几何证明与计算2

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中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

2019届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案

2019届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG.∴AG 2＝GE·GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ，由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EA F.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），过（1，y 1）、（2，y 2）．下列结论：①若y 1＞0时，则a+b+c ＞0； ②若a ＝2b 时，则y 1＜y 2；③若y 1＜0，y 2＞0，且a+b ＜0，则a ＞0．其中正确的结论个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知直线a ∥b ，将一块含45o角的直角三角板(∠C=90o)按如图所示的位置摆放，若∠1=55o，则∠2 的度数为( )A ．85oB ．70oC ．80oD ．75o3．如图，⊙O 与BC 相切于点B ，弦AB ∥OC ，若∠C ＝40°，则∠AOB 的度数是（）A.60B.70°C.80°D.90°4．如图，点P(-a,2a)是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析是为（）A. B. C. D.5．如图，等边三角形ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点A 的坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，）C ．（，2）D ．（2，6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(4,0)，60AOC ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N(点M 在点N 的上方)，若OMN ∆的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒(04)t ≤≤，则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是( )A. B.C. D.7．如果a+b ＝12，那么a b a b b a+--22的值是（） A ．12B ．14C ．2D ．48．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（）A.B.C.D.9．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形GEHF 是菱形，则AE 的长是（）A.5B.254C. D.10．正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象上一点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为2 : 3，且y 随x 的增大而减小，则k 的值是 ( ) A ．23B ．32C ．32-D ．23-11．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝90°，BO ＝DO ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BCD ＝90°C ．AB ＝CD D ．AB ∥CD12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE AE ⊥,交CD 于点F ，设点E 运动的路程为x ,FC y =.则y 关于x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为_____．14．计算：①232n m ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____；②b a a b a b -=-- _____． 15．如图是23名射击运动员的一次测试成绩的频数分布折线图，则射击成绩的中位数_____。

中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习

方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形．解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。

专题04 几何计算与几何证明(解析版)

