00023 高等数学(工本)课程考试说明

00023 高等数学（工本）课程考试说明
一、本课程使用的教材、大纲
高等数学（工本）课程指定使用的教材为：
《高等数学（工本）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，
陈兆斗、高瑞主编，北京大学出版社，2006版
二、本课程的试卷题型及试题难易程度
2.试卷分别针对识记、领会、简单应用、综合应用四个认知及能力层次命制试题，四个层次在试卷中所占的比例大致为识记占20%，领会占30%，简单应用占30%，综合应用占20%。

3.试卷难易度大致可分为容易、中等偏易、中等偏难、难四个等级，根据课程的特点，试卷中不同难易度试题所占的分数比例，大致依次为容易占30分，中等偏易占30分，中等偏难占20分，难占20分。

4.考试形式
本课程考试形式为闭卷笔试方式，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格线。

三、各章内容分数的大致分布
根据自学考试大纲的要求，试卷在命题内容的分布上，兼顾考核的覆盖面和课程重点，力求点面结合。

教材具体各章所占分值情况如下：
四、考核重点及难点
第一章 空间解析几何与向量代数
重点：向量的运算、平面、直线、柱面、椭球面、圆锥面、旋转抛物面的标准方程及其图形。

难点：向量的向量积及空间曲线在坐标平面上的投影。

第二章 多元函数微分学
重点：偏导数（含复合函数及隐函数的偏导数）计算、极值及应用。

难点：复合函数、隐函数偏导数的计算、多元函数极值、条件极值的求法及其应用。

第三章 重积分
重点：二重积分、三重积分的计算及其应用。

难点：重积分化为累次积分时坐标系的选取及积分限的确定。

第四章 曲线积分和曲面积分
重点：曲线积分和曲面积分的计算、格林公式和高斯公式。

难点：对坐标的曲线、曲面积分的计算、平面曲线积分与路径无关的条件的理解与应用。

第五章 常微分方程
重点：三类一阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的解法。

难点：方程类型的识别及二阶常系数线性非齐次微分方程的特解*y 的设法。

第六章 无穷级数
重点：常数项级数的审敛、幂级数的收敛区间及用间接法将函数展开成幂级数。

难点：非正项数项级数的敛散性判别及将函数展开成幂级数。

五、各题型试题范例及解题要求
1、单项选择题 解题要求：在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。

范例：求函数22
(,)f x y =
（ ）
A.{}
22(,)|23x y x y <+< B. {}
22
(,)|49x y x y <+<
C. {}
22
(,)|49x y x y <+≤ D. {}
22(,)|23x y x y <+≤
答案B 直接填入题干的括号内 2、填空题
解题要求：直接将答案写在题中的“ ”上，不必写中间步骤。

范例：已知向量α={k,2,-1}和β={2,-1,-1}垂直，则常数k=_________.
答案
1
2
直接填写在“ ”上。

3、计算题
解题要求：必须有求解的关键步骤，不能只写答案。

范例：.求函数2
(,)cos()f x y xy x y =+-的梯度(1,0).gradf 解：sin()2f y xy x x ∂=-+∂
sin()1f x xy y
∂=--∂
而(,){2sin(),sin()1}gradf x y x y xy x xy =---
(1,0){2,1}gradf ∴=-
4、综合题
解题要求：必须有证明的依据或计算的关键步骤，不能凭空得出结论或得出计算结果。

范例：在区间(1,1)-内求幂级数
1
1n
n x n ∞
=∑的和函数。

解：设所求和函数为()S x ，则 11
1
(),(1,1)1n n S x x x x
∞
-='=
=
∈--∑ 对上式两边从0到x 积分,并注意到(0)0S =有 ()ln(1),(1,1)S x x x =--∈- 六、考试注意事项
本课程考试方式为闭卷、笔试，考试时间为150分钟。

考生参加考试时只允许携带钢笔、签字笔、圆珠笔、铅笔、橡皮等文具用品，不允许携带计算器、有关参考书等。

七、《高等数学（工本）》课程试题样卷
高等数学（工本）样卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

1、已知向量PQ
={2，-2，3}的终点为Q （-1，2，7），则起点P 的坐标为 【
】
A 、（3，-4，-4）
B 、（-3，4，4）
C 、（1，0，10）
D 、（2，-2，3） 2、已知函数xy y x f =),(在区域D 上取得最大值和最小值，则D 为 【 】 A 、}1),{(<+y x y x B 、}0,0),{(≥≥y x y x C 、}1),{(≤+y x y x
D 、}0,0),{(>>y x y x
3、设),(y x f 是连续函数，则二次积分⎰⎰2
),(x dy y x f dx 等于
【
】
A 、
⎰⎰2
),(y
dx y x f dy
B 、⎰⎰2
2
),(y
dx y x f dy
C 、
⎰⎰2
2
),(y
dx y x f dy
D 、⎰⎰2
2
),(dx y x f dy
4、下列方程是一阶线性微分方程的是
【 】
A 、10sin =-'y x y
B 、0)(2=+-dy y x ydx
C 、0)(=+-dy y x xdx
D 、0323=+-'y x y 5、若无穷级数
∑∞
=1
n n a 和∑∞
=1
n n b 均发散，则
【 】
A 、∑∞
=+1)(n n n b a 发散 B 、∑∞
=+1)(n n n
b a 发散
C 、
∑∞
=+122)(n n n b a 发散
D 、
∑∞=⋅1
)(n n n b a 发散
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6、函数y x y x f -=
),(的定义域是 。

7、设函数)(22y x z +=，其中)(u f 是可导函数，则全微分=dz 。

8、设L 是圆周222a y x =+，则曲线积分
⎰=+L
ds y x )(22 。

9、微分方程y y ='的通解为 。

10、无穷级数∑∞
=1
!2n n
n 的和为 。

三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11、求点P （3，-1，2）到直线0
720
1{=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

12、求直线0
9230
42{
=---=+-z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线的方程。

13、已知),(y x xy f z +=，其中f 是可微函数，求22x
z ∂∂，x y z
∂∂∂2。

14、求函数xyz u =在点（5，1，2）处沿从点（5，1，2）到点（9，4，14）的方向的方向导数。

15、计算二重积分⎰⎰
+D
dxdy y x 22，其中D 是由圆222a y x =+及ax y x =+22所围区域在第一
象限的部分。

16、计算三重积分
⎰⎰⎰Ω
ydxdydz 。

其中Ω是由柱面2
x
y =及平面1=+y z ，0=z 围成的区域。

17、计算对坐标的曲线积分⎰-++L dy y x dx y x )()(，其中L 是22x a y -=
从点A （a ，0）到点B
（-a ，0）的一段弧。

18、计算曲面积分
⎰⎰∑--+dS z y x )1(2
22，其中∑是曲面22y x z +=中10≤≤z 的一部分。

19、求微分方程x x x y dx
dy
sin 2cot =-的通解。

20、求微分方程x y y y 42-=-'+''的通解。

21、判断级数
∑∞
=--2
1
ln 1
)1(n n n 的敛散性。

若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 22、将函数)(,)(ππ<≤-=x x x f 展开成傅里叶级数。

四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
23、求函数y x y x y x f 273),(233+-+=的极值。

24、已知曲线过点（1，2），且在该曲线上的任意点M （x ，y ）处的切成斜率为2x ，求该曲线的方程。

25、将函数)1ln()(x x f +=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞
=--1
1
)1(n n n 的和。