连续信号的拉普拉斯变换分析.
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信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)
1
2j
F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)
0
estd t
即 u(t ) 1
est
s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t
F1( )
f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2
2 s3
L tn
n! s n1
4、冲激函数 (t)
04四章 连续时间信号与系统的S域分析
相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、双边拉氏变换的收敛域
能使
收敛的S值的范围。
若f(t)绝对可积，则 F(jω)=F(s)|σ=0 或F(jω)= F(s)|s= jω
S平面与零点、极点
N (s) F ( s) D( s )
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的 象函数
• 解： L[e (t )] 0 e e dt 0 e
s0 t s0t st
( s s0 ) t
dt
1 , Re[ s] Re[ s0 ] s s0 1 t , Re[ s ] 若s0为实数，令s0＝，则有 e (t ) s
三、 S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s), ROC: R 则
x(t )e X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
s0t
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s)的ROC平移了 一个Re[ s0 ] 。
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
ROC: 1
ROC: 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s) 不存在。
二、 时移性质（Time Shifting）:
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 ( s)
【实用】拉普拉斯变换PPT文档
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收
敛。 2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激
函数。 3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微
分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。 4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元件模型。 6.深入理解系统函数的定义及物理意义。 7.熟练掌握系统零极点分布与其时域特征的关系。
一、拉普拉斯的产生和发展
Laplace 2h(t)绝对可积，极限为0 Transform）。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
拉本氏章变 重换点与在十傅于氏，九变以换拉的氏世关变系换纪；为工末具对系，统进英行复国频域分工析。程师亥维赛德(O.Heaviside,
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力 Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严密的数学定义。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
H(s)极点都在s域左半平面
用
便
受到一
定
的
限制，
其
次
，求取
傅
里叶反变换 留数定理法（含留数和定理）
拉氏变换收敛域的定义
有
时
也是比
较
困
难的，
此
处
尤其
要
指
出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 3.
线性、原函数积分、原函数微分、域的定义 3.
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收
敛。 2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激
函数。 3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微
分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。 4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元件模型。 6.深入理解系统函数的定义及物理意义。 7.熟练掌握系统零极点分布与其时域特征的关系。
一、拉普拉斯的产生和发展
Laplace 2h(t)绝对可积，极限为0 Transform）。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
拉本氏章变 重换点与在十傅于氏，九变以换拉的氏世关变系换纪；为工末具对系，统进英行复国频域分工析。程师亥维赛德(O.Heaviside,
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力 Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严密的数学定义。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
H(s)极点都在s域左半平面
用
便
受到一
定
的
限制，
其
次
，求取
傅
里叶反变换 留数定理法（含留数和定理）
拉氏变换收敛域的定义
有
时
也是比
较
困
难的，
此
处
尤其
要
指
出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 3.
线性、原函数积分、原函数微分、域的定义 3.
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
x(-t+3)的拉普拉斯变换
一、介绍拉普拉斯变换是一种用来分析和处理连续时间信号的数学工具。