专题04几何计算与几何证明【提要】平面几何是培养训练人的逻辑思维能力的很好的工具，也是初中数学学习内容的重要组成部分，因此它是初中数学学业考试的重要内容之一．在平面几何中，除了一些证明题外，还有一些计算问题，它也是要经过一定的逻辑推理后，再进行计算．因此熟练掌握几何中的一些重要定义、定理，是解决问题的前提．另外还需注意的是，要把解决常见问题的基本方法加以归类整理，比如证明角相等有哪些常见的方法？证明线段相等有哪些常见的方法？这样在遇到复杂问题时，我们才能运用化归的思想，分析和解决问题．【范例】【例1】如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.(1)求证：△ABC≌△EAD；(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．【解析】(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠CBA＝∠DAE.∴△ABC≌△EAD.(2)【解析】∵∠DAE＝∠BAE，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝85°.【例2】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．【解析】△EMC的形状是等腰直角三角形．证明：连接AM.∵∠DAE＝∠ABC＝30°，∠BAC＝∠ADE＝60°.又∵DM ＝MB ， ∴MA ＝12DB ＝DM .∵AD ＝AB ，∴∠MAD ＝∠MAB ＝∠MDA ＝45°，∠DMA ＝90°. ∴∠MDE ＝∠MAC ＝105°. ∴△EDM ≌△CAM .∴EM ＝MC ，∠DME ＝∠AMC . 又∠DME ＋∠EMA ＝90°， ∴∠EMA ＋∠AMC ＝90°. ∴CM ⊥EM .∴△EMC 是等腰直角三角形．【例3】如图，已知：在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ， DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F . (1)求证：CF ＝12AB ；(2)若△FCD 的面积＝5，BC ＝10，求DE 的长．(1)【证明】取AC 的中点G ，连接DG .∵D 是BC 的中点，∴DG ∥AB ，DG ＝12AB∵DE ⊥BC ，∴DE 是BC 的垂直平分线，BE ＝CE ， ∠EBC ＝∠ECB ，∵∠GDC ＝∠EBC ，∴∠GDC ＝∠ECB . 由AD ＝AC ，得∠ACD ＝∠ADC 在△GDC 和△FCD 中，∠GDC ＝∠FCD ，∠GCD ＝∠FDC ， DC ＝CD ，得△GDC ≌△FCD ， ∴DG ＝CF ，∴CF ＝12AB .(2)【解析】作AH ⊥DC ，垂足为H ，则DH ＝CH . ∵△GDC ≌△FCD ， ∴CG ＝DF ＝12AC ＝12AD ，∴F 是AD 的中点，∵S △FCD ＝5，BC ＝10， ∴S △FCA ＝5，DC ＝5，DH ＝52，S △ADC ＝10∵S △ADC ＝12DC ·AH ，∴AH ＝4，∵ED ∥AH ， ∴ED AH ＝BD BHED ＝AH ·BD BH ＝4×5152＝83，∴DE ＝83.【例4】如图(1)，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC . (1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)延长EC 到点P ，连接PB ，如果PB ＝PE ，试判断PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(1)【证明】连接BC.∵直径CD⊥AB，∴AF＝BF.∴AC＝BC.∴∠A＝∠ABC.又∵EA＝EC，∴∠A＝∠ACE.∴∠ABC＝∠ACE.∵∠A＝∠A，∴△ACE∽△ABC.∴AEAC＝ACAB，即AC2＝AE·AB.(2)【解析】连接OB.∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，即∠PBC＋∠EBC＝∠A＋∠ECA.∴∠PBC＝∠EBC＝∠A＝∠ECA.又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.而∠OCB＋∠EBC＝90°.∴∠OBC＋∠PBC＝90°，即∠OBP＝90°.∴OB⊥PB，∴PB与⊙O的位置关系是相切．【例5】如图(1)，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．(1)【证明】∵四边形ABCD 、四边形GCEF 都是正方形， ∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，CG ＝CE ， ∴△BCG ≌△DCE . ∴∠CBG ＝∠CDE . ∵∠BGC ＝∠DGH ，∴∠DHG ＝∠BCG ＝90°，即BH ⊥DE . (2)【解析】连接EG .(如图(2))要使BH 垂直平分DE ，必须有GE ＝GD . 设CG ＝x .那么GE ＝2x ，DG ＝1－x . ∴2x ＝1－x .解得x ＝2－1，即当CG ＝2－1时，BH 垂直平分DE .【训练】1．（2020•宝山区一模）如图，直线:l y =，点1A 坐标为(1,0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，⋯，按此做法进行下去．求：（1）点1B 的坐标和11AOB ∠的度数；（2）弦43A B 的弦心距的长度．【分析】（1）求出11tan AOB ∠的值，11A B 即可解决问题．（2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ．求出OH 即可．【解答】解：（1）Q 直线的解析式y =，11111tan A B AOB OA ∴∠== 1160AOB ∴∠=︒，11OA =，11A B ∴=212OA OB ==，1B ∴．（2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ．由题意11OA =，22OA =，34OA =，48OA =， 43OA OB =Q ，43OH A B ⊥，4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒，4cos308OH OA ∴=︒==g2．（2020•奉贤区一模）如图，已知AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 是¶BC的中点，OE 与弦BC 交于点F ．（1）如果C 是¶AE 的中点，求:AD DB 的值；（2）如果O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，求CD 的长．