常见信号单边拉普拉斯变换
常见函数的拉普拉斯变换1
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
F(j) lim 1 lim lim j 0 j 0 2 2 0 2 2
= () + 1/j
（3）0 >0，F(j)不存在。 例 f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) , >2；其傅里叶变 换不存在。
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第3页
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
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例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
解 F1b (s)
et est d t e(s )t
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1 1 esT
T 0
fT (t) estd t
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F(s) f (t) est d t 0
Re[s]>0
F(j) f (t) e j t d t
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。
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通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
F(s) f (t) est d t 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
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常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数＼（f(t)＼），其拉普拉斯变换＼（F(s)＼）定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt＼其中＼（s ＝＼sigma ＋j\omega\）是一个复变量，＼（＼sigma\）是实部，＼（＼omega\）是虚部，＼（j\）是虚数单位。
下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数＼（u(t)＼），当＼（t ＜ 0\）时，＼（u(t) ＝ 0\）；当＼（t ＼geq 0\）时，＼（u(t) ＝ 1\）。
它的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}u(t) ＝＼frac{1}｛s}＼指数函数＼（e^｛at}＼），其拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}e^｛at} ＝＼frac{1}｛s a}＼正弦函数＼（sin(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼余弦函数＼（cos(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。
那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数＼（F(s)＼）转换回时域中的函数＼（f(t)＼）。
拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。
例如，对于形如＼（F(s) ＝＼frac{A}｛s a}＼）的函数，其反变换为＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼）。
4-2单边拉普拉斯变换的性质
ω0 sin(ω0t )ε (t ) ↔ 2 2 ( s + α ) + ω0
Re[ s ] > −α
4.尺度变换 4.尺度变换
若 则
傅立叶变换域
Re[ s ] > σ 0
1 ω f (at ) ↔ F ( j ) a a
f (t ) ↔ F ( s )
1 s f (at )ε (at ) ↔ F ( ) a > 0, Re[ s] > aσ 0 a a 的拉氏变换。 例. 求 f ( at − b)ε ( at − b), a > 0, b > 0 的拉氏变换。 1 s Re[ s ] > aσ 0 f (at )ε (at ) ↔ F ( ) a a b − s b b 1 s a f (at − b)ε (at − b) = f [a (t − )]ε [a (t − )] ↔ F ( )e
+∞ 0
= ∫ − f1 (τ )[ ∫ − f 2 (t − τ )e− st dt ]dτ
0
17-6 17-
= ∫ − f1 (τ )e − sτ F2 ( s )dτ
0
∞
= F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ) Re[ s ] > σ 0
• 应用于系统的零状态响应分析
y f (t ) = f (t ) * h(t ) b b
∞
Re[s] > σ0
不成立！ 不成立！
证明： 证明：由单边拉氏变换的定义有
L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = ∫ − f (t − t0 )ε (t − t0 ) e dt
− st
= ∫ f (t − t0 ) e − st dt
信号的单边拉普拉斯变换
信号的单边拉普拉斯变换一、引言信号处理是计算机科学和电子工程领域中的一个重要分支，它涉及到数字信号处理和模拟信号处理两个方面。
单边拉普拉斯变换是信号处理中的一个重要概念，它在信号的频域分析和系统的稳定性分析中有着广泛应用。
本文将介绍单边拉普拉斯变换的概念、性质、应用以及计算方法等方面内容。
二、单边拉普拉斯变换的概念1. 拉普拉斯变换在介绍单边拉普拉斯变换之前，先来了解一下普通的拉普拉斯变换。
设函数f(t)在区间[0,∞)上连续，并且满足|f(t)|≤Me^at(a>0,M>0)，则称f(t)是指数增长函数。
