定积分的概念 PPT

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《定积分的定义》课件

总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分，函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
THANKS
感谢观看

微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种函数的定积分，从而解决诸如面积、体积、长度、平均值、极值等问题。此外，它也是微分方程求解的重要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积

1.5定积分的概念(4课时)ppt课件

作业： P45练习：2 .
1.5.3 定积分的概念
问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运
动的路程，都可以通过“四步曲”解决，这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程是两类不同的问题，但它们有共同的解决途径，我们可以此为基点，构建一个新的数学理论，使得这些问题归结为某个数学问题来解决，并应用于更多的研究领域.
x 3)dx
(2x x )dx . 1
0
y sin( .x
)3
0
1
(2x
x 3)dx
0
1
2xdx
0
1x 3dx 1 1 3
0
44
小结作业
1.定积分是一个特定形式和的极限，其几何意义是曲边梯形的面积，定积分的值由被积函数，积分上限和下限所确定.
2.在实际问题中，定积分可以表示面积、体积、路程、功等等，求定积分的值目前有定义法和几何法两种，有时利用定积分的性质进行计算，能简化解题过程.
B组：2，3.
i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
思做考函数4：f(数x)学在上区，间把[a，nlimb]in上1 b的n定a f积( i )分，叫
记作
b
f (x)dx，即
a b
f (x)dx
a
lim
n
n i1
b
af( n
i)
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，
பைடு நூலகம்
区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫
2
(x 1)dx 的值.
1

定积分的概念课件

误，实际考试中，最多给6分.
(1)求定积分时，灵活利用其性质进行转化是必须掌握的解解题技巧. 题 (2)当被积函数是奇、偶函数时，要特别注意积分区间是启否关于原点对称，以便灵活应用定积分的几何意义解题. 示 (3)f(x)＞0时积分为面积值，而f(x)＜0时积分为面积的相
反数，解题时要注意转化.
其中a＜c＜b).
1.如何根据定积分的几何意义计算定积分？
提示：定积分的几何意义是曲边梯形的面积，可以利用几何知
识求出该平面图形的面积，作为所求定积分的值.
2.由正切曲线y=tanx，直线x=0和x= ，x轴所围成的平面区域
4
的面积用定积分表示为__________.
【解析】由定积分的几何意义可知应表示为
=
b a
f1
x
dx
b a
f
2
x
dx
b a
f
n
x
dx；
(2)
b
f
x dx
=
c1 f x dx
c2 f x dx
b f x dx
a
a
c1
cn
(其中a＜c1＜c2＜…<cn＜b,n∈N*).
(关键词：应用定积分的性质)
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)
1.直线x=1，x=-1，y=0及曲线y=x3+sinx围成的平面图形的面
∵y=sinx为奇函数，
∴
2
②
sinxd.x… …0 ……………………………………6分
2
如图，利用定积分的几何意义得
0
2
3x
=1
dx
×2=7 -81③，……………………………8分

定积分的概念及性质课件

度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法，它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定义的积分，它通常用于处理一些在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函数在一个区间上的总值，其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。

定积分概念、性质ppt课件

上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m，于是，由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)）在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示）引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间作和
取近似值取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1

第一节定积分的概念和性质

cos
1 n

2 n
cos
2 n

n
n
1
cos
n
n
1

cos1.
解
原极限

lim
n
n i 1

i n
cos
i n

1 n
易见，若取
xi

i n
,
O
1 n
2 n
...
i n
...
n 1 n
1
x
则
xi

1 n
,

i

i n

[
xi
1
,
xi
],
n
原极限

lim
n
i
i 1
cos i xi
由此可见，被积函数应取为 f ( x) x cos x,
例2 利用定积分表示以下极限.
lim
n

n

1 n
cos
1 n

2 n
cos
2 n

n
n
1
cos
n
n
1

cos1.
n
解
原极限

lim
n
i
i 1
cos i xi
i

i n
(i 1, 2,, n)
故
1 0
x 2dx

lim
n
1 n3
(12

22

Hale Waihona Puke 32 n2 )

高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt

二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质

高二数学-定积分概念-课件

0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解：（利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割：在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x