【分析】（1）连接OC ，根据垂径定理的推论得到OE BC ⊥，¶¶¶AC ECEB ==，根据含30︒的直角三角形的性质计算；（2）根据勾股定理求出BF ，得到BC 的长，证明BFO BDC ∆∆∽，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：（1）连接OC ， E Q 是¶BC的中点， ∴¶¶ECEB =，OE BC ⊥， C Q 是¶AE 的中点， ∴¶¶AC EC=， ∴¶¶¶AC ECEB ==， 60AOC COE EOB ∴∠=∠=∠=︒， 30OCD ∴∠=︒，在Rt COD ∆中，30OCD ∠=︒， 12OD OC ∴=，:1:3AD DB ∴=；（2）6AB =Q ，:1:2FO EF =， 1OF ∴=，在Rt BOF ∆中，BF =，BC ∴=，CD AB ⊥Q ，OE BC ⊥，90BDC BFO ∴∠=∠=︒，又B B ∠=∠， BFO BDC ∴∆∆∽，∴BO OFBC CD =1CD=，解得，CD =．3．（2020•黄浦区一模）如图，ABC ∆是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD AC =，连接BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当90CAD ∠=︒时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ， ①当120CAD ∠<︒时，设AE x =，BCEAEFS y S ∆∆=（其中BCE S ∆表示BCE ∆的面积，AEF S ∆表示AEF ∆的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当7BCEAEFS S ∆∆=时，请直接写出线段AE 的长．【分析】（1）过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．AE x =，则2EC x =-．根据BG EG =构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明AEF BEC ∆∆∽，可得22BCE AEF S BE S AE ∆∆=，由此构建关系式即可解决问题． ②分两种情形：当120CAD ∠<︒时，当120180CAD ︒<∠<︒时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）ABC ∆Q 是等边三角形，2AB BC AC ∴=-=，60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒．AD AC =Q ，AD AB ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，180ABD ADB BAC CAD ∠+∠+∠+∠=︒Q ，90CAD ∠=︒，15ABD ∠=︒，45EBC ∴∠=︒．过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．设AE x =，则2EC x =-．在Rt CGE ∆中，60ACB ∠=︒，∴sin )EG EC ACB x =∠=-g ，1cos 12CG EC ACB x =∠=-g ， 1212BG CG x ∴=-=+，在Rt BGE ∆中，45EBC ∠=︒，∴11)2x x +=-，解得4x =-所以线段AE 的长是4-（2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=︒-． AD AC =Q ，AH CD ⊥，∴1602CAF DAC α∠=∠=︒-，又60AEF α∠=︒+Q ， 60AFE ∴∠=︒，AFE ACB ∴∠=∠，又AEF BEC ∠=∠Q ， AEF BEC ∴∆∆∽，∴22BCE AEF S BE S AE ∆∆=，由（1）得在Rt CGE ∆中，112BG x =+，)EG x -，222224BE BG EG x x ∴=+=-+，∴2224(02)x x y x x -+=<<．②当120CAD ∠<︒时，7y =，则有22247x x x -+=，整理得2320x x +-=，解得23x =或1-（舍弃）， 23AE =．当120180CAD ︒<∠<︒时，同法可得2224x x y x++= 当7y =时，22247x x x ++=，整理得2320x x --=，解得23x =-（舍弃）或1，1AE ∴=．4．（2020•闵行区一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =；（2）求：直径AB 的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH HC =，进而得出答案；（2）过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O 作OH DC ⊥，垂足为H ． //AD BC Q ，90ADC ∠=︒，OH DC ⊥， 90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒．////AD OH BC ∴．又OA OB =Q ． DH HC ∴=．OH DC ⊥Q ，OH 过圆心，EH HF ∴=，DH EH HC HF ∴-=-．即：DE CF =．（2）解：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，90AGB ∠=︒， 90AGB BCN ∠=∠=︒Q ， //AG DC ∴． //AD BC Q ，AD CG ∴=．2AD =Q ，4BC =，2BG BC CG ∴=-=．在Rt AGB ∆中，tan 3B =Q ， tan 236AG BG B ∴==⨯=g ．在Rt AGB ∆中，222AB AG BG =+AB ∴=5．（2020•奉贤区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，连接CE 、EF ，2CE DE CF =g．（1）求证：D CEF ∠=∠；（2）连接AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分ECF ∠，求证：AC AE CB CG =g g ．【分析】（1）根据2CE DE CF =g 且DEC ECF ∠=∠可证明CDE CEF ∆∆∽，即可得结论；（2）根据AC 平分ECF ∠，//AD BC ，可得EAC ECA ∠=∠，进而得E EC =，再证明CGE CAB ∆∆∽，对应边成比例即可．【解答】（1）证明：2CE DE CF =Q g ，即CE CFDE CE=Q 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，DEC ECF ∴∠=∠， CDE CEF ∴∆∆∽， D CEF ∴∠=∠．