如果存在常数s0使得积分收敛，即∫[0,∞)e^-stf(t)dt<∞，则称F(s)=L{f(t)}=∫[0,∞)e^-stf(t)dt为函数f(t)的拉普拉斯变换。
2. 单边拉普拉斯变换与普通的拉普拉斯变换不同，单边拉普拉斯变换是只对t>0的函数进行变换。
设函数f(t)在区间(0,∞)上连续，并且满足|f(t)|≤Me^at(a>0,M>0)，则称f(t)是指数增长函数。
如果存在常数s0使得积分收敛，即∫[0,∞)e^-stf(t)dt<∞，则称F(s)=L{f(t)}=∫[0,∞)e^-stf(t)dt为函数f(t)的单边拉普拉斯变换。
三、单边拉普拉斯变换的性质1. 线性性质：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则aF(s)+bG(s)=L{af(t)+bg(t)}2. 变换定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(s->∞)(sF(s))=lim_(t->∞)(f(t))3. 初值定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(t->0)(f(t))=lim_(s->∞)(sF(s))4. 终值定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(t->∞)(f(t))=lim_(s->0)(sF(s))四、单边拉普拉斯变换的应用1. 信号分析单边拉普拉斯变换可以将时域上的信号转换到频域上进行分析。
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯变换(推荐完整)
f
-st
(t)e a dt
1
F(
s
)
aa
收敛域：
Re(s/a) s0 Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
若 f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) L e-st0 F (s) t0 0, Re(s) s 0
例：求信号f
(t)
sin 0
t
0 t 其它
的Laplace变换。
f (t) sin(t)u(t) sin(t - )u(t - )
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
L[cos(w0t)u(t)]
s
s2
w
2 0
Re(s) 0
L[sin(w0t)u(t)]
w0
s2
w
2 0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1 ) 线性特性(linearity)
CH9-9单边拉普拉斯变换及其性质
2015-7-6
L
2 s 2 0 2 2 ( s 2 0 )
Re (s) 0
Re (s) 0
5
L
2 0 s 2 2 2 ( s 0 )
单边拉氏变换的性质－时域微分性质
1.单边拉氏变换的时域微分性质
以下均假设f (t )是起始于零的因果信号 。（单边信号）
2
3
4
5
分析：周期为T的单边周期信号f(t)可以表示为第一个周
期信号f1(t)及其时移f1(tkT)的线性组合，即
f ( t ) f1 ( t kT )u( t kT )
k 0
若计算出f1(t)的Laplace变换F1(s)，利用Laplace变换的时 移特性和线性特性，即可求得单边周期信号的Laplace变换为
如果原函数有终值存在，那么其单边拉氏变换乘以 s 后所得函数sF(s) 的ROC ，一定为包含纵轴的 RHP。
2015-7-6 24
用Matlab计算Laplace正反变换
Matlab的符号数学工具箱提供了计算Laplace正 反变换的函数laplace和ilaplace。其调用形式 为：
时域表示式
L
f (t ) f1 (t ) f1 (t 2) f1 (t 4) , T 2
因为 所以
2015-7-6
Re (s )
Re(s) > 0
17
L [ f ( t)u(t)] = F (s)
则： L
[ f (t )u(t )]
1
F(
s s )e
原函数从正方向趋 近原点时的极限
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电子信息工程学院
常见信号单边拉普拉斯变换
冲激信号 阶跃信号 指数类信号 正弦信号 斜坡信号
1. 冲激信号
※ 冲激信号 (t), (n) (t)
L [ (t)]
(t)estdt
0
est
t0 1
Re(s)
(t) L 1, 同理可得：
Re(s)
(n) (t) L sn , Re(s)
2. 阶跃信号
※ 阶跃信号 u(t)
L [u(t)]
u(t)estdt
0
estdt
0
1 s
e st
|
0
1 s
Re(s) 0
u(t) L 1 , Re(s) 0 s
3. 指数类信号
※ 指数类信号 e t u(t)， λ可为任一复数
L
[etu(t)]
et est dt
0
1
s
e( s )t
1
s j0
1
s ( j0 )
Re(s)
Re(s) 0
Re(s)
4. 正弦信号
※ 正弦信号 cos(ω0t)u(t), sin(ω0t)u(t)
cos(0t)
u(t)
e j0t
e j0t 2
u(t)
L
1( 1
2 s j0
1 )
s j0
s
s2 02 ,
Re(s) 0
sin(0t)
u(t)
e j0t
e j0t 2j
u(t)
L 1 ( 1 1 )
2 j s j0 s j0
s2
0 02
,
Re(s) 0
5. 斜坡信号
※ 斜坡信号 tu(t)
L
[tu(t)]
test dt
0
=
t (est ) s
0
1 s
est dt
0
1 s
est dt
0
1 s2
e st
|
0
1
s
Re(s) Re()
etu(t) L 1 , Re(s) Re() s
3. 指数类信号
etu(t) L 1 , Re(s) Re() s
当λ= 时， 实指数信号 etu(t) L 1
s
当λ=j 0时，虚指数信号
e j0tu(t) L
当λ= +j 0时，复指数信号
e( j0 )tu(t) L
|
0
1 s2
tu(t) L
1 s2 ,
Re(s) 0Re(Leabharlann ) 0常见信号单边拉普拉斯变换
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源 于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处，特 此说明并表示感谢！