00023高等数学工本00023
2019年10月全国自考高等数学工本00023真题试题(含详解)
2019年10月全国自考高等数学(工本)00023试题及其详解一、单项选择题：本大题共5小题。
每小题3分。
共l5分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.在空间直角坐标系中，点(0,0,2)-在A.x 轴上B.y 轴上C.z 轴上D.Oxy 平面上解：答案是C2.函数(,)f x y =(0,0)处A.连续B.间断C.偏导数存在D.可微解：答案是B.3.已知cos cos sin sin x ydx x ydy -是某个函数(,)u x y 的全微分，则(,)u x y =A. sin cos y xB. sin sin x yC. sin cos x y -D. sin cos x y 解：D 选项，d(sinxcosy)=cosxcosydx-sinxsinydy.答案是D.4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是A.3()ydy x y dx =+B.2(2)xdy x y dx =+C.sin 19dy x y dx -=D.29dy xy dx+= 解：B 选项，对2(2)xdy x y dx =+y x =.答案是B. 5.下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是 A. 11(1)3n n n -∞=-∑ B. 1(1)2n n n ∞=-∑ C. 1(1)n n n ∞=-∑ D. 1(1)21n n n n ∞=-+∑ 解：答案是A.二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。
6.与向量{2,0,α=同方向的单位向量是 .解：{1=,0,222αα=⎨⎪⎪⎩⎭.答案是22⎨⎪⎪⎩⎭. 7.设函数22(,)f x y x y x y +-=+，则(,)f x y = .解：令u=x+y,v=x-y,则2222(,).222u v u v u v f u v +-+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以(,)f x y =222x y +.答案是222x y +.8.设积分区域22:9D x y +≤，则二重积分22()D f x y dxdy +⎰⎰在极坐标下的二次积分为 .解：答案是23200()d f r rdr πθ⎰⎰. 9.微分方程(1)612y x y y '''+-+=的特解*y = .解：简化微分方程，令0y ''=，则(1)612x y y '-+=，解得 y=6611121dx dx x x e e C x ---⎡⎤⎰⎰+⎢⎥-⎣⎦⎰=6661161212(1)1(1)dx dx x x e e C x C x x ---⎡⎤⎰⎰⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎰=62(1)C x +-. 因为0y ''=，所以C=0.故取特解*y =2.答案是2. 10.设函数()f x 是周期为2π的周期函数，傅里叶级数为11(1)sin 2n n nx n π-∞=-+∑，，则()f x 的傅里叶系数0a = .解：0a =π.答案是π.三、计算题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。
2010年1月自学考试00023高等数学(工本)真题试卷及参考答案
2010年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.在空间直角坐标系中，方程x 2+y 2=2的图形是（ ）A.圆B.球面C.圆柱面D.旋转抛物面2.设函数f(x+y,x-y)=xy2y x 22−,则f(x,y)=（ ） A.22y x xy − B.22y x xy 2− C. 22y x xy 4− D. )y x (2xy 22− 3.设积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1，三重积分I=⎰⎰⎰Ω+dxdydz )1z (，则（ ） A.I<0B.I=0C.I>0D.I 与z 有关4.微分方程0y 2y 3y =+'−''的通解y=（ ）A.C 1e -x +C 2e 2xB. C 1e -x +C 2e -2xC. C 1e x +C 2e -2xD. C 1e x +C 2e 2x5.下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+−1n n 1n )1( C. ∑∞=−−3n 1n n ln )1( D. ∑∞=+1n 1n n 32 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 设函数z=u+v, 而u=x+y, v=xy ，则xz ∂∂=___________. 7. 设区域D ：|x|≤1,0≤y ≤1,则二重积分⎰⎰+D 2dxdy )x sin x 1(的值等于___________. 8. 设λ是正常数，并且xy λdx+x λydy 是其个函数u(x,y)的全微分，则λ=___________.9. 微分方程3y y 2y =+'+''的一个特解为y*=___________.10. 函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数为___________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．求过点P （4，-1，2）并且与直线L ：⎩⎨⎧−=−−=−+1z y x 7z y x 平行的直线方程. 12．设函数z=)x ,x y (f ，其中f 是可微函数，求yz ,x z ∂∂∂∂. 13．已知函数z=e 3y (x 2+2y-x)，求y x z 2∂∂∂. 14．求函数f(x,y,z)=xyz-x 2-y 2+3z 在点（-1，-1, 2）处的梯度.15．求曲面z=4-x 2-y 2上平行于平面2x+2y+z-7=0的切平面方程.16．计算二重积分I=⎰⎰+D dxdy )y 2x (，其中D 是由坐标轴和直线x+y=4所围成的区域. 17．计算三重积分I=⎰⎰⎰Ω++dxdydz )z y x(222，其中积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1.18．计算对弧长的曲线积分⎰+Lds )y 2x 3(，其中L 是连接点（1，0）和（0，1）的直线段. 19．计算对坐标的曲线积分⎰+L xdy ydx ，其中L 是椭圆1b y a x 2222=+的逆时针方向. 20．求微分方程（1+x 2）dy+(1+y 2)dx=0的通解.21．求幂级数∑∞=+1n n 32x 1n n 的收敛半径和收敛区间. 22．设函数f(x)=x+1,x ∈[)ππ−,的傅里叶级数展开式为∑∞=++1n n n 0)nx sin b nx cos a(2a 求系数a 5 .四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．求由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所构成的柱面和平面z=0及x+y+z=7所围成的立体的体积.24．设无穷级数∑∞=1n 2n a 和∑∞=1n 2n b 均收敛，证明无穷级数∑∞=1n n n b a 是绝对收敛.25．设曲线y=y(x)在其上任意点（x,y ）处的切线斜率为yx 1+，且过点（-1，0），求该曲线的方程.。