（2）如图所示：AC Q 平分ECF ∠，ECA BCA ∴∠=∠，D CEF ∠=∠Q ，D B ∠=∠， CEF B ∴∠=∠，CGE CAB ∴∆∆∽，∴CG CEAC CB=， //AD BC Q ，DAC BCA ∴∠=∠， ECA DAC ∠=∠Q ， AE CE ∴=，∴CG AEAC CB=，即AC AE CB CG =g g ． 6．（2020•崇明区一模）如图，AC 是O e 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，连接BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，8BD =，2AE =．（1）求O e 的半径；（2）求OF 的长度．【分析】（1）连接OB ，根据垂径定理求出BE ，根据勾股定理计算，得到答案；（2）根据勾股定理求出BC ，根据垂径定理求出BF ，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：（1）连接OB ，设O e 的半径为x ，则2OE x =-， OA BD ⊥Q ， 142BE ED BD ∴===，在Rt OEB ∆中，222OB OE BE =+，即222(2)4x x =-+，解得，5x =，即O e 的半径为5；（2）在Rt CEB ∆中，BC = OF BC ⊥Q ，12BF BC ∴==OF ∴=7．（2020•嘉定区一模）如图，在O e 中，AB 、CD 是两条弦，O e 的半径长为rcm ，弧AB 的长度为1l cm ，弧CD 的长度为2l cm （温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）．当12l l =时，求证：AB CD =．【分析】根据弧长公式求得AOB COD ∠=∠，然后利用ASA 证得AOB COD ∆≅∆，即可证得结论．【解答】解：设AOB m ∠=︒，COD n ∠=︒，由题意，得1180mr l π=，2180nr l π=， QBG FH DG CH =，∴180180mr nr ππ=， m n ∴=，即AOB COD ∠=∠，OA Q 、OB 、OC 、OD 都是O e 的半径， OA OB OC OD ∴===，OA OC =Q ，AOB COD ∠=∠，OB OD =，()AOB COD SAS ∴∆≅∆ AB CD ∴=．8．（2020•徐汇区一模）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，CDE A ∠=∠，GBE ABC ∠=∠，DE 与边BC 交于点F ．（1）求cos A 的值；（2）当2A ACD ∠=∠时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，:AD BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求:AD BE 的值；如果变化，请说明理由．【分析】（1）作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ．解直角三角形求出BM ，AM 即可解决问题．（2）设AH 交CD 于K ．首先证明AK CK =，设AK CK x ==，在Rt CHK ∆中，理由勾股定理求出x ，再证明ADK CDA ∆∆∽，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．（3）结论：:5:6AD BE =值不变．证明ACD BCE ∆∆∽，可得56AD AC BE BC ==．【解答】解：（1）作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ． AB AC =Q ，AH BC ⊥，3BH CH ∴==，4AH ∴=， 1122ABC S BC AH AC BM ∆==Q g g g g ，245BC AH BM AC ∴==g ，75AM ∴==， 7cos 25AM A AB ∴==．（2）设AH 交CD 于K ．2BAC ACD ∠=∠Q ，BAH CAH ∠=∠，CAK ACK ∴∠=∠，CK AK ∴=，设CK AK x ==，在Rt CKH ∆中，则有222(4)3x x =-+，解得258x =，258AK CK ∴==， ADK ADC ∠=∠Q ，DAK ACD ∠=∠， ADK CDA ∴∆∆∽，∴255858AD AK DK CD AC AD ====，设AD m =，DK n =，则有25258825()8mn m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得12539m =，625312n =． 12539AD ∴=．（3）结论：:5:6AD BE =值不变．理由：GBE ABC ∠=∠Q ，2180BAC ABC ∠+∠=︒，180GBE EBC ABC ∠+∠+∠=︒， EBC BAC ∴∠=∠，EDC BAC ∠=∠Q ， EBC EDC ∴∠=∠，D ∴，B ，E ，C 四点共圆，EDB ECB ∴∠=∠，EDB EDC ACD DAC ∠+∠=∠+∠Q ，EDC DAC ∠=∠， EDB ACD ∴∠=∠， ECB ACD ∴∠=∠， ACD BCE ∴∆∆∽，∴56AD AC BE BC ==．9．（2019•杨浦区三模）已知，在ACB ∆和DCE ∆中，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，DC EC =，M 为DE 的中点，连接BE ．（1）如图1，当点A 、D 、E 在同一直线上，连接CM ，求证：22AE BECM =-；（2）如图2，当点D 在边AB 上时，连接BM ，求证：222()()22AD BD BM =+．【分析】（1）先证明ACD BCE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得出，AD BE =，得出AE AD AE BE DE -=-=，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CM DE =，即可得出结论；（2）同（1）得：ACD BCE ∆≅∆，得出AD BE =，45DAC EBC ∠=∠=︒，得出90ABE ABC EBC ∠=∠+∠=︒，由勾股定理得出222DE BE BD =+，由直角三角形斜边上的中线性质得出2DE BM =，即可得出结论．【解答】（1）证明：90ACB DCE ∠=∠=︒Q ，AC BC =， 90ACD BCE DCB ∴∠=∠=︒-∠，45BAC ABC ∠=∠=︒，在ACD ∆和BCE ∆中，AC BCACD BCEDC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，AE AD AE BE DE ∴-=-=， M Q 为DE 的中点，90DCE ∠=︒，11()2222AE BECM DE AE AD ∴==-=-；（2）证明：同（1）得：ACD BCE ∆≅∆，AD BE ∴=，45DAC EBC ∠=∠=︒，90ABE ABC EBC ∴∠=∠+∠=︒，222DE BE BD ∴=+， M Q 为DE 的中点， 2DE BM ∴=，222224BM BE BD AD BD ∴=+=+，222()()22AD BD BM ∴=+． 