它在控制理论、信号处理和电路分析等领域有着广泛的应用。
本文将围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，探讨其在实际问题中的应用。
二、x(-t+3)的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种用于将连续时间信号转换为复频域的数学工具。
对于表达式x(-t+3)，它的拉普拉斯变换可以通过以下步骤来求解。
1. 根据拉普拉斯变换的定义，我们需要将表达式x(-t+3)乘以e^(-st)，其中s为复变量。
这样得到的新表达式为x(t)e^(-3s)e^(-st)。
2. 我们需要对新表达式进行积分运算。
将x(t)e^(-3s)e^(-st)关于t进行积分，得到积分表达式∫x(t)e^(-3s)e^(-st)dt。
3. 对积分表达式进行求解，得到x(-t+3)的拉普拉斯变换。
三、应用举例x(-t+3)的拉普拉斯变换在实际问题中有着重要的应用。
以下举例说明其在控制理论和信号处理中的应用。
1. 控制理论在控制系统中，经常需要对输入信号进行变换和处理。
对于一个以时间t为自变量的输入信号x(t)，我们希望将其延迟3个时间单位后输入系统中。
这时就需要用到x(-t+3)的拉普拉斯变换。
通过对输入信号进行拉普拉斯变换，可以方便地对系统的动态特性进行分析和控制。
2. 信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行时移和频率变换。
对于表达式x(-t+3)，其拉普拉斯变换可以帮助我们分析信号在频域中的特性。
可以通过变换后的频域表达式来设计滤波器、降噪和提取信号特征等。
四、结论本文围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，介绍了其求解步骤和在控制理论和信号处理中的应用。
拉普拉斯变换作为一种重要的数学工具，对于分析和处理连续时间信号有着重要的意义，希望本文的内容对读者有所启发和帮助。
一、引言拉普拉斯变换是一种在工程和科学领域中被广泛应用的数学工具，它能够将时域中的函数变换到复频域中，为我们探索和分析系统的动态特性提供了有力的工具。
第八章 连续时间信号拉普拉斯变换
at
图8- 1和图 8-2中的阴影分别表示了 F1 (s) 和 F2 (s) 的收敛范围。
Im[s ] Im[s ]
1 u( t ) sa
LT
a
a
0
Re[ s ]
a
0
Re[ s ]
图8- 2 图8- 1 可见，拉普拉斯变换相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须 标出收敛域。
f (t ) e t
Re[s]
ROC 来表示
收敛域表示为 收敛域也可以用 【例8-1】 设信号
f1 (t ) eat u(t )
f 2 (t ) eat u(t )
a 0
a 0
F1 ( s ) 和 F2 ( s ) 及它们的收敛域。 求： 解：由拉普拉斯变换的定义式可得：
s j
（2）当收敛域不包含轴时，拉普拉斯变换存在而 傅里叶变换不存在。
（3）当收敛域的收敛边界位于轴时，拉普拉斯变换 和傅里叶变换均存在。
F ( j) F (s) s j Kn ( n )
n
[例] 由F(s)求F(j )
s ( s 4) 2
4
1 a 因此 e u( t ) s a 1 at 0 st at st 同理可得 F ( s ) e u( t )e dt e e dt 2 sa 要使它满足绝对可积条件 a 0
at LT
e
连续时间信号的复频域分析
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换及其存在的条件
常用信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
单边拉普拉斯变换的性质
单边拉普拉斯变换的反变换
信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
dt T
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
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没有收敛域。不存在双边拉 氏变换
9
2、拉普拉斯变换的收敛域
连续信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域的边界是s平 面上平行于jω轴的直线。
右边信号x(t)u(t-t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其 收敛域具有σ>σ0形式，即收敛域具有左边界σ0 。
左边信号x(t)u(-t+t0)的拉普拉斯变换如果存在，则 其收敛域具有右边界σ0 。
x(t)e( j)t dt
s j
X (s) x(t)estdt
双边拉普拉 斯变换
x(t) 1
2 j
j j
Xb
(s)est ds
FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度
3
2、拉普拉斯变换的收敛域
et为指数型衰减因子，它至多能使指数增长
信号的单边拉普拉斯变换可看成信号x(t)u(t)的 双边拉普拉斯变换，可以用下式求出x(t)u(t) ：
ki.L[x(t)]
i 1
sX (s) x(0 )
X (s) x'(0 )
s
s
est0 X (s)
频移
x(t )eat
X (s a)
11
3、拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
x(at )
1 a
X
s a
lim x(t) x(0 ) lim sX (s)
t 0
s
终值 lim x(t) x() lim sX (s)
型函数满足绝对可积条件，或满足
lim x(t) et 0
t
(2-111)
有些函数，如et2 、 t t 等，它们随t的增长速
率比 et 的衰减速度快，这些函数乘上衰
减因子后仍不满足绝对可积条件，它们的拉普
拉斯变换便不存在.
即使是乘上衰减因子后能满足绝对可积条件，
也存在一个σ的取值问题。
4
2、拉普拉斯变换的收敛域
1
一、拉普拉斯变换 1、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
有几种情况不满足狄里 赫利条件：
指数增长信号
eat (a 0)
功率型周期信号
若乘一衰减因子 et
为任意实数，则
x(t).e t 收敛，
满足狄里赫利条件
eat .et ( a)
2
象函数 正LT
原函数 逆LT
x1(t) x(t)et
X1()
|0
上式积分只有在σ>－1时收敛，这时
1 X b (s) s 1
收敛域表示在以σ轴为横轴、 jω轴为纵轴的平面上.
