专题突破一 几何的证明与计算.ppt
数学史 第10讲 几何学的突破
五、黎曼几何
在1854年，黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想 建立了一种更广泛的几何，即黎曼几何。而罗巴切夫 斯基几何和欧氏几何都是它的特例。在黎曼几何中， 最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间。拿三维的 来说，有三种情形： 1.曲率为正常数 （正常曲率曲面上的）黎曼几何，或椭圆几何 过已知直线外一点没有直线与已知直线平行。 2.曲率为负常数 罗巴切夫斯基几何，也叫双曲几何 过已知直线外一点能且至少能作两条直线与已知直线 平行。 3.曲率恒等于零 欧氏几何，也叫抛物几何 过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平 行。
公元前3世纪到18世纪末，数学家都坚 信欧氏几何的完美与正确。但美中不足的 是欧几里得第五公设与众不同：比较特殊， 不像其它公设那样简洁、明了，数学家们 就此而耿耿于怀。当时就有人怀疑它不像 一个公设而更像一个定理，并产生了从其 他公设和定理推出这条公设的想法。甚至 欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫。
射影几何
• 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支 学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专 门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候， 图形的不变性质的科学。
• 1566年，科曼迪诺把阿波罗尼奥斯的《圆 锥曲线论》前四卷译成拉丁文，引起了人们 对几何的兴趣，几何上的创造活动开始复 兴．在短短几十年的时间里，便突破传统几 何的局限，产生了一门崭新的学科——射影 几何．
黎曼（B.Riemann,1826-1866）
黎曼是现代数学史上最具创造性的数学 家之一。他对数学分析、微分几何、微分方 程做出了重要贡献。奠定了近代解析数论的 基础；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近 代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如 黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面， 建立黎曼几何学。他的名字出现在黎曼ζ 函 数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼 空间，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题， 柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。黎曼 的一生很短暂，但成就很卓越。
中考数学冲刺专题突破：专题一 特殊四边形有关的证明及计算 专题突破 特殊四边形(学生版+解析版)
中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；②与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD沿AF所在直线折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.(1)判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由；(2)当OD＝2时，求CP的长；(3)设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1－S2的最值．【精典例题】2、已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当∠BAC ＝60°时，求AH NC的值；(3)设HFHE＝k，△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．第2题图中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；①与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN①AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.(1)解：①四边形ABCD 为正方形，①①B ＝90°，在Rt①ABM 中，①AB ＝10，BM ＝23，①AM ＝AB 2＋BM 2＝47.①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝12AM ＝27； (2)证明：如解图，过点D 作DE ①AC 于点E ，①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝DC ，DE ＝12AC . ①AC 为正方形对角线，①①ACB ＝45°.①MN ①AC ，①MN ＝NC .设MN ＝NC ＝a ，AN ＝b ，①在Rt①AMN 中，由勾股定理得，AM ＝MN 2＋AN 2＝a 2＋b 2，①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝a 2＋b 22. ①AC ＝a ＋b ，①DE ＝EC ＝a ＋b 2. ①EN ＝EC －NC ＝b －a 2.DN ＝DE 2＋EN 2＝2（a 2＋b 2）2①DN ＝2NG .【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH①DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：①AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD 沿AF 所在直线折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作EG ①CD 交AF 于点G ，连接DG .(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．(1)证明：①GE ①CD ，①①EGF ＝①DFG .