10．（2019•静安区二模）已知：如图，ABC ∆内接于O e ，AB AC =，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，连接ED ．过点B 作BF DE ⊥交AC 于点F ．（1）求证：BAD CBF ∠=∠；（2）如果OD DB =．求证：AF BF =．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，由垂径定理得出AD BC ⊥，BD CD =，证出DE 是ABC ∆的中位线．得出//DE AC ，证出90BFC ∠=︒，由角的互余关系即可得出结论；（2）连接OB ．证出ODB ∆是等腰直角三角形，得出45BOD ∠=︒．再由等腰三角形的性质得出OBA OAB ∠=∠．即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1所示： AB AC =Q ，ABC C ∴∠=∠， Q 直线AD 经过圆心O ，AD BC ∴⊥，BD CD =， Q 点E 为弦AB 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线．//DE AC ∴，BF DE ⊥Q ，90BPD ∴∠=︒，90BFC ∴∠=︒， 90CBF ACB ∴∠+∠=︒． AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠，90CBF ABC ∴∠+∠=︒，又AD BC ⊥Q ， 90BAD ABC ∴∠+∠=︒， BAD CBF ∴∠=∠；（2）证明：连接OB ．如图2所示： AD BC ⊥Q ，OD DB =， ODB ∴∆是等腰直角三角形， 45BOD ∴∠=︒．OB OA =Q ， OBA OAB ∴∠=∠． BOD OBA OAB ∠=∠+∠Q ，122.52BAO BOD ∴∠=∠=︒，AB AC =Q ，且AD BC ⊥，245BAC BAO ∴∠=∠=︒． 290∠=︒Q ，即BF AC ⊥，∴在ABF ∆中，904545ABF ∠=︒-︒=︒，ABF BAC ∴∠=∠，AF BF ∴=．11．（2019•嘉定区二模）如图已知：ABC ∆中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点，11BC =，12AD =，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度；（2）求cos EDC ∠的值．【分析】（1）由四边形DFGH 为边长为4的正方形得GF AFBD AD=，将相关线段的长度代入计算可得；（2）先求出CD 、AC 的长，再由E 是边AC 的中点知ED EC =，据此得EDC ACD ∠=∠，再根据余弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）Q 四边形DFGH 为顶点在ABD ∆边长的正方形，且边长为4， //GF BD ∴，4GF DF ==，∴GF AFBD AD=， 12AD =Q ，8AF ∴=，则4812BD =，解得：6BD =；（2）11BC =Q ，6BD =， 5CD ∴=，在直角ADC ∆中，222AC AD DC =+， 13AC ∴=，E Q 是边AC 的中点，ED EC ∴=，EDC ACD ∴∠=∠，∴5cos cos 13EDC ACD ∠=∠=． 12．（2019•松江区二模）如图，已知ABCD Y 中，AB AC =，CO AD ⊥，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）连接OB ，交AC 于点F ，如果OF OC =，求证：22AB BF BO =g ．【分析】（1）首先证明四边形AEDC 是平行四边形，再证明AE AC =即可解决问题．（2）证明BAF BOE ∆∆∽，可得BA BFBO BE=解决问题．【解答】（1）证明：CO BC ⊥Q ， 90BCE ∴∠=︒，AB AC =Q ， B ACB ∴∠=∠，90AEC B ∠+∠=︒Q ，90ACE ACB ∠+∠=︒， ACE AEC ∴∠=∠，AE AC ∴=，AE AB ∴=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//BE CD ∴，AB CD AE ==，∴四边形AEDC 是平行四边形，AE AC =Q ，∴四边形AEDC 是菱形．（2）解：连接OB 交AC 于F ． Q 四边形AEDC 是菱形，AEC ACE ∴∠=∠， OF OC =Q ，OFC OCF AFB ∴∠=∠=∠， AFB AEO ∴∠=∠，ABF OBE ∠=∠Q ， BAF BOE ∴∆∆∽，∴BA BFBO BE=， BA BE BF BO ∴=g g ，2BE BA =Q ，22AB BF BO ∴=g ．13．（2019•奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF BE ⊥，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG AF =．（1）求证：CG BE ⊥；（2）如果点E 是AD 的中点，连接CF ，求证：CF CB =．【分析】（1）证明AFB BGC ∆≅∆，通过角的代换即可得到90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥；（2）先证明AEB FAB ∆∆∽，得到AE AFAB BF=，根据中点线段关系结合比例式推导出FG BG =，又CG BE ⊥，所以CF CB =．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒．AF BE ⊥Q ，90FAB FBA ∴∠+∠=︒． 90FBA CBG ∠+∠=︒Q ， FAB CBG ∴∠=∠．又AF BG =Q ， ()AFB BGC SAS ∴∆≅∆． AFB BGC ∴∠=∠．90BGC ∴∠=︒，CG BE ∴⊥．（2）ABF EBA ∠=∠Q ，90AFB BAE ∠=∠=︒，AEB FAB ∴∆∆∽．∴AE AFAB BF=． Q 点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AF AB BF ==． AF BG =Q ，∴12BG BF =，即FG BG =． CG BE ⊥Q ，CF CB ∴=．14．