高等数学工本00023历年真题题型解题方法总结10201
高等数学工本000２3历年真题题型解题方法总结2０1110201高等数学（工本)考试考题解题方法总结代码:00023一、选择题共5小题,共１5分,每题3分１、考点：向量夹角,假设向量a = {a1,a2， a3},b ＝｛b1，b2，b3}解题方法:cos ａ = a ·b / |a| ·｜b｜；２、考点:函数性质,函数的代替法运用推理顺序：可导（偏导数)→连续→可微解决方法：f(0, ０） = ０，所以f(ｘ,ｙ)在(0,０）点连续Ｆx(x0，y0） = Ｆy（x0，y0）＝０，则点F(ｘ０,，y0）是函数驻点3、考点：求面积积分、交换积分顺序解决方法：通过图解特殊点得出变量的定义域4、考点：微分方程：y’+ P（x）*y =Q(x）与y’’＋p(x)＊ｙ’+ q(x)＊y= f(x）通解与特解(无常数C）解题方法：公式法与特征根法（f（x)＝０，两个根的关系对应方程通解)微分方程分为:一阶方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程）二阶方程5、考点:无穷级数收敛性∑Ｕn解题方法:无穷级数性质：∑ C＊Un ＝Ｃ＊∑Ｕn; ∑Ｕn和∑ Vn都收敛，那么∑ (Un+Vｎ)收敛等；正项级数的审敛法:∑Ｕn和∑ Vn都是正项级数比较审敛法,0≤Un≤Vｎ，互相同时收敛;比较审敛法的极限,ｌim Un / Vn = L(０比值审敛法和根值审敛法p = lim Un+1 / Ｕｎ和p ＝ n√Un当Ｐ当p＞ 1时，级数发散；当p ＝ 1时，级数可能收敛或发散;特殊级数:等比数列总和∑a＊q’n-1当|q|当｜｜q|〉１时,该级数发散;P级数∑ 1／N的ｐ次方当P ＞ 1时,该级数收敛;当P 二、填空题共5小题，共１0，每题2分6、考点：向量简单运算假设向量ａ＝{a１，ａ2，a３｝，ｂ= ｛ｂ1，b２,b3｝解题方法：a·ｂ＝ a1·b２ + a２·b2 + a3·b3a xｂ= (a2·ｂ3–a3·b2）·i–（a1·b3 –a3·b1)·j ＋（a １·b2- a2·b1)·k7、考点:设区域,求积分Ｉ＝ｆ(ｘ)8、考点:求二重积分I=f （x）９、考点：微分方程的通解1０、考点:傅里叶级数的和函数三、计算题共12小题，共60分，每题5分11、考点：求Ｆ（x,y,ｚ）曲面切点法线方程（垂直的直线方程）解题方法:曲线一次方程一般式Ax+ Bｙ + Cz+D＝0曲面法向量为｛A, Ｂ，Ｃ}，法线方程(x–x0）/Ａ=(y-y0）／B = (z—z0）/C点的切面方程A（x-x0)+ B（y –y0）+ C（ｚ－z0）=0二次曲面方程切点F（ｘ0，y０,z0)的法向量｛Fx（x0，y０，z０)，Fy(x０，y０，ｚ０），Fz（x0，y０，z0）}1２、考点：微分方程的求导与积分1３、考点:求导数ｘz ∂∂。
2023年4月高等数学(00023)试卷参考答案
2023年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题答案（课程代码00023）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.A8.D9.C10.C二、计算题：本大题共10小题，每小题6分，共60分11.解：由题意可得设平面方程为1x y za a a++= 将点(),-321，带入上述平面方程可得a =2,故平面方程为20x y z ++-=12.解：由题意可得取所求直线的方向向量为{}3,0,1n =-则所求的直线方程为x y z --+==-12330113.解：令(),,F x y z x y z =++-2222315 ，则()()()()()()()2,2,12,2,12,2,1,,2,4,64,8,622,4,3x y z nF F F x y z ====切平面方程为()()()2242310243150x y z x y z -+-+-=⇒++-=14.解：由题意可得grad u u u u i j k y zi xyz j xy k x y z∂∂∂=++=++∂∂∂222 所以有()(),,,,grad u y zi xyz j xy ki j k =++=++221111112215.解：令(),,F x y z x y z xyz =++-3333，则有2233,33x z F x yz F z xy =-=-则有x z F z x yz yz x x F z xy z xy∂--=-=-=∂--22223333 16.解：积分区域为():,D θπr ≤≤≤≤0202极坐标，则πDπd θr dr ==⎰⎰222016317解：曲线::,L x y ds =-→==222，则LI y ds π-===⎰⎰2222418解：由意义可知()(),,,xy xy P x y ye xy y Q x y xe x xy =++=++22，由格林公式可得()()()xy xy L D DQ P I ye xy y dx xe x xy dy dxdy y dxdy x y ⎛⎫∂∂=+++++=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰221 其中区域:,D y y x -≤≤≤≤2111关于x 轴对称，则()yDDy dxdy dxdy dy dx --=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211141319解：该级数nn ∞=∑013为几何级数，且其公比q =<113，故该级数收敛。
2019年10月全国自考高等数学工本00023真题试题(含详解)
2019年10月全国自考高等数学(工本)00023试题及其详解一、单项选择题：本大题共5小题。
每小题3分。