①由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，①DGF ＝①EGF ，①①DGF ＝①DFG .①GD ＝DF .①DG ＝GE ＝DF ＝EF .①四边形EFDG 为菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF . 理由：如解图①，连接DE ，交AF 于点O ，①四边形EFDG 为菱形，①GF ①DE ，OG ＝OF ＝12GF ，DF ＝EG . 又①四边形ABCD 为矩形，①①DOF ＝①ADF ＝90°，又①①OFD ＝①DF A ，①①DOF ①①ADF .①DF AF ＝FO FD ，即DF 2＝FO ·AF .①FO ＝12GF ，DF ＝EG ，①EG 2＝12GF ·AF ； 图①(3)解：如解图①，过点G 作GH ①DC ，垂足为点H ，①EG 2＝12GF ·AF ，AG ＝6，EG ＝25，①20＝12GF (FG ＋6)， 整理得FG 2＋6FG －40＝0，解得FG ＝4或－10(舍去)，①DF ＝GE ＝25，AF ＝10，①在Rt①ADF 中，AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.①GH ①DC ，AD ①DC ，①GH ①AD .①①FGH ①①F AD .①GH AD ＝FG AF ，即GH 45＝410.①GH ＝855.易证四边形GECH 为矩形，①GH ＝EC ， ①BE ＝BC －EC ＝AD －GH ＝45－855＝1255. 图①【类型】二、与函数结合的证明及计算【精典例题】1、如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动(不与点B ，D 重合)，连接OA ，作OP ①OA ，交直线BC 于点P .(1)判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由；(2)当OD ＝2时，求CP 的长；(3)设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，①AOD 的面积为S 2，求S 1－S 2的最值．解：(1)OA ＝OP .理由如下：如解图①，过点O 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N .①OM ①AB ，ON ①BC ，OM ＝ON ，①四边形MBNO 为正方形.①①MON ＝90°.①①AOM ＋①MOP ＝90°，①MOP ＋①PON ＝90°，①①AOM ＝①PON .在①AOM 和①PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧①AMO ＝①PNO MO ＝NO ①MOA ＝①NOP，①①AOM ①①PON (ASA).①OA ＝OP ；图①(2)如解图①，过点O 作OK ①CD ，垂足为K ，过点O 作ON ①BC ，垂足为N ，连接OC .①四边形ONCK 为矩形.①NC ＝OK .①OD ＝2，①NC ＝OK ＝1.①AD ＝CD ，①ADO ＝①CDO ＝45°，OD ＝OD ，①①AOD ①①COD (SAS).①OA ＝OC .①OA ＝OP ＝OC ，又①ON ①PC ，①CN ＝PN .①CP ＝2；图①(3)①①AOD ①①COD ，①S ①AOD ＝S ①COD .①S 1－S 2＝S ①OPC .设OK ＝x ，则PC ＝2x ，ON ＝CK ＝4－x .①S ①OPC ＝12×2x ×(4－x )＝－x 2＋4x . ①S 1－S 2＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.①当x ＝2时，S 1－S 2的最大值为4，无最小值.【精典例题】2、已知在①ABC 中，AB ＝AC ，AD ①BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当①BAC ＝60°时，求AH NC的值； (3)设HF HE ＝k ，①AEH 和四边形EDNH 的面积分别为S 1和S 2，求S 2S 1的最大值．第2题图。
初中数学专题讲解课件专题十三几何图形的相关证明及计算(构造直角三角形)PPT模板
专题十三 几何图形的相关证明及计算
（构造直角三角形） 初中数学专题讲解课件
汇报人：XXX
2. 如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点， ∠CDE的平分线交AM延长线于点F. (1)如图①，若点E为线段AM的中点，BM∶CM＝1∶2，BE＝，求AB的长； (2)如图②，若DA＝DE，求证：BF＋DF＝AF.
3. (2019重庆实验外国语学校一模)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分 别在边AB、BC上． (1)如图①，若△DEF是等边三角形，且AD＝6，AE＝4，求△BEF的面积； (2)如图②，若△DEF是等腰直角三角形，∠EDF＝90°，且DB⊥EF于点Q，过点D 作DH⊥AB交AB于点H，交EF于点G，求证：AB＝DH＋12CF.
专题十三 几何图形的相关证明及计算
（构造直角三角形） 初中数学专题讲解课件
汇报人：XXX
ห้องสมุดไป่ตู้ 目 录
01 考 情 聚 焦 02 考 点 突 破 03 考 向 课 堂 04 其 它 补 充
01
考情聚焦
1. (2019重庆八中一模)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E. (1)如图①，若BC＝BD，tan∠ABE＝3，DE＝16，求平行四边形ABCD的周长； (2)如图②，若∠DBC＝45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF＝2EO ，求证：CF＝ 2CD.
中考数学题型专题复习题型2圆的证明与计算课件
即(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或－8(舍去)．
∴AC＝8，BD＝
＝
∴S菱形ABFC＝AC·BD＝8 . ∴S半圆＝ ×π×42＝8π.
5．[2018·无锡]如图，四边形ABCD内接于圆
O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝
3 ，求AD的长．
5
解：如图，延长AD，BC交于点E.