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．【分析】（1）由菱形的性质得出//AD BC ，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠，得出180BAD ABC ∠+∠=︒，证出BAD ABC ∠=∠，求出90BAD ∠=︒，即可得出结论；（2）由正方形的性质得出AC BD ⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =，得出90COB DOC ∠=∠=︒，CO DO =，证出ECO EDH ∠=∠，证明()ECO FDO ASA ∆≅∆，即可得出结论．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形， //AD BC ∴，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠， 180BAD ABC ∴∠+∠=︒，CAD DBC ∠=∠Q ， BAD ABC ∴∠=∠，2180BAD ∴∠=︒，90BAD ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：Q 四边形ABCD 是正方形， AC BD ∴⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =， 90COB DOC ∴∠=∠=︒，CO DO =， DH CE ⊥Q ，垂足为H ，90DHE ∴∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒，90ECO DEH ∠+∠=︒Q ， ECO EDH ∴∠=∠，在ECO ∆和FDO ∆中，90ECO EDHCO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ECO FDO ASA ∴∆≅∆， OE OF ∴=．15．（2019•奉贤区二模）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，28BC AB ==，对角线AC 平分BCD ∠，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ，交边AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求腰DC 的长；（2）求BCF ∠的余弦值．【分析】（1）根据勾股定理求出AC ，求出CE ，解直角三角形求出DE ，根据勾股定理求出DC 即可；（2）根据相似三角形的性质和判定求出AF ，求出CF ，解直角三角形求出即可．【解答】解：（1）90ABC ∠=︒Q ，28BC AB ==，4AB ∴=，AC ==//AD BC Q ， DAC BCA ∴∠=∠， AC Q 平分BCD ∠，DCA ACB ∴∠=∠， DAC DCA ∴∠=∠， AD CD ∴=， DE AC ⊥Q ，1122CE AC ∴==⨯= 在Rt DEC ∆中，90DEC ∠=︒，tan DEDCE CE∠=，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，41tan 82AB ACB BC ∠===， ∴12DE CE =，CE =QDE ∴在Rt DEC ∆中，由勾股定理得：5DC =；即腰DC 的长是5；（2）设DF 与BC 相交于点Q ，90FBC FEC ∠=∠=︒Q ，BQF EQC ∠=∠，∴由三角形内角和定理得：AFE ACB∠=∠，90FAD ABC∠=∠=︒Q，AFD BCA∴∆∆∽，∴AD AB AF BC=，5 AD DC==Q，12 ABBC=，∴512 AF=，解得：10AF=，AE CE=Q，FE AC⊥，10CF AF∴==，在Rt BCF∆中，90CBF∠=︒，84 cos105BCBCFCF∠===．16．已知：如图，在ABC∆中，AB BC=，90ABC∠=︒，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．求证：（1）四边形FBGH是菱形；（2）四边形ABCH是正方形．【分析】（1）由三角形中位线知识可得//DF BG，//GH BF，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH是菱形；（2）连结BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH=，OF OG=，又AF CG=，所以OA OC=．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）Q点F、G是边AC的三等分点，AF FG GC∴==．又Q点D是边AB的中点，//DH BG∴．同理：//EH BF ．∴四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ， OF OG ∴=， AO CO ∴=， AB BC =Q ，BH FG ∴⊥，∴四边形FBGH 是菱形；（2）Q 四边形FBGH 是平行四边形， BO HO ∴=，FO GO =．又AF FG GC ==Q ，AF FO GC GO ∴+=+，即：AO CO =．∴四边形ABCH 是平行四边形．AC BH ⊥Q ，AB BC =，∴四边形ABCH 是正方形．17．（2019•普陀区一模）如图，1O e 和2O e 相交于A 、B 两点，12O O 与AB 交于点C ，2O A 的延长线交1O e 于点D ，点E 为AD 的中点，AE AC =，连接OE ．（1）求证：11O E O C =；（2）如果1210O O =，16O E =，求2O e 的半径长．【分析】（1）连接1O A ，根据垂径定理得到1O E AD ⊥，根据相交两圆的性质得到1O C AB ⊥，证明Rt △1O EA Rt ≅△1O CA ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设2O e 的半径长为r ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接1O A ， Q 点E 为AD 的中点， 1O E AD ∴⊥，1O Q e 和2O e 相交于A 、B 两点，12O O 与AB 交于点C ， 1O C AB ∴⊥，在Rt △1O EA 和Rt △1O CA 中， 11O A O AAE AC =⎧⎨=⎩， Rt ∴△1O EA Rt ≅△1()O CA HL 11O E O C ∴=；（2）解：设2O e 的半径长为r ， 116O E O C ==Q ， 21064O C ∴=-=，在Rt △12O EO 中，28O E =，则8AC AE r ==-，在2Rt ACO ∆中，22222O A AC O C =+，即222(8)4r r =-+，解得，5r =，即2O e 的半径长为5．。

