③解析：若α∥β，l ⊥α，则l ⊥β，又m ⊂β，所以l ⊥m ，故①正确；若α⊥β，l ⊥α，m ⊂β，则l 与m 可能异面，所以②不正确；若l ∥m ，l ⊥α，则m ⊥α，又m ⊂β，则α⊥β，所以③正确；若l ⊥α，l ⊥m ，m ⊂β，则α与β可能相交，故④不正确．综上可知，选D. 答案：D9．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1解析：直线CE 在平面ACC 1A 1内，寻找与平面ACC 1A 1垂直的直线，在正方体中，BD 、B 1D 1都与此平面垂直，故选B. 答案：B10.长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是正方形，M 是AD 中点，O 是C 1D 与CD 1的交点，P 是BB 1上任意一点，则CM 与OP 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不能确定解析：取CD 中点E ，连接BE ，则CM ⊥BE .又CM ⊥BB 1，∴CM ⊥平面BEB 1.而OP ⊂平面BEB 1，∴CM ⊥OP .答案：C11．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α＝( ) A.32 B.22 C.104 D.64解析：如图，分别取AC ，A 1C 1的中点E ，E ′，连接EE ′，BE ，B 1E ′，在平面BEE ′B 1中作DF⊥EE ′，垂足为F ，连接AF . 易知平面BEE ′B 1⊥平面ACC 1A 1， 所以DF ⊥平面ACC 1A 1.所以∠DAF 是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角α.由DF ＝BE ＝32，AD ＝ 2.所以sin α＝DF AD ＝322＝64. 答案：D12.如图，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A MNCB 的体积为( )A.32 B ．32C. 3D ．3解析：如图，作出二面角A MN B 的平面角∠AED ，AO 为 △AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A MNCB 的高．由题意，得AO ＝32. V ＝13×32×33＝32. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13.如图所示，A ，B ，C ，D 为不共面的四点，E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上．(1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在直线________上； (2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在直线________上．解析：(1)若EH ∩FG ＝P ，那么点P ∈平面ABD ，P ∈平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .(2)若EF ∩GH ＝Q ，则Q ∈平面ABC ，Q ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴Q ∈AC . 答案：(1)BD (2)AC14．将边长为a 的正方形沿对角线BC 折叠成三棱锥A BCD ，折后AD ＝a ，则二面角A BC D 的大小为________． 解析：取BC 的中点O ，连接OA ，OD ，则OA ⊥BC ，OD ⊥BC ，则∠AOD 为二面角A BC D的平面角．由题设可知OA ＝OD ＝22a ， ∴OA 2＋OD 2＝AD 2， ∴∠AOD ＝90°. 答案：90°15．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件________时，有m ∥β；当满足条件________时，有m ⊥β. 解析：利用线面平行和垂直的判定定理选择即可． 答案：③⑤ ②⑤16．在正三棱锥S ABC 中，侧棱SC 垂直侧面SAB ，且SC ＝23，则此三棱锥的外接球的表面积为________． 解析：由题意，可知三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直．又三条侧棱相等，故可以三条侧棱为相邻三边作出一个正方体，其棱长均为23，其外接球的直径就是此正方体的体对角线，所以2R ＝23×3，即球的半径R ＝3，所以球的表面积S ＝4πR 2＝36π. 答案：36π三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点．求证：EF ∥平面BB 1D 1D . 证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ，OE ＝12DC .∵DC ∥D 1C 1，DC ＝D 1C 1，F 为D 1C 1的中点，∴OE ∥D 1F ，OE ＝D 1F ，∴四边形D 1FEO 为平行四边形．∴EF ∥D 1O .又∵EF ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB1D1D.18．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D?解析：如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平行四边形．因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN⊂平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点．所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥平面BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.19．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵四边形BCC1B1为正方形，E是BC1的中点，又D 是AB 的中点， ∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.20．(本小题满分12分)如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点． (1)求证：AM ⊥PM ；(2)求二面角P AM D 的大小．解析：(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA . ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin 60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而A M ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形． 由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM . 又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ， ∴AM ⊥PM .(2)由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P AM D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P AM D 的大小为45°.21．(本小题满分13分)在斜三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，D是BC 中点，侧面BB 1C 1C ⊥平面ABC . (1)求证：AD ⊥CC 1.(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)若截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ＝MA 1. 证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)延长B 1A 1与BM 的延长线交于N ，连接C 1N . ∵AM ＝MA 1，∴NA 1＝A 1B 1. ∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1. ∴C 1N ⊥C 1B 1，∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C . ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ， ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C . (3)过M 作ME ⊥BC 1于E ，连接DE .∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C . 又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 四点共面． ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ， ∴AM ∥DE ，∵CC 1∥AM ，∴DE ∥CC 1.∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点． ∴AM ＝DE ＝12CC 1＝12AA 1，∴AM ＝MA 1.22．(本小题满分13分)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB ＝BC ，能否在侧棱BB 1上找到一点E ，使得截面A 1EC ⊥侧面AA 1C 1C ？若能找到，指出点E 的位置；若找不到，说明理由．解析：设E 点存在，如图所示，作EM ⊥A 1C 于点M .因为截面A 1EC ⊥侧面AA 1C 1C ，所以EM ⊥侧面AA 1C 1C . 取AC 的中点N ，因为AB ＝BC ，所以BN ⊥AC . 又因为平面ABC ⊥侧面AA 1C 1C ，所以BN ⊥侧面AA 1C 1C . 所以BN ∥EM .因为平面BEMN ∩侧面AA 1C 1C ＝MN ，BE ∥侧面AA 1C 1C ， 所以BE ∥MN ∥A 1A .因为AN ＝NC ，所以A 1M ＝MC .因为四边形BEMN 为矩形，所以BE ＝MN ＝12A 1A ＝12BB 1.所以当E 为BB 1的中点时， 平面A 1EC ⊥侧面AA 1C 1C .。