共l5分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.在空间直角坐标系中，点(0,0,2)-在A.x 轴上B.y 轴上C.z 轴上D.Oxy 平面上解：答案是C2.函数(,)f x y =(0,0)处A.连续B.间断C.偏导数存在D.可微解：答案是B.3.已知cos cos sin sin x ydx x ydy -是某个函数(,)u x y 的全微分，则(,)u x y =A. sin cos y xB. sin sin x yC. sin cos x y -D. sin cos x y 解：D 选项，d(sinxcosy)=cosxcosydx-sinxsinydy.答案是D.4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是A.3()ydy x y dx =+B.2(2)xdy x y dx =+C.sin 19dy x y dx -=D.29dy xy dx += 解：B 选项，对2(2)xdy x y dx =+变形，得2dy y x dx x-=.答案是B. 5.下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是 A. 11(1)3n n n -∞=-∑ B. 1(1)2n n n ∞=-∑ C. 1(1)n n n ∞=-∑ D. 1(1)21n n n n ∞=-+∑ 解：答案是A.二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。
6.与向量{2,0,α=同方向的单位向量是 .解：{1=,0,222αα=⎨⎪⎪⎩⎭.答案是22⎨⎪⎪⎩⎭. 7.设函数22(,)f x y x y x y +-=+，则(,)f x y = .解：令u=x+y,v=x-y,则2222(,).222u v u v u v f u v +-+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以(,)f x y =222x y +.答案是222x y +.8.设积分区域22:9D x y +≤，则二重积分22()D f x y dxdy +⎰⎰在极坐标下的二次积分为 .解：答案是23200()d f r rdr πθ⎰⎰. 9.微分方程(1)612y x y y '''+-+=的特解*y = .解：简化微分方程，令0y ''=，则(1)612x y y '-+=，解得 y=6611121dx dx x x e e C x ---⎡⎤⎰⎰+⎢⎥-⎣⎦⎰=6661161212(1)1(1)dx dx x x e e C x C x x ---⎡⎤⎰⎰⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎰=62(1)C x +-. 因为0y ''=，所以C=0.故取特解*y =2.答案是2. 10.设函数()f x 是周期为2π的周期函数，傅里叶级数为11(1)sin 2n n nx n π-∞=-+∑，，则()f x 的傅里叶系数0a = .解：0a =π.答案是π.三、计算题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
自考00023《高等数学(工本)》考点押题版
1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz
2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算： 为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D
f ( x, y )
2. 设 V 为 的体积： V dv
3. 设 为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S
1 f x2 f y2 d
第四章 曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
成人自考00023《高等数学（工本）》考点成人自考00023《高等数学（工本）》的考点主要包括以下内容：1. 函数与极限：函数的概念、函数的性质、函数的极限、无穷小与无穷大、极限存在准则、函数的连续性等。
2. 导数与微分：导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数与参数方程的导数、微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点等。
4. 不定积分与定积分：不定积分的概念与性质、基本积分表、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等。
5. 微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
6. 无穷级数：数列极限的概念与性质、数列极限存在准则、无穷级数的概念与性质、正项级数的审敛法、交错级数的审敛法、幂级数的收敛半径等。
7. 空间解析几何：空间直线的方程与位置关系、平面的方程与位置关系、空间曲线的方程与位置关系、空间曲面的方程与位置关系、空间直线与平面的位置关系等。
8. 多元函数微分学：偏导数与全微分、多元函数的极值与条件极值、隐函数与参数方程的偏导数、多元函数的泰勒公式等。
9. 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、二重积分的计算方法、三重积分的概念与性质、三重积分的计算方法、曲线积分的概念与性质、曲线积分的计算方法等。
以上是成人自考00023《高等数学（工本）》的主要考点，考生在备考过程中应重点掌握这些内容，并进行大量的练习和习题的解析，以提高自己的理解和应用能力。
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高等数学(工本)模拟试题
一、单项选择题
1.124
3'2''+=++x y x y x xy 就是 阶微分方程。
(A)1; (B)2; (C)3; (D)4。
2、 下列平面方程中,方程( )过y 轴;
(A ) 1=++z y x ; (B ) 0=++z y x ; (C ) 0=+z x ; (D ) 1=+z x . 3.空间曲线⎩⎨⎧=-+=5
,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( );
(A )72
2=+y x ; (B )⎩⎨⎧==+5722z y x ; (C ) ⎩⎨⎧==+0
722z y x ; (D )⎩⎨⎧=-+=0222z y x z
4、 设22),(y
x xy y x f +=,则下列式中正确的就是( ); )A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭
⎫ ⎝⎛; )B (),(),(y x f y x y x f =-+; )C ( ),(),(y x f x y f =; )D ( ),(),(y x f y x f =-.