2015年浙江省杭州数学中考总复习课件专题突破一：几何的证明与计算

解：(1)证明：∵E，F 分别为线段 OA，OB 的中点， ∴EF∥AB，AB＝2EF. ∵AB＝2CD，∴EF＝CD. ∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC， ∴△FOE≌△DOC.
专题突破一┃ 几何的证明与计算
(2)∵∠ABC＝90°， ∴AC＝ AB ＋BC ＝（2BC）＋BC ＝ 5BC， BC 5 sin∠CAB＝＝ . AC 5 ∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB， 5 ∴sin∠OEF＝sin∠CAB＝ . 5
专题突破一┃ 几何的证明与计算
【例题分析】
（1）如何求 A，B 两点的坐标？（2）求证两个三角形相似有哪些方法？本题可选择什么方法来证？（3）求最值问题往往可转化为二次函数问题解决，思考如何选取合适的自变量，考虑到是直角坐标系问题并结合条件，我们可设哪些点的坐标？
专题突破一┃ 几何的证明与计算
专题突破一┃ 几何的证明与计算
(3)延长 FH，CB 交于点 P，如图③. ∵AD∥BC，HF∥GE， ∴∠AFH＝∠P，∠GEC＝∠P. 又∵∠A＝∠C＝90°，∴△AFH∽△CEG， AF HF OF OF 1 ∴ ＝＝＝＝ . CE EG OE 2OF 2 ∵BE＝EC＝2，∴AF＝1， ∴BQ＝AF＝1，QE＝1. 设 OF＝x，∵HF∥GE， OH OF 1 ∴ ＝＝ . OG OE 2
【方法提炼】
此类问题往往与Βιβλιοθήκη 态问题相联系，借助函数与方程的数学思想方法，研究几何元素间的数量关系，求几何图形中的函数表达式，根据相似形列出含有变量的等式，然后转化为函数表达式的形式.而自变量的取值范围一般由图形存在的极端情况来确定最大或最小值.
专题突破一┃ 几何的证明与计算

初二数学竞赛基本几何证明及计算

初二数学竞赛基本几何证明及计算∆中，AD⊥BC 于D，AB+BD=CD。

证明∠B=2∠C。

1：如图1，在ABCC图1∆中，AB=AC。

D，E分别是BC，AC上的点。

问∠BAD与2. 如图2，在ABC∠CDE满足什么条件时，AD=AE。

B C图23. 如图3，六边形ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA-CD=3。

求BC+DE 的值。

D图34. 如图4，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC 。

证明BD 2=AB 2+BC 2D图45. 如图5，P 是ABC ∆边BC 上一点，PC=2PB 。

已知∠ABC=450，∠APC=600。

求∠ACB 的度数。

图56. 如图6，中，在ABC ∆BC=a, AC=b, 以AB 为边向外作等边三角形△ABD 。

问∠ACB 为多少度时，点C 与点D 的距离最大？A图67. 如图7，在等腰中，ABC ∆AB=AC ，延长AB 到D ，延长CA 到E ，连DE ，恰好有AD=BC=CE=DE 。

证明∠BAC=1000。

C D图78. 如图8，在中，ABC ∆AD 是边BC 上的中线，AB=2，AD=6，AC=26。

求∠ABC 的度数。

B图89. 如图9，在ABC ∆的外面作正方形ABEF 和ACGH ，AD ⊥BC 于D 。

延长DA交FH 于M 。

证明：FM=HM 。

G图910. 如图10，P ，Q ，R 分别是等边ABC ∆三条边的中点。

M 是BC 上一点。

以MP 为一边在BC 同侧作等边PMS ∆。

连SQ 。

证明 RM=SQ.B C 如图1011. 如图11，在四边形ABCD 中，AB=a, AD=b, BC=CD. 对角线AC 平分∠BAD 。

问a 与b 符合什么条件时，有∠D+∠B=1800。

A如图1112. 如图12，在等腰中，ABC ∆AD 是边BC 上的中线，E 是△ADB 任一点，连AE ，BE ，CE 。

中考数学临考题号押广东卷21题(几何证明与计算)(解析版)