2019_2020学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末质量检测(含解析)新人教A版必修2
章末质量检测(二) 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l与平面α不平行，则( )A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.答案：C2．若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c的位置关系是( )A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．以上都有可能解析：如图，当c为AD、A1B1、A1D1的位置时，均满足b，c异面，则c与a的位置关系分别为相交、平行、异面．故选D.答案：D3．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条 B．1条C．无数条 D．不确定解析：若直线a与平面α不垂直，则当直线a∥平面α时，平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．所以，若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．答案：C4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：当直线a⊂平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.答案：A5．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为( )A．16和12 B．15和13C．17和11 D．18和10解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.答案：B6．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A′D′ D．AA′解析：连接B′D′(图略)，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.答案：B7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为( )A．平行四边形B．菱形C．矩形 D．梯形解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面EFGH交平面ABCD于GH，交平面A1B1C1D1于EF，则有GH∥EF，同理EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形．答案：A8．对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，n⊥m，则n⊥α；②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：①中n与α位置关系不确定；②中n可能在α内；③中α与γ位置关系不确定；由面面垂直的判定定理可知④正确．故选A.答案：A9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝25，则异面直线BD与AC所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．[2019·贵阳市监测考试]如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A 与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝AM＝22，∴∠CMA＝90°.答案：C12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195解析：如图，过点A作AE⊥BD于E，连接PE. ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 214．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1与平面BB 1D 1D 的位置关系是________． 解析：因为ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD .又因为D 1D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以D 1D ⊥AC . 因为D 1D ∩DB ＝D ， 所以AC ⊥平面BB 1D 1D . 因为AC ⊂平面ACD 1， 所以平面ACD 1⊥平面BB 1D 1D . 答案：垂直15．如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置，都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .解析：分别取CE ，DE 的中点Q ，P ，连接MP ，PQ ，NQ ，可证MNQP 是矩形，所以①②正确；因为MN ∥PQ ，AB ∥CE ，若MN ∥AB ，则PQ ∥CE ，又PQ 与CE 相交，所以③错误；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，有EC ⊥AD ，④正确．故填①②④.答案：①②④16．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ：GC ＝DH ：HC ＝1：2.求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)EG 与HF 的交点在直线AC 上． 证明：(1)∵BG ：GC ＝DH ：HC ， ∴GH ∥BD .又∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)∵G ，H 不是BC ，CD 的中点， ∴EF ∥GH ，且EF ≠GH ， ∴EG 与FH 必相交．设交点为M ，而EG ⊂平面ABC ，HF ⊂平面ACD ，∴M ∈平面ABC ，且M ∈平面ACD ， ∴M ∈AC ，即GE 与HF 的交点在直线AC 上．18．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ， 所以四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.19．(12分)S 是Rt△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ， 在Rt△ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴△SAB 为等腰三角形，∴SE ⊥AB . 又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE .又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD . 在△SAC 中，SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)由于AB ＝BC ，则BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SD ⊥BD ， 又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .20．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．(1)求证：BE ∥平面MDF ； (2)求证：平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.21．(12分)[2019·菏泽检测]如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.。