7
8
x(t) eatu(t) ebtu(t)
x(t)et dt 0 e(b )t dt e(a )t dt
0
b a,
b
a
a b
收敛，存在双边拉 氏变换
ba
第三节 连续信号的拉普拉斯变换分析
拉普拉斯变换
从傅立叶变换到拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换的性质 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 单边拉普拉斯变换
信号的复频域分析
拉普拉斯变换的几何表示 拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 由零极点图对傅立叶变换进行几何求解
x(t) x1(t) x2 (t) x3 (t) (3et 10e3t 7e5t )u(t) 16
6、单边拉普拉斯变换
实际信号一般都有初始时刻，不妨把初始时 刻设为坐标原点，通常大家关心的信号都是
x(t) 0,t 0的因果信号
X (s) x(t)e st dt 0
称为信号x(t)的单边拉普拉斯变换
0
etu(t) 1 u(t)
0
0
1
x(t )
LT
1
1
s 1 s
j
01
1
0
0
0
1
0 1
6
例1：求右边信号 x(t) etu(t)的拉普拉斯
变换及其收敛域。
解： 由拉普拉斯变换定义式可知
Xb (s)
etu(t)est dt
S+1 = σ+1＋ jω
e(s1)t dt 0
1 e(s1)t s 1
8(s 2) 5)(s 3)(s
1)
,
1
解：对Xb(s)进行部分分式展开，得
3 10 7 X b (s) s 1 s 3 s 5
1
X b1 (s)
s
3
,
1 Xb2
1 (s)
X bs
10 ,
s3
(s)
3
7 ,
s5
5
x1 (t) 3etu(t) x2 (t) 10e3tu(t) x3 (t) 7e5t u(t)
n0
n0
X1(s) 1 esT
利用时移特性 利用无穷级数求和
13
4、常用信号的拉氏变换
u(t)
1
S
u (t )a t
1 sa
tn
n! s n1
(t)
1
(t t0 )
e st0
14
5、拉普拉斯反变换
部分分式法：将Xb(s)展开 为部分分式，再求解x(t)
留数法
15
例所：对求应的X b信(s)号 。(s
定理
t
s0
x1(t) * x2 (t)
卷积
定理
x1(t).x2 (t)
X1(s).X 2 (s)
1
2 j X1(s) * X 2 (s)
12
例：周期信号的拉氏变换
L
x1(t) X1(s)
第一周期的拉氏变换
L
x1(t nT ) esnT X1(s)
L
x(t nT ) X1(s) esnT
乘上衰减因子后，x(t)et 能否满足绝对可积
条件
x(t) et dt
取决于信号x(t)的性质，也取决于σ的取值。 把能使信号的拉普拉斯变换Xb(s)存在的s值 的范围称为信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛 域，记为ROC。
5
双边拉氏变换收敛域 x(t) u(t) etu(t)
x(t)e tdt u(t)e tdt 0 u(t)e(1 )tdt
双边信号的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域必 为平面上具有左边界和右边界的带状区域。
如果时限信号的拉普拉斯变换存在，则其收敛域必
为整个s平面。
10
3、拉氏变换的基本性质（1）
线性 微分 积分 时移
n
kixi f ( )d
x(t t0 )u(t t0 )
n
积分下限取0-是 为了处理在t=0 包含冲激函数及 其导数的x(t)时 较方便
17
6、单边拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换只考虑信号 t 0 区
间，与t<0区间的信号是否存在或取什么 值无关，因此，对于在t<0区间内不同，
而在区间 t 0 内相同的两个信号，会
有相同的单边拉普拉斯变换
18
单边拉普拉斯变换具有 0的收敛域。由于单 边拉普拉斯变换的收敛域单值，所以在研究信 号的单边拉普拉斯变换时，把它的收敛域视为 变换式已包含了，一般不再另外强调。