5.设e cos x
z y =,则=∂∂∂y x z 2( ); )A (e sin x y ; )B ( e e sin x x y +;)C ( e cos x y -; )D ( e sin x y -.
6、 若∑∞=+1)4(n n n x a
在2-=x 处收敛,则它在2=x 处( );
(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)不能判断.
7、幂函数n n n x ∑∞=1!1的收敛区间就是 ( )
(a) (-∞,+∞), (b) (-∞,0),
(c) (0,+∞), (d) [0,+∞],
8、比较I=σd y x D ⎰⎰+2)(与J=σd y x D ⎰⎰+3)(的大小,其中
D:1)1()(2
2=-++y y x , 则
( )
(a)I=J, (b)I ＞J,(c)I ≤J, (d) 无法比较、
9、方程( )就是可分离变量的微分方程
(a)()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= , ( b) y y x '-= (c) 1dx dy y x
+= , ( d) ()()22220x xy dx y xy dy -+-= 10、若常数项级数∑∞=1
n n a 收敛,n S 就是此级数的部分与,则必有( )
(a) ∑∞=1n n a
(b) 0lim =∞
→n n S (c) n S 有极限 (d) n S 就是单调的、 11、函数()22,y x y x f +=在点()0,0处 ( )
(a) 连续、偏导数不存在 (b) 连续、偏导数存在
(c) 连续且可微 (d) 不连续、偏导数不存在
12、设(),21y x Z -=()232,Y X Z y x Z -=-=,则( )
(a)1Z 与2Z 就是相同的函数, (b)1Z 与3Z 就是相同的函数,
(c)2Z 与3Z 就是相同的函数, (d)其中任意两个都不就是相同的函数。
二、填空题
1.函数x
y x y z 2222-+=的间断处就是 、 2.设x xy z )1(+=,则y
z ∂∂= 、 3.幂级数n n x
n !0∑∞=的收敛半径就是 、
4、 已知xy x y x x f +=+2),(,则=∂∂x
f ; 5、 设∑∞=1n n n x a
的收敛半径为R ,则∑∞
=1
2n n n x a 的收敛半径为 ; 6.改变二次积分
⎰⎰2010),(x dy y x f dx 的积分次序得 ;
三、计算题
1.}}{{1,2,2,21,1==b a ,,求b a ⋅及b a ⨯、、
2.由,e e xy y =+ 求
0=x dx dy . 3. 43e
y x xy z xy +=,求z d 、 4.(),cos ⎰⎰+D
dxdy y x x y y x D ===,,0:
π所围成的区域. 5.计算曲线积分⎰L x xy d , 其中L 为抛物线x y =2 上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧、
6、 求x xy y x sin lim 2
0→→、 7、已知 z xy e xy cos =,求y
z x z ∂∂∂∂,、 8、已知43e y x xy z xy +=,求z d 、、
9、已知()y x y x f 23,+=,求)],(,[y x f xy f 、
10、计算
⎰⎰+D y x σd e 6,其中D 由xOy 面上的直线2,1==y y 及2,1=-=x x 所围成、
四、综合题
1.求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值、
2、计算曲线积分
⎰L x xy d , 其中L 为抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧、
3、某工厂要用钢板制作一个容积为1003m 的有盖长方体容器,若不计钢板的厚度,怎样制作材料最省？
4、求幂级数
∑∞=+-0)1()1(n n n x n 的与函数、。