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n
f
(
i
)x
的极
i
限
i 1
i 1
就称为f ( x)在区间[a,b]上的积分
记作 b f ( x)dx a
y
y f (x)
o a xi1xi b x
积分上限 b f ( x)dx a
I
i
n
lim 0 i1
积分和
f (i )xi
积分下限
被积函数
被
积
积
分
表
变
达式
量
[a,b] 积分区间
把[a,b]分成n个小区间 [ xi1, xi ] (i 1,2, ... , n)
y
y f (x)
其长度为
xi xi xi1 (i 1,2, ... , n) o a xi1 xi b x
过各个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为?
（1）分割：（前面）
（2）近似：用小矩形的面积近似代替小曲边
定理设函数f ( x)在区间[a,b]上连续，又F( x)是
f ( x)的任一原函数，即F( x) f ( x)
则
b
b f ( x)dx F( x) F (b) F (a)
a
a
牛顿—莱布尼兹公式就是将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题，即把定积分问题转化为求不定积分的问题.
解决，但这一问题可以用极限的方法来求解。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
根据上述分析求曲边梯形面积步骤如下：
（1）分割：在区间[a,b]中插入n-1个分点 a x0 x1 x2 ... xi ... xn b
[ xn1，xn ]，各小段时间的长依次为
x1 x1 x0 ,x2 x2 x1 ,xn xn xn1 ,
在每个小区间[ xi1 xi ]上任意到一个点i ,求函数值f (i )
,并与小区间长度xi相乘得f (i )xi (i 1,2,3,, n),再求
和得S
n
f
(
i
)x
，
i
把S
b
a f ( x)dx A.
2)如果 f (x) < 0 ，
o
曲边梯形在 x 轴下方，
此时该定积分为负值，
它在几何上表示 x 轴下方的
曲边梯形面积是负值，
即
b
f ( x)dx A.
a
y
a
b
O
x
A y=f (x) B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时，定积分
b f ( x)dx 在几何上表示 a
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx .
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
性质4 如果在区间[a, b]上 f (x) g(x) ，
则
b
f ( x)dx
a
b
a g( x)dx .
(a b)
四、定积分的计算
——牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式
(1) 3 e3xdx
(2) 2 sin2 x cos xdx
0
0
解: (1)
3 e3xdx
0
1 3
3 e3xd 3 x
0
1 3
e3x 3 0
1 3
(e9
1)
(2) 2 sin2 x2 1
导数、不定积分、定积分三者关系：
F( x) f ( x) f ( x)dx F( x) C
b
b
a
f ( x)dx F ( x) a
例2 求定积分：
(1) 2 x3dx 1
(2) 2 cos xdx
(3)
2
(x
1 )dx
0
1
x
(4) 1e xdx 0
解:(1)
2 1
x3dx
1 4
x
轴上方的曲边梯形面
积减去 x 轴下方的曲边梯形面积
y
y = f (x)
a
A2
b
A1
A3
x
注
：
A
B
轴
b
a f ( x)dx A1 A2 A3 .
上方
取
例1.利用定积分的几何意义说明下列等式：
2 4 x2 dx 0
y 4 x2即x2 y2 4(0 x 2) 在0 x 2，y 0时为四分子一圆
梯形的面积
Ai f (i )xi , i [ xi1, xi ] y
y f (x)
（3）求和：曲边梯形的面
积A的近似值A n f (i )xi .
i 1
o
（4）取极限：当分割无限加细，
即小区间的最大长度
a xi1 xi b x
i
max
1in
xi
趋于零 (
0) 时，有：
n
A
lim
注意：
在定积分的定义中假定了a b，为了计算
方便，规定如下：
当a b时，b f ( x)dx a f ( x)dx
a
b
(即定积分上下限互换时，定积分变号）
特例：当a b时，b f ( x)dx 0 a
二.定积分的几何意义
1)当 f (x) > 0 时，定积分在几何上表示曲边 y = f (x) 在区间 [a, b] 上方的曲边梯形面积，
0
i 1
f (i )xi ,
一、定积分的定义
y
y f (x)
设函数f ( x)在区间[a, b]上有界，
在[a, b]中任意插入n 1个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b， o a xi1xi
把区间[a, b]分成n个小区间[ x0，x1 ]，[ x1，x2 ]，
b
i
x
a a2 x2 dx a2
0
4
三、定积分的性质
性质1（常数因子可以提到积分号）
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数).
性质2（和差的积分等于积分的和差）
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
性质3（区间可加性）假设a c b
b
a
f
x4
2 1 (24 14 ) 15
14
4
(2) 2 0
cos
xdx
sin
x
2 0
sin
2
sin
0
1
0
1
(3)
2
(x
1
1 )dx x
1 (2
x2
ln
x)
2
1
1 (2
22
ln
2)
1 (2
12
ln 1)
3 2
ln
2
(4) 1e xdx 0
ex
1 0
e1 e0 e 1
练习:求下列定积分
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
定积分的概念
定积分概念的引入
1. 求曲边梯形的面积
曲边梯形是指由连续曲线 y
y f ( x) ( f ( x) 0)、和直线
A?
y f (x)
y 0、x a、x b 所组成
的平面图形。
oa
bx
显然曲边梯形的面积无法用初等几何的方法