∴平行四边形AFCE是菱形；
【小问2详解】
根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，
∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，
∴EF=2OE，AC=2OA，
∵BC=8，AB=4，
∴BE=BC-EC=8-EC=8-AE，，
∴OA= ，
在Rt△ABE中，利用勾股定理，有，
即：，解得：AE=5，
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当AB 4，BC 8时，求线段EF的长．
【分析】（1）利用EF是AC的垂直平分线，可得∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，在矩形中有，即有∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，即可证得∠CFD=∠EAF，则有，再结合，AE=EC，可证四边形AFCE是菱形；
∴∠ACF=∠EDC．
∴ED=EC．
【小问2详解】
解：如（1）中图所示，过点C作CG⊥OB于点G，设线段OE与交于点H．
∵ 的直径，OC，OB是的半径，
∴ ．
∵∠A和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°．
∴ ，S扇OBC ．
∴ ．
∴点C右侧的阴影面积S右=S扇OBC- ．
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】
（1）连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的半径为．
6．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．

中考数学复习练测课件专题练测5 几何图形中的证明与计算

5．(2021·张家界)如图，在 Rt△AOB 中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 BO 的延长线于点 C，过点 C 作 OA 的平行线，交⊙O 于点 D，连接 AD.
(1)求证：AD 为⊙O 的切线；
证明：连接 OD. ∵∠OAB＝30°，∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝60°. ∵CD∥OA，∴∠C＝∠AOB＝60°. 又∵OC＝OD，∴△COD 是等边三角形． ∴∠COD＝60°.∴∠AOD＝180°－60°－60°＝60°＝∠AOB. 又∵OD＝OB，AO＝AO，∴△AOD≌△AOB(SAS)． ∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即 OD⊥AD. 又∵点 D 在⊙O 上，∴AD 是⊙O 的切线．
8．(2021·株洲)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 是⊙O 上不同的两点，直线 BD 交线段 OC 于点 E，交过点 C 的直线 CF 于点 F，若 OC＝3CE，且 9(EF2－CF2)＝OC2. (2)连接 OD，AD，AC，DC，若∠COD＝2∠BOC. ①求证：△ACD∽△OBE； ②过点 E 作 EG∥AB，交线段 AC 于点 G，点 M 为线段 AC 的中点，若 AD ＝4，求线段 MG 的长度．
4．(2021·泰安)四边形 ABCD 为矩形，E 是 AB 延长线上的一点．
(2)若 AB＝AD，点 F 是 AB 上的点，AF＝BE，EG⊥AC 于点 G，如图 2，
求证：△DGF 是等腰直角三角形．证明：∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°.
∴GE＝GA.
∠EAD＝∠FAD，
在△AED 与△AFD 中，∠AED＝∠AFD， AD＝AD，

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2012年寒假九年级数学学案二------几何证明与计算
一、基础回顾
1.如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，
5
4
A cos =，则下列结论中正确的个数为（）
①DE =3cm ；②EB =1cm ；③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个
D ．0个
2.．（2011山东菏泽）一次数学活动课上，小聪将一副三角板
按图中方式叠放，则∠α等于（）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
3.（2011山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（）A . 直角三角形 B . 锐角三角形 C . 钝角三角形 D . 等边三角形
4. 2011浙江义乌）如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长是3cm ，则DE 的长是（）
A ．2cm
B ．1.5cm
C ．1.2cm
D ．1cm
5．（2011浙江绍兴）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（）
A.16
B.10
C.8
D.6 6．（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，
AE =2，ED =4，
(1)求证：△ABE ∽△ADB ；
(2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接F A ，试判断直线F A 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
C
30°
45°
α
E
A B C
D
二、典例精评
例1. （2011广东茂名）如图，在等腰△ABC中,点
D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接A
E、BD
相交于点O，∠1＝∠2．
(1)求证：OD＝OE；
(2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形；
(3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形
ABED的面积．
例2. （2011浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.
（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
三、课堂检测
1.（2011四川绵阳将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为 A ．75° B ．95° C ．105°
D ．120°，
2．（2011浙江温州，10，4分）如图，O 是正方形
ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE ＝2，则正方形ABCD 的边长是( ) A ．3
B ．4 C
．2+ D
．
3．（2011山东日照）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为
b
a ab
+的是（）
4．（2011四川内江）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
B
A
A
C
D
E
5．.如图，在梯形ABCD 中，
3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．
动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C
点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的
速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长．
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形
6．（2011广东东莞）如图，抛物线25
17
144
y x x =-++与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）.
（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.
C
D。