题型2 圆的证明与计算
考查类型
与圆的性质 有关的证明
与计算
年份 2015
2018
2017
与圆的切线 有关的证明
与计算
2016
2014
2013
与扇形有关 的计算
2018
考查形式
题型
以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状 ，结合全等三角形探究线段间关系，通过图
形分割探究四边形最大面积
解答
已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直 ，并求出线段长度及弧长
∴EA＝
∴AD＝EA－DE＝
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
例2►[2018·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
规范解答：(1)证明：如图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线． ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°， ∴∠OBD＝∠CBP. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)
用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行优秀课件
z
D1 B1
C1
设平面 BDA1的法向 A B x n ( x , y , z ) 则有 量为 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 ( 1 , 1 , 1 ) 故平面BDA1的法向量为 n
DB (1 ,1 ,0)
oD
C
y
m 则显然有 n 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？
z 证明：建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2， P 又设A1P=BQ=2x N 则P(2，2x，2)、 M Q(2-2x，2，0) o C y D Q 故N(2-x, 1+x, 1), A B 而M(2, 1, 1) x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 n n 0 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN ∴MN 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
C N B
再见
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美
中考数学复习方案 题型突破(03)三角形、四边形的有关计算与证明课件
图Z3-3
解:(3)证明:(方法一)如图②,延长BM交CF于点D,连接BE,DE.
∵∠BCE=45°,∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=45°+45°=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠ABC=∠BCF,
∴AB∥CF,∴∠1=∠2,∠ABM=∠FDM.
又∵AM=FM,∴△ABM≌△FDM,
∴AB=DF,∴BC=DF.
∵F 为 BC 的中点,DB=DC,∴DF 垂直平分线段 BC,∴BG=CG.
∵BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB.
∠ = ∠,
在△ABE 和△CBE 中, = ,
∠ = ∠,
∴△ABE≌△CBE,∴EC=EA.
在 Rt△CGE 中,由勾股定理,得 CG2-GE2=EC2.
(3)若 AG=6,EG=2 5,求 BE 的长.
图Z3-6
解:(1)证明:由折叠知,
∠EFA=∠DFA,EG=GD,EF=DF.
∵EG∥DC,∴∠DFA=∠EGF,
∴∠EFA=∠EGF,
∴EF=EG,∴EF=EG=FD=GD.
∴四边形EFDG是菱形.
3.如图 Z3-6,将矩形 ABCD 沿 AF 折叠,使点 D 落在 BC 边上的点 E 处,过点 E 作
∴AM=10 10.
1.[2019·绍兴]如图Z3-1①是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是
底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,
AD=30,DM=10.
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,
连接D1D2,如图Z3-1②,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.
人教版八年级数学上册：第三部分 专题探究 专题四 几何证明专题 ppt课件
〔2〕解：△ABE是等边三角形. 理由如下. ∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA=BE,即△ABE是等腰三角形. 又∵∠CAB=60°， ∴△ABE是等边三角形.
5. 如图3-4-10,知：在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交 于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求 证：BE+CF=EF. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC. ∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EDB=∠EBD. ∴DE=BE. 同理，CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF， 即BE+CF=EF.
第三部分 专题探求
专题四 几何证明专题
考点突破
考点一: 证明三角形全等 【例1】如图3-4-1所示，在△ABC中，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H， 假设AE=CE，求证：△AEH≌△CEB. 证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠CEB=90°， ∠EAH=90°-∠B，∠ECB=90°-∠B. ∴∠EAH=∠ECB. 在△AEH和△CEB中， ∴△AEH≌△CEB〔ASA〕.
根底训练
6. 如图3-4-11，AB=CD，BC=DA，点E，F在AC上， 且AE=CF. 试阐明：△BCF≌△DAE. 证明：在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA〔SSS〕. ∴∠ACB=∠CAD. 在△BCF和△DAE中，
∴△BCF≌△DAE〔SAS〕.
7. 如图3-4-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分 ∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点 F. 求证：DE=BF. 证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠1=∠2. ∵DE⊥AC，∠ABC=90°,∴DE=BD. 可证△BCD≌△ECD, ∴∠3=∠4. ∵BF∥DE，∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5. ∴BD=BF. ∴DE=BF.
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，